21.2: Dividir campos
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Dejar\(F\) ser un campo y\(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) ser un polinomio no constante en\(F[x]\text{.}\) Un campo\(E\) de extensión de\(F\) es un campo de división de\(p(x)\) si existen elementos\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) en\(E\) tal que\(E = F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) y
\[ p(x) = ( x - \alpha_1 )(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{.} \nonumber \]
Un polinomio\(p(x) \in F[x]\) se divide\(E\) si es el producto de factores lineales en\(E[x]\text{.}\)
Ejemplo\(21.29\).
Let\(p(x) = x^4 + 2x^2 - 8\) be in\({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Entonces
Solución
\(p(x)\)tiene factores irreducibles\(x^2 -2\) y\(x^2 + 4\text{.}\) Por lo tanto, el campo\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i )\) es un campo de división para\(p(x)\text{.}\)
Ejemplo\(21.30\).
Let\(p(x) = x^3 - 3\) be in\({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Entonces\(p(x)\) tiene una raíz en el campo\({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\)
Solución
Sin embargo, este campo no es un campo de división\(p(x)\) ya que las complejas raíces cubicas de 3,
\[ \frac{ -\sqrt[3]{3} \pm (\sqrt[6]{3}\, )^5 i }{2}\text{,} \nonumber \]
no están en\({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\)
Teorema\(21.31\).
Dejar\(p(x) \in F[x]\) ser un polinomio no constante. Entonces existe un campo de división\(E\) para\(p(x)\text{.}\)
- Prueba
-
Vamos a utilizar la inducción matemática en el grado de\(p(x)\text{.}\) Si\(\deg p(x) = 1\text{,}\) entonces\(p(x)\) es un polinomio lineal y\(E = F\text{.}\) Supongamos que el teorema es cierto para todos los polinomios de grado\(k\) con\(1 \leq k \lt n\) y dejar\(\deg p(x) = n\text{.}\) Podemos suponer que\(p(x)\) es irreducible; de lo contrario, por nuestro hipótesis de inducción, hemos terminado. Por teorema\(21.5\), existe un campo\(K\) tal que\(p(x)\) tiene un cero\(\alpha_1\) en\(K\text{.}\) Por lo tanto,\(p(x) = (x - \alpha_1)q(x)\text{,}\) donde\(q(x) \in K[x]\text{.}\) Ya que\(\deg q(x) = n -1\text{,}\) existe un campo\(E \supset K\) de división de\(q(x)\) que contiene los ceros\(\alpha_2, \ldots, \alpha_n\) de\(p(x)\) por nuestra inducción hipótesis. En consecuencia,
\[ E = K(\alpha_2, \ldots, \alpha_n) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \nonumber \]
es un campo de división de\(p(x)\text{.}\)
La cuestión de la singularidad surge ahora para dividir campos. A esta pregunta se le responde afirmativamente. Dados dos campos\(L\) de división\(K\) y de un polinomio\(p(x) \in F[x]\text{,}\) existe un isomorfismo de campo\(\phi : K \rightarrow L\) que preserva\(F\text{.}\) Para probar este resultado, primero debemos probar un lema.
Teorema\(21.32\).
\(\phi : E \rightarrow F\)Déjese ser un isomorfismo de campos. Dejar\(K\) ser un campo de extensión de\(E\) y\(\alpha \in K\) ser algebraico sobre\(E\) con polinomio mínimo\(p(x)\text{.}\) Supongamos que\(L\) es un campo de extensión de\(F\) tal que\(\beta\) es raíz del polinomio en\(F[x]\) obtenido de\(p(x)\) debajo de la imagen de \(\phi\text{.}\)Luego\(\phi\) se extiende a un isomorfismo único\(\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) tal que\(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) y\(\overline{\phi}\) concuerda con\(\phi\)\(E\text{.}\)
- Prueba
-
Si\(p(x)\) tiene grado\(n\text{,}\) entonces por Teorema\(21.13\) podemos escribir cualquier elemento en\(E( \alpha )\) como una combinación lineal de\(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}\) Por lo tanto, el isomorfismo que estamos buscando debe ser
\[ \overline{\phi}( a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}) = \phi(a_0) + \phi(a_1) \beta + \cdots + \phi(a_{n - 1}) \beta^{n - 1}\text{,} \nonumber \]
donde
\[ a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1} \nonumber \]
es un elemento en\(E(\alpha)\text{.}\) El hecho de que\(\overline{\phi}\) sea un isomorfismo podría comprobarse por cómputo directo; sin embargo, es más fácil observar que\(\overline{\phi}\) es una composición de mapas que ya sabemos que son isomorfismos.
