3.2: Definiciones y Ejemplos
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Los enteros mod\(n\) y las simetrías de un triángulo o un rectángulo son ejemplos de grupos. Una operación binaria o ley de composición en un conjunto\(G\) es una función\(G \times G \rightarrow G\) que asigna a cada par\((a,b) \in G \times G\) un elemento único\(a \circ b\text{,}\) o\(ab\) en\(G\text{,}\) llamado la composición de\(a\) y\(b\text{.}\) A grupo\((G, \circ )\) es un conjunto\(G\) junto con una ley de composición\((a,b) \mapsto a \circ b\) que satisface los siguientes axiomas.
- La ley de composición es asociativa. Es decir,
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \nonumber \]
para\(a, b, c \in G\text{.}\)
- Existe un elemento\(e \in G\text{,}\) llamado elemento de identidad, tal que para cualquier elemento\(a \in G\)
\[ e \circ a = a \circ e = a\text{.} \nonumber \]
- Para cada elemento\(a \in G\text{,}\) existe un elemento inverso en G, denotado por\(a^{-1}\text{,}\) tal que
\[ a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\text{.} \nonumber \]
Un grupo\(G\) con la propiedad que\(a \circ b = b \circ a\) para todos\(a, b \in G\) se llama abeliana o conmutativa. Se dice que los grupos que no satisfacen esta propiedad son no abelianos o no conmutativos.
Los enteros\({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) forman un grupo bajo la operación de suma.
Solución
La operación binaria en dos enteros\(m, n \in {\mathbb Z}\) es solo su suma. Dado que los enteros en adición ya tienen una notación bien establecida, usaremos el operador\(+\) en lugar de\(\circ\text{;}\) eso es, escribiremos\(m + n\) en lugar de\(m \circ n\text{.}\) La identidad es\(0\text{,}\) y la inversa de\(n \in {\mathbb Z}\) se escribe como\(-n\) en lugar de\(n^{-1}\text{.}\) Notar que el conjunto de enteros en adición tienen la propiedad adicional que\(m + n = n + m\) y por lo tanto forman un grupo abeliano.
La mayoría de las veces escribiremos\(ab\) en lugar de\(a \circ b\text{;}\) sin embargo, si el grupo ya tiene una operación natural como suma en los enteros, usaremos esa operación. Es decir, si estamos sumando dos enteros, todavía escribimos\(m + n\text{,}\)\(-n\) para la inversa, y 0 para la identidad como de costumbre. También escribimos\(m - n\) en lugar de\(m + (-n)\text{.}\)
A menudo es conveniente describir un grupo en términos de una tabla de suma o multiplicación. Tal mesa se llama mesa Cayley.
Los enteros mod\(n\) forman un grupo bajo módulo de suma\(n\text{.}\) Considera\({\mathbb Z}_5\text{,}\) que consiste en las clases de equivalencia de los enteros\(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{,}\) y\(4\text{.}\)
Solución
Definimos la operación de grupo\({\mathbb Z}_5\) por adición modular. Escribimos la operación binaria en el grupo de manera aditiva; es decir, escribimos\(m + n\text{.}\) El elemento 0 es la identidad del grupo y cada elemento en\({\mathbb Z}_5\) tiene una inversa. Por ejemplo,\(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\) la Figura 3.10 es una tabla Cayley para\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Por Proposición 3.4,\({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1 \}\) es un grupo bajo la operación binaria de adición mod\(n\text{.}\)
\(Figure \text { } 3.10.\)Mesa Cayley para\(({\mathbb Z_5}, +)\)
No todos los conjuntos con una operación binaria son un grupo.
Solución
Por ejemplo, si dejamos que la multiplicación modular sea la operación binaria en\({\mathbb Z}_n\text{,}\) entonces\({\mathbb Z}_n\) no puede ser un grupo. El elemento 1 actúa como identidad de grupo ya que\(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) para cualquiera\(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) sin embargo,\(0\) no existe una inversa multiplicativa\(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) para ya que para cada\(k\) en\({\mathbb Z}_n\text{.}\) Incluso si consideramos el conjunto\({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) todavía puede que no tengamos un grupo. Por ejemplo, let\(2 \in {\mathbb Z}_6\text{.}\) Then 2 no tiene inversa multiplicativa desde
\ begin {align*} 0\ cdot 2 & = 0\ qquad 1\ cdot 2 = 2\\ 2\ cdot 2 & = 4\ qquad 3\ cdot 2 = 0\\ 4\ cdot 2 & = 2\ qquad 5\ cdot 2 = 4\ texto {.} \ end {align*}
Por la Proposición 3.4, cada distinto de cero\(k\) tiene una inversa en\({\mathbb Z}_n\) si\(k\) es relativamente primo para\(n\text{.}\) Denotar el conjunto de todos esos elementos distintos de cero en\({\mathbb Z}_n\) por\(U(n)\text{.}\) Entonces\(U(n)\) es un grupo llamado el grupo de unidades de la\({\mathbb Z}_n\text{.}\) Figura 3. 12 es una mesa Cayley para el grupo\(U(8)\text{.}\)
\(Figure \text { } 3.12.\)Tabla de multiplicación para\(U(8)\)
Las simetrías de un triángulo equilátero descritas en la Sección 3.1 forman un grupo no abeliano.
