10.5: Graficar ecuaciones cuadráticas

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Reconocer la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables
• Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola
• Encuentra las intercepciones de una parábola
• Gráfica ecuaciones cuadráticas en dos variables
• Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Esté preparado

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Grafica la ecuación$y=3x−5$ trazando puntos.
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Evalúa$2x^2+4x−1$ cuándo$x=−3$
   Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. Evalúa$−\frac{b}{2a}$ cuándo$a=13$ y b=$\frac{5}{6}$
   Si te perdiste este problema, revisa [link].

Reconocer la Gráfica de una Ecuación Cuadrática en Dos Variables

Hemos graficado ecuaciones de la forma$Ax+By=C$. Llamamos a ecuaciones como esta ecuaciones lineales porque sus gráficas son líneas rectas.

Ahora, vamos a graficar ecuaciones de la forma$y=ax^2+bx+c$. Llamamos a este tipo de ecuación una ecuación cuadrática en dos variables.

definición: Ecuación cuadrática en dos variables

Una ecuación cuadrática en dos variables, donde a, b y c son números reales y$a\neq 0$, es una ecuación de la forma

$$y=ax^2+bx+c \nonumber$$

Así como empezamos a graficar ecuaciones lineales trazando puntos, haremos lo mismo para las ecuaciones cuadráticas.

Veamos primero la gráfica de la ecuación cuadrática$y=x^2$. Escogeremos valores enteros de x entre −2 y 2 y encontraremos sus valores y. Ver Tabla.

$y=x^2$
x	y
0	0
1	1
$−1$	1
2	4
$−2$	4

Observe cuando dejamos$x=1$ y$x=−1$, obtuvimos el mismo valor para y.

$$\begin{array} {ll} {y=x^2} &{y=x^2} \\ {y=1^2} &{y=(−1)^2} \\ {y=1} &{y=1} \\ \nonumber \end{array}$$

Pasó lo mismo cuando dejamos$x=2$ y$x=−2$.

Ahora, trazaremos los puntos para mostrar la gráfica de$y=x^2$. Ver Figura.

La gráfica no es una línea. Esta figura se llama parábola. Cada ecuación cuadrática tiene una gráfica que se ve así.

En Ejemplo practicarás graficar una parábola trazando algunos puntos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$y=x^2-1$

Contestar

Vamos a graficar la ecuación trazando puntos.

Elija valores enteros para x, sustitúyalos en la ecuación y resuelva por y.
Registrar los valores de los pares ordenados en el gráfico.
Trazar los puntos, y luego conectarlos con una curva suave. El resultado será la gráfica de la ecuación$y=x^2−1$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Gráfica$y=−x^2$.

Contestar

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Gráfica$y=x^2+1$.

Contestar

¿Cómo funcionan las ecuaciones$y=x^2$ y$y=x^2−1$ differ? What is the difference between their graphs? How are their graphs the same?

Todas las parábolas de la forma se$y=ax^2+bx+c$ abren hacia arriba o hacia abajo. Ver Figura.

Observe que la única diferencia en las dos ecuaciones es el signo negativo antes del$x^2$ en la ecuación de la segunda gráfica de la Figura. Cuando el$x^2$ término es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el$x^2$ término es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Definición: ORIENTACIÓN PARÁBOLA

Para la ecuación cuadrática$y=ax^2+bx+c$, si:

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

1. $y=−3x^2+2x−4$
2. $y=6x^2+7x−9$

Contestar

		Dado que la “a” es negativa, la parábola se abrirá hacia abajo.
		Dado que la “a” es positiva, la parábola se abrirá hacia arriba.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

1. $y=2x^2+5x−2$
2. $y=−3x^2−4x+7$

Contestar

1. arriba
2. abajo

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

1. $y=−2x^2−2x−3$
2. $y=5x^2−2x−1$

Contestar

1. abajo
2. arriba

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

Mirar de nuevo a la Figura. ¿Ves que podríamos doblar cada parábola por la mitad y que un lado yacía encima del otro? La 'línea de doble' es una línea de simetría. Lo llamamos el eje de simetría de la parábola.

