10.2: Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
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Al final de esta sección, podrás:
- Completar el cuadrado de una expresión binomial
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma\(x^2+bx+c=0\) completando el cuadrado
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma\(ax^2+bx+c=0\) completando el cuadrado
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación. Si te pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.
- Simplificar\((x+12)^2\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.4.1. - Factor\(y^2−18y+81\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 7.4.1. - Factor\(5n^2+40n+80\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 7.4.13.
Hasta el momento, hemos resuelto ecuaciones cuadráticas factorizando y usando la Propiedad Raíz Cuadrada. En esta sección, resolveremos ecuaciones cuadráticas mediante un proceso llamado 'completar el cuadrado'.
Completa El cuadrado de una expresión binomial
En la última sección, pudimos usar la Propiedad Raíz Cuadrada para resolver la ecuación\((y−7)^2=12\) porque el lado izquierdo era un cuadrado perfecto.
\[\begin{array}{l} {(y−7)^2=12}\\ {y−7=\pm\sqrt{12}}\\ {y−7=\pm2\sqrt{3}}\\ {y=7\pm2\sqrt{3}}\\ \nonumber \end{array}\]
También resolvimos una ecuación en la que el lado izquierdo era un trinomio cuadrado perfecto, pero tuvimos que reescribirlo el formulario\((x−k)^2\) para poder usar la propiedad de raíz cuadrada.
\[\begin{array}{l} {x^2−10x+25=18}\\ {(x−5)^2=18}\\ \nonumber \end{array}\]
¿Qué pasa si la variable no forma parte de un cuadrado perfecto? ¿Podemos usar álgebra para hacer un cuadrado perfecto?
Estudiemos el patrón cuadrado binomial que hemos utilizado muchas veces. Vamos a ver dos ejemplos.
\[\begin{array}{ll} {(x+9)^2}&{(y−7)^2}\\ {(x+9)(x+9)}&{(y−7)(y−7)}\\ {x^2+9x+9x+81}&{y^2−7y−7y+49}\\ {x^2+18x+81}&{y^2−14y+49}\\ \nonumber \end{array}\]
Si a, b son números reales,
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
Podemos usar este patrón para “hacer” un cuadrado perfecto.
Empezaremos con la expresión\(x^2+6x\). Como hay un signo más entre los dos términos, usaremos el\((a+b)^2\) patrón.
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Observe que el primer término de\(x^2+6x\) es un cuadrado,\(x^2\).
Ahora sabemos\(a=x\).
¿A qué número podemos\(x^2+6x\) sumar para hacer un trinomio cuadrado perfecto?
El término medio del Patrón de Cuadrados Binomiales, 2ab, es el doble del producto de los dos términos del binomio. Esto significa que el doble del producto de x y algún número es 6x. Entonces, dos veces algún número debe ser seis. El número que necesitamos es\(\frac{1}{2}·6=3\). El segundo término en el binomio, b, debe ser 3.
Ahora sabemos\(b=3\).
Ahora, apenas cuadramos el segundo término del binomio para obtener el último término del trinomio cuadrado perfecto, así cuadramos tres para obtener el último término, nueve.
Ahora podemos factorial para
Entonces, encontramos que sumar nueve a\(x^2+6x\) 'completa el cuadrado', y lo escribimos como\((x+3)^2\).
Para completar el cuadrado de\(x^2+bx\):
- Identificar b, el coeficiente de x.
- Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\), el número para completar la plaza.
- Agregar el\( (\frac{1}{2}b)^2\) a\(x^2+bx\).
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después, escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(x^2+14x\)
- Contestar
-
El coeficiente de x es 14. 
Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\).
\((\frac{1}{2}⋅14)^2\)
\((7)^2\)
49
Agrega 49 al binomio para completar el cuadrado. \(x^2+14x+49\) Reescribir como un cuadrado binomial. \((x+7)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(y^2+12y\)
- Contestar
-
\((y+6)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(z^2+8z\)
- Contestar
-
\((z+4)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después, escribe el resultado como un binomio al cuadrado. \(m^2−26m\)
- Contestar
-
Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\).
