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6.3: Multiplicar polinomios

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Multiplicar un polinomio por un monomio
    • Multiplicar un binomio por un binomio
    • Multiplicar un trinomio por un binomio
    Nota

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Distribuir:\(2(x+3)\).
      Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.10.31.
    2. Combina términos similares:\(x^{2}+9x+7x+63\).
      Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.3.37.

    Multiplicar un polinomio por un monomio

    Hemos utilizado la Propiedad Distributiva para simplificar expresiones como\(2(x−3)\). Multiplicaste ambos términos entre paréntesis,\(x\) y\(3\), por\(2\), para obtener\(2x−6\). Con el nuevo vocabulario de este capítulo, se puede decir que estaba multiplicando un binomio\(x−3\),, por un monomio,\(2\).

    ¡Multiplicar un binomio por un monomio no es nada nuevo para ti! Aquí hay un ejemplo:

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Multiplicar:\(4(x+3)\).

    Contestar
      4 veces x más 3. Dos flechas se extienden desde 4, terminando en x y 3.
    Distribuir. \(4 \cdot x+4 \cdot 3\)
    Simplificar. \(4 x+12\)
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Multiplicar:\(5(x+7)\).

    Contestar

    5x+35

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Multiplicar:\(3(y+13)\).

    Contestar

    3y+39

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Multiplicar: y (y−2).

    Contestar
      y veces y menos 2. Dos flechas se extienden desde el coeficiente y, terminando en la y y menos 2 entre paréntesis.
    Distribuir. \(y \cdot y-y \cdot 2\)
    Simplificar. \(y^{2}-2 y\)
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Multiplicar:\(x(x−7)\).

    Contestar

    \(x^{2}-7 x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Multiplicar:\(d(d−11)\).

    Contestar

    \(d^{2}-11d\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Multiplicar:\(7x(2 x+y)\)

    Contestar
      7 x veces 2 x más y. Dos flechas se extienden desde 7x, terminando en 2x e y.
    Distribuir. 7 x veces 2 x más 7 x veces y.
    Simplificar. 14 x cuadrado más 7 x y.
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Multiplicar:\(5x(x+4 y)\)

    Contestar

    \(5 x^{2}+20 x y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Multiplicar:\(2p(6 p+r)\)

    Contestar

    \(12 p^{2}+2 p r\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Multiplicar:\(-2 y\left(4 y^{2}+3 y-5\right)\)

    Contestar
      Negativo 2 y veces 4 y cuadrado más 3 y menos 5. Tres flechas se extienden desde 2 y negativo, terminando en 4 y al cuadrado, 3 y, y menos 5.
    Distribuir. Negativo 2 y veces 4 y cuadrado más negativo 2 y veces 3 y menos negativo 2 y veces 5.
    Simplificar. Negativo 8 y en cubos menos 6 y al cuadrado más 10 y.
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Multiplicar:\(-3 y\left(5 y^{2}+8 y-7\right)\)

    Contestar

    \(-15 y^{3}-24 y^{2}+21 y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Multiplicar:\(4x^{2}\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Contestar

    \(8 x^{4}-24 x^{3}+20 x^{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Multiplicar:\(2x^{3}\left(x^{2}-8 x+1\right)\)

    Contestar
      2 x tiempos en cubos x al cuadrado menos 8 x más 1. Tres flechas se extienden desde 2 x cubos, terminando en x cuadrado, menos 8 x, y 1.
    Distribuir. \(2 x^{3} \cdot x^{2}+\left(2 x^{3}\right) \cdot(-8 x)+\left(2 x^{3}\right) \cdot 1\)
    Simplificar. \(2 x^{5}-16 x^{4}+2 x^{3}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Multiplicar: 4\(x\left(3 x^{2}-5 x+3\right)\)

    Contestar

    \(12 x^{3}-20 x^{2}+12 x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Multiplicar:\(-6 a^{3}\left(3 a^{2}-2 a+6\right)\)

    Contestar

    \(-18 a^{5}+12 a^{4}-36 a^{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Multiplicar:\((x+3) p\)

    Contestar
    El monomio es el segundo factor. x más 3, entre paréntesis, veces p. Dos flechas se extienden desde la p, terminando en x y 3.
    Distribuir. \(x \cdot p+3 \cdot p\)
    Simplificar. \ (\ x p+3 p)
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Multiplicar:\((x+8) p\)

    Contestar

    \(x p+8 p\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Multiplicar:\((a+4) p\)

    Contestar

    \(a p+4 p\)

    Multiplicar un Binomio por un Binomio

    Al igual que hay diferentes formas de representar la multiplicación de números, existen varios métodos que se pueden utilizar para multiplicar un binomio por un binomio. Comenzaremos por usar la Propiedad Distributiva.

