3.3: Subgrupos

Definiciones y Ejemplos

A veces deseamos investigar grupos más pequeños sentados dentro de un grupo más grande. El conjunto de enteros pares\(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) es un grupo bajo la operación de suma. Este grupo más pequeño se asienta naturalmente dentro del grupo de enteros en adición. Definimos un subgrupo\(H\) de un grupo\(G\) para ser un subconjunto\(H\) de\(G\) tal que cuando la operación grupal de\(G\) está restringida a\(H\text{,}\)\(H\) es un grupo por derecho propio. Observe que cada grupo\(G\) con al menos dos elementos siempre tendrá al menos dos subgrupos, el subgrupo que consiste solo en el elemento de identidad y el grupo completo en sí mismo. El subgrupo\(H = \{ e \}\) de un grupo\(G\) se llama el subgrupo trivial. Un subgrupo que es un subconjunto apropiado de\(G\) se llama subgrupo apropiado. En muchos de los ejemplos que hemos investigado hasta este punto, existen otros subgrupos además de los subgrupos triviales e impropios.

Ejemplo\(3.24\)

Considera el conjunto de números reales distintos de cero,\({\mathbb R}^*\text{,}\) con la operación grupal de multiplicación. La identidad de este grupo es\(1\) y la inversa de cualquier elemento\(a \in {\mathbb R}^*\) es justa\(1/a\text{.}\) Mostraremos que

\[ {\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, \text{and}\, q\, \text{are nonzero integers} \} \nonumber \]

es un subgrupo de\({\mathbb R}^*\text{.}\)

Solución

La identidad de\({\mathbb R}^*\) es\(1\text{;}\) sin embargo,\(1 = 1/1\) es el cociente de dos enteros distintos de cero. De ahí que la identidad de\({\mathbb R}^*\) está en\({\mathbb Q}^*\text{.}\) Dados dos elementos en\({\mathbb Q}^*\text{,}\) decir\(p/q\) y\(r/s\text{,}\) su producto también\(pr/qs\) está en\({\mathbb Q}^*\text{.}\) La inversa de cualquier elemento\(p/q \in {\mathbb Q}^*\) está de nuevo en\({\mathbb Q}^*\) ya que\((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Dado que la multiplicación en\({\mathbb R}^*\) es asociativa, la multiplicación en\({\mathbb Q}^*\) es asociativa.

Ejemplo\(3.25\)

Recordemos que\({\mathbb C}^{\ast}\) es el grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero. Let\(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)

Solución

Entonces\(H\) es un subgrupo de\({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) Es bastante fácil verificar que\(H\) es un grupo bajo multiplicación y que\(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)

Ejemplo\(3.26\)

\(SL_2( {\mathbb R})\)Sea el subconjunto de\(GL_2( {\mathbb R })\) que consiste en matrices de determinante uno; es decir, una matriz

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber \]

está\(SL_2( {\mathbb R})\) exactamente en cuando\(ad - bc = 1\text{.}\)

Solución

Para mostrar que\(SL_2( {\mathbb R})\) es un subgrupo del grupo lineal general, debemos mostrar que se trata de un grupo bajo multiplicación matricial. La matriz de\(2 \times 2\) identidad está en\(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) como es la inversa de la matriz\(A\text{:}\)

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]

Queda por mostrar que la multiplicación está cerrada; es decir, que el producto de dos matrices de determinante una también tiene una determinante. Dejaremos esta tarea como ejercicio. El grupo\(SL_2({\mathbb R})\) se llama el grupo lineal especial.

Ejemplo\(3.27\)

Es importante darse cuenta de que un subconjunto\(H\) de un grupo\(G\) puede ser un grupo sin ser un subgrupo de\(G\text{.}\)

Solución

\(H\)Para ser un subgrupo del\(G\text{,}\) mismo debe heredar la operación binaria de\(G\text{.}\) El conjunto de todas las\(2 \times 2\) matrices,\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) forma un grupo bajo la operación de suma. El grupo lineal\(2 \times 2\) general es un subconjunto de\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) y es un grupo bajo multiplicación matricial, pero no es un subgrupo de\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) Si agregamos dos matrices invertibles, no necesariamente obtenemos otra matriz invertible. Observe que