\((\frac{1}{2}⋅(−26))^2\)
\((−13)^2\)
169
Agrega 169 al binomio para completar el cuadrado. \(m^2−26m+169\) Reescribir como un cuadrado binomial. \((m−13)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(a^2−20a\)
- Contestar
-
\((a−10)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(b^2−4b\)
- Contestar
-
\((b−2)^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después, escribe el resultado como un binomio al cuadrado.
\(u^2−9u\)
- Contestar
-
El coeficiente de u es −9. 
Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\).
\((\frac{1}{2}⋅(−9))^2\)
\((−\frac{9}{2})^2\)
\(\frac{81}{4}\)
Agregar\(\frac{81}{4}\) al binomio para completar el cuadrado. \(u^2−9u+\frac{81}{4}\) Reescribir como un cuadrado binomial. \((u−\frac{9}{2})^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(m^2−5m\)
- Contestar
-
\((m−\frac{5}{2})^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(n^2+13n\)
- Contestar
-
\((n+\frac{13}{2})^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después, escribe el resultado como un binomio al cuadrado.
\(p^2+12p\)
- Contestar
-
El coeficiente de p es\(\frac{1}{2}\) 
Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\).
\((\frac{1}{2}⋅\frac{1}{2})^2\)
\((\frac{1}{4})^2\)
\(\frac{1}{16}\)
Agregar\(\frac{1}{16}\) al binomio para completar el cuadrado. \(p^2+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}\) Reescribir como un cuadrado binomial. \((p+\frac{1}{4})^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(p^2+\frac{1}{4}p\)
- Contestar
-
\((p+\frac{1}{8})^2\)
Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.
\(q^2−\frac{2}{3}q\)
- Contestar
-
\((q−\frac{1}{3})^2\)
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma\(x^2 + bx + c = 0\) completando el cuadrado
Al resolver ecuaciones, siempre debemos hacer lo mismo a ambos lados de la ecuación. Esto es cierto, por supuesto, cuando resolvemos una ecuación cuadrática completando también el cuadrado. Cuando agregamos un término a un lado de la ecuación para hacer un trinomio cuadrado perfecto, también debemos agregar el mismo término al otro lado de la ecuación.
Por ejemplo, si empezamos con la ecuación\(x^2+6x=40\) y queremos completar el cuadrado de la izquierda, agregaremos nueve a ambos lados de la ecuación.
Entonces, factorizamos a la izquierda y simplificamos a la derecha.
\((x+3)^2=49\)
Ahora la ecuación está en la forma a resolver usando la Propiedad Raíz Cuadrada. Completar el cuadrado es una forma de transformar una ecuación en la forma que necesitamos para poder usar la Propiedad Raíz Cuadrada.
Cómo Resolver una Ecuación Cuadrática de la Forma\(x^2+bx+c=0\) Completando el Cuadrado.
Resuelve\(x^2+8x=48\) completando la plaza.
- Contestar
-
Resuelve\(c^2+4c=5\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(c=−5\),\(c=1\)
Resuelve\(d^2+10d=−9\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(d=−9\),\(d=−1\)
- Aísle los términos variables por un lado y los términos constantes por el otro.
- Encuentra\((\frac{1}{2}·b)^2\), el número para completar la plaza. Agrégalo a ambos lados de la ecuación.
- Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial.
- Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada.
- Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
- Consulta las soluciones.
Resuelve\(y^2−6y=16\) completando la plaza.
- Contestar
-
Los términos variables están en el lado izquierdo. 
Toma la mitad de −6 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(−6))^2=9\)
Agrega 9 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver por y. 
Reescribe para mostrar dos soluciones. 
Resuelve las ecuaciones. 
Cheque.
Resuelve\(r^2−4r=12\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(r=−2\),\(r=6\)
Resolver\(t^2−10t=11\) by completing the square.
