14.2: La ecuación de clase

Dejar\(X\) ser un\(G\) conjunto finito y\(X_G\) ser el conjunto de puntos fijos en\(X\text{;}\) eso es,

\[ X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ for all } g \in G \}\text{.} \nonumber \]

Dado que las órbitas de la partición de acción\(X\text{,}\)

\[ |X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|\text{,} \nonumber \]

donde\(x_k, \ldots, x_n\) son representantes de las distintas órbitas no triviales de\(X\text{.}\)

Consideremos ahora el caso especial en el que\(G\) actúa sobre sí mismo por conjugación,\((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) El centro de\(G\text{,}\)

\[ Z(G) = \{x : xg = gx \text{ for all } g \in G \}\text{,} \nonumber \]

es el conjunto de puntos que se fijan por conjugación. Las órbitas no triviales de la acción se llaman las clases de conjugación de\(G\text{.}\) Si\(x_1, \ldots, x_k\) son representantes de cada una de las clases de conjugación no trivial de\(G\) y\(|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}\) luego

\[ |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \nonumber \]

Los subgrupos estabilizadores de cada uno de los\(x_i\)'s,\(C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}\) se llaman los subgrupos centralizadores de los\(x_i\) 's. del teorema\(14.11\), obtenemos la ecuación de clase:

\[ |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \nonumber \]

Una de las consecuencias de la ecuación de clase es que el orden de cada clase de conjugación debe dividir el orden de\(G\text{.}\)

Ejemplo\(14.12\)

Es fácil comprobar que las clases de conjugación en\(S_3\) son las siguientes:

\[ \{ (1) \}, \quad \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}, \quad \{(1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \nonumber \]

Solución

La ecuación de clase es\(6 = 1+2+3\text{.}\)

Ejemplo\(14.13\)

El centro de\(D_4\) es\(\{ (1), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{,}\) y las clases de conyugacia son

\[ \{ (1 \, 3), (2 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \}\text{.} \nonumber \]

Solución

Por lo tanto, la ecuación de clase para\(D_4\) es\(8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}\)

Ejemplo\(14.14\)

Porque\(S_n\) se necesita un poco de trabajo para encontrar las clases de conyugacia. Comenzamos con ciclos. Supongamos que\(\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)\) es un ciclo y vamos\(\tau \in S_n\text{.}\)

Solución

Por teorema\(6.16\),

\[ \tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k))\text{.} \nonumber \]

En consecuencia, dos ciclos cualesquiera de la misma longitud son conjugados. Ahora deja\(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r\) ser un ciclo de descomposición, donde la longitud de cada ciclo\(\sigma_i\)\(\sigma\) es\(r_i\text{.}\) Entonces se conjuga a cada otro\(\tau \in S_n\) cuyo ciclo de descomposición tiene las mismas longitudes.

El número de clases conjugadas en\(S_n\) es el número de formas en las que se\(n\) pueden dividir en sumas de enteros positivos. En el caso de,\(S_3\) por ejemplo, podemos particionar el entero\(3\) en las siguientes tres sumas:

\ begin {alinear*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3;\ end {alinear*}

por lo tanto, hay tres clases de conjugación. Hay variaciones al problema de encontrar el número de tales particiones para cualquier entero positivo\(n\) que son lo que los informáticos llaman NP-Complete. Esto significa efectivamente que el problema no puede resolverse para un gran\(n\) porque los cálculos requerirían demasiado tiempo incluso para la computadora más grande.

Teorema\(14.15\)

Dejar\(G\) ser un grupo de orden\(p^n\) donde\(p\) es prime. Entonces\(G\) tiene un centro no trivial.

Prueba

Aplicamos la ecuación de clase

\[ |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \nonumber \]

Ya que cada uno\(n_i \gt 1\) y\(n_i \mid |G|\text{,}\) se deduce que\(p\) deben dividir cada uno\(n_i\text{.}\) También, de\(p \mid |G|\text{;}\) ahí,\(p\) deben dividir\(|Z(G)|\text{.}\) Dado que la identidad siempre está en el centro de\(G\text{,}\)\(|Z(G)| \geq 1\text{.}\) Por lo tanto,\(|Z(G)| \geq p\text{,}\) y existe alguna\(g \in Z(G)\) tal que\(g \neq 1\text{.}\)

Corolario\(14.16\)

Dejar\(G\) ser un grupo de orden\(p^2\) donde\(p\) es prime. Entonces\(G\) es abeliano.

Prueba

Por Teorema\(14.15\),\(|Z(G)| = p\) o\(p^2\text{.}\) Supongamos que\(|Z(G)| = p\text{.}\) Entonces\(Z(G)\) y\(G / Z(G)\) ambos tienen orden\(p\) y ambos deben ser grupos cíclicos. Escogiendo un generador\(aZ(G)\) para\(G / Z(G)\text{,}\) podemos escribir cualquier elemento\(gZ(G)\) en el grupo cociente como\(a^m Z(G)\) para algún entero de\(m\text{;}\) ahí,\(g = a^m x\) para algunos\(x\) en el centro de\(G\text{.}\) Similarmente, si\(hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}\) existe un\(y\) en\(Z(G)\) tal que \(h = a^n y\)para algunos enteros\(n\text{.}\) Ya que\(x\) y\(y\) están en el centro de\(G\text{,}\) ellos conmutan con todos los demás elementos de\(G\text{;}\) por lo tanto,

\[ gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg\text{,} \nonumber \]

y\(G\) debe ser abeliano. Por lo tanto,\(|Z(G)| = p^2\text{.}\)