Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

8.9: Usar Variación Directa e Inversa

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    110276

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Resolver problemas de variación directa
    • Resolver problemas de variación inversa
    Nota

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    Si te pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.

    1. Encuentra el inverso multiplicativo de −8
      Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.10.13.
    2. Resuelve para n: 45=20n
      Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 2.2.1.
    3. Evalúa\(5x^2\) cuando x=10
      Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.3.25.

    Cuando dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales entre sí. Otra forma de expresar esta relación es hablar de la variación de las dos cantidades. Discutiremos la variación directa y la variación inversa en esta sección.

    Resolver problemas de variación directa

    A Lindsay le pagan 15 dólares por hora en su trabajo. Si dejamos s ser su salario y h sea el número de horas que ha trabajado, podríamos modelar esta situación con la ecuación

    s=15h

    El salario de Lindsay es producto de una constante, 15, y del número de horas que trabaja. Decimos que el salario de Lindsay varía directamente con el número de horas que trabaja. Dos variables varían directamente si una es producto de una constante y la otra.

    Definición: VARIACIÓN DIRECTA

    Para cualquiera de las dos variables x e y, y varía directamente con x si

    y=kx, donde\(n \ne 0\)

    En aplicaciones que utilizan variación directa, generalmente conoceremos los valores de un par de las variables y se nos pedirá encontrar la ecuación que relaciona x e y. Entonces podemos usar esa ecuación para encontrar valores de y para otros valores de x.

    Cómo resolver problemas de variación directa

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si y varía directamente con x e y=20 cuando x=8, encuentra la ecuación que relaciona x e y.

    Contestar

    La imagen de arriba tiene 3 columnas. La tabla muestra los pasos para resolver problemas de variación directa. El primer paso es escribir la fórmula para la variación directa. La fórmula de variación directa es y es igual a k x Entonces obtenemos y es igual a k veces x.El paso dos es sustituir los valores dados por las variables. Se nos da y es igual a 20 y x es igual a 8. Entonces tenemos 20 es igual a k por 8.El paso tres es resolver para la variación constante. Divide ambos lados de la ecuación por 8, luego multiplica. Ahora obtenemos 20 dividido por 8 es igual a k. K es igual a 2.5.El paso cuatro es escribir la ecuación que relaciona x e y. Reescribir la ecuación general con el valor que encontramos k para obtener y es igual a 2 y cinco décimas veces x.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Si y varía directamente como x e y=3, cuando x=10, encuentra la ecuación que relaciona x e y.

    Contestar

    \(y=\frac{3}{10}x\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Si y varía directamente como x e y=12 cuando x=4, encuentra la ecuación que relaciona x e y.

    Contestar

    y=3x

    Enumeraremos los pasos a continuación.

    Definición: Resolver problemas de variación directa
    1. Escribe la fórmula para la variación directa.
    2. Sustituir los valores dados por las variables.
    3. Resuelve la constante de variación.
    4. Escribe la ecuación que relaciona x e y.

    Ahora resolveremos algunas aplicaciones de variación directa.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Cuando Raoul corre en la cinta de correr en el gimnasio, el número de calorías, c, quema varía directamente con el número de minutos, m, usa la cinta de correr. Quemó 315 calorías cuando usó la cinta de correr durante 18 minutos.

    1. Escribe la ecuación que relaciona c y m.
    2. ¿Cuántas calorías quemaría si corría en la cinta durante 25 minutos?
    Contestar

    1.

      El número de calorías, c varía directamente con el número de minutos, m, en la cinta de correr, y c=315 cuando m=18
    Escribe la fórmula para la variación directa. .
    Utilizaremos c en lugar de y y mm en lugar de x. .
    Sustituir los valores dados por las variables. .
    Resuelve la constante de variación. .
      .
    Escribe la ecuación que relaciona c y m. .
    Sustituto en la constante de variación. .

    2.

     

    Encuentra c cuando m=25.
    Escribe la ecuación que relaciona c y m. .
    Sustituir el valor dado por m. .
    Simplificar. .
      Raoul quemaría 437.5 calorías si usara la cinta de correr durante 25 minutos.
    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    El número de calorías, c, quemadas varía directamente con la cantidad de tiempo, t, dedicado al ejercicio. Arnold quemó 312 calorías en 65 minutos haciendo ejercicio.

    1. Escribe la ecuación que relaciona c y t.
    2. ¿Cuántas calorías quemaría si hace ejercicio durante 90 minutos?
    Contestar
    1. c=4.8t
    2. 432 calorías
    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    La distancia que recorre un cuerpo en movimiento, d, varía directamente con el tiempo, t, se mueve. Un tren recorre 100 millas en 2 horas

    1. Escribe la ecuación que relaciona d y t.
    2. ¿Cuántas millas viajaría en 5 horas?
    Contestar
    1. d=50t
    2. 250 millas

    En el ejemplo anterior, las variables c y m fueron nombradas en el problema. Por lo general, ese no es el caso. Tendremos que nombrar las variables en el siguiente ejemplo como parte de la solución, tal como lo hacemos en la mayoría de los problemas aplicados.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    El número de galones de gasolina que usa el auto de Eunice varía directamente con el número de millas que conduce. La semana pasada manejó 469.8 millas y usó 14.5 galones de gasolina.

