2.4: Ejemplos de Grupos/Nongroups, Parte I

Veamos algunos ejemplos de grupos/ngrupos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Afirmamos que\(\mathbb{Z}\) es un grupo en adición. En efecto,\(\langle\mathbb{Z},+\rangle\) es una estructura binaria y esa suma es asociativa sobre los enteros. El entero\(0\) actúa como un elemento de identidad de\(\mathbb{Z}\) subsuma (ya que\(a+0=0+a=a\) para cada uno\(a\in \mathbb{Z}\)), y cada elemento\(a\) en\(G\) tiene inverso\(-a\) desde\(a+(-a)=-a+a=0\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Para cada estructura binaria siguiente\(\langle G,*\rangle\text{,}\) determinar si\(G\) es o no un grupo. Para los que no son grupos, determinar el primer axioma grupal que falla, y proporcionar una prueba de que falla.

1. \(\langle \mathbb{Q},+\rangle\)
2. \(\langle \mathbb{Z},-\rangle\)
3. \(\langle \mathbb{R},\cdot\rangle\)
4. \(\langle \mathbb{C}^*,\cdot\rangle\)
5. \(\langle \mathbb{R},+\rangle\)
6. \(\langle \mathbb{Z}^+,+\rangle\)
7. \(\langle \mathbb{Z}^*,\cdot\rangle\)
8. \(\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),+\rangle\)
9. \(\langle \mathbb{C},+\rangle\)
10. \(\langle \mathbb{Z},\cdot\rangle\)
11. \(\langle \mathbb{R}^*,\cdot\rangle\)
12. \(\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),\cdot\rangle\)

Si has tomado álgebra lineal, probablemente también hayas visto una colección de matrices que es un grupo bajo multiplicación matricial.

Definición: Grupos lineales generales y especiales

Recordemos que dada una matriz cuadrada\(A\text{,}\) la notación\(\det A\) denota el determinante de\(A\text{.}\) Let

\ begin {ecuación*} GL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M\ neq 0\}\ end {ecuación*}

(es decir, vamos\(GL(n,\mathbb{R})\) be the set of all invertible \(n \times n\) matrices over \(\mathbb{R}\)) , and let

\ begin {ecuación*} SL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M =1\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Estos subconjuntos de grupos lineales\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\) are called, respectively, the generales y especiales de grado\(n\) sobre\(\mathbb{R}\).

Obsérvese que estas definiciones implican que estos subconjuntos de\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\) son grupos (bajo alguna operación). Efectivamente, ¡lo son!

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(GL(n,\mathbb{R})\)es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos\(A,B∈GL(n,\mathbb{R})\). Entonces\(\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)≠0\) (desde\(\text{det}A, \text{det}B≠0\)), entonces\(AB∈GL(n,\mathbb{R})\). Así,\( \langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle\)\(\langle GL(n,\mathbb{R}), \cdot \rangle\) es una estructura binaria.

Sabemos que la multiplicación matricial es siempre asociativa, así lo\(\mathcal{G}_2\) sostiene. Siguiente,

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\)

el está en\(GL(n,\mathbb{R})\) desde\(\text{det}I_n=1≠0\), y actúa como un elemento de identidad para\(\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle\)\(\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle\) desde

\(AI_n=I_nA=A\)

para todos\(A∈GL(n,\mathbb{R})\).

Por último, vamos\(A∈GL(n,\mathbb{R})\). Ya que\(\text{det}A≠0\),\(A\) tiene (multiplicativo matricial) inverso\(A^{−1}\) en\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\). Pero tenemos que verificar que\(A^{−1}\) está en\(G\). Este es de hecho el caso, sin embargo, ya que\(A^{−1}\) es invertible (tiene inversa\(A\)), de ahí\(\text{det}A^{−1}≠0\). Así, también\(A^{−1}\) está en\(GL(n,\mathbb{R})\).

Así\(GL(n,\mathbb{R})\) es un grupo bajo multiplicación.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

\(SL(n,\mathbb{R})\text{,}\)es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos\(A,B∈SL(n,\mathbb{R})\). Entonces\(\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)=1(1)=1\), entonces\(AB∈SL(n,\mathbb{R})\). Así,\( \langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle\)\(\langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle\) es una estructura binaria.

