10.5: Graficar ecuaciones cuadráticas

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Reconocer la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables
Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola
Encuentra las intercepciones de una parábola
Gráfica ecuaciones cuadráticas en dos variables
Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Esté preparado

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Grafica la ecuación$y=3x−5$ trazando puntos.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
Evalúa$2x^2+4x−1$ cuándo$x=−3$
Si te perdiste este problema, revisa [link].
Evalúa$−\frac{b}{2a}$ cuándo$a=13$ y b=$\frac{5}{6}$
Si te perdiste este problema, revisa [link].

Reconocer la Gráfica de una Ecuación Cuadrática en Dos Variables

Hemos graficado ecuaciones de la forma$Ax+By=C$. Llamamos a ecuaciones como esta ecuaciones lineales porque sus gráficas son líneas rectas.

Ahora, vamos a graficar ecuaciones de la forma$y=ax^2+bx+c$. Llamamos a este tipo de ecuación una ecuación cuadrática en dos variables.

definición: Ecuación cuadrática en dos variables

Una ecuación cuadrática en dos variables, donde a, b y c son números reales y$a\neq 0$, es una ecuación de la forma\[y=ax^2+bx+c \nonumber\]

Así como empezamos a graficar ecuaciones lineales trazando puntos, haremos lo mismo para las ecuaciones cuadráticas.

Veamos primero la gráfica de la ecuación cuadrática$y=x^2$. Escogeremos valores enteros de x entre −2 y 2 y encontraremos sus valores y. Ver Tabla.

$y=x^2$
x	y
0	0
1	1
$−1$	1
2	4
$−2$	4

Observe cuando dejamos$x=1$ y$x=−1$, obtuvimos el mismo valor para y.

\[\begin{array} {ll} {y=x^2} &{y=x^2} \\ {y=1^2} &{y=(−1)^2} \\ {y=1} &{y=1} \\ \nonumber \end{array}\]

Pasó lo mismo cuando dejamos$x=2$ y$x=−2$.

Ahora, trazaremos los puntos para mostrar la gráfica de$y=x^2$. Ver Figura.

Esta figura muestra una curva en forma de u de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más bajo de la curva está en el punto (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (-2, 4), (-1, 1), (1, 1) y (2, 4).

La gráfica no es una línea. Esta figura se llama parábola. Cada ecuación cuadrática tiene una gráfica que se ve así.

En Ejemplo practicarás graficar una parábola trazando algunos puntos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$y=x^2-1$

Contestar

Vamos a graficar la ecuación trazando puntos.

Elija valores enteros para x, sustitúyalos en la ecuación y resuelva por y.
Registrar los valores de los pares ordenados en el gráfico.		$.$
Trazar los puntos, y luego conectarlos con una curva suave. El resultado será la gráfica de la ecuación$y=x^2−1$		$.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Gráfica$y=−x^2$.

Contestar: $Esta figura muestra una curva en forma de u de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más alto de la curva está en el punto (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (-2, -4), (-1, -1), (1, -1) y (2, -4).$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Gráfica$y=x^2+1$.

Contestar: $Esta figura muestra una curva en forma de u de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más bajo de la curva está en el punto (0, 1). Otros puntos de la curva se ubican en (-2, 5), (-1, 2), (1, 2) y (2, 5).$

¿Cómo funcionan las ecuaciones$y=x^2$ y$y=x^2−1$ differ? What is the difference between their graphs? How are their graphs the same?

Todas las parábolas de la forma se$y=ax^2+bx+c$ abren hacia arriba o hacia abajo. Ver Figura.

Esta figura muestra dos gráficas una al lado de la otra. La gráfica del lado izquierdo muestra una curva en forma de u de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más bajo de la curva está en el punto (-2, -1). Otros puntos de la curva se ubican en (-3, 0), y (-1, 0). Debajo de la gráfica se encuentra la ecuación y es igual a un cuadrado más b x más c. Abajo está la ecuación de la gráfica, y es igual a x cuadrado más 4 x más 3. Debajo de eso está la desigualdad a mayor de 0 lo que significa que la parábola se abre hacia arriba. La gráfica del lado derecho muestra una curva en forma de u de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más alto de la curva está en el punto (2, 7). Otros puntos de la curva se ubican en (0, 3), y (4, 3). Debajo de la gráfica se encuentra la ecuación y es igual a un cuadrado más b x más c. Debajo de esa es la ecuación de la gráfica, y es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3. Por debajo de eso está la desigualdad a menos de 0 lo que significa que la parábola se abre hacia abajo.