    Multiplicar un Binomio por un Binomial Usando la Propiedad Distributiva

    Mira Ejercicio\(\PageIndex{16}\), donde multiplicamos un binomio por un monomio.

    Instrucciones Expresión
    Expresiones de inicio x más 3, entre paréntesis, veces p. Dos flechas se extienden desde la p, terminando en x y 3.
    Distribuimos el\(p\) para obtener: x p más 3 p.
    ¿Y si tenemos\((x + 7)\) en lugar de\(p\)? x más 3 multiplicado por x más 7. Dos flechas se extienden desde x más 7, terminando en la x y la 3 en el primer binomio.
    Distribuir\((x + 7)\). La suma de dos productos. El producto de x y x más 7, más el producto de 3 y x más 7.
    Distribuir de nuevo. \(x^{2}+7 x+3 x+21\)
    Combina términos similares. \(x^{2}+10 x+21\)

    Observe que antes de combinar términos similares, tenía cuatro términos. Multiplicaste los dos términos del primer binomio por los dos términos del segundo binomio, cuatro multiplicaciones.

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Multiplicar:\((y+5)(y+8)\)

    Contestar
      El producto de dos binomios, y más 5 e y más 8. Dos flechas se extienden desde y más 8, terminando en la y y la 5 en el primer binomio.
    Distribuir (y + 8). La suma de dos productos, el producto de y e y más 8, más el producto de 5 y y más 8.
    Distribuir de nuevo \(y^{2}+8 y+5 y+40\)
    Combina términos similares. \ (\ y^ {2} +13 y+40)
    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Multiplicar:\((x+8)(x+9)\)

    Contestar

    \(x^{2}+17 x+72\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Multiplicar:\((5 x+9)(4 x+3)\)

    Contestar

    \(20 x^{2}+51 x+27\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Multiplicar:\((2 y+5)(3 y+4)\)

    Contestar
      El producto de dos binomios, 2 y más 5 y 3 y más 4. Dos flechas se extienden desde 3y más 4, terminando en 2y y 5 en el primer binomio.
    Distribuir (3 y + 4). La suma de dos productos, el producto de 2 y y 3 y más 4, más el producto de 5 y 3 y más 4.
    Distribuir de nuevo \(6 y^{2}+8 y+15 y+20\)
    Combina términos similares. \(6 y^{2}+23 y+20\)
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Multiplicar:\((3 b+5)(4 b+6)\)

    Contestar

    \(12 b^{2}+38 b+30\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Multiplicar:\((a+10)(a+7)\)

    Contestar

    \(a^{2}+17 a+70\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Multiplicar:\((4 y+3)(2 y-5)\)

    Contestar
      Ejemplo6.36.jpg
    Distribuir. La suma de dos productos, el producto de 4y y 2y menos 5, más el producto de 3 y 2y menos 5.
    Distribuir de nuevo. \(8 y^{2}-20 y+6 y-15\)
    Combina términos similares. \(8 y^{2}-14 y-15\)
    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Multiplicar:\((5 y+2)(6 y-3)\)

    Contestar

    \(30 y^{2}-3 y-6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Multiplicar:\((3 c+4)(5 c-2)\)

    Contestar

    \(15 c^{2}+14 c-8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Multiplicar:\((x-2)(x-y)\)

    Contestar
      El producto de dos binomios, x menos 2 y x menos y. Dos flechas se extienden desde x menos y, terminando en x y 2 en el primer binomio.
    Distribuir. La diferencia de dos productos. El producto de x y x menos 7, menos el producto de 2 y x menos y.
    Distribuir de nuevo. \(x^{2}-x y-2 x+2 y\)
    No hay términos similares para combinar.  
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Multiplicar:\((a+7)(a-b)\)

    Contestar

    \(a^{2}-a b+7 a-7 b\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Multiplicar:\((x+5)(x-y)\)

    Contestar

    \(x^{2}-x y+5 x-5 y\)

    Multiplicar un Binomio por un Binomial Usando el Método FOIL

    Recuerda que cuando multiplicas un binomio por un binomio obtienes cuatro términos. A veces puedes combinar términos similares para obtener un trinomio, pero a veces, como en Ejercicio\(\PageIndex{28}\), no hay términos similares para combinar.

