1.4: Ejercicios

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Sí/No. Para cada una de las siguientes, escribe Y si el objeto descrito es un conjunto bien definido; de lo contrario, escribe N. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.

\(\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z|=1\}\)
\(\{\epsilon \in \mathbb{R}^+\,:\, \epsilon \mbox{ is sufficiently small} \}\)
\(\{q\in \mathbb{Q} \,:\, q \mbox{ can be written with denominator } 4\}\)
\(\{n \in \mathbb{Z}\,:\, n^2 \lt 0\}\)

Enumere los elementos en los siguientes conjuntos, escribiendo sus respuestas como conjuntos.

Ejemplo:\(\{z\in \mathbb{C}\,:\,z^4=1\}\) Solución:\(\{\pm 1, \pm i\}\)

\(\{z\in \mathbb{R}\,:\, z^2=5\}\)
\(\{m \in \mathbb{Z}\,:\, mn=50 \mbox{ for some } n\in \mathbb{Z}\}\)
\(\{a,b,c\}\times \{1,d\}\)
\(P(\{a,b,c\})\)

Deja\(S\) ser un conjunto con cardinalidad\(n\in \mathbb{N}\text{.}\) Usa las cardinalidades de\(P(\{a,b\})\) y\(P(\{a,b,c\})\) para hacer una conjetura sobre la cardinalidad de No\(P(S)\text{.}\) necesitas probar que tu conjetura es correcta (pero debes tratar de asegurarte de que sea correcta).

4. \(f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}\)Déjese definir por\(f(a,b)=ab\text{.}\) (Nota: técnicamente, debemos escribir\(f((a,b))\text{,}\) no\(f(a,b)\text{,}\) ya que se\(f\) está aplicando a un par ordenado, sino este es uno de esos casos en los que los matemáticos abusan de la notación en aras de la concisión.)

¿Cuáles son\(f\) el dominio, el codominio y el rango?
Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones. (¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)
1. \(f\)está sobre;
2. \(f\)es 1-1;
3. \(f\)es una biyección. (Puede referirse a las partes (i) y (ii) para esta parte.)
Encuentra las imágenes del elemento\((6,-2)\) y del conjunto\(\mathbb{Z}^- \times \mathbb{Z}^-\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la imagen de un elemento es un elemento, y la imagen de un conjunto es un conjunto.)
Encuentra la preimagen de\(\{2,3\}\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la preimagen de un conjunto es un conjunto.)

Dejar\(S\text{,}\)\(T\text{,}\) y\(U\) ser conjuntos, y dejar\(f: S\to T\) y\(g: T\to U\) estar en. Demostrar que\(g \circ f\) está en.

Dejar\(A \) y\(B\) ser conjuntos con\(|A|=m\lt \infty\) y\(|B|=n\lt \infty\text{.}\) Demostrar que\(|A\times B|=mn\text{.}\)