6.6: Dividir polinomios

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Dividir un polinomio por un monomio
• Dividir un polinomio por un binomio

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Agregar:\(\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}\)
   Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.7.1.
2. Simplifica:\(\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}\)
   Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.5.37.
3. Combina términos similares:\(8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4\)
   Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.3.37.

Dividir un polinomio por un monomio

En la última sección aprendiste a dividir un monomio por un monomio. A medida que continúas construyendo tu conocimiento de polinomios el siguiente procedimiento es dividir un polinomio de dos o más términos por un monomio.

El método que usaremos para dividir un polinomio por un monomio se basa en las propiedades de adición de fracciones. Entonces comenzaremos con un ejemplo para revisar la adición de fracciones.

\(\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}\)

Ahora haremos esto a la inversa para dividir una sola fracción en fracciones separadas.

Indicaremos la propiedad de adición de fracción aquí tal como la aprendió y a la inversa.

Adición de fracciones

Si a, b y c son números donde\(c\neq 0\), entonces

\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\]

Usamos la forma de la izquierda para agregar fracciones y usamos la forma de la derecha para dividir un polinomio por un monomio.

\(\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}\)

Utilizamos esta forma de adición de fracciones para dividir polinomios por monomios.

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término del polinomio por el monomio.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{7 y^{2}+21}{7}\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{8 z^{2}+24}{4}\)

Contestar

\(2 z^{2}+6\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{18 z^{2}-27}{9}\)

Contestar

\(2 z^{2}-3\)

Recuerda que la división se puede representar como una fracción. Cuando se te pida dividir un polinomio por un monomio y no está ya en forma de fracción, escribe una fracción con el polinomio en el numerador y el monomio en el denominador.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el cociente:\(\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el cociente:\(\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b\)

Contestar

\(9 b^{2}-11 b\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el cociente:\(\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y\)

Contestar

\(5 y^{2}-11 y\)

Cuando dividimos por un negativo, debemos tener mucho cuidado con las señales.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}\)

Contestar

\(-5 y^{2}+3 y\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}\)

Contestar

\(-7 b^{2}+3 b\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}\)

Contestar

\(15 d^{4}+6 d^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}\)

Contestar

\(36 p^{4}-8 p^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Encuentra el cociente:\(\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Encuentra el cociente:\(\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)\)

Contestar

\(-4 a+2 b\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Encuentra el cociente:\(\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)\)

Contestar

\(8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\)

Contestar

\(\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}\)

Contestar

\(5 x y+3 y-2 y^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}\)

Contestar

\(5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}\)

Contestar

\(\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}\)

Contestar

\(3 c+1-\dfrac{3}{2 c}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Encuentra el cociente:\(\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}\)

Contestar

\(2 d-1-\dfrac{2}{5 d}\)

Dividir un polinomio por un binomio

Para dividir un polinomio por un binomio, seguimos un procedimiento muy similar a la división larga de números. Entonces, veamos cuidadosamente los pasos que damos cuando dividimos un número de 3 dígitos, 875, por un número de 2 dígitos, 25.

Escribimos la división larga
Dividimos los dos primeros dígitos, 87, por 25.
Multiplicamos 3 por 25 y escribimos el producto bajo el 87.
Ahora restamos 75 de 87.
Después bajamos el tercer dígito del dividendo, 5.
Repita el proceso, dividiendo 25 en 125.

Verificamos la división multiplicando el cociente por el divisor.

Si hicimos la división correctamente, el producto debería ser igual al dividendo.

\[\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}\]

Ahora vamos a dividir un trinomio por un binomio. Al leer el ejemplo, observe lo similares que son los pasos al ejemplo numérico anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)\)

Contestar

Escríbelo como un problema de división larga.
Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar.
Divide x ^2 por x. Puede ser útil preguntarse: “¿Qué necesito multiplicar x por para obtener x ^2?”
Poner la respuesta, x, en el cociente sobre el término x.
Multiplicar x veces x + 5. Alinee los términos similares bajo el dividendo.
Restar x ^2 + 5 x de x ^2 + 9 x.
Después derribar el último término, 20.
Divide 4 x por x. Puede ser útil preguntarse: “¿Qué necesito multiplicar x por para obtener 4 x?”
Poner la respuesta, 4, en el cociente sobre el término constante.
Multiplica 4 veces x + 5.
Restar 4 x + 20 de 4 x + 20.
Comprobar:
Multiplique el cociente por el divisor.
(x + 4) (x + 5)
Deberías obtener el dividendo.
x ^2 + 9 x + 20 ✓

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Encuentra el cociente:\(\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)\)

Contestar

y+7

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Encuentra el cociente:\(\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)\)

Contestar

m+5

Cuando el divisor tiene signo de resta, debemos tener mucho cuidado cuando multiplicamos el cociente parcial y luego restamos. Puede ser más seguro demostrar que cambiamos las señales y luego agregamos.