    Veamos de nuevo el último ejemplo y prestemos especial atención a cómo conseguimos los cuatro términos.

    \[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y}\end{array} \nonumber\]

    ¿De dónde vino el primer término\(x^{2}\),,?

    Esta figura explica cómo multiplicar un binomio usando el método FOIL. Tiene dos columnas, con instrucciones escritas a la izquierda y matemáticas a la derecha. En la parte superior de la figura, el texto en la columna izquierda dice “Es el producto de x y x, los primeros términos en x menos 2 y x menos y”. En la columna derecha está el producto de x menos 2 y x menos y. Una flecha se extiende desde la x en x menos 2, y termina en la x en x menos y. Debajo de esta está la palabra “Primero”. Una fila hacia abajo, el texto en la columna de la izquierda dice “Los siguientes términos, xy negativo, es el producto de x e y negativo, los dos términos externos”. En la columna derecha se encuentra el producto de x menos 2 y x menos y, con otra flecha que se extiende desde la x en x menos 2 hasta la y en x menos y Debajo de esta se encuentra la palabra “Exterior”. Una fila hacia abajo, el texto en la columna de la izquierda dice “El tercer término, negativo 2 x, es el producto de negativo 2 y x, los dos términos internos”. En la columna derecha se encuentra el producto de x menos 2 y x menos y con una tercera flecha que se extiende desde menos 2 en x menos 2 y termina en la x en x menos y Debajo de esta se encuentra la palabra “Interior”. En la última fila, el texto de la columna de la izquierda dice “Y el último término, más 2y, vino de multiplicar los dos últimos términos, negativo 2 e negativo y”. En la columna derecha se encuentra el producto de x menos 2 y x menos y, con una cuarta flecha que se extiende desde el menos 2 en x menos 2 hasta el menos y en x menos y Debajo de esta se encuentra la palabra “Último”.

    Abreviamos “Primero, Exterior, Interior, Último” como FOIL. Las letras significan 'F irst, O uter, I nner, L ast'. La palabra FOIL es fácil de recordar y asegura que encontremos los cuatro productos.

    \[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y} \\ {F \qquad O\qquad I\qquad L}\end{array}\]

    Veamos (x+3) (x+7).

    Propiedad distributiva PAPEL DE ALUMINIO
    El producto de x más 3 y x más 7. El producto de x más 3 y x más y. Una flecha se extiende desde la x en x más 3 hasta la x en x más 7. Una segunda flecha se extiende desde la x en x más 3 hasta la 7 en x más 7. Una tercera flecha se extiende desde el 3 en x más 3 hasta el x en x más 7. Una cuarta flecha se extiende desde las 3 en x más 3 hasta las 7 en x más 7.
    La suma de dos productos, el producto de x y x más 7, y el producto de 3 y x más 7.  
    x cuadrado más 7 x más 3 x más 21. Debajo de x al cuadrado está la letra F, por debajo de 7 x es la letra O, por debajo de 3 x es la letra I, y por debajo de 21 está la letra L, deletreando FOIL. x cuadrado más 7 x más 3 x más 21. Debajo de x al cuadrado está la letra F, por debajo de 7 x es la letra O, por debajo de 3 x es la letra I, y por debajo de 21 está la letra L, deletreando FOIL.
    x cuadrado más 10 x más 21. \(x^{2}+10 x+21\)

    Observe cómo los términos de la tercera línea se ajustan al patrón FOIL.