Observe que la única diferencia en las dos ecuaciones es el signo negativo antes del$x^2$ en la ecuación de la segunda gráfica de la Figura. Cuando el$x^2$ término es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el$x^2$ término es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Definición: ORIENTACIÓN PARÁBOLA

Para la ecuación cuadrática$y=ax^2+bx+c$, si:

$En la imagen se muestran dos declaraciones. El primer enunciado dice “a mayor que 0, la parábola se abre hacia arriba”. A esta afirmación le sigue la imagen de una parábola de apertura ascendente. El segundo enunciado dice “a menos de 0, la parábola se abre hacia abajo”. A esta afirmación le sigue la imagen de una parábola que se abre hacia abajo.$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

$y=−3x^2+2x−4$
$ y=6x^2+7x−9$

Contestar

$.$

Dado que la “a” es negativa, la parábola se abrirá hacia abajo.

$.$

Dado que la “a” es positiva, la parábola se abrirá hacia arriba.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

$y=2x^2+5x−2$
$y=−3x^2−4x+7$

Contestar

arriba
abajo

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

$y=−2x^2−2x−3$
$y=5x^2−2x−1$

Contestar

abajo
arriba

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

Mirar de nuevo a la Figura. ¿Ves que podríamos doblar cada parábola por la mitad y que un lado yacía encima del otro? La 'línea de doble' es una línea de simetría. Lo llamamos el eje de simetría de la parábola.

Mostramos las mismas dos gráficas nuevamente con el eje de simetría en rojo. Ver Figura.

Esta figura muestra dos gráficas una al lado de la otra. La gráfica del lado izquierdo muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más bajo de la curva está en el punto (-2, -1). Otros puntos de la curva se ubican en (-3, 0), y (-1, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que atraviesa el centro de la parábola en el punto (-2, -1). Debajo de la gráfica se encuentra la ecuación de la gráfica, y es igual a x cuadrado más 4 x más 3. La gráfica del lado derecho muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El punto más alto de la curva está en el punto (2, 7). Otros puntos de la curva se ubican en (0, 3), y (4, 3). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que atraviesa el centro de la parábola en el punto (2, 7). Debajo de la gráfica se encuentra la ecuación de la gráfica, y es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3.

La ecuación del eje de simetría se puede derivar usando la Fórmula Cuadrática. Omitiremos la derivación aquí y procederemos directamente a usar el resultado. La ecuación del eje de simetría de la gráfica de$y=ax^2+bx+c$ es x=$−\frac{b}{2a}$.

Entonces, para encontrar la ecuación de simetría de cada una de las parábolas que graficamos anteriormente, sustituiremos en la fórmula x=$−\frac{b}{2a}$.

La figura muestra los pasos para encontrar el eje de simetría para dos parábolas. En el lado izquierdo se escribe la forma estándar de una ecuación cuadrática que es y es igual a x al cuadrado más b x más c por encima de la ecuación dada y es igual a x cuadrado más 4 x más 3. El eje de simetría es la ecuación x es igual a negativo b dividido por la cantidad dos veces a. enchufando los valores de a y b de la ecuación cuadrática la fórmula se convierte en x es igual a negativo 4 dividido por la cantidad 2 por 1, lo que simplifica a x es igual a negativo 2. En el lado derecho la forma estándar de una ecuación cuadrática que es y es igual a a x al cuadrado más b x más c se escribe encima de la ecuación dada y es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3. El eje de simetría es la ecuación x es igual a negativo b dividido por la cantidad dos veces a. enchufando los valores de a y b de la ecuación cuadrática la fórmula se convierte en x es igual a negativo 4 dividido por la cantidad 2 veces -1, lo que simplifica a x es igual a 2. — Figura. ¿Son estas las ecuaciones de las líneas rojas discontinuas?

El punto en la parábola que está en el eje de simetría es el punto más bajo o más alto de la parábola, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. A este punto se le llama el vértice de la parábola.

Podemos encontrar fácilmente las coordenadas del vértice, porque sabemos que está en el eje de simetría. Esto significa que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$. Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos el valor de la coordenada x en la ecuación cuadrática.

$En la figura se muestran los pasos para encontrar el vértice de dos parábolas. En el lado izquierdo está la ecuación dada y es igual a x cuadrado más 4 x más 3. Debajo de la ecuación se encuentra la afirmación “eje de simetría es x igual a -2”. Debajo de eso está la declaración “vértice es” junto a la sentencia es un par ordenado con valor x de -2, lo mismo que el eje de simetría, y el valor y está en blanco. Debajo de eso se reescribe la ecuación original. Debajo de la ecuación está la ecuación con -2 enchufado para el valor x que es y es igual a -2 al cuadrado más 4 veces -2 más 3. Esto simplifica a y es igual a -1. Debajo de esto se encuentra el enunciado “vértice es (-2, -1)”. En el lado derecho está la ecuación dada y es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3. Debajo de la ecuación se encuentra la afirmación “eje de simetría es x es igual a 2”. Debajo de eso está la declaración “vértice es” junto a la sentencia es un par ordenado con valor x de 2, lo mismo que el eje de simetría, y el valor y está en blanco. Debajo de eso se reescribe la ecuación original. Debajo de la ecuación está la ecuación con 2 enchufado para el valor x que es y es igual a negativo la cantidad 2 al cuadrado, más 4 veces 2 más 3. Esto simplifica a y es igual a 7. Debajo de esto se encuentra la afirmación “vértice es (2, 7)”.$