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

pero la matriz cero no está en\(GL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

Ejemplo\(2.28\)

Una manera de decir si dos grupos son iguales o no es examinando sus subgrupos. Aparte del subgrupo trivial y el propio grupo, el grupo\({\mathbb Z}_4\) tiene un solo subgrupo que consiste en los elementos\(0\) y\(2\text{.}\)

Solución

Del grupo\({\mathbb Z}_2\text{,}\) podemos formar otro grupo de cuatro elementos de la siguiente manera. Como conjunto este grupo es\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Realizamos la operación grupal de manera coordinada; es decir, la\((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) Figura 3.29 es una tabla de suma para\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Dado que hay tres subgrupos propios no triviales de\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\)\(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\)\(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\) y\(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\)\({\mathbb Z}_4\) y\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) deben ser grupos diferentes.

\[ \begin{array}{c|cccc} + & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ \hline (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0) \\ (1,0) & (1,0) & (1,1) & (0,0) & (0,1) \\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1) & (0,0) \end{array} \nonumber \]

\(Figure \text { } 3.29\). Tabla de adición para\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\)

Algunos teoremas de subgrupos

Examinemos algunos criterios para determinar exactamente cuándo un subconjunto de un grupo es un subgrupo.

Proposición\(3.30\)

Un subconjunto\(H\) de\(G\) es un subgrupo si y sólo si satisface las siguientes condiciones.

1. La identidad\(e\) de\(G\) está en\(H\text{.}\)
2. Si\(h_1, h_2 \in H\text{,}\) entonces\(h_1h_2 \in H\text{.}\)
3. Si\(h \in H\text{,}\) entonces\(h^{-1} \in H\text{.}\)

Prueba

Primero supongamos que\(H\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) Debemos demostrar que las tres condiciones se mantienen. Ya que\(H\) es un grupo, debe tener una identidad\(e_H\text{.}\) Debemos demostrar que\(e_H = e\text{,}\) donde\(e\) está la identidad de\(G\text{.}\) Sabemos eso\(e_H e_H = e_H\) y que de\(ee_H = e_H e = e_H\text{;}\) ahí,\(ee_H = e_H e_H\text{.}\) Por cancelación de la mano derecha,\(e =e_H\text{.}\) La segunda condición se sostiene ya que un subgrupo\(H\) es un grupo. Para probar la tercera condición, dejar\(h \in H\text{.}\) Desde\(H\) es un grupo, hay un elemento\(h' \in H\) tal que\(hh' = h'h = e\text{.}\) Por la singularidad de lo inverso en\(G\text{,}\)\(h' = h^{-1}\text{.}\)

Por el contrario, si las tres condiciones se mantienen, debemos demostrar que\(H\) es un grupo bajo la misma operación que\(G\text{;}\) sin embargo, estas condiciones más la asociatividad de la operación binaria son exactamente los axiomas establecidos en la definición de grupo.

Proposición\(3.31\)

Dejar\(H\) ser un subconjunto de un grupo\(G\text{.}\) Entonces\(H\) es un subgrupo de\(G\) si y solo si\(H \neq \emptyset\text{,}\) y siempre que\(g, h \in H\) entonces\(gh^{-1}\) está en\(H\text{.}\)

Prueba

Primero supongamos que\(H\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) Deseamos demostrar que\(gh^{-1} \in H\) siempre\(g\) y cuando\(h\) estén en\(H\text{.}\) Ya que\(h\) está en\(H\text{,}\) su inversa también\(h^{-1}\) debe estar en\(H\text{.}\) Debido al cierre de la operación grupal,\(gh^{-1} \in H\text{.}\)

Por el contrario, supongamos que\(H \subset G\) tal que\(H \neq \emptyset\) y\(g h^{-1} \in H\) siempre\(g, h \in H\text{.}\) Si\(g \in H\text{,}\) entonces\(gg^{-1} = e\) está en\(H\text{.}\) Si\(g \in H\text{,}\) entonces también\(eg^{-1} = g^{-1}\) está en\(H\text{.}\) Ahora vamos\(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Debemos demostrar que su producto también está en\(H\text{.}\) Sin embargo,\(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Por lo tanto, \(H\)es un subgrupo de\(G\text{.}\)