13.2: Grupos Solvibles
- Page ID
- 111202
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Una serie subnormal de un grupo\(G\) es una secuencia finita de subgrupos
\[ G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \nonumber \]
donde\(H_i\) es un subgrupo normal de\(H_{i+1}\text{.}\) Si cada subgrupo\(H_i\) es normal en\(G\text{,}\) entonces la serie se llama serie normal. La longitud de una serie subnormal o normal es el número de inclusiones adecuadas.
Ejemplo\(13.11\)
Cualquier serie de subgrupos de un grupo abeliano es una serie normal.
Solución
Considere la siguiente serie de grupos:
\ begin {reunir*} {\ mathbb Z}\ supset 9 {\ mathbb Z}\ supset 45 {\ mathbb Z}\ supset 180 {\ mathbb Z}\ supset\ {0\},\\ {\ mathbb Z} _ {24}\ supset\ langle 2\ rangle\ supset\ langle\ langle 6\ rangle\ rangle\ supset\ langle 12\ rangle\ supset\ {0\}\ texto {.} \ end {reunir*}
Ejemplo\(13.12\)
Una serie subnormal no necesita ser una serie normal. Considere las siguientes series subnormales del grupo\(D_4\text{:}\)
\[ D_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \} \supset \{ (1) \}\text{.} \nonumber \]
Solución
El subgrupo no\(\{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \}\) es normal en\(D_4\text{;}\) consecuencia, esta serie no es una serie normal.
Una serie subnormal (normal)\(\{ K_j \}\) es un refinamiento de una serie subnormal (normal)\(\{ H_i \}\) si Es\(\{ H_i \} \subset \{ K_j \}\text{.}\) decir, cada una\(H_i\) es una de las\(K_j\text{.}\)
Ejemplo\(13.13\)
La serie
\[ {\mathbb Z} \supset 3{\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 90{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\} \nonumber \]
Solución
es un refinamiento de la serie
\[ {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\}\text{.} \nonumber \]
La mejor manera de estudiar una serie subnormal o normal de subgrupos,\(\{ H_i \}\) de\(G\text{,}\) es en realidad estudiar los grupos factoriales\(H_{i+1}/H_i\text{.}\) Decimos que dos series subnormales (normales)\(\{H_i \}\) y\(\{ K_j \}\) de un grupo\(G\) son isomórficas si hay una serie uno-a-uno correspondencia entre las colecciones de grupos factoriales\(\{H_{i+1}/H_i \}\) y\(\{ K_{j+1}/ K_j \}\text{.}\)
Ejemplo\(13.14\)
Las dos series normales
\ begin {reunir*} {\ mathbb Z} _ {60}\ supset\ langle 3\ rangle\ supset\ langle 15\ rangle\ rangle\ supset\ {0\}\\ {\ mathbb Z} _ {60}\ supset\ langle 4\ rangle\ supset\ langle 20\ rangle\ rangle\ supset\ {0\}\ end {gather*}
del grupo\({\mathbb Z}_{60}\) son isomórficos
Solución
desde
\ begin {reunir*} {\ mathbb Z} _ {60}/\ langle 3\ rangle\ cong\ langle 20\ rangle/\ {0\}\ cong {\ mathbb Z} _ {3}\\ langle 3\ rangle/\ langle 15\ rangle\ cong\ langle 4\ rangle/\ langle 20\ rangle\ cong {mathmathbb Z} _ {5}\\\ langle 15\ rangle/\ {0\}\ cong {\ mathbb Z} _ {60}/\ langle 4\ rangle\ cong {\ mathbb Z} _4\ texto {.} \ end {reunir*}
Una serie subnormal\(\{ H_i \}\) de un grupo\(G\) es una serie de composición si todos los grupos de factores son simples; es decir, si ninguno de los grupos de factores de la serie contiene un subgrupo normal. Una serie normal\(\{ H_i \}\) de\(G\) es una serie principal si todos los grupos de factores son simples.
Ejemplo\(13.15\)
El grupo\({\mathbb Z}_{60}\) tiene una serie de composición
\[ {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \langle 30 \rangle \supset \{ 0 \} \nonumber \]
con grupos factoriales
\ begin {align*} {\ mathbb Z} _ {60}/\ langle 3\ rangle &\ cong {\ mathbb Z} _ {3}\\\ langle 3\ rangle/\ langle 15\ rangle &\ cong {\ mathbb Z} _ {5}\\ langle 15\ rangle/\ langle 30\ rangle &\ cong {\ mathbb Z} _ {2}\\\ langle 30\ rangle/\ {0\} &\ cong {\ mathbb Z} _2\ text {.} \ end {alinear*}
Solución
Dado que\({\mathbb Z}_{60}\) es un grupo abeliano, esta serie es automáticamente una serie principal. Observe que una serie de composición no necesita ser única. La serie
\[ {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \nonumber \]
es también una serie de composición.
Ejemplo\(13.16\)
Para\(n \geq 5\text{,}\) la serie
\[ S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \nonumber \]
Solución
es una serie de composición para\(S_n\) desde entonces\(S_n / A_n \cong {\mathbb Z}_2\) y\(A_n\) es simple.
Ejemplo\(13.17\)
No todos los grupos tienen una serie de composición o una serie principal. Supongamos que
\[ \{ 0 \} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_{n-1} \subset H_n = {\mathbb Z} \nonumber \]
es una serie subnormal para los enteros en adición.