Mostramos las mismas dos gráficas nuevamente con el eje de simetría en rojo. Ver Figura.

La ecuación del eje de simetría se puede derivar usando la Fórmula Cuadrática. Omitiremos la derivación aquí y procederemos directamente a usar el resultado. La ecuación del eje de simetría de la gráfica de$y=ax^2+bx+c$ es x=$−\frac{b}{2a}$.

Entonces, para encontrar la ecuación de simetría de cada una de las parábolas que graficamos anteriormente, sustituiremos en la fórmula x=$−\frac{b}{2a}$.

Figura. ¿Son estas las ecuaciones de las líneas rojas discontinuas?

El punto en la parábola que está en el eje de simetría es el punto más bajo o más alto de la parábola, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. A este punto se le llama el vértice de la parábola.

Podemos encontrar fácilmente las coordenadas del vértice, porque sabemos que está en el eje de simetría. Esto significa que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$. Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos el valor de la coordenada x en la ecuación cuadrática.

Definición: EJE DE SIMETRÍA Y VERTEX DE UNA PARÁBOLA

Para una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:

• El eje de simetría de una parábola es la línea x=$−\frac{b}{2a}$.
• El vértice está en el eje de simetría, por lo que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$.

Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos x=$−\frac{b}{2a}$ en la ecuación cuadrática.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Para la parábola$y=3x^2−6x+2$ encontrar:

1. el eje de simetría y
2. el vértice.

Contestar

1.
El eje de simetría es la línea x=$−\frac{b}{2a}$
Sustituir los valores de a, b en la ecuación.
Simplificar		x=1
		El eje de simetría es la línea x=1
2.
El vértice está en la línea de simetría, por lo que su coordenada x será x=1
Sustituir x=1 en la ecuación y resolver por y.
Simplificar
Esta es la coordenada y.		y=−1 El vértice es (1, −1).

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Para la parábola$y=2x^2−8x+1$ encontrar:

1. el eje de simetría y
2. el vértice.

Contestar

1. x=2
2. (2, −7)

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Para la parábola$y=2x^2−4x−3$ encontrar:

1. el eje de simetría y
2. el vértice.

Contestar

1. x=1
2. (1, −5)

Encuentra las intercepciones de una parábola

Cuando representamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las intercepciones x e y para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de los interceptos nos ayudará a graficar las parábolas, también.

Recuerde, en la intercepción y el valor de x es cero. Entonces, para encontrar la intercepción y, sustituimos x=0 en la ecuación.

Encontremos las intercepciones y de las dos parábolas que se muestran en la siguiente figura.

En una intercepción x, el valor de y es cero. Para encontrar una intercepción x, sustituimos$y=0$ en la ecuación. En otras palabras, necesitaremos resolver la ecuación$0=ax^2+bx+c$ para x.

$$\begin{array} {ll} {y=ax^2+bx+c} \\ {0=ax^2+bx+c} \\ \nonumber \end{array}$$

Pero resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo.

Ahora podemos encontrar las intercepciones x de las dos parábolas que se muestran en la Figura.

Primero, encontraremos las x -intercepciones de una parábola con ecuación$y=x^2+4x+3$.

Dejar y=0
Factor.
Utilice la propiedad cero del producto.
Resolver.
		Las intercepciones x son (−1,0) y (−3,0).

Ahora, encontraremos las x -intercepciones de la parábola con ecuación$y=−x^2+4x+3$.

Dejar y=0
Esta cuadrática no factoriza, por lo que utilizamos la Fórmula Cuadrática.
a=−1, b=4, c=3.
Simplificar.
		Las intercepciones x son$(2+\sqrt{7},0)$ y$(2−\sqrt{7},0)$

Usaremos las aproximaciones decimales de las intercepciones x, para que podamos ubicar estos puntos en la gráfica.

$$\begin{array} {l} {(2+\sqrt{7},0) \approx (4.6,0)} & {(2−\sqrt{7},0) \approx (-0.6,0)}\\ \nonumber \end{array}$$

¿Estos resultados concuerdan con nuestras gráficas? Ver Figura.