Podemos extender\(\phi\) para ser un isomorfismo del\(E[x]\)\(F[x]\text{,}\) que también denotaremos\(\phi\text{,}\) dejando
\[ \phi( a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n ) = \phi( a_0 ) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.} \nonumber \]
Esta extensión concuerda con el isomorfismo original\(\phi : E \rightarrow F\text{,}\) ya que los polinomios constantes se mapean a polinomios constantes. Por suposición, de\(\phi(p(x)) = q(x)\text{;}\) ahí\(\langle p(x) \rangle\),\(\phi\) mapas en\(\langle q(x) \rangle\text{.}\) Consecuentemente, tenemos un isomorfismo\(\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}\) Por Proposición\(21.12\), tenemos isomorfismos\(\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)\) y\(\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}\) definidos por evaluación en\(\alpha\) y\(\beta\text{,}\) respectivamente. Por lo tanto,\(\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}\) es el isomorfismo requerido (ver Figura\(21.33\)).
\(Figure \text { } 21.33.\)
Dejamos la prueba de singularidad como ejercicio.
Teorema\(21.34\).
Dejar\(\phi : E \rightarrow F\) ser un isomorfismo de campos y dejar\(p(x)\) ser un polinomio no constante en\(E[x]\) y\(q(x)\) el polinomio correspondiente en\(F[x]\) debajo del isomorfismo. Si\(K\) es un campo de división de\(p(x)\) y\(L\) es un campo de división de\(q(x)\text{,}\) entonces\(\phi\) se extiende a un isomorfismo\(\psi : K \rightarrow L\text{.}\)
- Prueba
-
Vamos a utilizar la inducción matemática en el grado de\(p(x)\text{.}\) Podemos suponer que\(p(x)\) es irreducible sobre\(E\text{.}\) Por lo tanto, también\(q(x)\) es irreducible sobre\(F\text{.}\) Si\(\deg p(x) = 1\text{,}\) entonces por la definición de un campo de división,\(K = E\)\(L = F\) y no hay nada que probar.
Supongamos que el teorema sostiene para todos los polinomios de grado menor que\(n\text{.}\) Dado que\(K\) es un campo de división de\(p(x)\text{,}\) todas las raíces de\(p(x)\) están en\(K\text{.}\) Elige una de estas raíces, digamos\(\alpha\text{,}\) tal que\(E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}\) De igual manera, podemos encontrar una raíz\(\beta\) de\(q(x)\) en \(L\)tal que\(F \subset F( \beta) \subset L\text{.}\) Por Lemma\(21.32\), existe un isomorfismo\(\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)\) tal que\(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) y\(\overline{\phi}\) concuerda con\(\phi\) on\(E\) (ver Figura\(21.35\)).
\(Figure \text { } 21.35.\)
Ahora escribe\(p(x) = (x - \alpha ) f(x)\) y\(q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}\) donde los grados de\(f(x)\) y\(g(x)\) son menores que los grados de\(p(x)\) y\(q(x)\text{,}\) respectivamente. La extensión de campo\(K\) es un campo de división para\(f(x)\) más\(E( \alpha)\text{,}\) y\(L\) es un campo de división para\(g(x)\) más\(F( \beta )\text{.}\) Por nuestra hipótesis de inducción existe un isomorfismo\(\psi : K \rightarrow L\) tal que\(\psi\) concuerda con\(\overline{\phi}\) en\(E( \alpha)\text{.}\) Por lo tanto, existe un isomorfismo\(\psi : K \rightarrow L\) tal que\(\psi\) concuerda con\(\phi\)\(E\text{.}\)
Corolario\(21.36\).
\(p(x)\)Sea un polinomio en\(F[x]\text{.}\) Entonces existe un campo\(K\) de división de\(p(x)\) que es único hasta el isomorfismo.