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# 11.2: Los Teormos del Isomorfismo

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Aunque no es evidente al principio, los grupos factoriales corresponden exactamente a imágenes homomórficas, y podemos utilizar grupos factoriales para estudiar homomorfismos. Ya sabemos que con cada homomorfismo grupal$$\phi: G \rightarrow H$$ podemos asociar un subgrupo normal de$$G\text{,}$$$$\ker \phi\text{.}$$ Lo contrario también es cierto; es decir, cada subgrupo normal de un grupo$$G$$ da lugar al homomorfismo de grupos.

Dejar$$H$$ ser un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Definir el homomorfismo natural o canónico

$\phi : G \rightarrow G/H \nonumber$

por

$\phi(g) = gH\text{.} \nonumber$

Esto es efectivamente un homomorfismo, ya que

$\phi( g_1 g_2 ) = g_1 g_2 H = g_1 H g_2 H = \phi( g_1) \phi( g_2 )\text{.} \nonumber$

El núcleo de este homomorfismo es$$H\text{.}$$ Los siguientes teoremas describen las relaciones entre los homomorfismos grupales, subgrupos normales y grupos factoriales.

## Teorema$$11.10$$. First Isomorphism Theorem

Si$$\psi : G \rightarrow H$$ es un homomorfismo grupal con$$K =\ker \psi\text{,}$$ entonces$$K$$ es normal en$$G\text{.}$$ Let$$\phi: G \rightarrow G/K$$ be the canonical homomorfism. Entonces existe un isomorfismo único$$\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$$ tal que$$\psi = \eta \phi\text{.}$$

Prueba

Ya sabemos que$$K$$ es normal en$$G\text{.}$$ Definir$$\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$$ por Primero$$\eta(gK) = \psi(g)\text{.}$$ mostramos que$$\eta$$ es un mapa bien definido. Si$$g_1 K =g_2 K\text{,}$$ entonces para algunos en$$k \in K\text{,}$$$$g_1 k=g_2\text{;}$$ consecuencia,

$\eta(g_1 K) = \psi(g_1) = \psi(g_1) \psi(k) = \psi(g_1k) = \psi(g_2) = \eta(g_2 K)\text{.} \nonumber$

Así,$$\eta$$ no depende de la elección de los representantes del coset y el mapa$$\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$$ se define de manera única ya que también$$\psi = \eta \phi\text{.}$$ debemos mostrar que$$\eta$$ es un homomorfismo. En efecto,

\ begin {align*}\ eta (G_1k G_2k) & =\ eta (g_1 G_2k)\\ & =\ psi (g_1 g_2)\\ & =\ psi (g_1)\ psi (g_2)\\ & =\ eta (G_1k)\ eta (G_2k)\ text {.} \ end {alinear*}

Claramente,$$\eta$$ es sobre$$\psi( G)\text{.}$$ Demostrar que$$\eta$$ es uno-a-uno, supongamos que$$\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}$$ Entonces$$\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}$$ Esto implica que$$\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}$$ o$$g_1^{-1} g_2$$ está en el núcleo de$$\psi\text{;}$$ ahí, es$$g_1^{-1} g_2K = K\text{;}$$ decir,$$g_1K =g_2K\text{.}$$

Los matemáticos suelen utilizar diagramas llamados diagramas conmutativos para describir tales teoremas. El siguiente diagrama “conmuta” desde$$\psi = \eta \phi\text{.}$$

## Ejemplo$$11.11$$

Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico con generador$$g\text{.}$$ Definir un mapa$$\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G$$ por$$n \mapsto g^n\text{.}$$

Solución

Este mapa es un homomorfismo surytivo desde

$\phi( m + n) = g^{m+n} = g^m g^n = \phi(m) \phi(n)\text{.} \nonumber$

Claramente$$\phi$$ está sobre. Si$$|g| = m\text{,}$$ entonces$$g^m = e\text{.}$$ De ahí,$$\ker \phi = m {\mathbb Z}$$ y$${\mathbb Z} / \ker \phi = {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong G\text{.}$$ Por otro lado, si el orden de$$g$$ es infinito, entonces$$\ker \phi = 0$$ y$$\phi$$ es un isomorfismo de$$G$$ y$${\mathbb Z}\text{.}$$ Por lo tanto, dos grupos cíclicos son isomórficos exactamente cuando tienen el mismo orden. Hasta el isomorfismo, los únicos grupos cíclicos son$${\mathbb Z}$$ y$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## Teorema$$11.12$$

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G$$ (no necesariamente normal en$$G$$) y$$N$$ un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Entonces$$HN$$ es un subgrupo de$$G\text{,}$$$$H \cap N$$ es un subgrupo normal de$$H\text{,}$$ y

$H / H \cap N \cong HN /N\text{.} \nonumber$

Prueba

Primero mostraremos que$$HN = \{ hn : h \in H, n \in N \}$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Supongamos que$$h_1 n_1, h_2 n_2 \in HN\text{.}$$ ya$$N$$ es normal,$$(h_2)^{-1} n_1 h_2 \in N\text{.}$$ Así