Definición: EJE DE SIMETRÍA Y VERTEX DE UNA PARÁBOLA

Para una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:

El eje de simetría de una parábola es la línea x=$−\frac{b}{2a}$.
El vértice está en el eje de simetría, por lo que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$.

Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos x=$−\frac{b}{2a}$ en la ecuación cuadrática.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Para la parábola$y=3x^2−6x+2$ encontrar:

el eje de simetría y
el vértice.

Contestar

1.		$.$
El eje de simetría es la línea x=$−\frac{b}{2a}$		$.$
Sustituir los valores de a, b en la ecuación.		$.$
Simplificar		x=1
		El eje de simetría es la línea x=1
2.		$.$
El vértice está en la línea de simetría, por lo que su coordenada x será x=1
Sustituir x=1 en la ecuación y resolver por y.		$.$
Simplificar		$.$
Esta es la coordenada y.		y=−1 El vértice es (1, −1).

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Para la parábola$y=2x^2−8x+1$ encontrar:

el eje de simetría y
el vértice.

Contestar

x=2
(2, −7)

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Para la parábola$y=2x^2−4x−3$ encontrar:

el eje de simetría y
el vértice.

Contestar

x=1
(1, −5)

Encuentra las intercepciones de una parábola

Cuando representamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las intercepciones x e y para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de los interceptos nos ayudará a graficar las parábolas, también.

Recuerde, en la intercepción y el valor de x es cero. Entonces, para encontrar la intercepción y, sustituimos x=0 en la ecuación.

Encontremos las intercepciones y de las dos parábolas que se muestran en la siguiente figura.

En una intercepción x, el valor de y es cero. Para encontrar una intercepción x, sustituimos$y=0$ en la ecuación. En otras palabras, necesitaremos resolver la ecuación$0=ax^2+bx+c$ para x.

\[\begin{array} {ll} {y=ax^2+bx+c} \\ {0=ax^2+bx+c} \\ \nonumber \end{array}\]

Pero resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo.

Ahora podemos encontrar las intercepciones x de las dos parábolas que se muestran en la Figura.

Primero, encontraremos las x -intercepciones de una parábola con ecuación$y=x^2+4x+3$.

		$.$
Dejar y=0		$.$
Factor.		$.$
Utilice la propiedad cero del producto.		$.$
Resolver.		$.$
		Las intercepciones x son (−1,0) y (−3,0).

Ahora, encontraremos las x -intercepciones de la parábola con ecuación$y=−x^2+4x+3$.

		$.$
Dejar y=0		$.$
Esta cuadrática no factoriza, por lo que utilizamos la Fórmula Cuadrática.		$.$
a=−1, b=4, c=3.		$.$
Simplificar.		$.$ $.$ $.$ $.$
		Las intercepciones x son$(2+\sqrt{7},0)$ y$(2−\sqrt{7},0)$

Usaremos las aproximaciones decimales de las intercepciones x, para que podamos ubicar estos puntos en la gráfica.

\[\begin{array} {l} {(2+\sqrt{7},0) \approx (4.6,0)} & {(2−\sqrt{7},0) \approx (-0.6,0)}\\ \nonumber \end{array}\]

¿Estos resultados concuerdan con nuestras gráficas? Ver Figura.

Definición: ENCUENTRA LAS INTERCEPCIONES DE UNA PARÁBOLA

Para encontrar las intercepciones de una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:

\[\begin{array}{ll} {\textbf{y-intercept}}& {\textbf{x-intercept}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve the y}}& {\text{Let} y=0 \text{and solve the x}}\\ \nonumber \end{array}\]

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−2x−8$.

Contestar

		$.$
Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.		$.$
		Cuando x=0, entonces y=−8. La intercepción y es el punto (0, −8).
		$.$
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.		$.$
Resolver factorizando.		$.$
		$.$

Cuando y=0, entonces x=4 o x=−2. Las intercepciones x son los puntos (4,0) y (−2,0).

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2+2x−8$.

Contestar: y: (0, −8); x: (−4,0), (2,0)

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−4x−12$.