Solución
Como observamos, no es necesariamente cierto que\(\alpha \beta = \beta \alpha\) para dos simetrías\(\alpha\) y\(\beta\text{.}\) Usando la Figura 3.7, que es una tabla Cayley para este grupo, podemos comprobar fácilmente que las simetrías de un triángulo equilátero son efectivamente un grupo. Denotaremos a este grupo por cualquiera\(S_3\) o\(D_3\text{,}\) por razones que se explicarán más adelante.
Usamos\({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) para denotar el conjunto de todas las\(2 \times 2\) matrices. \(GL_2({\mathbb R})\)Sea el subconjunto de\({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) que consiste en matrices invertibles; es decir, una matriz
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber \]
está en\(GL_2( {\mathbb R})\) si existe una matriz\(A^{-1}\) tal que\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) donde\(I\) está la matriz de\(2 \times 2\) identidad.
Solución
\(A\)Para tener una inversa equivale a requerir que el determinante de\(A\) sea distinto de cero; es decir,\(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) El conjunto de matrices invertibles forma un grupo denominado grupo lineal general. La identidad del grupo es la matriz de identidad
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]
La inversa de\(A \in GL_2( {\mathbb R})\) es
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]
El producto de dos matrices invertibles vuelve a ser invertible. La multiplicación matricial es asociativa, satisfaciendo el axioma del otro grupo. Para las matrices no es cierto en general que de\(AB = BA\text{;}\) ahí,\(GL_2({\mathbb R})\) sea otro ejemplo de un grupo nonabeliano.
Let
\ begin {align*} 1 & =\ begin {pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\ end {pmatrix}\ qquad I =\ begin {pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\ end {pmatrix}\\ J & =\ begin {pmatrix} 0 & i\\ i & 0\ end {pmatrix}\ qquad K =\ begin {pmatrix} i & 0\\ 0 & -i\ end {pmatrix}\ text {,}\ end {align*}
donde\(i^2 = -1\text{.}\)
Solución
Entonces las relaciones\(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\)\(IJ=K\text{,}\)\(JK = I\text{,}\)\(KI = J\text{,}\)\(JI = -K\text{,}\)\(KJ = -I\text{,}\) y\(IK = -J\) sostén. El conjunto\(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) es un grupo llamado grupo cuaternión. Observe que no\(Q_8\) es conmutativo.
Dejar\({\mathbb C}^\ast\) ser el conjunto de números complejos distintos de cero. Bajo la operación de multiplicación\({\mathbb C}^\ast\) forma un grupo. La identidad es\(1\text{.}\) Si\(z = a+bi\) es un número complejo distinto de cero,
Solución
entonces
\[ z^{-1} = \frac{a -bi}{a^2 +b^2} \nonumber \]
es la inversa de\(z\text{.}\) Es fácil ver que se mantienen los axiomas de grupo restantes.
Un grupo es finito, o tiene orden finito, si contiene un número finito de elementos; de lo contrario, se dice que el grupo es infinito o tiene orden infinito. El orden de un grupo finito es el número de elementos que contiene. Si\(G\) es un grupo que contiene\(n\) elementos, escribimos\(|G| = n\text{.}\) El grupo\({\mathbb Z}_5\) es un grupo finito de orden\(5\text{;}\) los enteros\({\mathbb Z}\) forman un grupo infinito bajo suma, y a veces escribimos\(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)
Propiedades Básicas de Grupos
El elemento de identidad en un grupo\(G\) es único; es decir, solo existe un elemento\(e \in G\) tal que\(eg = ge = g\) para todos\(g \in G\text{.}\)
- Prueba
-
Supongamos que\(e\) y\(e'\) son ambas identidades en\(G\text{.}\) Entonces\(eg = ge = g\) y\(e'g = ge' = g\) para todos\(g \in G\text{.}\) Necesitamos demostrar que\(e = e'\text{.}\) Si pensamos en\(e\) como la identidad, entonces\(ee' = e'\text{;}\) pero si\(e'\) es la identidad, entonces\(ee' = e\text{.}\) Combinando estas dos ecuaciones, nosotros tener\(e = ee' = e'\text{.}\)
Los inversos en un grupo también son únicos. Si\(g'\) y\(g''\) son ambas inversas de un elemento\(g\) en un grupo\(G\text{,}\) entonces\(gg' = g'g = e\) y\(gg'' = g''g = e\text{.}\) queremos mostrar eso\(g' = g''\text{,}\) pero\(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Resumimos este hecho en la siguiente proposición.
