11.5: Ejercicios Adicionales- Automorfismos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Aut(G)Sea el conjunto de todos los automorfismos deG; eso es, isomorfismos deG a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de esG; decir,Aut(G)≤SG.
Un automorfismo interno deG,
ig:G→G,
está definido por el mapa
ig(x)=gxg−1,
parag∈G. Demostrar queig∈Aut(G).
El conjunto de todos los automorfismos internos se denota porInn(G). Show queInn(G) es un subgrupo deAut(G).
Encuentra un automorfismo de un grupoG que no sea un automorfismo interno.
DejarG ser un grupo yig ser un automorfismo interno deG, y definir un mapa
G→Aut(G)
por
g↦ig.
Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagenInn(G) y kernelZ(G). Usa este resultado para concluir que
G/Z(G)≅Inn(G).
ComputeAut(S3) yInn(S3). haga lo mismo paraD4.
Encuentra todos los homomorfismosϕ:Z→Z. Qué esAut(Z)?
Encuentra todos los automorfismos deZ8. ProbarloAut(Z8)≅U(8).
Parak∈Zn, definir un mapaϕk:Zn→Zn pora↦ka. Demostrar queϕk es un homomorfismo.
Demostrar queϕk es un isomorfismo si y solo sik es un generador deZn.
Demostrar que cada automorfismo deZn es de la formaϕk, dondek es un generador deZn.
Demostrar queψ:U(n)→Aut(Zn) es un isomorfismo, dondeψ:k↦ϕk.