Contestar: y: (0, −12); x: (6,0), (−2,0)

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma$ax^2+bx+c=0$. Se resolvió para xx y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

Ahora estamos viendo ecuaciones cuadráticas en dos variables de la forma$y=ax^2+bx+c$. Las gráficas de estas ecuaciones son parábolas. Las x -intercepciones de las parábolas ocurren donde y=0.

Por ejemplo:

\[\begin{array}{cc} {\textbf{Quadratic equation}}&{\textbf{Quadratic equation in two variable}}\\ {}&{y=x^2−2x−15}\\ {x^2−2x−15}&{\text{Let} y=0, 0=x^2−2x−15}\\ {(x−5)(x+3)=0}&{0=(x−5)(x+3)}\\ {x−5=0, x+3=0}&{x−5=0, x+3=0}\\ {x=5, x=−3}&{x=5, x=−3}\\ {}&{(5,0) \text{and} (−3,0)}\\ {}&{\text{x-intercepts}}\\ \end{array}\]

Las soluciones de la ecuación cuadrática son los valores x de las intercepciones x.

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen 2, 1 o 0 soluciones. Las gráficas a continuación muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Dado que las soluciones de las ecuaciones dan las intercepciones x de las gráficas, el número de x -intercepciones es el mismo que el número de soluciones.

Anteriormente, se utilizó el discriminante para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática de la forma$ax^2+bx+c=0$. Ahora, podemos usar el discriminante para decirnos cuántas intercepciones x hay en la gráfica.

$Esta figura muestra tres gráficas una al lado de la otra. La gráfica más a la izquierda muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el cuadrante inferior derecho. Debajo de la gráfica se encuentra la desigualdad b al cuadrado menos 4 a c mayor que 0. Debajo de eso está el enunciado “Dos soluciones”. Debajo de eso está el enunciado “Dos intercepciones x”. La gráfica central muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el eje x. Debajo de la gráfica se encuentra la ecuación b al cuadrado menos 4 a c es igual a 0. Debajo de eso está el enunciado “Una solución”. Debajo de eso está el enunciado “One x-intercept”. La gráfica más a la derecha muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el cuadrante superior izquierdo. Debajo de la gráfica se encuentra la desigualdad b al cuadrado menos 4 a c menor que 0. Debajo de eso está el enunciado “No hay soluciones reales”. Debajo de eso está el enunciado “No x-intercept”.$

Antes de comenzar a resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de las intercepciones x, es posible que desee evaluar al discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=5x^2+x+4$.

Contestar

		$.$
Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.		$.$ $.$ Cuando x=0, entonces y=4. La intercepción y es el punto (0,4).
		$.$
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.		$.$
Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones y así x -intercepta.		b^2−4ac 1^2−454 1-80 −79
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay una solución real a la ecuación.		No hay intercepciones x.

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=3x^2+4x+4$.

Contestar: y: (0,4); x:ninguno

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−4x−5$.

Contestar: y: (0, −5); x: (5,0) (−1,0)

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=4x^2−12x+9$.

Contestar

		$.$
Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.		$.$ $.$
		Cuando x=0, entonces y=9. La intercepción y es el punto (0,9).
		$.$
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.		$.$
Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones y así x -intercepta.		b^2−4ac 12^2−449 144−144 0
		Dado que el valor del discriminante es 0, no hay una solución real a la ecuación. Entonces hay una x -intercepción.
Resuelve la ecuación factorizando el trinomio cuadrado perfecto.		$.$
Utilice la Propiedad de Producto Cero.		$.$
Resolver para x.		$.$ $.$
		Cuando y=0, entonces$\frac{3}{2}$ =x.
		La intercepción x es el punto$(\frac{3}{2},0)$.

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=−x^2−12x−36.$.

Contestar: y: (0, −36); x: (−6,0)

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=9x^2+12x+4$.

Contestar: y: (0,4); x:$(−\frac{2}{3},0)$

Gráfica ecuaciones cuadráticas en dos variables

Ahora, tenemos todas las piezas que necesitamos para poder graficar una ecuación cuadrática en dos variables. Sólo tenemos que juntarlos. En el siguiente ejemplo, veremos cómo hacer esto.

Cómo Graficar una Ecuación Cuadrática en Dos Variables

Ejemplo$\PageIndex{19}$

Gráfica$y=x2−6x+8$.