    Ahora haremos un ejemplo donde usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\): How to Multiply a Binomial by a Binomial using the FOIL Method

    Multiplicar usando el método FOIL:\((x+5)(x+9)\)

    Contestar

    Esta cifra es una tabla que tiene tres columnas y cinco filas. La primera columna es una columna de encabezado, y contiene los nombres y números de cada paso. La segunda y tercera columnas contienen matemáticas. En la fila superior de la tabla, la primera celda de la izquierda dice “Paso 1. Multiplicar los primeros términos”. La segunda columna contiene el producto de binomios x más 5 y x más 9. Debajo de esto se encuentra el producto de x más 5 y x más 9 nuevamente, con una flecha que se extiende desde la x en el primer binomio hasta la x en el segundo binomio. La tercera columna contiene x cuadrado más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de la x al cuadrado está la letra F, y debajo de cada uno de los tres espacios en blanco están las letras O, I y L, respectivamente.
    En la segunda fila, la primera celda dice “Paso 2. Multiplicar los términos externos”. En la segunda celda se encuentra el producto de x más 5 y x más 9 nuevamente, con una flecha que se extiende desde x en el primer binomio hasta el 9 en el segundo binomio. La tercera celda contiene x cuadrado más 9x más blanco más blanco, con la letra F debajo del x cuadrado, O debajo del 9x, e I y L debajo de los dos espacios en blanco.
    En la tercera fila, la primera celda dice “Paso 3. Multiplicar los términos internos”. La segunda celda contiene el producto de x más 5 y x más 9 nuevamente, con una flecha que se extiende desde 5 en el primer binomio hasta la x en el segundo binomio. La tercera celda contiene x al cuadrado más 9x más 5x más blanco, con F debajo de x al cuadrado, O debajo de 9x, I debajo de 5x y L debajo del blanco.
    En la cuarta fila, la primera celda dice “Paso 4. Multiplicar los últimos términos”. En la segunda celda se encuentra el producto de x más 5 y x más 9 nuevamente, con una flecha que se extiende desde 5 en el primer binomio hasta 9 en el segundo binomio. La tercera celda contiene x al cuadrado más 9x más 6x más 45, con F por debajo de x al cuadrado, O por debajo de 9x, I por debajo de 6x y L por debajo de 45.
    En la fila final, la primera celda dice “Paso 5. Combina términos similares, cuando sea posible”. La segunda celda está en blanco. La tercera celda contiene la expresión final: x cuadrado más 15x más 45.

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    Multiplicar usando el método FOIL:\((x+6)(x+8)\)

    Contestar

    \(x^{2}+14 x+48\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    Multiplicar usando el método FOIL:\((y+17)(y+3)\)

    Contestar

    \(y^{2}+20 y+51\)

    A continuación resumimos los pasos del método FOIL. El método FOIL solo se aplica a multiplicar binomios, ¡no a otros polinomios!

    MULTIPLICAR DOS BINOMALES USANDO EL MÉTODO
    .

    Cuando multiplicas por el método FOIL, dibujar las líneas ayudará a que tu cerebro se concentre en el patrón y facilitará su aplicación.

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    Multiplicar:\((y−7)(y+4)\).

    Contestar

    Esta figura tiene tres columnas, con instrucciones escritas en la primera columna y matemáticas en la segunda y tercera columnas. En la parte superior de la figura, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los primeros términos”. La segunda columna contiene el producto de dos binomios, y menos 7 e y más 4, con una flecha que se extiende desde el y en el primer binomio hasta el y en el segundo binomio. La tercera columna contiene y cuadrado más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de y al cuadrado está la letra F y debajo de cada blanco están las letras O, I y L, respectivamente. Una fila hacia abajo, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los términos externos”. La segunda columna contiene el producto de y menos 7 e y más 4 nuevamente, con una segunda flecha que se extiende desde y en el primer binomio hasta 4 en el segundo binomio. La tercera columna contiene y al cuadrado más 4y más blanco más blanco. Por debajo de y al cuadrado está F, por debajo de 4y es O, y debajo de los espacios en blanco están I y L. Una fila hacia abajo, el texto en la primera columna dice “Multiplicar los términos internos”. La columna media contiene el producto de y menos 7 e y más 4 nuevamente, con una tercera flecha que se extiende desde el menos 7 en el primer binomio hasta el y en el segundo binomio. La tercera columna contiene y al cuadrado más 4y menos 7y más blanco. Una fila hacia abajo, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los últimos términos”. La segunda columna contiene el producto de y menos 7 e y más 4 nuevamente, con una cuarta flecha que se extiende desde menos 7 en el primer binomio hasta 4 en el segundo binomio. En la tercera columna se encuentra la expresión completa, y al cuadrado más 4y menos 7y menos 28, con cada letra de FOIL debajo de cada uno de los términos. En la parte inferior de la imagen, el texto de la primera columna dice “Combinar términos similares”. En la columna derecha está y al cuadrado menos 3y menos 28.