    1. Escribe la ecuación que relaciona el número de galones de gas utilizados con el número de millas recorridas.
    2. ¿Cuántos galones de gasolina usaría el auto de Eunice si condujera 1000 millas?
    Contestar

    1.

      El número de galones de gas varía directamente con el número de millas recorridas.
    Primero nombraremos las variables. Dejar g= número de galones de gas.
    m= número de millas recorridas.
    Escribe la fórmula para la variación directa. .
    Utilizaremos g en lugar de y y m en lugar de x. .
    Sustituir los valores dados por las variables .
      .
    Resuelve la constante de variación. .
    Redondearemos a la milésima más cercana. .
    Escribe la ecuación que relaciona g y m. .
    Sustituto en la constante de variación. .

    2.

      Encuentra g cuando m=1000.
    Escribe la ecuación que relaciona g y m. g=0.031m
    Sustituir el valor dado por m. g=0.031 (1000)
    Simplificar. g=31
      El auto de Eunice usaría 31 galones de gasolina si lo conducía 1,000 millas.

    Observe que en este ejemplo, las unidades en la constante de variación son galones/milla. En la vida cotidiana, solemos hablar de millas/galón.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    La distancia que recorre Brad varía directamente con el tiempo que se dedica a viajar. Brad viajó 660 millas en 12 horas,

    1. Escribe la ecuación que relaciona el número de millas recorridas con el tiempo.
    2. ¿Cuántas millas podría recorrer Brad en 4 horas?
    Contestar
    1. m=55h
    2. 220 millas
    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    El peso de un líquido varía directamente según su volumen. Un líquido que pesa 24 libras tiene un volumen de 4 galones.

    1. Escribe la ecuación que relaciona el peso con el volumen.
    2. Si un líquido tiene volumen 13 galones, ¿cuál es su peso?
    Contestar
    1. w=6v
    2. 78 libras

    En algunas situaciones, una variable varía directamente con el cuadrado de la otra variable. Cuando eso sucede, la ecuación de variación directa es\(y=kx^2\).

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    La carga máxima que soportará una viga varía directamente con el cuadrado de la diagonal de la sección transversal de la viga. Una viga con diagonal de 4” soportará una carga máxima de 75 libras.

    1. Escribe la ecuación que relaciona la carga máxima con la sección transversal.
    2. ¿Cuál es la carga máxima que puede soportar una viga con diagonal de 8”?
    Contestar

    1.

      La carga máxima varía directamente con el cuadrado de la diagonal de la sección transversal.
    Nombra las variables. Deje L= carga máxima.
    c= la diagonal de la sección transversal
    Escribe la fórmula para la variación directa, donde y varía directamente con el cuadrado de x. .
    Utilizaremos L en lugar de y y c en lugar de x. .
    Sustituir los valores dados por las variables. .
      .
    Resuelve la constante de variación. .
      .
    Escribe la ecuación que relaciona L y c. .
    Sustituto en la constante de variación. .

    2.

      Encuentra L cuando c=8.
    Escribe la ecuación que relaciona L y c. \(L=4.6875c^2\)
    Sustituir el valor dado por c. \(L=4.6875(8)^2\)
    Simplificar. L=300
      Una viga con diagonal de 8” podría soportar una carga máxima de 300 libras.
    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    La distancia que cae un objeto es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que cae. Una pelota cae 144 pies en 3 segundos.

    1. Escribe la ecuación que relaciona la distancia con el tiempo.
    2. ¿Hasta dónde caerá un objeto en 4 segundos?
    Contestar
    1. \(d=16t^2\)
    2. 256 pies
    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    El área de un círculo varía directamente como el cuadrado del radio. Una pizza circular con un radio de 6 pulgadas tiene un área de 113.04 pulgadas cuadradas.

    1. Escribe la ecuación que relaciona el área con el radio.
    2. ¿Cuál es el área de una pizza con un radio de 9 pulgadas?
    Contestar
    1. \(A=3.14r^2\)
    2. 254.34 pulgadas cuadradas

    Resolver problemas de variación inversa

    Muchas aplicaciones involucran dos variables que varían inversamente. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye. La ecuación que los relaciona es\(y=\frac{k}{x}\).

    Definición: Variación inversa

    Para cualquiera de las dos variables x e y, y varía inversamente con x si

    y=\(\frac{k}{x}\), donde\(k \ne 0\)

    La palabra 'inverso' en variación inversa se refiere a la inversa multiplicativa. El inverso multiplicativo de x es\(\frac{1}{x}\).