Contestar: $La imagen muestra los pasos para graficar la ecuación cuadrática y es igual a x cuadrado menos 6 x más 8. El paso 1 es escribir la ecuación cuadrática con y en un lado. Esta ecuación ya tiene y de un lado. El valor de a es uno, el valor de b es -6 y el valor de c es 8.$ $El paso 2 es determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Como a es positivo, la parábola se abre hacia arriba.$ $El paso 3 es encontrar el eje de simetría. El eje de simetría es la línea x igual a negativo b dividido por la cantidad 2 a. tapando los valores de b y a la fórmula se convierte en x es igual a negativo -6 dividido por la cantidad 2 por 1 lo que simplifica a x es igual a 3. El eje de simetría es la línea x es igual a 3.$ $El paso 4 es encontrar el vértice. El vértice está en el eje de simetría. Sustituya x es igual a 3 en la ecuación y resuelva para y La ecuación es y es igual a x cuadrado menos 6 x más 8. Al reemplazar x por 3 se convierte en y es igual a 3 al cuadrado menos 6 veces 3 más 8 lo que simplifica a y es igual a -1. El vértice es (3, -1).$ $El paso 5 es encontrar la intercepción y y encontrar el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría. Sustituimos x es igual a 0 en la ecuación. La ecuación es y es igual a x cuadrado menos 6 x más 8. Al reemplazar x por 0 se convierte en y es igual a 0 al cuadrado menos 6 veces 0 más 8 lo que simplifica a y es igual a 8. La intercepción y es (0, 8). Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la intercepción y. La intercepción y es de 3 unidades a la izquierda del eje de simetría, x es igual a 3. Un punto 3 unidades a la derecha del eje de simetría tiene x igual a 6. El punto simétrico a la intercepción y es (6, 8).$ $El paso 6 es encontrar las intercepciones x. Sustituimos y es igual a 0 en la ecuación. La ecuación se convierte en 0 igual a x cuadrado menos 6 x más 8. Podemos resolver esta ecuación cuadrática factorizando para obtener 0 es igual a la cantidad x menos 2 veces la cantidad x menos 4. Resuelve cada ecuación para obtener x es igual a 2 y x igual a 4. Las intercepciones x son (2, 0) y (4, 0).$ $El paso 7 es graficar la parábola. Gráficamos el vértice, las intercepciones y el punto simétrico a la intercepción y. Conectamos estos cinco puntos para bosquejar la parábola. La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -2 a 10. El eje y del plano va de -3 a 10. El vértice está en el punto (3, -1). Se trazan cuatro puntos en la curva en (0, 8), (6, 8), (2, 0) y (4, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a 3.$

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Grafica la parábola$y=x^2+2x−8$.

Contestar: y: (0, −8); x: (2,0), (−4,0);
eje: x=−1; vértice: (−1, −9);
$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -10 a 10. El eje y del plano va de -10 a 10. El vértice está en el punto (-1, -9). Se trazan tres puntos en la curva en (0, -8), (2, 0) y (-4, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a -1.$

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Grafica la parábola$y=x^2−8x+12$.

Contestar: y: (0,12); x: (2,0), (6,0);
eje: x=4; vértice :( 4, −4);
$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -10 a 10. El eje y del plano va de -10 a 10. El vértice está en el punto (4, -4). Se trazan tres puntos en la curva en (0, 12), (2, 0) y (6, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a 4.$

Definición: GRÁFICA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN DOS Variables

Escribe la ecuación cuadrática con yy en un lado.
Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Encuentra el eje de simetría.
Encuentra el vértice.
Encuentra la intercepción y. Encuentra el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría.
Encuentra las intercepciones x.
Grafica la parábola.

Pudimos encontrar las intercepciones x en el último ejemplo factorizando. Encontramos las intercepciones x en el siguiente ejemplo factorizando, también.

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Gráfica$y=−x^2+6x−9$.

Contestar

La ecuación y tiene en un lado.		$.$
Como a es −1, la parábola se abre hacia abajo. Para encontrar el eje de simetría, encontrar$x=−\frac{b}{2a}$.	$.$	$.$ $.$ $.$ El eje de simetría es x=3. El vértice está en la línea x=3. $.$
Encuentra y cuando x=3.		$.$ $.$ $.$ $.$ El vértice es (3,0). $.$
La y -intercepción ocurre cuando x=0. Sustituto x=0. Simplificar. El punto (0, −9) está a tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es (6, −9). El punto simétrico a la intercepción y es (6, −9)		$.$ $.$ $.$ (0, −9). $.$
La intercepción x ocurre cuando y=0.		$.$
Sustituir y=0.		$.$
Factorar el GCF.		$.$
Factorizar el trinomio.		$.$
Resolver para x.		$.$
Conecta los puntos para graficar la parábola.		$.$

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Grafica la parábola$y=−3x^2+12x−12$.