Definición: ENCUENTRA LAS INTERCEPCIONES DE UNA PARÁBOLA

Para encontrar las intercepciones de una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:

$$\begin{array}{ll} {\textbf{y-intercept}}& {\textbf{x-intercept}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve the y}}& {\text{Let} y=0 \text{and solve the x}}\\ \nonumber \end{array}$$

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−2x−8$.

Contestar

Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.
		Cuando x=0, entonces y=−8. La intercepción y es el punto (0, −8).
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.
Resolver factorizando.

Cuando y=0, entonces x=4 o x=−2. Las intercepciones x son los puntos (4,0) y (−2,0).

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2+2x−8$.

Contestar

y: (0, −8); x: (−4,0), (2,0)

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−4x−12$.

Contestar

y: (0, −12); x: (6,0), (−2,0)

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma$ax^2+bx+c=0$. Se resolvió para xx y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

Ahora estamos viendo ecuaciones cuadráticas en dos variables de la forma$y=ax^2+bx+c$. Las gráficas de estas ecuaciones son parábolas. Las x -intercepciones de las parábolas ocurren donde y=0.

Por ejemplo:

$$\begin{array}{cc} {\textbf{Quadratic equation}}&{\textbf{Quadratic equation in two variable}}\\ {}&{y=x^2−2x−15}\\ {x^2−2x−15}&{\text{Let} y=0, 0=x^2−2x−15}\\ {(x−5)(x+3)=0}&{0=(x−5)(x+3)}\\ {x−5=0, x+3=0}&{x−5=0, x+3=0}\\ {x=5, x=−3}&{x=5, x=−3}\\ {}&{(5,0) \text{and} (−3,0)}\\ {}&{\text{x-intercepts}}\\ \end{array}$$

Las soluciones de la ecuación cuadrática son los valores x de las intercepciones x.

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen 2, 1 o 0 soluciones. Las gráficas a continuación muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Dado que las soluciones de las ecuaciones dan las intercepciones x de las gráficas, el número de x -intercepciones es el mismo que el número de soluciones.

Anteriormente, se utilizó el discriminante para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática de la forma$ax^2+bx+c=0$. Ahora, podemos usar el discriminante para decirnos cuántas intercepciones x hay en la gráfica.

Antes de comenzar a resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de las intercepciones x, es posible que desee evaluar al discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=5x^2+x+4$.

Contestar

Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.		Cuando x=0, entonces y=4. La intercepción y es el punto (0,4).
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.
Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones y así x -intercepta.		b^2−4ac 1^2−454 1-80 −79
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay una solución real a la ecuación.		No hay intercepciones x.

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=3x^2+4x+4$.

Contestar

y: (0,4); x:ninguno

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=x^2−4x−5$.

Contestar

y: (0, −5); x: (5,0) (−1,0)

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=4x^2−12x+9$.

Contestar

Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.
		Cuando x=0, entonces y=9. La intercepción y es el punto (0,9).
Para encontrar la intercepción x, deje y=0 y resuelva para x.
Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones y así x -intercepta.		b^2−4ac 12^2−449 144−144 0
		Dado que el valor del discriminante es 0, no hay una solución real a la ecuación. Entonces hay una x -intercepción.
Resuelve la ecuación factorizando el trinomio cuadrado perfecto.
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
Resolver para x.
		Cuando y=0, entonces$\frac{3}{2}$ =x.
		La intercepción x es el punto$(\frac{3}{2},0)$.

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=−x^2−12x−36.$.

Contestar

y: (0, −36); x: (−6,0)

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Encuentra las intercepciones de la parábola$y=9x^2+12x+4$.