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    Multiplicar:\((x−7)(x+5)\).

    Contestar

    \(x^{2}-2 x-35\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    Multiplicar: (b−3) (b+6).

    Contestar

    \(b^{2}+3 b-18\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    Multiplicar:\((4x+3)(2x−5)\).

    Contestar

    Esta cifra tiene tres columnas. En la parte superior de la figura, la segunda columna contiene el producto de dos binomios, 4x más 3 y 2x menos 5. Una fila hacia abajo, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los primeros términos. 4x veces 2x”. La segunda columna contiene 8x cuadrado más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de 8x al cuadrado está la letra F y debajo de cada blanco están las letras O, I y L, respectivamente. Una fila hacia abajo, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los términos externos. 4x veces negativo 5”. La segunda columna contiene 8x al cuadrado menos 20x más blanco más blanco. Por debajo de 8x al cuadrado es F, por debajo de 20x es O, y debajo de los espacios en blanco están I y L. Una fila hacia abajo, el texto en la primera columna dice “Multiplicar los términos internos. 3 veces 2x”. La segunda columna contiene 8x al cuadrado menos 20x más 6x más blanco. Una fila hacia abajo, el texto de la primera columna dice “Multiplicar los últimos términos. 3 veces negativo 5”. La segunda columna contiene la expresión completa, 8x al cuadrado menos 20x más 6x menos 15, con cada letra de FOIL debajo de cada uno de los términos. En la parte inferior de la imagen, el texto de la primera columna dice “Combinar términos similares”. En la columna derecha es 8x cuadrado menos 14x menos 15. En la tercera columna se encuentra nuevamente el producto de los dos binomios, 4x más 3 veces 2x menos 5. Una flecha se extiende desde 4x en el primer binomio hasta 2x en el segundo binomio. Una segunda flecha se extiende desde 4x en el primer binomio hasta menos 5 en el segundo binomio. Una tercera flecha se extiende desde 3 en el primer binomio hasta 2x en el segundo binomio. Una cuarta flecha se extiende desde 3 en el primer binomio hasta menos 5 en el segundo binomio.

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    Multiplicar:\((3x+7)(5x−2)\).

    Contestar

    \(15 x^{2}+29 x-14\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    Multiplicar:\((4y+5)(4y−10)\).

    Contestar

    \(16 y^{2}-20 y-50\)

    Los productos finales en los últimos cuatro ejemplos fueron trinomios porque podíamos combinar los dos términos medios. No siempre es así.

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    Multiplicar:\((3x−y)(2x−5)\).

    Contestar
      \((3 x-y)(2 x-5)\)
      Una flecha se extiende desde 3 x en el primer binomio hasta 2 x en el segundo binomio. Una segunda flecha se extiende desde 3 x en el primer binomio hasta menos 5 en el segundo binomio. Una tercera flecha se extiende desde y en el primer binomio hasta 2 x en el segundo binomio. Una cuarta flecha se extiende desde y en el primer binomio hasta menos 5 en el segundo binomio.
    Multiplicar el Primero. 6 x cuadrado más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de 6 x al cuadrado está la letra F.
    Multiplicar el Exterior. 6 x cuadrado menos 15 x más blanco más blanco. Debajo de 15 x está la letra O.
    Multiplicar el Interior. 6x al cuadrado menos 15x menos 2xy más en blanco. Debajo de menos 2 x y está la letra I.
    Multiplicar el Último. 6 x cuadrado menos 15 x menos 2 x y más 5 y. debajo de 5 y está la letra L.
    Combina términos similares, no hay ninguno. \(6 x^{2}-15 x-2 x y+5 y\)
    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    Multiplicar: (10c−d) (c−6).

    Contestar

    \(10 c^{2}-60 c-c d+6 d\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    Multiplicar: (7x−y) (2x−5).

    Contestar

    \(14 x^{2}-35 x-2 x y+10 y\)

    Ten cuidado con los exponentes en el siguiente ejemplo.

