3.3: Subgrupos

Definiciones y Ejemplos

A veces deseamos investigar grupos más pequeños sentados dentro de un grupo más grande. El conjunto de enteros pares$2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}$ es un grupo bajo la operación de suma. Este grupo más pequeño se asienta naturalmente dentro del grupo de enteros en adición. Definimos un subgrupo$H$ de un grupo$G$ para ser un subconjunto$H$ de$G$ tal que cuando la operación grupal de$G$ está restringida a$H\text{,}$$H$ es un grupo por derecho propio. Observe que cada grupo$G$ con al menos dos elementos siempre tendrá al menos dos subgrupos, el subgrupo que consiste solo en el elemento de identidad y el grupo completo en sí mismo. El subgrupo$H = \{ e \}$ de un grupo$G$ se llama el subgrupo trivial. Un subgrupo que es un subconjunto apropiado de$G$ se llama subgrupo apropiado. En muchos de los ejemplos que hemos investigado hasta este punto, existen otros subgrupos además de los subgrupos triviales e impropios.

Ejemplo$3.24$

Considera el conjunto de números reales distintos de cero,${\mathbb R}^*\text{,}$ con la operación grupal de multiplicación. La identidad de este grupo es$1$ y la inversa de cualquier elemento$a \in {\mathbb R}^*$ es justa$1/a\text{.}$ Mostraremos que

$${\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, \text{and}\, q\, \text{are nonzero integers} \} \nonumber$$

es un subgrupo de${\mathbb R}^*\text{.}$

Solución

La identidad de${\mathbb R}^*$ es$1\text{;}$ sin embargo,$1 = 1/1$ es el cociente de dos enteros distintos de cero. De ahí que la identidad de${\mathbb R}^*$ está en${\mathbb Q}^*\text{.}$ Dados dos elementos en${\mathbb Q}^*\text{,}$ decir$p/q$ y$r/s\text{,}$ su producto también$pr/qs$ está en${\mathbb Q}^*\text{.}$ La inversa de cualquier elemento$p/q \in {\mathbb Q}^*$ está de nuevo en${\mathbb Q}^*$ ya que$(p/q)^{-1} = q/p\text{.}$ Dado que la multiplicación en${\mathbb R}^*$ es asociativa, la multiplicación en${\mathbb Q}^*$ es asociativa.

Ejemplo$3.25$

Recordemos que${\mathbb C}^{\ast}$ es el grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero. Let$H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}$

Solución

Entonces$H$ es un subgrupo de${\mathbb C}^{\ast}\text{.}$ Es bastante fácil verificar que$H$ es un grupo bajo multiplicación y que$H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}$

Ejemplo$3.26$

$SL_2( {\mathbb R})$Sea el subconjunto de$GL_2( {\mathbb R })$ que consiste en matrices de determinante uno; es decir, una matriz

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber$$

está$SL_2( {\mathbb R})$ exactamente en cuando$ad - bc = 1\text{.}$

Solución

Para mostrar que$SL_2( {\mathbb R})$ es un subgrupo del grupo lineal general, debemos mostrar que se trata de un grupo bajo multiplicación matricial. La matriz de$2 \times 2$ identidad está en$SL_2( {\mathbb R})\text{,}$ como es la inversa de la matriz$A\text{:}$

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$$

Queda por mostrar que la multiplicación está cerrada; es decir, que el producto de dos matrices de determinante una también tiene una determinante. Dejaremos esta tarea como ejercicio. El grupo$SL_2({\mathbb R})$ se llama el grupo lineal especial.

Ejemplo$3.27$

Es importante darse cuenta de que un subconjunto$H$ de un grupo$G$ puede ser un grupo sin ser un subgrupo de$G\text{.}$

Solución

$H$Para ser un subgrupo del$G\text{,}$ mismo debe heredar la operación binaria de$G\text{.}$ El conjunto de todas las$2 \times 2$ matrices,${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}$ forma un grupo bajo la operación de suma. El grupo lineal$2 \times 2$ general es un subconjunto de${\mathbb M}_2(\mathbb R)$ y es un grupo bajo multiplicación matricial, pero no es un subgrupo de${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}$ Si agregamos dos matrices invertibles, no necesariamente obtenemos otra matriz invertible. Observe que

