11.5: Ejercicios Adicionales- Automorfismos

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1

\(\operatorname{Aut}(G)\)Sea el conjunto de todos los automorfismos de\(G\text{;}\) eso es, isomorfismos de\(G\) a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de es\(G\text{;}\) decir,\(\operatorname{Aut}(G) \leq S_G\text{.}\)

2

Un automorfismo interno de\(G\text{,}\)

\[ i_g : G \rightarrow G\text{,} \nonumber \]

está definido por el mapa

\[ i_g(x) = g x g^{-1}\text{,} \nonumber \]

para\(g \in G\text{.}\) Demostrar que\(i_g \in \operatorname{Aut}(G)\text{.}\)

3

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por\(\operatorname{Inn}(G)\text{.}\) Show que\(\operatorname{Inn}(G)\) es un subgrupo de\(\operatorname{Aut}(G)\text{.}\)

4

Encuentra un automorfismo de un grupo\(G\) que no sea un automorfismo interno.

5

Dejar\(G\) ser un grupo y\(i_g\) ser un automorfismo interno de\(G\text{,}\) y definir un mapa

\[ G \rightarrow \operatorname{Aut}(G) \nonumber \]

por

\[ g \mapsto i_g\text{.} \nonumber \]

Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagen\(\operatorname{Inn}(G)\) y kernel\(Z(G)\text{.}\) Usa este resultado para concluir que

\[ G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\text{.} \nonumber \]

6

Compute\(\operatorname{Aut}(S_3)\) y\(\operatorname{Inn}(S_3)\text{.}\) haga lo mismo para\(D_4\text{.}\)

7

Encuentra todos los homomorfismos\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}\) Qué es\(\operatorname{Aut}({\mathbb Z})\text{?}\)

8

Encuentra todos los automorfismos de\({\mathbb Z}_8\text{.}\) Probarlo\(\operatorname{Aut}({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}\)

9

Para\(k \in {\mathbb Z}_n\text{,}\) definir un mapa\(\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n\) por\(a \mapsto ka\text{.}\) Demostrar que\(\phi_k\) es un homomorfismo.

10

Demostrar que\(\phi_k\) es un isomorfismo si y solo si\(k\) es un generador de\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

11

Demostrar que cada automorfismo de\({\mathbb Z}_n\) es de la forma\(\phi_k\text{,}\) donde\(k\) es un generador de\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

12

Demostrar que\(\psi : U(n) \rightarrow \operatorname{Aut}({\mathbb Z}_n)\) es un isomorfismo, donde\(\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}\)