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# 3.3: Subgrupos

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Definiciones y Ejemplos

A veces deseamos investigar grupos más pequeños sentados dentro de un grupo más grande. El conjunto de enteros pares$$2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}$$ es un grupo bajo la operación de suma. Este grupo más pequeño se asienta naturalmente dentro del grupo de enteros en adición. Definimos un subgrupo$$H$$ de un grupo$$G$$ para ser un subconjunto$$H$$ de$$G$$ tal que cuando la operación grupal de$$G$$ está restringida a$$H\text{,}$$$$H$$ es un grupo por derecho propio. Observe que cada grupo$$G$$ con al menos dos elementos siempre tendrá al menos dos subgrupos, el subgrupo que consiste solo en el elemento de identidad y el grupo completo en sí mismo. El subgrupo$$H = \{ e \}$$ de un grupo$$G$$ se llama el subgrupo trivial. Un subgrupo que es un subconjunto apropiado de$$G$$ se llama subgrupo apropiado. En muchos de los ejemplos que hemos investigado hasta este punto, existen otros subgrupos además de los subgrupos triviales e impropios.

##### Ejemplo$$3.24$$

Considera el conjunto de números reales distintos de cero,$${\mathbb R}^*\text{,}$$ con la operación grupal de multiplicación. La identidad de este grupo es$$1$$ y la inversa de cualquier elemento$$a \in {\mathbb R}^*$$ es justa$$1/a\text{.}$$ Mostraremos que

${\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, \text{and}\, q\, \text{are nonzero integers} \} \nonumber$

es un subgrupo de$${\mathbb R}^*\text{.}$$

Solución

La identidad de$${\mathbb R}^*$$ es$$1\text{;}$$ sin embargo,$$1 = 1/1$$ es el cociente de dos enteros distintos de cero. De ahí que la identidad de$${\mathbb R}^*$$ está en$${\mathbb Q}^*\text{.}$$ Dados dos elementos en$${\mathbb Q}^*\text{,}$$ decir$$p/q$$ y$$r/s\text{,}$$ su producto también$$pr/qs$$ está en$${\mathbb Q}^*\text{.}$$ La inversa de cualquier elemento$$p/q \in {\mathbb Q}^*$$ está de nuevo en$${\mathbb Q}^*$$ ya que$$(p/q)^{-1} = q/p\text{.}$$ Dado que la multiplicación en$${\mathbb R}^*$$ es asociativa, la multiplicación en$${\mathbb Q}^*$$ es asociativa.

##### Ejemplo$$3.25$$

Recordemos que$${\mathbb C}^{\ast}$$ es el grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero. Let$$H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}$$

Solución

Entonces$$H$$ es un subgrupo de$${\mathbb C}^{\ast}\text{.}$$ Es bastante fácil verificar que$$H$$ es un grupo bajo multiplicación y que$$H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}$$

##### Ejemplo$$3.26$$

$$SL_2( {\mathbb R})$$Sea el subconjunto de$$GL_2( {\mathbb R })$$ que consiste en matrices de determinante uno; es decir, una matriz

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber$

está$$SL_2( {\mathbb R})$$ exactamente en cuando$$ad - bc = 1\text{.}$$

Solución

Para mostrar que$$SL_2( {\mathbb R})$$ es un subgrupo del grupo lineal general, debemos mostrar que se trata de un grupo bajo multiplicación matricial. La matriz de$$2 \times 2$$ identidad está en$$SL_2( {\mathbb R})\text{,}$$ como es la inversa de la matriz$$A\text{:}$$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

Queda por mostrar que la multiplicación está cerrada; es decir, que el producto de dos matrices de determinante una también tiene una determinante. Dejaremos esta tarea como ejercicio. El grupo$$SL_2({\mathbb R})$$ se llama el grupo lineal especial.

##### Ejemplo$$3.27$$

Es importante darse cuenta de que un subconjunto$$H$$ de un grupo$$G$$ puede ser un grupo sin ser un subgrupo de$$G\text{.}$$

Solución

$$H$$Para ser un subgrupo del$$G\text{,}$$ mismo debe heredar la operación binaria de$$G\text{.}$$ El conjunto de todas las$$2 \times 2$$ matrices,$${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}$$ forma un grupo bajo la operación de suma. El grupo lineal$$2 \times 2$$ general es un subconjunto de$${\mathbb M}_2(\mathbb R)$$ y es un grupo bajo multiplicación matricial, pero no es un subgrupo de$${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}$$ Si agregamos dos matrices invertibles, no necesariamente obtenemos otra matriz invertible. Observe que

