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# 1.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

1. Sí/No. Para cada una de las siguientes, escribe Y si el objeto descrito es un conjunto bien definido; de lo contrario, escribe N. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.
1. $$\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z|=1\}$$
2. $$\{\epsilon \in \mathbb{R}^+\,:\, \epsilon \mbox{ is sufficiently small} \}$$
3. $$\{q\in \mathbb{Q} \,:\, q \mbox{ can be written with denominator } 4\}$$
4. $$\{n \in \mathbb{Z}\,:\, n^2 \lt 0\}$$
1. Enumere los elementos en los siguientes conjuntos, escribiendo sus respuestas como conjuntos.

Ejemplo:$$\{z\in \mathbb{C}\,:\,z^4=1\}$$ Solución:$$\{\pm 1, \pm i\}$$

1. $$\{z\in \mathbb{R}\,:\, z^2=5\}$$
2. $$\{m \in \mathbb{Z}\,:\, mn=50 \mbox{ for some } n\in \mathbb{Z}\}$$
3. $$\{a,b,c\}\times \{1,d\}$$
4. $$P(\{a,b,c\})$$
1. Deja$$S$$ ser un conjunto con cardinalidad$$n\in \mathbb{N}\text{.}$$ Usa las cardinalidades de$$P(\{a,b\})$$ y$$P(\{a,b,c\})$$ para hacer una conjetura sobre la cardinalidad de No$$P(S)\text{.}$$ necesitas probar que tu conjetura es correcta (pero debes tratar de asegurarte de que sea correcta).

4. $$f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}$$Déjese definir por$$f(a,b)=ab\text{.}$$ (Nota: técnicamente, debemos escribir$$f((a,b))\text{,}$$ no$$f(a,b)\text{,}$$ ya que se$$f$$ está aplicando a un par ordenado, sino este es uno de esos casos en los que los matemáticos abusan de la notación en aras de la concisión.)

1. ¿Cuáles son$$f$$ el dominio, el codominio y el rango?

2. Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones. (¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

1. $$f$$está sobre;

2. $$f$$es 1-1;

3. $$f$$es una biyección. (Puede referirse a las partes (i) y (ii) para esta parte.)

3. Encuentra las imágenes del elemento$$(6,-2)$$ y del conjunto$$\mathbb{Z}^- \times \mathbb{Z}^-$$ debajo$$f\text{.}$$ (Recuerda que la imagen de un elemento es un elemento, y la imagen de un conjunto es un conjunto.)

4. Encuentra la preimagen de$$\{2,3\}$$ debajo$$f\text{.}$$ (Recuerda que la preimagen de un conjunto es un conjunto.)

1. Dejar$$S\text{,}$$$$T\text{,}$$ y$$U$$ ser conjuntos, y dejar$$f: S\to T$$ y$$g: T\to U$$ estar en. Demostrar que$$g \circ f$$ está en.
1. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos con$$|A|=m\lt \infty$$ y$$|B|=n\lt \infty\text{.}$$ Demostrar que$$|A\times B|=mn\text{.}$$

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