13.4: Ejercicios
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Encuentra todos los grupos abelianos de orden menor o igual que\(40\) hasta isomorfismo.
Encuentra todos los grupos abelianos de orden\(200\) hasta el isomorfismo.
Encuentra todos los grupos abelianos de orden\(720\) hasta el isomorfismo.
Encuentra todas las series de composición para cada uno de los siguientes grupos.
- \(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
- \(\displaystyle {\mathbb Z}_{48}\)
- Los cuaterniones,\(Q_8\)
- \(\displaystyle D_4\)
- \(\displaystyle S_3 \times {\mathbb Z}_4\)
- \(\displaystyle S_4\)
- \(S_n\text{,}\)\(n \geq 5\)
- \(\displaystyle {\mathbb Q}\)
Demostrar que el producto directo infinito no\(G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots\) se genera finitamente.
Dejar\(G\) ser un grupo abeliano de orden\(m\text{.}\) Si\(n\) divide\(m\text{,}\) probar que\(G\) tiene un subgrupo de orden\(n\text{.}\)
Un grupo\(G\) es un grupo de torsión si cada elemento de\(G\) tiene orden finito. Demostrar que un grupo de torsión abeliana finitamente generado debe ser finito.
Dejar\(G\text{,}\)\(H\text{,}\) y\(K\) ser grupos abelianos finitamente generados. Demostrar que si\(G \times H \cong G \times K\text{,}\) entonces\(H \cong K\text{.}\) Dar un contraejemplo para demostrar que esto no puede ser cierto en general.
Dejar\(G\) y\(H\) ser grupos solucionables. Demostrar que también\(G \times H\) es solucionable.
Si\(G\) tiene una serie de composición (principal) y si\(N\) es un subgrupo normal apropiado de\(G\text{,}\) show existe una serie de composición (principal) que contiene\(N\text{.}\)
Demostrar o desmentir: Let\(N\) be a normal subgroup of\(G\text{.}\)\(N\) If and\(G/N\) have composition series, then\(G\) must also have a composition series.
Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Si\(N\) y\(G/N\) son grupos solucionables, muestran que también\(G\) es un grupo solucionable.
Demostrar que\(G\) es un grupo solucionable si y solo si\(G\) tiene una serie de subgrupos
\[ G = P_n \supset P_{n - 1} \supset \cdots \supset P_1 \supset P_0 = \{ e \} \nonumber \]
donde\(P_i\) es normal en\(P_{i + 1}\) y el orden de\(P_{i + 1} / P_i\) es primo.
Dejar\(G\) ser un grupo solucionable. Demostrar que cualquier subgrupo de también\(G\) es solucionable.
Dejar\(G\) ser un grupo solucionable y\(N\) un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Prove que\(G/N\) es solucionable.
Demostrar que\(D_n\) es solucionable para todos los números enteros\(n\text{.}\)
Supongamos que\(G\) tiene una serie de composición. Si\(N\) es un subgrupo normal de\(G\text{,}\) mostrar eso\(N\) y\(G/N\) también tener series de composición.
Let\(G\) Ser un\(p\) grupo cíclico con subgrupos\(H\) y\(K\text{.}\) Demostrar que o bien\(H\) está contenido en\(K\) o\(K\) está contenido en\(H\text{.}\)
Supongamos que\(G\) es un grupo solucionable con orden\(n \geq 2\text{.}\) Show que\(G\) contiene un subgrupo abeliano no trivial normal.
Recordemos que el subgrupo\(G'\) de conmutador de un grupo\(G\) se define como el subgrupo de\(G\) generados por elementos de la forma\(a^{-1} b ^{-1} ab\) para\(a, b \in G\text{.}\) Podemos definir una serie de subgrupos de\(G\) por\(G^{(0)} = G\text{,}\)\(G^{(1)} = G'\text{,}\) y\(G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}\)
- Demostrar que\(G^{(i+1)}\) es normal en\((G^{(i)})'\text{.}\) La serie de subgrupos
\[ G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \nonumber \]
se llama la serie derivada de\(G\text{.}\)
- Mostrar que\(G\) es solucionable si y solo si\(G^{(n)} = \{ e \}\) para algún entero\(n\text{.}\)
Supongamos que\(G\) es un grupo solucionable con orden\(n \geq 2\text{.}\) Show que\(G\) contiene un grupo de factores abelianos no triviales normales.
Zassenhaus Lema
Dejar\(H\) y\(K\) ser subgrupos de un grupo\(G\text{.}\) Supongamos también que\(H^*\) y\(K^*\) son subgrupos normales de\(H\) y\(K\) respectivamente. Entonces
- \(H^* ( H \cap K^*)\)es un subgrupo normal de\(H^* ( H \cap K)\text{.}\)
- \(K^* ( H^* \cap K)\)es un subgrupo normal de\(K^* ( H \cap K)\text{.}\)
- \(H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}\)
Teorema de Schreier
Utilice el Zassenhaus Lemma para demostrar que dos series subnormales (normales) de un grupo\(G\) tienen refinamientos isomórficos.
Utilizar el Teorema de Schreier para probar el Teorema de Jordan-Hölder.