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# 14.2: La ecuación de clase

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Dejar$$X$$ ser un$$G$$ conjunto finito y$$X_G$$ ser el conjunto de puntos fijos en$$X\text{;}$$ eso es,

$X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ for all } g \in G \}\text{.} \nonumber$

Dado que las órbitas de la partición de acción$$X\text{,}$$

$|X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|\text{,} \nonumber$

donde$$x_k, \ldots, x_n$$ son representantes de las distintas órbitas no triviales de$$X\text{.}$$

Consideremos ahora el caso especial en el que$$G$$ actúa sobre sí mismo por conjugación,$$(g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}$$ El centro de$$G\text{,}$$

$Z(G) = \{x : xg = gx \text{ for all } g \in G \}\text{,} \nonumber$

es el conjunto de puntos que se fijan por conjugación. Las órbitas no triviales de la acción se llaman las clases de conjugación de$$G\text{.}$$ Si$$x_1, \ldots, x_k$$ son representantes de cada una de las clases de conjugación no trivial de$$G$$ y$$|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}$$ luego

$|G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \nonumber$

Los subgrupos estabilizadores de cada uno de los$$x_i$$'s,$$C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}$$ se llaman los subgrupos centralizadores de los$$x_i$$ 's. del teorema$$14.11$$, obtenemos la ecuación de clase:

$|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \nonumber$

Una de las consecuencias de la ecuación de clase es que el orden de cada clase de conjugación debe dividir el orden de$$G\text{.}$$

Ejemplo$$14.12$$

Es fácil comprobar que las clases de conjugación en$$S_3$$ son las siguientes:

$\{ (1) \}, \quad \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}, \quad \{(1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \nonumber$

Solución

La ecuación de clase es$$6 = 1+2+3\text{.}$$

Ejemplo$$14.13$$

El centro de$$D_4$$ es$$\{ (1), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{,}$$ y las clases de conyugacia son

$\{ (1 \, 3), (2 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \}\text{.} \nonumber$

Solución

Por lo tanto, la ecuación de clase para$$D_4$$ es$$8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}$$

Ejemplo$$14.14$$

Porque$$S_n$$ se necesita un poco de trabajo para encontrar las clases de conyugacia. Comenzamos con ciclos. Supongamos que$$\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)$$ es un ciclo y vamos$$\tau \in S_n\text{.}$$

Solución

Por teorema$$6.16$$,

$\tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k))\text{.} \nonumber$

En consecuencia, dos ciclos cualesquiera de la misma longitud son conjugados. Ahora deja$$\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r$$ ser un ciclo de descomposición, donde la longitud de cada ciclo$$\sigma_i$$$$\sigma$$ es$$r_i\text{.}$$ Entonces se conjuga a cada otro$$\tau \in S_n$$ cuyo ciclo de descomposición tiene las mismas longitudes.

El número de clases conjugadas en$$S_n$$ es el número de formas en las que se$$n$$ pueden dividir en sumas de enteros positivos. En el caso de,$$S_3$$ por ejemplo, podemos particionar el entero$$3$$ en las siguientes tres sumas:

\ begin {alinear*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3;\ end {alinear*}

por lo tanto, hay tres clases de conjugación. Hay variaciones al problema de encontrar el número de tales particiones para cualquier entero positivo$$n$$ que son lo que los informáticos llaman NP-Complete. Esto significa efectivamente que el problema no puede resolverse para un gran$$n$$ porque los cálculos requerirían demasiado tiempo incluso para la computadora más grande.

Teorema$$14.15$$

Dejar$$G$$ ser un grupo de orden$$p^n$$ donde$$p$$ es prime. Entonces$$G$$ tiene un centro no trivial.

Prueba

Aplicamos la ecuación de clase

$|G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \nonumber$

Ya que cada uno$$n_i \gt 1$$ y$$n_i \mid |G|\text{,}$$ se deduce que$$p$$ deben dividir cada uno$$n_i\text{.}$$ También, de$$p \mid |G|\text{;}$$ ahí,$$p$$ deben dividir$$|Z(G)|\text{.}$$ Dado que la identidad siempre está en el centro de$$G\text{,}$$$$|Z(G)| \geq 1\text{.}$$ Por lo tanto,$$|Z(G)| \geq p\text{,}$$ y existe alguna$$g \in Z(G)$$ tal que$$g \neq 1\text{.}$$

Corolario$$14.16$$

Dejar$$G$$ ser un grupo de orden$$p^2$$ donde$$p$$ es prime. Entonces$$G$$ es abeliano.

Prueba

Por Teorema$$14.15$$,$$|Z(G)| = p$$ o$$p^2\text{.}$$ Supongamos que$$|Z(G)| = p\text{.}$$ Entonces$$Z(G)$$ y$$G / Z(G)$$ ambos tienen orden$$p$$ y ambos deben ser grupos cíclicos. Escogiendo un generador$$aZ(G)$$ para$$G / Z(G)\text{,}$$ podemos escribir cualquier elemento$$gZ(G)$$ en el grupo cociente como$$a^m Z(G)$$ para algún entero de$$m\text{;}$$ ahí,$$g = a^m x$$ para algunos$$x$$ en el centro de$$G\text{.}$$ Similarmente, si$$hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}$$ existe un$$y$$ en$$Z(G)$$ tal que $$h = a^n y$$para algunos enteros$$n\text{.}$$ Ya que$$x$$ y$$y$$ están en el centro de$$G\text{,}$$ ellos conmutan con todos los demás elementos de$$G\text{;}$$ por lo tanto,

$gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg\text{,} \nonumber$

y$$G$$ debe ser abeliano. Por lo tanto,$$|Z(G)| = p^2\text{.}$$

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