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# 13.4: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Encuentra todos los grupos abelianos de orden menor o igual que$$40$$ hasta isomorfismo.

## 2

Encuentra todos los grupos abelianos de orden$$200$$ hasta el isomorfismo.

## 3

Encuentra todos los grupos abelianos de orden$$720$$ hasta el isomorfismo.

## 4

Encuentra todas las series de composición para cada uno de los siguientes grupos.

1. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{12}$$
2. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{48}$$
3. Los cuaterniones,$$Q_8$$
4. $$\displaystyle D_4$$
5. $$\displaystyle S_3 \times {\mathbb Z}_4$$
6. $$\displaystyle S_4$$
7. $$S_n\text{,}$$$$n \geq 5$$
8. $$\displaystyle {\mathbb Q}$$

## 5

Demostrar que el producto directo infinito no$$G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots$$ se genera finitamente.

## 6

Dejar$$G$$ ser un grupo abeliano de orden$$m\text{.}$$ Si$$n$$ divide$$m\text{,}$$ probar que$$G$$ tiene un subgrupo de orden$$n\text{.}$$

## 7

Un grupo$$G$$ es un grupo de torsión si cada elemento de$$G$$ tiene orden finito. Demostrar que un grupo de torsión abeliana finitamente generado debe ser finito.

## 8

Dejar$$G\text{,}$$$$H\text{,}$$ y$$K$$ ser grupos abelianos finitamente generados. Demostrar que si$$G \times H \cong G \times K\text{,}$$ entonces$$H \cong K\text{.}$$ Dar un contraejemplo para demostrar que esto no puede ser cierto en general.

## 9

Dejar$$G$$ y$$H$$ ser grupos solucionables. Demostrar que también$$G \times H$$ es solucionable.

## 10

Si$$G$$ tiene una serie de composición (principal) y si$$N$$ es un subgrupo normal apropiado de$$G\text{,}$$ show existe una serie de composición (principal) que contiene$$N\text{.}$$

## 11

Demostrar o desmentir: Let$$N$$ be a normal subgroup of$$G\text{.}$$$$N$$ If and$$G/N$$ have composition series, then$$G$$ must also have a composition series.

## 12

Dejar$$N$$ ser un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Si$$N$$ y$$G/N$$ son grupos solucionables, muestran que también$$G$$ es un grupo solucionable.

## 13

Demostrar que$$G$$ es un grupo solucionable si y solo si$$G$$ tiene una serie de subgrupos

$G = P_n \supset P_{n - 1} \supset \cdots \supset P_1 \supset P_0 = \{ e \} \nonumber$

donde$$P_i$$ es normal en$$P_{i + 1}$$ y el orden de$$P_{i + 1} / P_i$$ es primo.

## 14

Dejar$$G$$ ser un grupo solucionable. Demostrar que cualquier subgrupo de también$$G$$ es solucionable.

## 15

Dejar$$G$$ ser un grupo solucionable y$$N$$ un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Prove que$$G/N$$ es solucionable.

## 16

Demostrar que$$D_n$$ es solucionable para todos los números enteros$$n\text{.}$$

## 17

Supongamos que$$G$$ tiene una serie de composición. Si$$N$$ es un subgrupo normal de$$G\text{,}$$ mostrar eso$$N$$ y$$G/N$$ también tener series de composición.

## 18

Let$$G$$ Ser un$$p$$ grupo cíclico con subgrupos$$H$$ y$$K\text{.}$$ Demostrar que o bien$$H$$ está contenido en$$K$$ o$$K$$ está contenido en$$H\text{.}$$

## 19

Supongamos que$$G$$ es un grupo solucionable con orden$$n \geq 2\text{.}$$ Show que$$G$$ contiene un subgrupo abeliano no trivial normal.

## 20

Recordemos que el subgrupo$$G'$$ de conmutador de un grupo$$G$$ se define como el subgrupo de$$G$$ generados por elementos de la forma$$a^{-1} b ^{-1} ab$$ para$$a, b \in G\text{.}$$ Podemos definir una serie de subgrupos de$$G$$ por$$G^{(0)} = G\text{,}$$$$G^{(1)} = G'\text{,}$$ y$$G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}$$

1. Demostrar que$$G^{(i+1)}$$ es normal en$$(G^{(i)})'\text{.}$$ La serie de subgrupos

$G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \nonumber$

se llama la serie derivada de$$G\text{.}$$

2. Mostrar que$$G$$ es solucionable si y solo si$$G^{(n)} = \{ e \}$$ para algún entero$$n\text{.}$$

## 21

Supongamos que$$G$$ es un grupo solucionable con orden$$n \geq 2\text{.}$$ Show que$$G$$ contiene un grupo de factores abelianos no triviales normales.

## 22. Zassenhaus Lema

Dejar$$H$$ y$$K$$ ser subgrupos de un grupo$$G\text{.}$$ Supongamos también que$$H^*$$ y$$K^*$$ son subgrupos normales de$$H$$ y$$K$$ respectivamente. Entonces

1. $$H^* ( H \cap K^*)$$es un subgrupo normal de$$H^* ( H \cap K)\text{.}$$
2. $$K^* ( H^* \cap K)$$es un subgrupo normal de$$K^* ( H \cap K)\text{.}$$
3. $$H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}$$

## 23. Teorema de Schreier

Utilice el Zassenhaus Lemma para demostrar que dos series subnormales (normales) de un grupo$$G$$ tienen refinamientos isomórficos.

## 24

Utilizar el Teorema de Schreier para probar el Teorema de Jordan-Hölder.

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