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

pero la matriz cero no está en$$GL_2( {\mathbb R })\text{.}$$

##### Ejemplo$$2.28$$

Una manera de decir si dos grupos son iguales o no es examinando sus subgrupos. Aparte del subgrupo trivial y el propio grupo, el grupo$${\mathbb Z}_4$$ tiene un solo subgrupo que consiste en los elementos$$0$$ y$$2\text{.}$$

Solución

Del grupo$${\mathbb Z}_2\text{,}$$ podemos formar otro grupo de cuatro elementos de la siguiente manera. Como conjunto este grupo es$${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$$ Realizamos la operación grupal de manera coordinada; es decir, la$$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}$$ Figura 3.29 es una tabla de suma para$${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$$ Dado que hay tres subgrupos propios no triviales de$${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}$$$$H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}$$$$H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}$$ y$$H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}$$$${\mathbb Z}_4$$ y$${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$$ deben ser grupos diferentes.

$\begin{array}{c|cccc} + & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ \hline (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0) \\ (1,0) & (1,0) & (1,1) & (0,0) & (0,1) \\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1) & (0,0) \end{array} \nonumber$

$$Figure \text { } 3.29$$. Tabla de adición para$${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$$

## Algunos teoremas de subgrupos

Examinemos algunos criterios para determinar exactamente cuándo un subconjunto de un grupo es un subgrupo.

##### Proposición$$3.30$$

Un subconjunto$$H$$ de$$G$$ es un subgrupo si y sólo si satisface las siguientes condiciones.

1. La identidad$$e$$ de$$G$$ está en$$H\text{.}$$
2. Si$$h_1, h_2 \in H\text{,}$$ entonces$$h_1h_2 \in H\text{.}$$
3. Si$$h \in H\text{,}$$ entonces$$h^{-1} \in H\text{.}$$
Prueba

Primero supongamos que$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Debemos demostrar que las tres condiciones se mantienen. Ya que$$H$$ es un grupo, debe tener una identidad$$e_H\text{.}$$ Debemos demostrar que$$e_H = e\text{,}$$ donde$$e$$ está la identidad de$$G\text{.}$$ Sabemos eso$$e_H e_H = e_H$$ y que de$$ee_H = e_H e = e_H\text{;}$$ ahí,$$ee_H = e_H e_H\text{.}$$ Por cancelación de la mano derecha,$$e =e_H\text{.}$$ La segunda condición se sostiene ya que un subgrupo$$H$$ es un grupo. Para probar la tercera condición, dejar$$h \in H\text{.}$$ Desde$$H$$ es un grupo, hay un elemento$$h' \in H$$ tal que$$hh' = h'h = e\text{.}$$ Por la singularidad de lo inverso en$$G\text{,}$$$$h' = h^{-1}\text{.}$$

Por el contrario, si las tres condiciones se mantienen, debemos demostrar que$$H$$ es un grupo bajo la misma operación que$$G\text{;}$$ sin embargo, estas condiciones más la asociatividad de la operación binaria son exactamente los axiomas establecidos en la definición de grupo.

##### Proposición$$3.31$$

Dejar$$H$$ ser un subconjunto de un grupo$$G\text{.}$$ Entonces$$H$$ es un subgrupo de$$G$$ si y solo si$$H \neq \emptyset\text{,}$$ y siempre que$$g, h \in H$$ entonces$$gh^{-1}$$ está en$$H\text{.}$$

Prueba

Primero supongamos que$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Deseamos demostrar que$$gh^{-1} \in H$$ siempre$$g$$ y cuando$$h$$ estén en$$H\text{.}$$ Ya que$$h$$ está en$$H\text{,}$$ su inversa también$$h^{-1}$$ debe estar en$$H\text{.}$$ Debido al cierre de la operación grupal,$$gh^{-1} \in H\text{.}$$

Por el contrario, supongamos que$$H \subset G$$ tal que$$H \neq \emptyset$$ y$$g h^{-1} \in H$$ siempre$$g, h \in H\text{.}$$ Si$$g \in H\text{,}$$ entonces$$gg^{-1} = e$$ está en$$H\text{.}$$ Si$$g \in H\text{,}$$ entonces también$$eg^{-1} = g^{-1}$$ está en$$H\text{.}$$ Ahora vamos$$h_1, h_2 \in H\text{.}$$ Debemos demostrar que su producto también está en$$H\text{.}$$ Sin embargo,$$h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}$$ Por lo tanto, $$H$$es un subgrupo de$$G\text{.}$$

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