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    Multiplicar:\(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)

    Contestar
      \(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)
      El producto de dos binomios, n al cuadrado más 4 y n menos 1. Una flecha se extiende desde n al cuadrado en el primer binomio hasta n en el segundo binomio. Una segunda flecha se extiende desde n al cuadrado en el primer binomio hasta menos 1 en el segundo binomio. Una tercera flecha se extiende desde 4 en el primer binomio hasta n en el segundo binomio. Una cuarta flecha se extiende desde 4 en el primer binomio hasta menos 1 en el segundo binomio.
    Multiplicar el Primero. n cubos más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de n cubos está la letra F.
    Multiplicar el Exterior. n en cubos menos n al cuadrado más espacio en blanco más espacio en blanco. Debajo de menos n al cuadrado está la letra O.
    Multiplicar el Interior. n en cubos menos n al cuadrado más 4 n más en blanco. Debajo de 4 n está la letra I.
    Multiplicar el Último. n en cubos menos n al cuadrado más 4 n menos 4. Debajo de menos 4 está la letra L.
    Combina términos similares, no hay ninguno. \ (\ n^ {3} -n^ {2} +4 n-4)
    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    Multiplicar:\(\left(x^{2}+6\right)(x-8)\)

    Contestar

    \(x^{3}-8 x^{2}+6 x-48\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    Multiplicar:\(\left(y^{2}+7\right)(y-9)\)

    Contestar

    \(y^{3}-9 y^{2}+7 y-63\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    Multiplicar:\((3 p q+5)(6 p q-11)\)

    Contestar
      \((3 p q+5)(6 p q-11)\)  
    Multiplicar el Primero. 18 p cuadrado q cuadrado más blanco más blanco más blanco más blanco. Debajo de 18 p al cuadrado q cuadrado está la letra F. El producto de dos binomios, 3 p q más 5 y 6 p q menos 11. Una flecha se extiende desde 3 p q en el primer binomio hasta 6 p q en el segundo binomio. Una segunda flecha se extiende desde 3 p q en el primer binomio hasta menos 11 en el segundo binomio. Una tercera flecha se extiende desde 5 en el primer binomio hasta 6 p q en el segundo binomio. Una cuarta flecha se extiende desde 5 en el primer binomio hasta menos 11 en el segundo binomio.
    Multiplicar el Exterior. 18 p cuadrado q cuadrado menos 33 p q más blanco más blanco. Debajo de menos 33 p q está la letra O.
    Multiplicar el Interior. 18 p cuadrado q cuadrado menos 33 p q más 30 p q más blanco. Debajo de 30 p q está la letra I.  
    Multiplicar el Último. 18 p cuadrado q cuadrado menos 33 p q más 30 p q menos 55. Debajo de menos 55 está la letra L.  
    Combina términos similares, no hay ninguno. \(18 p^{2} q^{2}-3 p q-55\)
    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    Multiplicar:\((2 a b+5)(4 a b-4)\)

    Contestar

    \(8 a^{2} b^{2}+12 a b-20\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    Multiplicar:\((2 x y+3)(4 x y-5)\)

    Contestar

    \(8 x^{2} y^{2}+2 x y-15\)

    Multiplicar un binomio por un binomio usando el método vertical

    El método FOIL suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puede utilizar la Propiedad Distributiva para encontrar el producto de cualquiera de dos polinomios. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que usas para multiplicar números enteros. Observe con atención este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.

    Esta figura muestra la multiplicación vertical de 23 y 46. El número 23 está por encima del número 46. Debajo de esto, está el producto parcial 138 sobre el producto parcial 92. El producto final se encuentra en la parte inferior y es 1058. El texto del lado derecho de la imagen dice “Comienza multiplicando 23 por 6 para obtener 138. A continuación, multiplica 23 por 4, alineando el producto parcial en las columnas correctas. Por último agregas los productos parciales”.

    Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((3 y-1)(2 y-6)\)

    Contestar

    No importa qué binomio vaya en la parte superior.

    \[\begin{array}{lll}{\text { Multiply } 3 y-1 \text { by }-6 \text { . }}&& \\ {\text { Multiply } 3 y-1 \text { by } 2 y \text { . }}& &\\ \\ &{\qquad\space3 y-1} & \\& {\dfrac{ \space\space\times 2 y-6}{\quad-18 y+6}} & \text{partial product} & \\ &

    ParseError: EOF expected (click for details)
    Callstack:
    at (Matematicas/Algebra/Libro:_Algebra_elemental_(OpenStax)/06:_Polinomios/6.03:_Multiplicar_polinomios), /content/body/div[4]/div[3]/div[1]/div/dl/dd/p[2]/span/span, line 1, column 3
    & \text{partial product} & \\ \text{Add like terms.} &&\text{product} \end{array}\]

    Observe que los productos parciales son los mismos que los términos en el método FOIL.