$(h_1 n_1)(h_2 n_2) = h_1 h_2 ( (h_2)^{-1} n_1 h_2 )n_2 \nonumber$

está en$$HN\text{.}$$ La inversa de$$hn \in HN$$ está en$$HN$$ desde

$( hn )^{-1} = n^{-1 } h^{-1} = h^{-1} (h n^{-1} h^{-1} )\text{.} \nonumber$

A continuación, demostramos que$$H \cap N$$ es normal en$$H\text{.}$$ Let$$h \in H$$ y$$n \in H \cap N\text{.}$$ Entonces$$h^{-1} n h \in H$$ ya que cada elemento está en$$H\text{.}$$ También,$$h^{-1} n h \in N$$ ya que$$N$$ es normal en$$G\text{;}$$ por lo tanto,$$h^{-1} n h \in H \cap N\text{.}$$

Ahora definimos un mapa$$\phi$$ de$$H$$ a$$HN / N$$ por$$h \mapsto h N\text{.}$$ El mapa$$\phi$$ es onto, ya que cualquier coset$$h n N = h N$$ es la imagen de$$h$$ en También$$H\text{.}$$ sabemos que$$\phi$$ es un homomorfismo porque

$\phi( h h') = h h' N = h N h' N = \phi( h ) \phi( h')\text{.} \nonumber$

Por el primer teorema del isomorfismo, la imagen de$$\phi$$ es isomorfa a$$H / \ker \phi\text{;}$$ esto es,

$HN/N = \phi(H) \cong H / \ker \phi\text{.} \nonumber$

Desde

$\ker \phi = \{ h \in H : h \in N \} = H \cap N\text{,} \nonumber$

$$HN/N = \phi(H) \cong H / H \cap N\text{.}$$

## Teorema$$11.13$$. Correspondence Theorem

Dejar$$N$$ ser un subgrupo normal de un grupo$$G\text{.}$$ Entonces$$H \mapsto H/N$$ es una correspondencia uno a uno entre el conjunto de subgrupos$$H$$ de$$G$$ contención$$N$$ y el conjunto de subgrupos de $$G/N\text{.}$$Además, los subgrupos normales de$$G$$ contenido$$N$$ corresponden a subgrupos normales de$$G/N\text{.}$$

Prueba

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$ contener$$N\text{.}$$ Ya que$$N$$ es normal en$$H\text{,}$$$$H/N$$ es un grupo de factores. Dejar$$aN$$ y$$bN$$ ser elementos de$$H/N\text{.}$$ Entonces$$(aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\text{;}$$ por lo tanto,$$H/N$$ es un subgrupo de$$G/N\text{.}$$

Dejar$$S$$ ser un subgrupo de$$G/N\text{.}$$ Este subgrupo es un conjunto de coconjuntos de$$N\text{.}$$ Si$$H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}$$ entonces para$$h_1, h_2 \in H\text{,}$$ nosotros tenemos eso$$(h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S$$ y$$h_1^{-1} N \in S\text{.}$$ Por lo tanto,$$H$$ debe ser un subgrupo de$$G\text{.}$$ Claramente,$$H$$ contiene$$N\text{.}$$ Por lo tanto, en$$S = H / N\text{.}$$ consecuencia, el mapa$$H \mapsto H/N$$ está en.

Supongamos que$$H_1$$ y$$H_2$$ son subgrupos de$$G$$ contener$$N$$ tal que$$H_1/N = H_2/N\text{.}$$ si$$h_1 \in H_1\text{,}$$ entonces$$h_1 N \in H_1/N\text{.}$$ Por lo tanto,$$h_1 N = h_2 N \subset H_2$$ para algunos$$h_2$$ en$$H_2\text{.}$$ Sin embargo, ya que$$N$$ está contenido en$$H_2\text{,}$$ sabemos que$$h_1 \in H_2$$ o$$H_1 \subset H_2\text{.}$$ De manera similar, $$H_2 \subset H_1\text{.}$$Ya que$$H_1 = H_2\text{,}$$ el mapa$$H \mapsto H/N$$ es uno a uno.

Supongamos que$$H$$ es normal en$$G$$ y$$N$$ es un subgrupo de$$H\text{.}$$ Entonces es fácil verificar que el mapa$$G/N \rightarrow G/H$$ definido por$$gN \mapsto gH$$ es un homomorfismo. El núcleo de este homomorfismo es el$$H/N\text{,}$$ que demuestra que$$H/N$$ es normal en$$G/N\text{.}$$

Por el contrario, supongamos que eso$$H/N$$ es normal en$$G/N\text{.}$$ El homomorfismo dado por

$G \rightarrow G/N \rightarrow \frac{G/N}{H/N} \nonumber$

tiene kernel$$H\text{.}$$ Por lo tanto,$$H$$ debe ser normal en$$G\text{.}$$

Observe que en el transcurso de la prueba del Teorema$$11.13$$, también hemos probado el siguiente teorema.

## Teorema\ (11.14\. Teorema del Tercer Isomorfismo

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$N$$ y$$H$$ ser subgrupos normales de$$G$$ con$$N \subset H\text{.}$$ Entonces

$G/H \cong \frac{G/N}{H/N}\text{.} \nonumber$

## Ejemplo$$11.15$$

Por el Tercer Teorema del Isomorfismo,

${\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong ({\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})/ (m {\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})\text{.} \nonumber$

Solución

Desde$$| {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z} | = mn$$ y$$|{\mathbb Z} / m{\mathbb Z}| = m\text{,}$$ tenemos$$| m {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z}| = n\text{.}$$

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