Solución
Entonces\(H_1\) debe ser de la forma\(k {\mathbb Z}\) para algunos\(k \in {\mathbb N}\text{.}\) En este caso\(H_1 / H_0 \cong k {\mathbb Z}\) es un grupo cíclico infinito con muchos subgrupos normales propios no triviales.
Aunque las series de composición no necesitan ser únicas como en el caso de\({\mathbb Z}_{60}\text{,}\) resulta que dos series de composición cualesquiera están relacionadas. Los grupos de factores de las dos series de composición para\({\mathbb Z}_{60}\) son\({\mathbb Z}_2\text{,}\)\({\mathbb Z}_2\text{,}\)\({\mathbb Z}_3\text{,}\) y es\({\mathbb Z}_5\text{;}\) decir, las dos series de composición son isomórficas. El teorema de Jordan-Hölder dice que siempre es así.
Teorema\(13.18\). Jordan-Hölder
Cualquiera de dos series de composición de\(G\) son isomórficas.
- Prueba
-
Emplearemos inducción matemática sobre la longitud de la serie de composición. Si la longitud de una serie de composición es 1, entonces\(G\) debe ser un grupo simple. En este caso cualquiera de dos series de composición son isomórficas.
Supongamos ahora que el teorema es cierto para todos los grupos que tienen una serie de composición de longitud\(k\text{,}\) donde\(1 \leq k \lt n\text{.}\) Let
\ begin {reunir*} G = H_n\ supset H_ {n-1}\ supset\ cdots\ supset H_1\ supset H_0 =\ {e\}\\ G = K_m\ supset K_ {m-1}\ supset\ cdots\ supset K_1\ supset K_0 =\ {e\}\ end {gather*}
ser dos series de composición para\(G\text{.}\) Podemos formar dos nuevas series subnormales para\(G\) ya que\(H_i \cap K_{m-1}\) es normal en\(H_{i+1} \cap K_{m-1}\) y\(K_j \cap H_{n-1}\) es normal en\(K_{j+1} \cap H_{n-1}\text{:}\)
\ begin {reunir*} G = H_n\ supset H_ {n-1}\ supset H_ {n-1}\ cap K_ {m-1}\ supset\ cdots\ supset H_0\ cap K_ {m-1} =\ {e\}\ G = k_m\ supset K_ {m-1}\ supset K_ {m-1}\ cap H_ {-1}\ supset\ cdots\ supset K_0\ cap H_ {n-1} =\ {e\}\ texto {.} \ end {reunir*}
Dado que\(H_i \cap K_{m-1}\) es normal en\(H_{i+1} \cap K_{m-1}\text{,}\) el Segundo Teorema del Isomorfismo (Teorema\(11.12\)) implica que
\ begin {align*} (H_ {i+1}\ cap K_ {m-1})/(H_i\ cap K_ {m-1}) & = (H_ {i+1}\ cap K_ {m-1})/(H_i\ cap (H_ {i+1}\ cap K_ {m-1}))\\ &\ cong H_i (H_ {i+1}\ cap K_ {m-1})/H_i\ text {,}\ end {align*}
donde\(H_i\) es normal en\(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\text{.}\)\(\{ H_i \}\) Since es una serie de composición,\(H_{i+1} / H_i\) debe ser simple; consecuentemente,\(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\) es\(H_{i+1}/H_i\) o Es\(H_i/H_i\text{.}\) decir,\(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\) debe ser\(H_i\) o\(H_{i+1}\text{.}\) Eliminando cualquier inclusiones inapropiadas de la serie
\[ H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\text{,} \nonumber \]
tenemos una serie de composición para\(H_{n-1}\text{.}\) Nuestra hipótesis de inducción dice que esta serie debe ser equivalente a la serie de composición
\[ H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{.} \nonumber \]
De ahí que la serie de composición
\[ G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \} \nonumber \]
y
\[ G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \nonumber \]
son equivalentes. Si\(H_{n-1} = K_{m-1}\text{,}\) entonces las series de composición\(\{H_i \}\) y\(\{ K_j \}\) son equivalentes y ya estamos hechos; de lo contrario,\(H_{n-1} K_{m-1}\) es un subgrupo normal de contener\(G\) adecuadamente\(H_{n-1}\text{.}\) En este caso\(H_{n-1} K_{m-1} = G\) y podemos aplicar una vez más el Segundo Teorema del Isomorfismo; es decir,
\[ K_{m-1} / (K_{m-1} \cap H_{n-1}) \cong (H_{n-1} K_{m-1}) / H_{n-1} = G/H_{n-1}\text{.} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[ G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \nonumber \]
y
\[ G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \} \nonumber \]
son equivalentes y la prueba del teorema es completa.
Un grupo\(G\) es solucionable si tiene una serie subnormal\(\{ H_i \}\) tal que todos los grupos factoriales\(H_{i+1} / H_i\) son abelianos. Los grupos solucionables jugarán un papel fundamental cuando estudiemos la teoría de Galois y la solución de ecuaciones polinómicas.
Ejemplo\(13.19\)
El grupo\(S_4\) es solucionable ya que
\[ S_4 \supset A_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1) \} \nonumber \]
tiene grupos de factores abelianos;
Solución
sin embargo, para\(n \geq 5\) la serie
\[ S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \nonumber \]
es una serie de composición para\(S_n\) con un grupo de factores no abelianos. Por lo tanto, no\(S_n\) es un grupo solucionable para\(n \geq 5\text{.}\)