- Contestar
-
\(t=−1\),\(t=11\)
Resuelve\(x^2+4x=−21\) completando la plaza.
- Contestar
-
Los términos variables están en el lado izquierdo. 
Toma la mitad de 4 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)
Agrega 4 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
No podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo. No hay una solución real.
Resuelve\(y^2−10y=−35\) completando la plaza.
- Contestar
-
ninguna solución real
Resuelve\(z^2+8z=−19\) completando la plaza.
- Contestar
-
ninguna solución real
En el ejemplo anterior, no había una solución real porque\((x+k)^2\) was equal to a negative number.
Resuelve\(p^2−18p=−6\) completando la plaza.
- Contestar
-
Los términos variables están en el lado izquierdo. 
Toma la mitad de −18 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(−18))^2=81\) 
Agrega 81 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver para p. 
Reescribe para mostrar dos soluciones. 
Cheque.
Otra forma de verificar esto sería usar una calculadora. Evaluar\(p^2−18p\) para ambas soluciones. La respuesta debe ser −6.
Resuelve\(x^2−16x=−16\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(x=8\pm4\sqrt{3}\)
Resuelve\(y^2+8y=11\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(y=−4\pm3\sqrt{3}\)
Comenzaremos el siguiente ejemplo aislando los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación.
Resuelve\(x^2+10x+4=15\) completando la plaza.
- Contestar
-
Los términos variables están en el lado izquierdo. 
Restar 4 para obtener los términos constantes en el lado derecho. 
Toma la mitad de 10 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(10))^2=25\)
Agrega 25 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver para x. 
Reescribe para mostrar dos ecuaciones. 
Resuelve las ecuaciones. 
Cheque.
Resuelve\(a^2+4a+9=30\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(a=−7\),\(a=3\)
Resolver\(b^2+8b−4=16\) by completing the square.
- Contestar
-
\(b=−10\),\(b=2\)
Para resolver la siguiente ecuación, primero debemos recopilar todos los términos variables al lado izquierdo de la ecuación. Entonces, procedemos como hicimos en los ejemplos anteriores.
Resuelve\(n^2=3n+11\) completando la plaza.
- Contestar
-
Restar 3 n para obtener los términos variables en el lado izquierdo. 
Toma la mitad de −3 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(−3))^2= \frac{9}{4}\) 
Añadir\(\frac{9}{4}\) a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Agrega las fracciones en el lado derecho. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver para n. 
Reescribe para mostrar dos ecuaciones. 
Cheque. ¡Te dejamos el cheque!
Resuelve\(p^2=5p+9\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(p=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{61}}{2}\)
Resolver\(q^2=7q−3\) by completing the square.
- Contestar
-
\(q=\frac{7}{2}\pm\frac{\sqrt{37}}{2}\)
Observe que el lado izquierdo de la siguiente ecuación está en forma factorizada. Pero el lado derecho no es cero, por lo que no podemos usar la Propiedad de Producto Cero. En cambio, multiplicamos los factores y luego ponemos la ecuación en la forma estándar para resolverla completando el cuadrado.
Resuelve\((x−3)(x+5)=9\) completando la plaza.
- Contestar
-
Multiplicamos binomios a la izquierda. 
Agrega 15 para obtener los términos variables en el lado izquierdo. 
Toma la mitad de 2 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(2))^2=1\)
Agrega 1 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Resolver para x. 
Reescribe para mostrar dos soluciones. 
Simplificar. 
Cheque. ¡Te dejamos el cheque!
Resuelve\((c−2)(c+8)=7\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(c=−3\pm4\sqrt{2}\)
Resuelve\((d−7)(d+3)=56\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(d=−7\),\(d=11\)
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma\( ax^2 + bx + c = 0\) completando el cuadrado
El proceso de completar el cuadrado funciona mejor cuando el coeficiente principal es uno, por lo que el lado izquierdo de la ecuación es de la forma\(x^2+bx+c\). Si el\(x^2\) término tiene un coeficiente, tomamos algunos pasos preliminares para que el coeficiente sea igual a uno.
