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# 17.5: Ejercicios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## 1

Listar todos los polinomios de grado$$3$$ o menos en$${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$$

## 2

Compute cada uno de los siguientes.

1. $$(5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)$$en$${\mathbb Z}_{12}[x]$$
2. $$(5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)$$en$${\mathbb Z}_{12}[x]$$
3. $$(7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)$$en$${\mathbb Z}_9[x]$$
4. $$(3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)$$en$${\mathbb Z}_5[x]$$
5. $$(3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)$$en$${\mathbb Z}_5[x]$$
6. $$(5x^2 + 3x - 2)^2$$en$${\mathbb Z}_{12}[x]$$

## 3

Utilice el algoritmo de división para encontrar$$q(x)$$ y$$r(x)$$ tal que$$a(x) = q(x) b(x) + r(x)$$ con$$\deg r(x) \lt \deg b(x)$$ para cada uno de los siguientes pares de polinomios.

1. $$a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4$$y$$b(x) = x - 2$$ en$${\mathbb Z}_7[x]$$
2. $$a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1$$y$$b(x) = x^2 + x - 2$$ en$${\mathbb Z}_7[x]$$
3. $$a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4$$y$$b(x) = x^3 - 2$$ en$${\mathbb Z}_5[x]$$
4. $$a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x$$y$$b(x) = x^3 + x$$ en$${\mathbb Z}_2[x]$$

## 4

Encuentra el mayor divisor común de cada uno de los siguientes pares$$p(x)$$ y$$q(x)$$ de polinomios. Si$$d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}$$ encuentra dos polinomios$$a(x)$$ y$$b(x)$$ tal que$$a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}$$

1. $$p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15$$y$$q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}$$ donde$$p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]$$
2. $$p(x) = x^3 + x^2 - x + 1$$y$$q(x) = x^3 + x - 1\text{,}$$ donde$$p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]$$
3. $$p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4$$y$$q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}$$ donde$$p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]$$
4. $$p(x) = x^3 - 2 x + 4$$y$$q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}$$ donde$$p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]$$

## 5

Encuentra todos los ceros para cada uno de los siguientes polinomios.

1. $$5x^3 + 4x^2 - x + 9$$en$${\mathbb Z}_{12}[x]$$
2. $$3x^3 - 4x^2 - x + 4$$en$${\mathbb Z}_{5}[x]$$
3. $$5x^4 + 2x^2 - 3$$en$${\mathbb Z}_{7}[x]$$
4. $$x^3 + x + 1$$en$${\mathbb Z}_2[x]$$

## 6

Encuentra todas las unidades en$${\mathbb Z}[x]\text{.}$$

## 7

Encuentra una unidad de$${\mathbb Z}_4[x]$$ tal$$p(x)$$ manera que$$\deg p(x) \gt 1\text{.}$$

## 8

¿Cuál de los siguientes polinomios son irreducibles sobre$${\mathbb Q}[x]\text{?}$$

1. $$\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4$$
2. $$\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2$$
3. $$\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6$$
4. $$\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15$$

## 9

Encuentra todos los polinomios irreducibles de grados$$2$$ y$$3$$ en$${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$$

## 10

Dar dos factorizaciones diferentes de$$x^2 + x + 8$$ in$${\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}$$

## 11

Demostrar o desmentir: Existe un polinomio$$p(x)$$ en$${\mathbb Z}_6[x]$$ grado$$n$$ con más que ceros$$n$$ distintos.

## 12

Si$$F$$ es un campo, mostrar que$$F[x_1, \ldots, x_n]$$ es un dominio integral.

## 13

Demostrar que el algoritmo de división no se sostiene para$${\mathbb Z}[x]\text{.}$$ ¿Por qué falla?

## 14

Demostrar o desmentir:$$x^p + a$$ es irreducible para cualquier$$a \in {\mathbb Z}_p\text{,}$$ lugar$$p$$ es prime.

## 15

Dejar$$f(x)$$ ser irreducible en$$F[x]\text{,}$$ donde$$F$$ hay un campo. Si$$f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}$$ prueba que cualquiera$$f(x) \mid p(x)$$ o$$f(x) \mid q(x)\text{.}$$

## 16

Supongamos que$$R$$ y$$S$$ son anillos isomórficos. Demostrar que$$R[x] \cong S[x]\text{.}$$

## 17

Dejar$$F$$ ser un campo y$$a \in F\text{.}$$ si$$p(x) \in F[x]\text{,}$$ mostrar que$$p(a)$$ es el resto obtenido cuando$$p(x)$$ se divide por$$x - a\text{.}$$

## 18. El teorema de la raíz racional

Let

$p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x]\text{,} \nonumber$

donde$$a_n \neq 0\text{.}$$ Demostrar que si$$p(r/s) = 0\text{,}$$ donde$$\gcd(r, s) = 1\text{,}$$ entonces$$r \mid a_0$$ y$$s \mid a_n\text{.}$$

## 19

$${\mathbb Q}^*$$Sea el grupo multiplicativo de números racionales positivos. Demostrar que$${\mathbb Q}^*$$ es isomórfico$$( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}$$

## 20. Polinomios ciclotómicos

El polinomio

$\Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \nonumber$

se llama polinomio ciclotómico. Demostrar que$$\Phi_p(x)$$ es irreducible$${\mathbb Q}$$ para cualquier prime$$p\text{.}$$

## 21

Si$$F$$ es un campo, muestra que hay infinitamente muchos polinomios irreducibles en$$F[x]\text{.}$$

## 22

$$R$$Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que la multiplicación es conmutativa en$$R[x]\text{.}$$

## 23

$$R$$Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que la multiplicación es distributiva en$$R[x]\text{.}$$

## 24

Demostrar que$$x^p - x$$ tiene ceros$$p$$ distintos$${\mathbb Z}_p\text{,}$$ para cualquier primo$$p\text{.}$$ Concluya que

$x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1))\text{.} \nonumber$

## 25

Dejar$$F$$ ser un campo y$$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$ estar en$$F[x]\text{.}$$ Definir$$f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}$$ para ser el derivado de$$f(x)\text{.}$$

1. Demostrar que

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\text{.} \nonumber$

Concluimos que podemos definir un homomorfismo de grupos abelianos$$D : F[x] \rightarrow F[x]$$ mediante$$D(f(x)) = f'(x)\text{.}$$

2. Calcular el kernel de$$D$$ si$$\chr F = 0\text{.}$$
3. Calcular el kernel de$$D$$ si$$\chr F = p\text{.}$$
4. Demostrar que

$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)\text{.} \nonumber$

5. Supongamos que podemos factorizar un polinomio$$f(x) \in F[x]$$ en factores lineales, digamos

$f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n)\text{.} \nonumber$

Demostrar que no$$f(x)$$ tiene factores repetidos si y sólo si$$f(x)$$ y$$f'(x)$$ son relativamente primos.

## 26

$$F$$Déjese ser un campo. Demostrar que nunca$$F[x]$$ es un campo.

## 27

Seamos$$R$$ un dominio integral. Demostrar que$$R[x_1, \ldots, x_n]$$ es un dominio integral.

## 28

$$R$$Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que$$R[x]$$ tiene un subring$$R'$$ isomórfico a$$R\text{.}$$

## 29

Dejar$$p(x)$$ y$$q(x)$$ ser polinomios en$$R[x]\text{,}$$ donde$$R$$ hay un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que$$\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}$$

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