11.4: Ejercicios

1

Demostrar que\(\det( AB) = \det(A) \det(B)\) para\(A, B \in GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Esto demuestra que el determinante es un homomorfismo desde\(GL_2( {\mathbb R} )\) hasta\({\mathbb R}^*\text{.}\)

2

¿Cuáles de los siguientes mapas son homomorfismos? Si el mapa es un homomorfismo, ¿qué es el núcleo?

1. \(\phi : {\mathbb R}^\ast \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\)definido por

   \[ \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \nonumber \]

2. \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\)definido por

   \[ \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \nonumber \]

3. \(\phi : GL_2 ({\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\)definido por

   \[ \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = a + d \nonumber \]

4. \(\phi : GL_2 ( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\)definido por

   \[ \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad - bc \nonumber \]

5. \(\phi : {\mathbb M}_2( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\)definido por

   \[ \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = b\text{,} \nonumber \]

   donde\({\mathbb M}_2( {\mathbb R})\) está el grupo aditivo de\(2 \times 2\) matrices con entradas en\({\mathbb R}\text{.}\)

3

\(A\)Déjese ser una\(m \times n\) matriz. Mostrar que la multiplicación matricial,\(x \mapsto Ax\text{,}\) define un homomorfismo\(\phi : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\text{.}\)

4

\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\)Déjese dar por\(\phi(n) = 7n\text{.}\) Demostrar que\(\phi\) es un homomorfismo grupal. Encuentra el kernel y la imagen de\(\phi\text{.}\)

5

Describir todos los homomorfismos desde\({\mathbb Z}_{24}\) hasta\({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

6

Describir todos los homomorfismos desde\({\mathbb Z}\) hasta\({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)

7

En el grupo\({\mathbb Z}_{24}\text{,}\) let\(H = \langle 4 \rangle\) y\(N = \langle 6 \rangle\text{.}\)

1. Enumere los elementos en\(HN\) (generalmente escribimos\(H + N\) para estos grupos de aditivos) y\(H \cap N\text{.}\)
2. Enumere los cosets al\(HN/N\text{,}\) mostrar los elementos en cada coconjunto.
3. Enumere los cosets al\(H/(H \cap N)\text{,}\) mostrar los elementos en cada coconjunto.
4. Dar la correspondencia entre\(HN/N\) y\(H/(H \cap N)\) descrita en la prueba del Teorema del Segundo Isomorfismo.

8

Si\(G\) es un grupo abeliano y\(n \in {\mathbb N}\text{,}\) mostrar que\(\phi : G \rightarrow G\) definido por\(g \mapsto g^n\) es un homomorfismo grupal.

9

Si\(\phi : G \rightarrow H\) es un homomorfismo grupal y\(G\) es abeliano, demostrar que también\(\phi(G)\) es abeliano.

10

Si\(\phi : G \rightarrow H\) es un homomorfismo grupal y\(G\) es cíclico, probar que también\(\phi(G)\) es cíclico.

11

Mostrar que un homomorfismo definido en un grupo cíclico está completamente determinado por su acción sobre el generador del grupo.

12

Si un grupo\(G\) tiene exactamente un subgrupo\(H\) de orden\(k\text{,}\) demostrar que\(H\) es normal en\(G\text{.}\)

13

Demostrar o desacreditar:\({\mathbb Q} / {\mathbb Z} \cong {\mathbb Q}\text{.}\)

14

Dejar\(G\) ser un grupo finito y\(N\) un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Si\(H\) es un subgrupo de\(G/N\text{,}\) probar que\(\phi^{-1}(H)\) es un subgrupo en\(G\) orden\(|H| \cdot |N|\text{,}\) donde\(\phi : G \rightarrow G/N\) está el homomorfismo canónico.

15

Dejar\(G_1\) y\(G_2\) ser grupos, y dejar\(H_1\) y\(H_2\) ser subgrupos normales de\(G_1\) y\(G_2\) respectivamente. Que\(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) sea un homomorfismo. Demostrar que\(\phi\) induce un homomorfismo\(\overline{\phi} : (G_1/H_1) \rightarrow (G_2/H_2)\) si\(\phi(H_1) \subset H_2\text{.}\)

16

Si\(H\) y\(K\) son subgrupos normales de\(G\) y\(H \cap K = \{ e \}\text{,}\) prueban que\(G\) es isomórfico a un subgrupo de\(G/H \times G/K\text{.}\)

17

Dejar\(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) ser un homomorfismo grupal suryectiva. \(H_1\)Sea un subgrupo normal de\(G_1\) y supongamos que\(\phi(H_1) = H_2\text{.}\) Demostrar o desacreditar que\(G_1/H_1 \cong G_2/H_2\text{.}\)

18

Que\(\phi : G \rightarrow H\) sea un homomorfismo grupal. Demostrar que\(\phi\) es uno a uno si y solo si\(\phi^{-1}(e) = \{ e \}\text{.}\)

19

Dado un homomorfismo\(\phi :G \rightarrow H\) definir una relación\(\sim\) sobre\(G\) por\(a \sim b\) si\(\phi(a) = \phi(b)\) para\(a, b \in G\text{.}\) Mostrar esta relación es una relación de equivalencia y describir las clases de equivalencia.