Contestar

y: (0, −12); x: (2,0);
eje: x=2; vértice :( 2,0);

$La gráfica muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -10 a 10. El eje y del plano va de -1 a 10. El vértice está en el punto (2, 0). Otro punto se traza en la curva en (0, -12). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a 2.$

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Grafica la parábola$y=25x^2+10x+1$.

Contestar

y: (0,1); x: (−15,0);
eje: x=−15; vértice :( −15,0);

$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -5 a 5. El eje y del plano va de -5 a 10. El vértice está en el punto (-1 quinto, 0). Otro punto se traza en la curva en (0, 1). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a -1 quinto.$

Para la gráfica de$y=−x^2+6x−9$ the vertex and the x -intercepción fueron el mismo punto. ¿Recuerdas cómo el discriminante determina el número de soluciones de una ecuación cuadrática? El discriminante de la ecuación$0=−x^2+6x−9$ is 0, so there is only one solution. That means there is only one x-interceptar, y es el vértice de la parábola.

¿Cuántas intercepciones x esperarías ver en la gráfica de$y=x^2+4x+5$?

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Gráfica$y=x^2+4x+5$.

Contestar

La ecuación tiene y en un lado.		$.$
Como a es 1, la parábola se abre hacia arriba.		$.$
$x=−\frac{b}{2a}$.		$.$ $.$ $.$ x=−2. $.$
El vértice está en la línea x=−2.
Encuentra y cuando x=−2.		$.$ $.$ $.$ $.$ (−2,1). $.$
La y -intercepción ocurre cuando x=0. Sustituto x=0. Simplificar. El punto (0,5) se encuentra a dos unidades a la derecha de la línea de simetría. El punto dos unidades a la izquierda de la línea de simetría es (−4,5).		$.$ $.$ $.$ (0,5). $.$ (−4,5)
La intercepción x ocurre cuando y=0.
Sustituir y=0. Prueba al discriminante.		$.$ $.$
		$b^2−4ac$ $42−4⋅15$ $16−20$ $−4$
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay solución y por lo tanto no hay x- intercepción. Conecta los puntos para graficar la parábola. Es posible que desee elegir dos puntos más para una mayor precisión.		$.$

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Grafica la parábola$y=2x^2−6x+5$.

Contestar

y: (0,5); x:ninguno;
eje:$x=\frac{3}{2}$; vértice:$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$;

$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -5 a 5. El eje y del plano va de -5 a 10. El vértice está en el punto (3 mitades, 1 mitad). Otro punto se traza en la curva en (0, 5). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a 3 mitades.$

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Grafica la parábola$y=−2x^2−1$.

Contestar

y: (0, −1); x:ninguno;
eje: x=0; vértice :( 0, −1);

$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -10 a 10. El eje y del plano va de -10 a 10. El vértice está en el punto (0, -1). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a 0.$

Encontrar la intercepción y sustituyendo x=0 en la ecuación es fácil, ¿no? Pero necesitábamos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar las intercepciones x en Ejemplo. Volveremos a utilizar la Fórmula Cuadrática en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{28}$

Gráfica$y=2x^2−4x−3$.

Contestar

$.$

La ecuación y tiene un lado.
Como a es 2, la parábola se abre hacia arriba.

$.$

Para encontrar el eje de simetría, encontrar$x=−\frac{b}{2a}$

$.$
$.$
$.$
El vértice es x=1

El vértice en la línea x=1.

$.$

Encuentra y cuando x=1

$.$
$.$
$.$
(1, −5)

La y -intercepción ocurre cuando x=0.

$.$

Sustituto x=0.

$.$

Simplificar.

$.$
La intercepción y es (0, −3)

El punto (0, −3) está a una unidad a la izquierda de la línea de simetría.
El punto una unidad a la derecha de la línea de simetría es (2, −3)

El punto simétrico a la intercepción y es (2, −3).

La intercepción x ocurre cuando y=0

$.$

Sustituto y=0

$.$

Usa la Fórmula Cuadrática.

$.$

Sustituto en los valores de a, b, c.

$.$

Simplificar.

$.$

Simplifica dentro del radical.

$.$

Simplifica lo radical.

$.$

Factorar el GCF.

$.$

Eliminar factores comunes.

$.$

Escribe como dos ecuaciones.

$.$

Aproximar los valores.

$.$

Los valores aproximados de las intercepciones x- son (2.5,0) y (−0.6,0).

Grafica la parábola usando los puntos encontrados.

$.$

Ejemplo$\PageIndex{29}$

Grafica la parábola$y=5x^2+10x+3$.