Contestar

y: (0,4); x:$(−\frac{2}{3},0)$

Gráfica ecuaciones cuadráticas en dos variables

Ahora, tenemos todas las piezas que necesitamos para poder graficar una ecuación cuadrática en dos variables. Sólo tenemos que juntarlos. En el siguiente ejemplo, veremos cómo hacer esto.

Cómo Graficar una Ecuación Cuadrática en Dos Variables

Ejemplo$\PageIndex{19}$

Gráfica$y=x2−6x+8$.

Contestar

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Grafica la parábola$y=x^2+2x−8$.

Contestar

y: (0, −8); x: (2,0), (−4,0);
eje: x=−1; vértice: (−1, −9);

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Grafica la parábola$y=x^2−8x+12$.

Contestar

y: (0,12); x: (2,0), (6,0);
eje: x=4; vértice :( 4, −4);

Definición: GRÁFICA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN DOS Variables

1. Escribe la ecuación cuadrática con yy en un lado.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. Encuentra el eje de simetría.
4. Encuentra el vértice.
5. Encuentra la intercepción y. Encuentra el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría.
6. Encuentra las intercepciones x.
7. Grafica la parábola.

Pudimos encontrar las intercepciones x en el último ejemplo factorizando. Encontramos las intercepciones x en el siguiente ejemplo factorizando, también.

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Gráfica$y=−x^2+6x−9$.

Contestar

La ecuación y tiene en un lado.
Como a es −1, la parábola se abre hacia abajo. Para encontrar el eje de simetría, encontrar$x=−\frac{b}{2a}$.		El eje de simetría es x=3. El vértice está en la línea x=3.
Encuentra y cuando x=3.		El vértice es (3,0).
La y -intercepción ocurre cuando x=0. Sustituto x=0. Simplificar. El punto (0, −9) está a tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es (6, −9). El punto simétrico a la intercepción y es (6, −9)		(0, −9).
La intercepción x ocurre cuando y=0.
Sustituir y=0.
Factorar el GCF.
Factorizar el trinomio.
Resolver para x.
Conecta los puntos para graficar la parábola.

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Grafica la parábola$y=−3x^2+12x−12$.

Contestar

y: (0, −12); x: (2,0);
eje: x=2; vértice :( 2,0);

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Grafica la parábola$y=25x^2+10x+1$.

Contestar

y: (0,1); x: (−15,0);
eje: x=−15; vértice :( −15,0);

Para la gráfica de$y=−x^2+6x−9$ the vertex and the x -intercepción fueron el mismo punto. ¿Recuerdas cómo el discriminante determina el número de soluciones de una ecuación cuadrática? El discriminante de la ecuación$0=−x^2+6x−9$ is 0, so there is only one solution. That means there is only one x-interceptar, y es el vértice de la parábola.

¿Cuántas intercepciones x esperarías ver en la gráfica de$y=x^2+4x+5$?

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Gráfica$y=x^2+4x+5$.

Contestar

La ecuación tiene y en un lado.
Como a es 1, la parábola se abre hacia arriba.
$x=−\frac{b}{2a}$.		x=−2.
El vértice está en la línea x=−2.
Encuentra y cuando x=−2.		(−2,1).
La y -intercepción ocurre cuando x=0. Sustituto x=0. Simplificar. El punto (0,5) se encuentra a dos unidades a la derecha de la línea de simetría. El punto dos unidades a la izquierda de la línea de simetría es (−4,5).		(0,5). (−4,5)
La intercepción x ocurre cuando y=0.
Sustituir y=0. Prueba al discriminante.
		$b^2−4ac$ $42−4⋅15$ $16−20$ $−4$
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay solución y por lo tanto no hay x- intercepción. Conecta los puntos para graficar la parábola. Es posible que desee elegir dos puntos más para una mayor precisión.

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Grafica la parábola$y=2x^2−6x+5$.

Contestar

y: (0,5); x:ninguno;
eje:$x=\frac{3}{2}$; vértice:$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$;

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Grafica la parábola$y=−2x^2−1$.

