11.5: Ejercicios Adicionales- Automorfismos

1

$\operatorname{Aut}(G)$Sea el conjunto de todos los automorfismos de$G\text{;}$ eso es, isomorfismos de$G$ a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de es$G\text{;}$ decir,$\operatorname{Aut}(G) \leq S_G\text{.}$

2

Un automorfismo interno de$G\text{,}$

$$i_g : G \rightarrow G\text{,} \nonumber$$

está definido por el mapa

$$i_g(x) = g x g^{-1}\text{,} \nonumber$$

para$g \in G\text{.}$ Demostrar que$i_g \in \operatorname{Aut}(G)\text{.}$

3

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por$\operatorname{Inn}(G)\text{.}$ Show que$\operatorname{Inn}(G)$ es un subgrupo de$\operatorname{Aut}(G)\text{.}$

4

Encuentra un automorfismo de un grupo$G$ que no sea un automorfismo interno.

5

Dejar$G$ ser un grupo y$i_g$ ser un automorfismo interno de$G\text{,}$ y definir un mapa

$$G \rightarrow \operatorname{Aut}(G) \nonumber$$

por

$$g \mapsto i_g\text{.} \nonumber$$

Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagen$\operatorname{Inn}(G)$ y kernel$Z(G)\text{.}$ Usa este resultado para concluir que

$$G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\text{.} \nonumber$$

6

Compute$\operatorname{Aut}(S_3)$ y$\operatorname{Inn}(S_3)\text{.}$ haga lo mismo para$D_4\text{.}$

7

Encuentra todos los homomorfismos$\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}$ Qué es$\operatorname{Aut}({\mathbb Z})\text{?}$

8

Encuentra todos los automorfismos de${\mathbb Z}_8\text{.}$ Probarlo$\operatorname{Aut}({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}$

9

Para$k \in {\mathbb Z}_n\text{,}$ definir un mapa$\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n$ por$a \mapsto ka\text{.}$ Demostrar que$\phi_k$ es un homomorfismo.

10

Demostrar que$\phi_k$ es un isomorfismo si y solo si$k$ es un generador de${\mathbb Z}_n\text{.}$

11

Demostrar que cada automorfismo de${\mathbb Z}_n$ es de la forma$\phi_k\text{,}$ donde$k$ es un generador de${\mathbb Z}_n\text{.}$

12

Demostrar que$\psi : U(n) \rightarrow \operatorname{Aut}({\mathbb Z}_n)$ es un isomorfismo, donde$\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}$