Contestar

y: (0,3); x: (−1.6,0), (−0.4,0);
eje: x=−1; vértice :( −1, −2);

$La gráfica muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -5 a 5. El eje y del plano va de -5 a 5. El vértice está en el punto (-1, -2). Otros tres puntos se trazan en la curva en (0, 3), (-1.6, 0), (-0.4, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a -1.$

Ejemplo$\PageIndex{30}$

Grafica la parábola$y=−3x^2−6x+5$.

Contestar

y: (0,5); x: (0.6,0), (−2.6,0);
eje: x=−1; vértice :( −1,8);

$La gráfica muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de -10 a 10. El eje y del plano va de -10 a 10. El vértice está en el punto (-1, 8). Otros tres puntos se trazan en la curva en (0, 5), (0.6, 0) y (-2.6, 0). También en la gráfica hay una línea vertical discontinua que representa el eje de simetría. La línea pasa por el vértice en x es igual a -1.$

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Saber que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una ecuación cuadrática. La coordenada y del vértice es el valor y mínimo de una parábola que se abre hacia arriba. Es el valor y máximo de una parábola que se abre hacia abajo. Ver Figura.

Esta figura muestra dos gráficas una al lado de la otra. El gráfico de la izquierda muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de coordenadas x y. El vértice de la parábola se encuentra en el cuadrante superior derecho. El vértice está etiquetado como “máximo”. La gráfica derecha muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el cuadrante inferior derecho. El vértice está etiquetado como “mínimo”.

Definición: Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática

La coordenada y del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la

valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo$\PageIndex{31}$

Encuentra el valor mínimo de la ecuación cuadrática$y=x^2+2x−8$.

Contestar

		$.$
Como a es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
La ecuación cuadrática tiene un mínimo.
Encuentra el eje de simetría.		$.$ $.$ $.$ x=−1
El vértice está en la línea x=−1.		$.$
Encuentra y cuando x=−1.		$.$ $.$ $.$ (−1, −9)
Dado que la parábola tiene un mínimo, la coordenada y del vértice es el valor y mínimo de la ecuación cuadrática.
El valor mínimo de la cuadrática es −9 y ocurre cuando x=−1.
Mostrar la gráfica para verificar el resultado.		$.$

Ejemplo$\PageIndex{32}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la ecuación cuadrática$y=x^2−8x+12$.

Contestar: El valor mínimo es −4 cuando x=4.

Ejemplo$\PageIndex{33}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la ecuación cuadrática$y=−4x^2+16x−11$.

Contestar: El valor máximo es 5 cuando x=2.

Hemos utilizado la fórmula

\[\begin{array} {l} {h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}}\\ \nonumber \end{array}\]

para calcular la altura en pies, h, de un objeto disparado hacia arriba al aire con velocidad inicial,$v_{0}$, después de t segundos.

Esta fórmula es una ecuación cuadrática en la variable tt, por lo que su gráfica es una parábola. Al resolver para las coordenadas del vértice, podemos encontrar cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar su altura máxima. Entonces, podemos calcular la altura máxima.

Ejemplo$\PageIndex{34}$

La ecuación cuadrática$h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}$ modela la altura de un golpe de voleibol recto hacia arriba con una velocidad de 176 pies por segundo desde una altura de 4 pies.

¿Cuántos segundos tardará el voleibol en alcanzar su máxima altura?
Encuentra la altura máxima del voleibol.

Contestar

$h=−16t^2+176t+4$

Dado que a es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

La ecuación cuadrática tiene un máximo.

1.
\[\begin{array} {ll} {}&{t=−\frac{b}{2a}}\\ {\text{Find the axis of symmetry.}}& {t=−\frac{176}{2(−16)}}\\ {}&{t=5.5}\\ {}&{\text{The axis of symmetry is} t = 5.5}\\ {\text{The vertex is on the line} t=5.5}& {\text{The maximum occurs when} t =5.5 \text{seconds.}}\\ \nonumber \end{array}\]

Encuentra h cuando t=5.5.		$.$ $.$
Use una calculadora para simplificar.		$.$
		El vértice es (5.5,488)
Dado que la parábola tiene un máximo, la coordenada h- del vértice es el valor y máximo de la ecuación cuadrática.		El valor máximo de la cuadrática es de 488 pies y ocurre cuando t=5.5 segundos.

Ejemplo$\PageIndex{35}$

La ecuación cuadrática$h=−16t^2+128t+32$ se utiliza para encontrar la altura de una piedra lanzada hacia arriba desde una altura de 32 pies a una velocidad de 128 pies/seg. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? Respuestas redondas a la décima más cercana.

Contestar: Se tardarán 4 segundos en alcanzar la altura máxima de 288 pies.