    Resolvemos problemas de variación inversa de la misma manera que resolvimos problemas de variación directa. Sólo ha cambiado la forma general de la ecuación. Copiaremos la casilla de procedimiento aquí y simplemente cambiaremos 'directo' a 'inverso'.

    Definición: Resolver problemas de variación inversa
    1. Escribe la fórmula para la variación inversa.
    2. Sustituir los valores dados por las variables.
    3. Resuelve la constante de variación.
    4. Escribe la ecuación que relaciona x e y.
    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Si y varía inversamente con x e y=20 cuando x=8 x e y.

    Contestar
    Escribe la fórmula para la variación inversa. .
    Sustituir los valores dados por las variables. .
      .
    Resuelve la constante de variación. .
      .
    Escribe la ecuación que relaciona x e y. .
    Sustituto en la constante de variación. .
    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Si p varía inversamente con q y p=30 cuando q=12 encuentra la ecuación que relaciona p y q.

    Contestar

    \(p=\frac{360}{q}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Si y varía inversamente con x e y=8 cuando x=2 encuentra la ecuación que relaciona x e y.

    Contestar

    \(y=\frac{16}{x}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    El consumo de combustible (mpg) de un automóvil varía inversamente con su peso. Un auto que pesa 3100 libras obtiene 26 mpg en la carretera.

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuál sería el consumo de combustible de un automóvil que pesa 4030 libras?
    Contestar

    1.

      El consumo de combustible varía inversamente con el peso.
    Primero nombraremos las variables. Dejar f= consumo de combustible.
    w= peso.
    Escribe la fórmula para la variación inversa. .
    Utilizaremos f en lugar de y y w en lugar de x. .
    Sustituir los valores dados por las variables. .
      .
    Resuelve la constante de variación. .
      .
    Escribe la ecuación que relaciona f y w. .
    Sustituto en la constante de variación. .

    2.

      Encuentra f cuando w=4030.
    Escribe la ecuación que relaciona f y w. .
    Sustituir el valor dado por w. \(f=\frac{80,600}{4030}\)
    Simplificar. f=20
      Un auto que pese 4030 libras tendría un consumo de combustible de 20 mpg.
    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    El valor de un automóvil varía inversamente con su antigüedad. Elena compró un auto de dos años por 20 mil dólares.

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuál será el valor del auto de Elena cuando tenga 5 años?
    Contestar
    1. \(v=\frac{40,000}{a}\)
    2. $8,000
    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    El tiempo requerido para vaciar una piscina varía inversamente según la velocidad de bombeo. A Lucy le tomó 2.5 horas vaciar su alberca usando una bomba que fue calificada en 400 gpm (galones por minuto).

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuánto tiempo le llevará vaciar la piscina usando una bomba nominal de 500 gpm?
    Contestar
    1. \(t=\frac{1000}{r}\)
    2. 2 horas
    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    La frecuencia de una cuerda de guitarra varía inversamente con su longitud. Una cuerda de 26” de largo tiene una frecuencia de 440 vibraciones por segundo.

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuántas vibraciones por segundo habrá si la longitud de la cuerda se reduce a 20” poniendo un dedo en un traste?
    Contestar

    1.

      La frecuencia varía inversamente con la longitud.
    Nombra las variables. Dejar f= frecuencia.
    L=longitud.
    Escribe la fórmula para la variación inversa. .
    Usaremos f en lugar de y y L en lugar de x .
    Sustituir los valores dados por las variables. .
      .
    Resuelve la constante de variación. .
      .
    Escribe la ecuación que relaciona f y L. .
    Sustituto en la constante de variación. .

    2.

      Encuentra f cuando L=20.
    Escribe la ecuación que relaciona f y L. \(f=\frac{11,440}{L}\)
    Sustituir el valor dado por L. \(f=\frac{11,440}{20}\)
    Simplificar. f=572
      Una cuerda de guitarra de 20” tiene frecuencia 572 vibraciones por segundo.
    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    El número de horas que tarda el hielo en fundirse varía inversamente con la temperatura del aire. Supongamos que un bloque de hielo se derrite en 2 horas cuando la temperatura es de 65 grados.

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuántas horas tardarían en fundirse el mismo bloque de hielo si la temperatura era de 78 grados?
    Contestar
    1. \(h=\frac{130}{t}\)
    2. \(1\frac{2}{3}\)horas
    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    La fuerza necesaria para romper una tabla varía inversamente con su longitud. Richard usa 24 libras de presión para romper una tabla de 2 pies de largo.

    1. Escribe la ecuación de variación.
    2. ¿Cuántas libras de presión se necesitan para romper una tabla de 5 pies de largo?
    Contestar
    1. \(F=\frac{48}{L}\)
    2. 9.6 libras

    This page titled 8.9: Usar Variación Directa e Inversa is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.