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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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## 1

$$\operatorname{Aut}(G)$$Sea el conjunto de todos los automorfismos de$$G\text{;}$$ eso es, isomorfismos de$$G$$ a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de es$$G\text{;}$$ decir,$$\operatorname{Aut}(G) \leq S_G\text{.}$$

## 2

Un automorfismo interno de$$G\text{,}$$

$i_g : G \rightarrow G\text{,} \nonumber$

está definido por el mapa

$i_g(x) = g x g^{-1}\text{,} \nonumber$

para$$g \in G\text{.}$$ Demostrar que$$i_g \in \operatorname{Aut}(G)\text{.}$$

## 3

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por$$\operatorname{Inn}(G)\text{.}$$ Show que$$\operatorname{Inn}(G)$$ es un subgrupo de$$\operatorname{Aut}(G)\text{.}$$

## 4

Encuentra un automorfismo de un grupo$$G$$ que no sea un automorfismo interno.

## 5

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$i_g$$ ser un automorfismo interno de$$G\text{,}$$ y definir un mapa

$G \rightarrow \operatorname{Aut}(G) \nonumber$

por

$g \mapsto i_g\text{.} \nonumber$

Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagen$$\operatorname{Inn}(G)$$ y kernel$$Z(G)\text{.}$$ Usa este resultado para concluir que

$G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\text{.} \nonumber$

## 6

Compute$$\operatorname{Aut}(S_3)$$ y$$\operatorname{Inn}(S_3)\text{.}$$ haga lo mismo para$$D_4\text{.}$$

## 7

Encuentra todos los homomorfismos$$\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}$$ Qué es$$\operatorname{Aut}({\mathbb Z})\text{?}$$

## 8

Encuentra todos los automorfismos de$${\mathbb Z}_8\text{.}$$ Probarlo$$\operatorname{Aut}({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}$$

## 9

Para$$k \in {\mathbb Z}_n\text{,}$$ definir un mapa$$\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n$$ por$$a \mapsto ka\text{.}$$ Demostrar que$$\phi_k$$ es un homomorfismo.

## 10

Demostrar que$$\phi_k$$ es un isomorfismo si y solo si$$k$$ es un generador de$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 11

Demostrar que cada automorfismo de$${\mathbb Z}_n$$ es de la forma$$\phi_k\text{,}$$ donde$$k$$ es un generador de$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 12

Demostrar que$$\psi : U(n) \rightarrow \operatorname{Aut}({\mathbb Z}_n)$$ es un isomorfismo, donde$$\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}$$

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