Ejemplo$\PageIndex{36}$

Un cohete de juguete disparado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de 208 pies/seg tiene la ecuación cuadrática de$h=−16t^2+208t$. ¿Cuándo alcanzará el cohete su altura máxima? ¿Cuál será la altura máxima? Respuestas redondas a la décima más cercana.

Contestar: Se tardarán 6.5 segundos en alcanzar la altura máxima de 676 pies.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica gráfica de ecuaciones cuadráticas:

Conceptos clave

La gráfica de cada ecuación cuadrática es una parábola.
Orientación de parábola Para la ecuación cuadrática$y=ax^2+bx+c$, si
- a>0, la parábola se abre hacia arriba.
- a<0, la parábola se abre hacia abajo.
Eje de simetría y vértice de una parábola Para una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:
- El eje de simetría de una parábola es la línea$x=−\frac{b}{2a}$.
- El vértice está en el eje de simetría, por lo que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$.
- Para encontrar la coordenada y del vértice sustituimos$x=−\frac{b}{2a}$ en la ecuación cuadrática.
Encuentra las intercepciones de una parábola Para encontrar las intercepciones de una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:
\[\begin{array} {ll} {\textbf{y-intercept}}&{\textbf{x-intercepts}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve for y}}&{\text{Let} y=0 \text{and solve for x}}\\ \nonumber \end{array}\]
Para graficar una ecuación cuadrática en dos variables
1. Escribe la ecuación cuadrática con yy en un lado.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. Encuentra el eje de simetría.
4. Encuentra el vértice.
5. Encuentra la intercepción y. Encuentra el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría.
6. Encuentra las intercepciones x.
7. Grafica la parábola.
Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática
- La coordenada y del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la
- valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
- valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Glosario

eje de simetría: El eje de simetría es la línea vertical que pasa por la mitad de la parábola$y=ax^2+bx+c$.

parábola: La gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es una parábola.

ecuación cuadrática en dos variables: Una ecuación cuadrática en dos variables, donde a, b y c son números reales y$a \ge 0$ es una ecuación de la forma$y=ax^2+bx+c$.

vértice: El punto en la parábola que está en el eje de simetría se denomina vértice de la parábola; es el punto más bajo o más alto de la parábola, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

x -intercepciones de una parábola: Las x -intercepciones son los puntos en la parábola donde$y=0$.

y -intercepción de una parábola: El y -intercepto es el punto en la parábola donde$x=0$.

1.		$.$
El eje de simetría es la línea x=\(−\frac{b}{2a}\)		$.$
Sustituir los valores de a, b en la ecuación.		$.$
Simplificar		x=1
		El eje de simetría es la línea x=1
2.		$.$
El vértice está en la línea de simetría, por lo que su coordenada x será x=1
Sustituir x=1 en la ecuación y resolver por y.		$.$
Simplificar		$.$
Esta es la coordenada y.		y=−1 El vértice es (1, −1).

La ecuación tiene y en un lado.		$.$
Como a es 1, la parábola se abre hacia arriba.		$.$
\(x=−\frac{b}{2a}\).		$.$ $.$ $.$ x=−2. $.$
El vértice está en la línea x=−2.
Encuentra y cuando x=−2.		$.$ $.$ $.$ $.$ (−2,1). $.$
La y -intercepción ocurre cuando x=0. Sustituto x=0. Simplificar. El punto (0,5) se encuentra a dos unidades a la derecha de la línea de simetría. El punto dos unidades a la izquierda de la línea de simetría es (−4,5).		$.$ $.$ $.$ (0,5). $.$ (−4,5)
La intercepción x ocurre cuando y=0.
Sustituir y=0. Prueba al discriminante.		$.$ $.$
		\(b^2−4ac\) \(42−4⋅15\) \(16−20\) \(−4\)
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay solución y por lo tanto no hay x- intercepción. Conecta los puntos para graficar la parábola. Es posible que desee elegir dos puntos más para una mayor precisión.		$.$

\(y=x^2\)
x	y
0	0
1	1
\(−1\)	1
2	4
\(−2\)	4

Objetivos de aprendizaje

Esté preparado

Reconocer la Gráfica de una Ecuación Cuadrática en Dos Variables

definición: Ecuación cuadrática en dos variables

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Definición: ORIENTACIÓN PARÁBOLA

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

Definición: EJE DE SIMETRÍA Y VERTEX DE UNA PARÁBOLA

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Encuentra las intercepciones de una parábola

Definición: ENCUENTRA LAS INTERCEPCIONES DE UNA PARÁBOLA

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

Gráfica ecuaciones cuadráticas en dos variables

Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

Definición: GRÁFICA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN DOS Variables

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Definición: Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

Ejemplo\(\PageIndex{35}\)

Ejemplo\(\PageIndex{36}\)

Conceptos clave

Glosario