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# 22.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Calcula cada una de las siguientes.

1. $$\displaystyle [\mathrm{GF}(3^6) : \mathrm{GF}(3^3)]$$
2. $$\displaystyle [\mathrm{GF}(128): \mathrm{GF}(16)]$$
3. $$\displaystyle [\mathrm{GF}(625) : \mathrm{GF}(25) ]$$
4. $$\displaystyle [\mathrm{GF}(p^{12}): \mathrm{GF}(p^2)]$$

## 2

Calcular$$[\mathrm{GF}(p^m): \mathrm{GF}(p^n)]\text{,}$$ dónde$$n \mid m\text{.}$$

## 3

¿Para qué sirve la celosía de los subcampos?$$\mathrm{GF}(p^{30})\text{?}$$

## 4

Let$$\alpha$$ be a zero of$$x^3 + x^2 + 1$$ over$${\mathbb Z}_2\text{.}$$ Construir un campo finito de orden$$8\text{.}$$ Mostrar que$$x^3 + x^2 + 1$$ se divide en$${\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}$$

## 5

Construir un campo finito de orden$$27\text{.}$$

## 6

Demostrar o desmentir:$${\mathbb Q}^\ast$$ es cíclico.

## 7

Factorizar cada uno de los siguientes polinomios en$${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$$

1. $$\displaystyle x^5- 1$$
2. $$\displaystyle x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$$
3. $$\displaystyle x^9 - 1$$
4. $$\displaystyle x^4 +x^3 + x^2 + x + 1$$

## 8

Demostrar o desacreditar:$${\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle \cong {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x^2 + 1 \rangle\text{.}$$

## 9

Determine el número de códigos cíclicos de longitud$$n$$ para$$n = 6, 7, 8, 10\text{.}$$

## 10

Demostrar que lo ideal$$\langle t + 1 \rangle$$ en$$R_n$$ es el código en$${\mathbb Z}_2^n$$ que consiste en todas las palabras de paridad par.

## 11

Construir todos los códigos BCH de

1. longitud$$7\text{.}$$
2. longitud$$15\text{.}$$

## 12

Demostrar o desmentir: Existe un campo finito que está cerrado algebraicamente.

## 13

$$p$$Déjese ser prime. Demostrar que el campo de las funciones racionales$${\mathbb Z}_p(x)$$ es un campo infinito de características$$p\text{.}$$

## 14

$$D$$Sea un dominio integral de característica$$p\text{.}$$ Demostrar que$$(a - b)^{p^n} = a^{p^n} - b^{p^n}$$ para todos$$a, b \in D\text{.}$$

## 15

Mostrar que cada elemento en un campo finito se puede escribir como la suma de dos cuadrados.

## 16

Dejar$$E$$ y$$F$$ ser subcampos de un campo finito$$K\text{.}$$ Si$$E$$ es isomórfico para$$F\text{,}$$ mostrar que$$E = F\text{.}$$

## 17

$$F \subset E \subset K$$Dejen ser campos. Si$$K$$ es una extensión separable del$$F\text{,}$$ espectáculo que también$$K$$ es extensión separable de$$E\text{.}$$

## 18

Let$$E$$ Ser una extensión de un campo finito$$F\text{,}$$ donde$$F$$ tiene$$q$$ elementos. Dejar$$\alpha \in E$$ ser algebraico sobre$$F$$ de grado$$n\text{.}$$ Demostrar que$$F( \alpha )$$ tiene$$q^n$$ elementos.

## 19

Mostrar que cada extensión finita de un campo finito$$F$$ es simple; es decir, si$$E$$ es una extensión finita de un campo finito$$F\text{,}$$ probar que existe$$\alpha \in E$$ tal que$$E = F( \alpha )\text{.}$$

## 20

Demostrar que por cada$$n$$ existe un polinomio irreducible de grado$$n$$ en$${\mathbb Z}_p[x]\text{.}$$

## 21

Demostrar que el mapa de Frobenius$$\Phi : \mathrm{GF}(p^n) \rightarrow \mathrm{GF}(p^n)$$ dado por$$\Phi : \alpha \mapsto \alpha^p$$ es un automorfismo de orden$$n\text{.}$$

## 22

Demostrar que cada elemento en$$\mathrm{GF}(p^n)$$ puede ser escrito en la forma$$a^p$$ de algunos únicos$$a \in \mathrm{GF}(p^n)\text{.}$$

## 23

Dejar$$E$$ y$$F$$ ser subcampos de$$\mathrm{GF}(p^n)\text{.}$$ Si$$|E| = p^r$$ y$$|F| = p^s\text{,}$$ cuál es el orden de$$E \cap F\text{?}$$

## 24. Teorema de Wilson

$$p$$Déjese ser prime. Demostrar que$$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\text{.}$$

## 25

Si$$g(t)$$ es el polinomio generador mínimo para un código cíclico$$C$$ en$$R_n\text{,}$$ probar que el término constante de$$g(x)$$ es$$1\text{.}$$

## 26

A menudo es concebible que se pueda producir una ráfaga de errores durante la transmisión, como en el caso de una sobretensión eléctrica. Tal ráfaga momentánea de interferencia podría alterar varios bits consecutivos en una palabra de código. Los códigos cíclicos permiten la detección de tales ráfagas de error. Dejar$$C$$ ser un código$$(n,k)$$ -cíclico. Demostrar que se puede detectar cualquier ráfaga de error de hasta$$n-k$$ dígitos.

## 27

Demostrar que los anillos$$R_n$$ y$${\mathbb Z}_2^n$$ son isomórficos como espacios vectoriales.

## 28

Let$$C$$ be a code in$$R_n$$ that is generated by$$g(t)\text{.}$$$$\langle f(t) \rangle$$ If is another code in$$R_n\text{,}$$ show that$$\langle g(t) \rangle \subset \langle f(t) \rangle$$ if and only if$$f(x)$$ divide$$g(x)$$ in$${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$$

## 29

Dejar$$C = \langle g(t) \rangle$$ ser un código cíclico en$$R_n$$ y supongamos que$$x^n - 1 = g(x) h(x)\text{,}$$ donde$$g(x) = g_0 + g_1 x + \cdots + g_{n - k} x^{n - k}$$ y$$h(x) = h_0 + h_1 x + \cdots + h_k x^k\text{.}$$ Definir$$G$$ para ser la$$n \times k$$ matriz

$G = \begin{pmatrix} g_0 & 0 & \cdots & 0 \\ g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ g_{n-k} & g_{n-k-1} & \cdots & g_0 \\ 0 & g_{n-k} & \cdots & g_{1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & g_{n-k} \end{pmatrix} \nonumber$

y$$H$$ ser la$$(n-k) \times n$$ matriz

$H = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 0 & h_k & \cdots & h_0 \\ 0 & \cdots & 0 & h_k & \cdots & h_0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_k & \cdots & h_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

1. Demostrar que$$G$$ es una matriz generadora para$$C\text{.}$$
2. Demostrar que$$H$$ es una matriz de verificación de paridad para$$C\text{.}$$
3. Demostrar que$$HG = 0\text{.}$$

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