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$$

pero la matriz cero no está en$GL_2( {\mathbb R })\text{.}$

Ejemplo$2.28$

Una manera de decir si dos grupos son iguales o no es examinando sus subgrupos. Aparte del subgrupo trivial y el propio grupo, el grupo${\mathbb Z}_4$ tiene un solo subgrupo que consiste en los elementos$0$ y$2\text{.}$

Solución

Del grupo${\mathbb Z}_2\text{,}$ podemos formar otro grupo de cuatro elementos de la siguiente manera. Como conjunto este grupo es${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$ Realizamos la operación grupal de manera coordinada; es decir, la$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}$ Figura 3.29 es una tabla de suma para${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$ Dado que hay tres subgrupos propios no triviales de${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}$$H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}$$H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}$ y$H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}$${\mathbb Z}_4$ y${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$ deben ser grupos diferentes.

$$\begin{array}{c|cccc} + & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ \hline (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0) \\ (1,0) & (1,0) & (1,1) & (0,0) & (0,1) \\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1) & (0,0) \end{array} \nonumber$$

\(Figure \text { } 3.29\). Tabla de adición para${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$

Algunos teoremas de subgrupos

Examinemos algunos criterios para determinar exactamente cuándo un subconjunto de un grupo es un subgrupo.

Proposición$3.30$

Un subconjunto$H$ de$G$ es un subgrupo si y sólo si satisface las siguientes condiciones.

1. La identidad$e$ de$G$ está en$H\text{.}$
2. Si$h_1, h_2 \in H\text{,}$ entonces$h_1h_2 \in H\text{.}$
3. Si$h \in H\text{,}$ entonces$h^{-1} \in H\text{.}$

Prueba

Primero supongamos que$H$ es un subgrupo de$G\text{.}$ Debemos demostrar que las tres condiciones se mantienen. Ya que$H$ es un grupo, debe tener una identidad$e_H\text{.}$ Debemos demostrar que$e_H = e\text{,}$ donde$e$ está la identidad de$G\text{.}$ Sabemos eso$e_H e_H = e_H$ y que de$ee_H = e_H e = e_H\text{;}$ ahí,$ee_H = e_H e_H\text{.}$ Por cancelación de la mano derecha,$e =e_H\text{.}$ La segunda condición se sostiene ya que un subgrupo$H$ es un grupo. Para probar la tercera condición, dejar$h \in H\text{.}$ Desde$H$ es un grupo, hay un elemento$h' \in H$ tal que$hh' = h'h = e\text{.}$ Por la singularidad de lo inverso en$G\text{,}$$h' = h^{-1}\text{.}$

Por el contrario, si las tres condiciones se mantienen, debemos demostrar que$H$ es un grupo bajo la misma operación que$G\text{;}$ sin embargo, estas condiciones más la asociatividad de la operación binaria son exactamente los axiomas establecidos en la definición de grupo.

Proposición$3.31$

Dejar$H$ ser un subconjunto de un grupo$G\text{.}$ Entonces$H$ es un subgrupo de$G$ si y solo si$H \neq \emptyset\text{,}$ y siempre que$g, h \in H$ entonces$gh^{-1}$ está en$H\text{.}$

Prueba

Primero supongamos que$H$ es un subgrupo de$G\text{.}$ Deseamos demostrar que$gh^{-1} \in H$ siempre$g$ y cuando$h$ estén en$H\text{.}$ Ya que$h$ está en$H\text{,}$ su inversa también$h^{-1}$ debe estar en$H\text{.}$ Debido al cierre de la operación grupal,$gh^{-1} \in H\text{.}$

Por el contrario, supongamos que$H \subset G$ tal que$H \neq \emptyset$ y$g h^{-1} \in H$ siempre$g, h \in H\text{.}$ Si$g \in H\text{,}$ entonces$gg^{-1} = e$ está en$H\text{.}$ Si$g \in H\text{,}$ entonces también$eg^{-1} = g^{-1}$ está en$H\text{.}$ Ahora vamos$h_1, h_2 \in H\text{.}$ Debemos demostrar que su producto también está en$H\text{.}$ Sin embargo,$h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}$ Por lo tanto, $H$es un subgrupo de$G\text{.}$