A veces el coeficiente puede ser factorizado a partir de los tres términos del trinomio. Esta será nuestra estrategia en el siguiente ejemplo.
Resuelve\(3x^2−12x−15=0\) completando la plaza.
- Contestar
-
Para completar el cuadrado, necesitamos el coeficiente de\(x^2\) ser uno. Si factorizamos el coeficiente de\(x^2\) como factor común, podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.
Facturar el mayor factor común. 
Divide ambos lados por 3 para aislar el trinomio. 
Simplificar. 
Restar 5 para obtener los términos constantes a la derecha. 
Toma la mitad de 4 y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)
Agrega 4 a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Resolver para x. 
Reescribe para mostrar 2 soluciones. 
Simplificar. 
Cheque.
Resuelve\(2m^2+16m−8=0\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(m=−4\pm2\sqrt{5}\)
Resuelve\(4n^2−24n−56=8\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(n=−2, 8\)
Para completar el cuadrado, el coeficiente principal debe ser uno. Cuando el coeficiente principal no sea un factor de todos los términos, dividiremos ambos lados de la ecuación por el coeficiente principal. Esto nos dará una fracción para el segundo coeficiente. Ya hemos visto cómo completar el cuadrado con fracciones en esta sección.
Resuelve\(2x^2−3x=20\) completando la plaza.
- Contestar
-
Nuevamente, nuestro primer paso será hacer que el coeficiente de\(x^2\) ser uno. Al dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de\(x^2\), entonces podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.
Divide ambos lados por 2 para obtener el coeficiente\(x^2\) de ser 1. 
Simplificar. 
Toma la mitad\(−\frac{3}{2}\) y cuadrázala. \((\frac{1}{2}(−\frac{3}{2}))^2=\frac{9}{16}\)
Añadir\(\frac{9}{16}\) a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Agrega las fracciones en el lado derecho. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver para x. 
Reescribe para mostrar 2 soluciones. 
Simplificar. 
Cheque. Te dejamos el cheque.
Resuelve\(3r^2−2r=21\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(r=−\frac{7}{3}\),\(r=3\)
Resuelve\(4t^2+2t=20\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(t=−\frac{5}{2}\),\(t=2\)
Resuelve\(3x^2+2x=4\) completando la plaza.
- Contestar
-
Nuevamente, nuestro primer paso será hacer que el coeficiente de\(x^2\) ser uno. Al dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de\(x^2\), entonces podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.
Divide ambos lados por 3 para hacer que el coeficiente sea\(x^2\) igual a 1. 
Simplificar. 
Toma la mitad\(\frac{2}{3}\) y cuadrázala. \((\frac{1}{2}⋅\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}\)
Añadir\(\frac{1}{9}\) a ambos lados. 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. 
Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. 
Simplifica lo radical. 
Resolver para x. 
Reescribe para mostrar 2 soluciones. 
Cheque. Te dejamos el cheque.
Resuelve\(4x^2+3x=12\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(x=−\frac{3}{8}\pm\frac{\sqrt{201}}{8}\)
Resuelve\(5y^2+3y=10\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(y=−\frac{3}{10}\pm\frac{\sqrt{209}}{10}\)
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado:
- Introducción al método de completar el cuadrado
- Cómo Resolver Completando el Cuadrado
Conceptos clave
- Patrón de cuadrados binomiales Si a, ba, b son números reales,
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
- Completar un cuadrado
Para completar el cuadrado de\(x^2+bx\):- Identificar bb, el coeficiente de x.
- Encuentra\((\frac{1}{2}b)^2\), el número para completar la plaza.
- Agregar el\((\frac{1}{2}b)^2\) a\(x^2+bx\).
Glosario
- completando la plaza
- Completar el cuadrado es un método utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.