Contestar

y: (0, −1); x:ninguno;
eje: x=0; vértice :( 0, −1);

Encontrar la intercepción y sustituyendo x=0 en la ecuación es fácil, ¿no? Pero necesitábamos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar las intercepciones x en Ejemplo. Volveremos a utilizar la Fórmula Cuadrática en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{28}$

Gráfica$y=2x^2−4x−3$.

Contestar

La ecuación y tiene un lado. Como a es 2, la parábola se abre hacia arriba.
Para encontrar el eje de simetría, encontrar$x=−\frac{b}{2a}$		El vértice es x=1
El vértice en la línea x=1.
Encuentra y cuando x=1		(1, −5)
La y -intercepción ocurre cuando x=0.
Sustituto x=0.
Simplificar.		La intercepción y es (0, −3)
El punto (0, −3) está a una unidad a la izquierda de la línea de simetría. El punto una unidad a la derecha de la línea de simetría es (2, −3)		El punto simétrico a la intercepción y es (2, −3).
La intercepción x ocurre cuando y=0
Sustituto y=0
Usa la Fórmula Cuadrática.
Sustituto en los valores de a, b, c.
Simplificar.
Simplifica dentro del radical.
Simplifica lo radical.
Factorar el GCF.
Eliminar factores comunes.
Escribe como dos ecuaciones.
Aproximar los valores.
		Los valores aproximados de las intercepciones x- son (2.5,0) y (−0.6,0).
Grafica la parábola usando los puntos encontrados.

Ejemplo$\PageIndex{29}$

Grafica la parábola$y=5x^2+10x+3$.

Contestar

y: (0,3); x: (−1.6,0), (−0.4,0);
eje: x=−1; vértice :( −1, −2);

Ejemplo$\PageIndex{30}$

Grafica la parábola$y=−3x^2−6x+5$.

Contestar

y: (0,5); x: (0.6,0), (−2.6,0);
eje: x=−1; vértice :( −1,8);

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Saber que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una ecuación cuadrática. La coordenada y del vértice es el valor y mínimo de una parábola que se abre hacia arriba. Es el valor y máximo de una parábola que se abre hacia abajo. Ver Figura.

Definición: Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática

La coordenada y del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la

• valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
• valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo$\PageIndex{31}$

Encuentra el valor mínimo de la ecuación cuadrática$y=x^2+2x−8$.

Contestar

Como a es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
La ecuación cuadrática tiene un mínimo.
Encuentra el eje de simetría.		x=−1
El vértice está en la línea x=−1.
Encuentra y cuando x=−1.		(−1, −9)
Dado que la parábola tiene un mínimo, la coordenada y del vértice es el valor y mínimo de la ecuación cuadrática.
El valor mínimo de la cuadrática es −9 y ocurre cuando x=−1.
Mostrar la gráfica para verificar el resultado.

Ejemplo$\PageIndex{32}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la ecuación cuadrática$y=x^2−8x+12$.

Contestar

El valor mínimo es −4 cuando x=4.

Ejemplo$\PageIndex{33}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la ecuación cuadrática$y=−4x^2+16x−11$.

Contestar

El valor máximo es 5 cuando x=2.

Hemos utilizado la fórmula

$$\begin{array} {l} {h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}}\\ \nonumber \end{array}$$

para calcular la altura en pies, h, de un objeto disparado hacia arriba al aire con velocidad inicial,$v_{0}$, después de t segundos.

Esta fórmula es una ecuación cuadrática en la variable tt, por lo que su gráfica es una parábola. Al resolver para las coordenadas del vértice, podemos encontrar cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar su altura máxima. Entonces, podemos calcular la altura máxima.

Ejemplo$\PageIndex{34}$

La ecuación cuadrática$h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}$ modela la altura de un golpe de voleibol recto hacia arriba con una velocidad de 176 pies por segundo desde una altura de 4 pies.

1. ¿Cuántos segundos tardará el voleibol en alcanzar su máxima altura?
2. Encuentra la altura máxima del voleibol.