    Esta cifra tiene dos columnas. En la columna de la izquierda se encuentra el producto de dos binomios, 3y menos 1 y 2y menos 6. Por debajo de esto se encuentra 6y cuadrado menos 2y menos 18y más 6. Por debajo de esto se encuentra 6y cuadrado menos 20y más 6. En la columna derecha se encuentra la multiplicación vertical de 3y menos 1 y 2y menos 6. Debajo de esto se encuentra el producto parcial negativo 18y más 6. Debajo de esto se encuentra el producto parcial 6y cuadrado menos 2y. Por debajo de esto se encuentra 6y cuadrado menos 20y más 6.

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((5 m-7)(3 m-6)\)

    Contestar

    \(15 m^{2}-51 m+42\)

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((6 b-5)(7 b-3)\)

    Contestar

    \(42 b^{2}-53 b+15\)

    Ahora hemos utilizado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrate de practicar cada método, y trata de decidir cuál prefieres. Los métodos se enumeran aquí todos juntos, para ayudarte a recordarlos.

    MULTIPLIZANDO DOS BINOMIALES

    Para multiplicar binomios, use:

    • Propiedad distributiva
    • Método FOIL
    • Método Vertical

    Recuerda, FOIL solo funciona al multiplicar dos binomios.

    Multiplicar un Trinomio por un Binomio

    Hemos multiplicado los monomios por monomios, los monomios por los polinomios y los binomios por los binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un trinomio por un binomio. Recuerde, FOIL no funcionará en este caso, pero podemos usar ya sea la Propiedad Distributiva o el Método Vertical. Primero miramos un ejemplo usando la Propiedad Distributiva.

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    Multiplicar usando la Propiedad Distributiva:\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)

    Contestar
      El producto de un binomio, b más 3, y un trinomio, 2 b al cuadrado menos 5 b más 8. Dos flechas se extienden desde el trinomio, terminando en b y 3 en el binomio.
    Distribuir. La suma de dos productos, el producto de b y 2 b al cuadrado menos 5 b más 8, y el producto de 3 y 2 b al cuadrado menos 5 b más 8.
    Multiplicar. \(2 b^{3}-5 b^{2}+8 b+6 b^{2}-15 b+24\)
    Combina términos similares. \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    Multiplicar usando la Propiedad Distributiva:\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)

    Contestar

    \(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    Multiplicar usando la Propiedad Distributiva:\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Contestar

    \(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)

    Ahora hagamos esta misma multiplicación usando el Método Vertical.

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)

    Contestar

    Es más fácil poner el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.

    Multiplicar\((2b^2 − 5b + 8)\) por 3. .
      .
    Multiplicar\((2b^2 − 5b + 8)\) por\(b\). \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
    Agregar términos similares.
    Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)

    Contestar

    \(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

    Multiplicar usando el Método Vertical:\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)

    Contestar

    \(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)

    Ahora hemos visto dos métodos que puedes usar para multiplicar un trinomio por un binomio. Después de practicar cada método, probablemente encontrarás que prefieres una forma sobre la otra. Enumeramos ambos métodos que se enumeran aquí, para una fácil referencia.

    MULTIPLIZANDO UN TRINOMIO POR UN BINOMIAL

    Para multiplicar un trinomio por un binomio, use el:

    • Propiedad distributiva
    • Método Vertical
    Nota

    Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con polinomios multiplicadores:

    • Multiplicar exponentes 1
    • Multiplicar exponentes 2
    • Multiplicar exponentes 3

    Conceptos clave

    • Método FOIL para multiplicar dos binomios —Para multiplicar dos binomios:
      1. Multiplicar los primeros términos.
      2. Multiplicar los términos externos.
      3. Multiplicar los términos internos.
      4. Multiplicar los últimos términos.
    • Multiplicar dos binomios —Para multiplicar binomios, utilice el:
    • Multiplicar un Trinomio por un Binomio —Para multiplicar un trinomio por un binomio, use el:

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