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LibreTexts Español

11.5: Ejercicios Adicionales- Automorfismos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

1

Aut(G)Sea el conjunto de todos los automorfismos deG; eso es, isomorfismos deG a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de esG; decir,Aut(G)SG.

2

Un automorfismo interno deG,

ig:GG,

está definido por el mapa

ig(x)=gxg1,

paragG. Demostrar queigAut(G).

3

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota porInn(G). Show queInn(G) es un subgrupo deAut(G).

4

Encuentra un automorfismo de un grupoG que no sea un automorfismo interno.

5

DejarG ser un grupo yig ser un automorfismo interno deG, y definir un mapa

GAut(G)

por

gig.

Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagenInn(G) y kernelZ(G). Usa este resultado para concluir que

G/Z(G)Inn(G).

6

ComputeAut(S3) yInn(S3). haga lo mismo paraD4.

7

Encuentra todos los homomorfismosϕ:ZZ. Qué esAut(Z)?

8

Encuentra todos los automorfismos deZ8. ProbarloAut(Z8)U(8).

9

ParakZn, definir un mapaϕk:ZnZn poraka. Demostrar queϕk es un homomorfismo.

10

Demostrar queϕk es un isomorfismo si y solo sik es un generador deZn.

11

Demostrar que cada automorfismo deZn es de la formaϕk, dondek es un generador deZn.

12

Demostrar queψ:U(n)Aut(Zn) es un isomorfismo, dondeψ:kϕk.


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