Contestar

$h=−16t^2+176t+4$

Dado que a es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

La ecuación cuadrática tiene un máximo.

1.
$$\begin{array} {ll} {}&{t=−\frac{b}{2a}}\\ {\text{Find the axis of symmetry.}}& {t=−\frac{176}{2(−16)}}\\ {}&{t=5.5}\\ {}&{\text{The axis of symmetry is} t = 5.5}\\ {\text{The vertex is on the line} t=5.5}& {\text{The maximum occurs when} t =5.5 \text{seconds.}}\\ \nonumber \end{array}$$

2.

Encuentra h cuando t=5.5.
Use una calculadora para simplificar.
		El vértice es (5.5,488)
Dado que la parábola tiene un máximo, la coordenada h- del vértice es el valor y máximo de la ecuación cuadrática.		El valor máximo de la cuadrática es de 488 pies y ocurre cuando t=5.5 segundos.

Ejemplo$\PageIndex{35}$

La ecuación cuadrática$h=−16t^2+128t+32$ se utiliza para encontrar la altura de una piedra lanzada hacia arriba desde una altura de 32 pies a una velocidad de 128 pies/seg. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? Respuestas redondas a la décima más cercana.

Contestar

Se tardarán 4 segundos en alcanzar la altura máxima de 288 pies.

Ejemplo$\PageIndex{36}$

Un cohete de juguete disparado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de 208 pies/seg tiene la ecuación cuadrática de$h=−16t^2+208t$. ¿Cuándo alcanzará el cohete su altura máxima? ¿Cuál será la altura máxima? Respuestas redondas a la décima más cercana.

Contestar

Se tardarán 6.5 segundos en alcanzar la altura máxima de 676 pies.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica gráfica de ecuaciones cuadráticas:

• Graficar funciones cuadráticas
• ¿Cómo graficas una función cuadrática?
• Gráfica de ecuaciones cuadráticas

Conceptos clave

• La gráfica de cada ecuación cuadrática es una parábola.
• Orientación de parábola Para la ecuación cuadrática$y=ax^2+bx+c$, si
  • a>0, la parábola se abre hacia arriba.
  • a<0, la parábola se abre hacia abajo.
• Eje de simetría y vértice de una parábola Para una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:
  • El eje de simetría de una parábola es la línea$x=−\frac{b}{2a}$.
  • El vértice está en el eje de simetría, por lo que su coordenada x es$−\frac{b}{2a}$.
  • Para encontrar la coordenada y del vértice sustituimos$x=−\frac{b}{2a}$ en la ecuación cuadrática.
• Encuentra las intercepciones de una parábola Para encontrar las intercepciones de una parábola con ecuación$y=ax^2+bx+c$:
  $$\begin{array} {ll} {\textbf{y-intercept}}&{\textbf{x-intercepts}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve for y}}&{\text{Let} y=0 \text{and solve for x}}\\ \nonumber \end{array}$$
• Para graficar una ecuación cuadrática en dos variables
  1. Escribe la ecuación cuadrática con yy en un lado.
  2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
  3. Encuentra el eje de simetría.
  4. Encuentra el vértice.
  5. Encuentra la intercepción y. Encuentra el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría.
  6. Encuentra las intercepciones x.
  7. Grafica la parábola.
• Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática
  • La coordenada y del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la
  • valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
  • valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Glosario

eje de simetría

El eje de simetría es la línea vertical que pasa por la mitad de la parábola$y=ax^2+bx+c$.

parábola

La gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es una parábola.

ecuación cuadrática en dos variables

Una ecuación cuadrática en dos variables, donde a, b y c son números reales y$a \ge 0$ es una ecuación de la forma$y=ax^2+bx+c$.

vértice

El punto en la parábola que está en el eje de simetría se denomina vértice de la parábola; es el punto más bajo o más alto de la parábola, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

x -intercepciones de una parábola

Las x -intercepciones son los puntos en la parábola donde$y=0$.

y -intercepción de una parábola

El y -intercepto es el punto en la parábola donde$x=0$.