17.5: Ejercicios

1

Listar todos los polinomios de grado\(3\) o menos en\({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2

Compute cada uno de los siguientes.

1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\)en\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\)en\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\)en\({\mathbb Z}_9[x]\)
4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\)en\({\mathbb Z}_5[x]\)
5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\)en\({\mathbb Z}_5[x]\)
6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\)en\({\mathbb Z}_{12}[x]\)

3

Utilice el algoritmo de división para encontrar\(q(x)\) y\(r(x)\) tal que\(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) con\(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) para cada uno de los siguientes pares de polinomios.

1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\)y\(b(x) = x - 2\) en\({\mathbb Z}_7[x]\)
2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\)y\(b(x) = x^2 + x - 2\) en\({\mathbb Z}_7[x]\)
3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\)y\(b(x) = x^3 - 2\) en\({\mathbb Z}_5[x]\)
4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\)y\(b(x) = x^3 + x\) en\({\mathbb Z}_2[x]\)

4

Encuentra el mayor divisor común de cada uno de los siguientes pares\(p(x)\) y\(q(x)\) de polinomios. Si\(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) encuentra dos polinomios\(a(x)\) y\(b(x)\) tal que\(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)

1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\)y\(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) donde\(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)
2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\)y\(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) donde\(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)
3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\)y\(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) donde\(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)
4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\)y\(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) donde\(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5

Encuentra todos los ceros para cada uno de los siguientes polinomios.

1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\)en\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\)en\({\mathbb Z}_{5}[x]\)
3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\)en\({\mathbb Z}_{7}[x]\)
4. \(x^3 + x + 1\)en\({\mathbb Z}_2[x]\)

6

Encuentra todas las unidades en\({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7

Encuentra una unidad de\({\mathbb Z}_4[x]\) tal\(p(x)\) manera que\(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)

8

¿Cuál de los siguientes polinomios son irreducibles sobre\({\mathbb Q}[x]\text{?}\)

1. \(\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)
2. \(\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)
3. \(\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)
4. \(\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)

9

Encuentra todos los polinomios irreducibles de grados\(2\) y\(3\) en\({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10

Dar dos factorizaciones diferentes de\(x^2 + x + 8\) in\({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)

11

Demostrar o desmentir: Existe un polinomio\(p(x)\) en\({\mathbb Z}_6[x]\) grado\(n\) con más que ceros\(n\) distintos.

12

Si\(F\) es un campo, mostrar que\(F[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

13

Demostrar que el algoritmo de división no se sostiene para\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) ¿Por qué falla?

14

Demostrar o desmentir:\(x^p + a\) es irreducible para cualquier\(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) lugar\(p\) es prime.

15

Dejar\(f(x)\) ser irreducible en\(F[x]\text{,}\) donde\(F\) hay un campo. Si\(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) prueba que cualquiera\(f(x) \mid p(x)\) o\(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16

Supongamos que\(R\) y\(S\) son anillos isomórficos. Demostrar que\(R[x] \cong S[x]\text{.}\)

17

Dejar\(F\) ser un campo y\(a \in F\text{.}\) si\(p(x) \in F[x]\text{,}\) mostrar que\(p(a)\) es el resto obtenido cuando\(p(x)\) se divide por\(x - a\text{.}\)

18. El teorema de la raíz racional

Let

\[ p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x]\text{,} \nonumber \]

donde\(a_n \neq 0\text{.}\) Demostrar que si\(p(r/s) = 0\text{,}\) donde\(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) entonces\(r \mid a_0\) y\(s \mid a_n\text{.}\)

19

\({\mathbb Q}^*\)Sea el grupo multiplicativo de números racionales positivos. Demostrar que\({\mathbb Q}^*\) es isomórfico\(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20. Polinomios ciclotómicos

El polinomio

\[ \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \nonumber \]

se llama polinomio ciclotómico. Demostrar que\(\Phi_p(x)\) es irreducible\({\mathbb Q}\) para cualquier prime\(p\text{.}\)

21

Si\(F\) es un campo, muestra que hay infinitamente muchos polinomios irreducibles en\(F[x]\text{.}\)

22

\(R\)Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que la multiplicación es conmutativa en\(R[x]\text{.}\)

23

\(R\)Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que la multiplicación es distributiva en\(R[x]\text{.}\)

24

Demostrar que\(x^p - x\) tiene ceros\(p\) distintos\({\mathbb Z}_p\text{,}\) para cualquier primo\(p\text{.}\) Concluya que

\[ x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1))\text{.} \nonumber \]

25

Dejar\(F\) ser un campo y\(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) estar en\(F[x]\text{.}\) Definir\(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) para ser el derivado de\(f(x)\text{.}\)

1. Demostrar que

   \[ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\text{.} \nonumber \]

   Concluimos que podemos definir un homomorfismo de grupos abelianos\(D : F[x] \rightarrow F[x]\) mediante\(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)

2. Calcular el kernel de\(D\) si\(\chr F = 0\text{.}\)
3. Calcular el kernel de\(D\) si\(\chr F = p\text{.}\)
4. Demostrar que

   \[ (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)\text{.} \nonumber \]

5. Supongamos que podemos factorizar un polinomio\(f(x) \in F[x]\) en factores lineales, digamos

   \[ f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n)\text{.} \nonumber \]

   Demostrar que no\(f(x)\) tiene factores repetidos si y sólo si\(f(x)\) y\(f'(x)\) son relativamente primos.

26

\(F\)Déjese ser un campo. Demostrar que nunca\(F[x]\) es un campo.

27

Seamos\(R\) un dominio integral. Demostrar que\(R[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

28

\(R\)Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que\(R[x]\) tiene un subring\(R'\) isomórfico a\(R\text{.}\)

29

Dejar\(p(x)\) y\(q(x)\) ser polinomios en\(R[x]\text{,}\) donde\(R\) hay un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que\(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)