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Encuentra el cociente:\(\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)\)

Contestar

Escríbelo como un problema de división larga.
Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar.
Divide 2 x ^2 por x. Ponga la respuesta, 2 x, en el cociente sobre el término x.
Multiplicar 2 x veces x − 3. Alinee los términos similares bajo el dividendo.
Restar 2 x ^2 − 6 x de 2 x ^2 − 5 x. Cambia los signos y luego agrega. Después derribar el último término.
Divide x por x. Poner la respuesta, 1, en el cociente sobre el término constante.
Multiplicar 1 veces x − 3.
Restar x − 3 de x − 3 cambiando los signos y sumando.
Para verificar, multiplique (x − 3) (2 x + 1).
El resultado debe ser 2 x ^2 − 5 x − 3.

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Encuentra el cociente:\(\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)\)

Contestar

2x+5

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Encuentra el cociente:\(\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)\)

Contestar

3x+2

Cuando dividimos 875 por 25, no teníamos resto. Pero a veces la división de números sí deja un resto. Lo mismo ocurre cuando dividimos polinomios. En Ejercicio\(\PageIndex{25}\), tendremos una división que deja un resto. Escribimos el resto como una fracción con el divisor como denominador.

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)\)

Contestar

Escríbelo como un problema de división larga.
Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar.
Divide x ^3 por x. Poner la respuesta, x ^2, en el cociente sobre el término x ^2. Multiplicar x ^2 veces x + 1. Alinee los términos similares bajo el dividendo.
Restar x ^3 + x ^2 de x ^3 − x ^2 cambiando los signos y sumando. Después, derribar el siguiente término.
Divide −2 x ^2 por x. Ponga la respuesta, −2 x, en el cociente sobre el término x. Multiplica −2 x veces x + 1. Alinee los términos similares bajo el dividendo.
Restar −2 x ^2 − 2 x de −2 x ^2 + x cambiando los signos y sumando. Después derribar el último término.
Divide 3 x por x. Poner la respuesta, 3, en el cociente sobre el término constante. Multiplica 3 veces x + 1. Alinee los términos similares bajo el dividendo.
Restar 3 x + 3 de 3 x + 4 cambiando los signos y sumando. Escribe el resto como una fracción con el divisor como denominador.
Para verificar, multiplicar\((x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)\) El resultado debe ser\(x^{3}-x^{2}+x+4\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)\)

Contestar

\(x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Encuentra el cociente:\(\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)\)

Contestar

\(2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}\)

Mira hacia atrás en los dividendos en Ejemplo, Ejemplo y Ejemplo. Los términos fueron escritos en orden descendente de grados, y no faltaron grados. El dividendo en Ejemplo será\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\). Le falta un\(x^{3}\) término. Vamos a añadir en\(0x^{3}\) como marcador de posición.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)\)

Contestar

Observe que no hay\(x^{3}\) término en el dividendo. Vamos a añadir\(0x^{3}\) como marcador de posición.

Escríbelo como un problema de división larga. Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar con marcadores de posición para términos faltantes.
Divide x ^4 por x. Poner la respuesta, x ^3, en el cociente sobre el término x ^3. Multiplicar x ^3 veces x + 2. Alinee los términos similares. Restar y luego bajar el siguiente término.
Divide −2 x ^3 por x. Ponga la respuesta, −2 x ^2, en el cociente sobre el término x ^2. Multiplica −2 x ^2 veces x + 1. Alinee los términos similares. Restar y derribar el siguiente término.
Divide 3 x ^2 por x. Ponga la respuesta, 3 x, en el cociente sobre el término x. Multiplica 3 x veces x + 1. Alinee los términos similares. Restar y derribar el siguiente término.
Dividir − x por x. Poner la respuesta, −1, en el cociente sobre el término constante. Multiplica −1 veces x + 1. Alinee los términos similares. Cambia las señales, agrega.
Para verificar, multiplicar\((x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)\)
El resultado debe ser\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)\)

Contestar

\(x^{2}-2 x+7\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)\)

Contestar

\(x^{3}-8 x^{2}+40 x-200\)

En Ejercicio\(\PageIndex{31}\), dividiremos por\(2a−3\). A medida que dividamos tendremos que considerar tanto las constantes como las variables.

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Encuentra el cociente:\(\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)\)

Contestar

Esta vez vamos a mostrar la división todo en un solo paso. Necesitamos agregar dos marcadores de posición para poder dividir.

Para verificar, multiplicar\((2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)\)

El resultado debe ser\(8 a^{3}+27\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Encuentra el cociente:\(\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)\)

Contestar

\(x^{2}+4 x+16\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

Encuentra el cociente:\(\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)\)

Contestar

\(25 x^{2}+10 x+4\)

Nota

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con polinomios divididos:

• Dividir un polinomio por un monomio
• Dividir un polinomio por un monomio 2
• Dividir polinomio por binomio

Conceptos clave

• Adición de Fracciones
  • Si a, b y c son números donde\(c\neq 0\), entonces
    \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\) y\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
    
• División de un polinomio por un monomio
  • Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término del polinomio por el monomio.