El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector.

Observación

A lo largo de este curso, si estamos discutiendo un conjunto\(GL(n,\mathbb{R})\) o\(SL(n,\mathbb{R})\text{,}\) debe asumir\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) a menos que se indique lo contrario.

Let\(A,B\in SL(n, \R)\text{.}\) Then \(\det(AB)=(\det A)(\det B) =1(1)=1\text{,}\) so \(AB\in SL(n,\R)\text{.}\) Thus, \(\langle SL(n,\R), \cdot\rangle\) is a binary structure.

El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector. Terminamos esta sección con un último ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Definir\(*\) por\(\mathbb{Q}^*\) por\(a*b=(ab)/2\) para todos\(a,b\in \mathbb{Q}^*\text{.}\) Demostrar que\(\langle \mathbb{Q}^*,*\rangle\) es un grupo.

Solución

En primer lugar,\(\langle \mathbb{Q}^∗ \rangle, \;\) es una estructura binaria, ya que\((ab)/2\) es racional y distinta de cero siempre que\(a,b\) sean racionales y no nulos.

A continuación, comprobamos que\(\mathbb{Q}^∗\) bajo\(∗\) satisface los axiomas grupales. Dado que la multiplicación es conmutativa sobre\(\mathbb{Q}, ∗\) es claramente conmutativa\(\mathbb{Q}^∗\), y así nuestro trabajo para mostrar\(\mathcal{G}_2\) y\(\mathcal{G}_3\) se reduce marginalmente.

Primero, la asociatividad de\(∗\) on\(\mathbb{Q}^∗\) se hereda de la asociatividad de multiplicación en\(\mathbb{Q}^∗\).

Observe que la elección quizás “obvia”,\(1\), no es un elemento de identidad para\(\mathbb{Q}^∗\) menores\(∗\): por ejemplo,\(1∗3= 3/2 ≠3\). Más bien,\(e\) es tal elemento de identidad si y sólo si por todo\(a∈\mathbb{Q}\) lo que tenemos\(a=e∗a=(ea)/2\). Claramente tenemos\(a=(2a)/2\) para todos\(a∈\mathbb{Q}^∗\); así\(2\) actúa como elemento de identidad para\(\mathbb{Q}^∗\) menores\(∗\).

Por último, vamos\(a∈\mathbb{Q}^∗\). Ya que\(a≠0\), tiene sentido dividir por\(a\); entonces\(4/a∈\mathbb{Q}^∗\), con\(a∗(4/a)=(a(4/a))/2=2\).

Así,\(\langle \mathbb{Q}^∗,∗\rangle\) es un grupo.

En primer lugar,\(\langle\Q^*,\rangle\) es una estructura binaria, ya que\((ab)/2\) es racional y distinta de cero siempre que\(a,b\) sean racionales y no nulos.

A continuación, comprobamos que\(\Q^*\) bajo\(*\) satisface los axiomas grupales. Dado que la multiplicación es conmutativa\(\Q\text{,}\)\(*\) es claramente conmutativa\(\Q^*\text{,}\) y así nuestro trabajo para mostrar\(\G_2\) y\(\G_3\) se reduce marginalmente.

Primero, la asociatividad de\(*\) on\(\Q^*\) se hereda de la asociatividad de multiplicación en\(\Q^*\text{.}\)

Observe que la elección quizás “obvia”, 1, no es un elemento de identidad\(*\text{:}\) por\(\Q^*\) debajo por ejemplo,\(1*3=3/2 \neq 3\text{.}\) más bien,\(e\) es tal elemento de identidad si y sólo si por todos\(a\in \Q\)\(a=e*a=(ea)/2\text{.}\) tenemos Claramente tenemos\(a=(2a)/2\) para todos\(a\in \Q^*\text{;}\) así\(2\) actúa como un elemento de identidad\(\Q^*\) para\(*\text{.}\)

Por último, vamos\(a\in \Q^*\text{.}\)\(a\neq 0\text{,}\) Ya que tiene sentido dividir para\(a\text{;}\) entonces\(4/a\in \Q^*\text{,}\) con\(a*(4/a)=(a(4/a))/2=2\text{.}\)

Así,\(\langle \Q^*,*\rangle\) es un grupo.