Si\(g\) hay algún elemento en un grupo\(G\text{,}\), entonces el inverso de\(g\text{,}\) denotado por\(g^{-1}\text{,}\) es único
Seamos\(G\) un grupo. Si\(a, b \in G\text{,}\) entonces\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
- Prueba
-
Vamos\(a, b \in G\text{.}\) Entonces\(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) Similarmente,\(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Pero por la proposición anterior, los inversos son únicos; de ahí,\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
Seamos\(G\) un grupo. Para cualquier\(a \in G\text{,}\)\((a^{-1})^{-1} = a\text{.}\)
- Prueba
-
Observe que\(a^{-1} (a^{-1})^{-1} = e\text{.}\) Consecuentemente, multiplicando ambos lados de esta ecuación por\(a\text{,}\) tenemos
\[ (a^{-1})^{-1} = e (a^{-1})^{-1} = a a^{-1} (a^{-1})^{-1} = ae = a\text{.} \nonumber \]
Tiene sentido escribir ecuaciones con elementos grupales y operaciones grupales. Si\(a\) y\(b\) son dos elementos en un grupo\(G\text{,}\) existe un elemento\(x \in G\) tal que\(ax = b\text{?}\) Si tal existe,\(x\) ¿es único? La siguiente proposición responde positivamente a ambas preguntas.
Dejar\(G\) ser un grupo y\(a\) y\(b\) ser cualesquiera dos elementos en\(G\text{.}\) Entonces las ecuaciones\(ax = b\) y\(xa = b\) tener soluciones únicas en\(G\text{.}\)
- Prueba
-
\(ax = b\text{.}\)Supongamos que Debemos demostrar que tal\(x\) existe. Podemos multiplicar ambos lados de\(ax = b\) por\(a^{-1}\) para encontrar\(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)
Para mostrar singularidad, supongamos que\(x_1\) y ambas\(x_2\) son soluciones de\(ax = b\text{;}\) entonces\(ax_1 = b = ax_2\text{.}\) Así\(x_1 = a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 = x_2\text{.}\) La prueba de la existencia y singularidad de la solución de\(xa = b\) es similar.
Si\(G\) es un grupo y\(a, b, c \in G\text{,}\) luego\(ba = ca\) implica\(b = c\) e\(ab = ac\) implica\ (b = c\ text { . }\
Esta proposición nos dice que las leyes de cancelación de derecha e izquierda son ciertas en grupos. Dejamos la prueba como ejercicio.
Podemos usar notación exponencial para grupos tal como lo hacemos en álgebra ordinaria. Si\(G\) es un grupo y\(g \in G\text{,}\) luego definimos\(g^0 = e\text{.}\) Para\(n \in {\mathbb N}\text{,}\) definimos
\[ g^n = \underbrace{g \cdot g \cdots g}_{n \; \text{times}} \nonumber \]
y
\[ g^{-n} = \underbrace{g^{-1} \cdot g^{-1} \cdots g^{-1}}_{n \; \text{times}}\text{.} \nonumber \]
En un grupo, se mantienen las leyes habituales de los exponentes; es decir, para todos\(g, h \in G\text{,}\)
- \(g^mg^n = g^{m+n}\)para todos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \((g^m)^n = g^{mn}\)para todos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \((gh)^n = (h^{-1}g^{-1})^{-n}\)para todos\(n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Además, si\(G\) es abeliano, entonces\((gh)^n = g^nh^n\text{.}\)
Dejaremos la prueba de este teorema como ejercicio. Observe que\((gh)^n \neq g^nh^n\) en general, ya que el grupo puede no ser abeliano. Si el grupo es\({\mathbb Z}\) o\({\mathbb Z}_n\text{,}\) escribimos la operación grupal aditivamente y la operación exponencial multiplicativamente; es decir, escribimos\(ng\) en lugar de\(g^n\text{.}\) Las leyes de los exponentes ahora se vuelven
- \(mg + ng = (m+n)g\)para todos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \(m(ng) = (mn)g\)para todos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \(m(g + h) = mg + mh\)para todos\(n \in {\mathbb Z}\text{.}\)
Es importante darse cuenta de que la última afirmación se puede hacer sólo porque\({\mathbb Z}\) y\({\mathbb Z}_n\) son grupos conmutativos.
Nota Histórica
Aunque la primera definición axiomática clara de un grupo no se dio hasta finales del siglo XIX, antes de este tiempo se habían empleado métodos teóricos grupales en el desarrollo de muchas áreas de las matemáticas, incluyendo la geometría y la teoría de ecuaciones algebraicas.
Joseph-Louis Lagrange utilizó métodos de teoría de grupos en una memoria de 1770—1771 para estudiar métodos de resolución de ecuaciones polinómicas. Posteriormente, Évariste Galois (1811—1832) logró desarrollar las matemáticas necesarias para determinar exactamente qué ecuaciones polinómicas podrían resolverse en términos de los coeficientes del polinomio. La principal herramienta de Galois fue la teoría de grupos.
El estudio de la geometría se revolucionó en 1872 cuando Felix Klein propuso que los espacios geométricos se estudiaran examinando aquellas propiedades que son invariantes bajo una transformación del espacio. Sophus Lie, contemporáneo de Klein, utilizó la teoría de grupos para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Uno de los primeros tratamientos modernos de la teoría de grupos apareció en The Theory of Groups of Finite Order [1], de William Burnside, publicada por primera vez en 1897.