1.4: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)- Sí/No. Para cada una de las siguientes, escribe Y si el objeto descrito es un conjunto bien definido; de lo contrario, escribe N. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.
- \(\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z|=1\}\)
- \(\{\epsilon \in \mathbb{R}^+\,:\, \epsilon \mbox{ is sufficiently small} \}\)
- \(\{q\in \mathbb{Q} \,:\, q \mbox{ can be written with denominator } 4\}\)
- \(\{n \in \mathbb{Z}\,:\, n^2 \lt 0\}\)
- Enumere los elementos en los siguientes conjuntos, escribiendo sus respuestas como conjuntos.
Ejemplo:\(\{z\in \mathbb{C}\,:\,z^4=1\}\) Solución:\(\{\pm 1, \pm i\}\)
- \(\{z\in \mathbb{R}\,:\, z^2=5\}\)
- \(\{m \in \mathbb{Z}\,:\, mn=50 \mbox{ for some } n\in \mathbb{Z}\}\)
- \(\{a,b,c\}\times \{1,d\}\)
- \(P(\{a,b,c\})\)
- Deja\(S\) ser un conjunto con cardinalidad\(n\in \mathbb{N}\text{.}\) Usa las cardinalidades de\(P(\{a,b\})\) y\(P(\{a,b,c\})\) para hacer una conjetura sobre la cardinalidad de No\(P(S)\text{.}\) necesitas probar que tu conjetura es correcta (pero debes tratar de asegurarte de que sea correcta).
4. \(f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}\)Déjese definir por\(f(a,b)=ab\text{.}\) (Nota: técnicamente, debemos escribir\(f((a,b))\text{,}\) no\(f(a,b)\text{,}\) ya que se\(f\) está aplicando a un par ordenado, sino este es uno de esos casos en los que los matemáticos abusan de la notación en aras de la concisión.)
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¿Cuáles son\(f\) el dominio, el codominio y el rango?
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Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones. (¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)
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\(f\)está sobre;
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\(f\)es 1-1;
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\(f\)es una biyección. (Puede referirse a las partes (i) y (ii) para esta parte.)
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Encuentra las imágenes del elemento\((6,-2)\) y del conjunto\(\mathbb{Z}^- \times \mathbb{Z}^-\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la imagen de un elemento es un elemento, y la imagen de un conjunto es un conjunto.)
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Encuentra la preimagen de\(\{2,3\}\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la preimagen de un conjunto es un conjunto.)
- Dejar\(S\text{,}\)\(T\text{,}\) y\(U\) ser conjuntos, y dejar\(f: S\to T\) y\(g: T\to U\) estar en. Demostrar que\(g \circ f\) está en.
- Dejar\(A \) y\(B\) ser conjuntos con\(|A|=m\lt \infty\) y\(|B|=n\lt \infty\text{.}\) Demostrar que\(|A\times B|=mn\text{.}\)