2.4: Ejemplos de Grupos/Nongroups, Parte I

Veamos algunos ejemplos de grupos/ngrupos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Afirmamos que$\mathbb{Z}$ es un grupo en adición. En efecto,$\langle\mathbb{Z},+\rangle$ es una estructura binaria y esa suma es asociativa sobre los enteros. El entero$0$ actúa como un elemento de identidad de$\mathbb{Z}$ subsuma (ya que$a+0=0+a=a$ para cada uno$a\in \mathbb{Z}$), y cada elemento$a$ en$G$ tiene inverso$-a$ desde$a+(-a)=-a+a=0\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Para cada estructura binaria siguiente$\langle G,*\rangle\text{,}$ determinar si$G$ es o no un grupo. Para los que no son grupos, determinar el primer axioma grupal que falla, y proporcionar una prueba de que falla.

1. $\langle \mathbb{Q},+\rangle$
2. $\langle \mathbb{Z},-\rangle$
3. $\langle \mathbb{R},\cdot\rangle$
4. $\langle \mathbb{C}^*,\cdot\rangle$
5. $\langle \mathbb{R},+\rangle$
6. $\langle \mathbb{Z}^+,+\rangle$
7. $\langle \mathbb{Z}^*,\cdot\rangle$
8. $\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),+\rangle$
9. $\langle \mathbb{C},+\rangle$
10. $\langle \mathbb{Z},\cdot\rangle$
11. $\langle \mathbb{R}^*,\cdot\rangle$
12. $\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),\cdot\rangle$

Si has tomado álgebra lineal, probablemente también hayas visto una colección de matrices que es un grupo bajo multiplicación matricial.

Definición: Grupos lineales generales y especiales

Recordemos que dada una matriz cuadrada$A\text{,}$ la notación$\det A$ denota el determinante de$A\text{.}$ Let

\ begin {ecuación*} GL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M\ neq 0\}\ end {ecuación*}

(es decir, vamos$GL(n,\mathbb{R})$ be the set of all invertible $n \times n$ matrices over $\mathbb{R}$) , and let

\ begin {ecuación*} SL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M =1\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Estos subconjuntos de grupos lineales$\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ are called, respectively, the generales y especiales de grado$n$ sobre$\mathbb{R}$.

Obsérvese que estas definiciones implican que estos subconjuntos de$\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ son grupos (bajo alguna operación). Efectivamente, ¡lo son!

Teorema$\PageIndex{1}$

$GL(n,\mathbb{R})$es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos$A,B∈GL(n,\mathbb{R})$. Entonces$\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)≠0$ (desde$\text{det}A, \text{det}B≠0$), entonces$AB∈GL(n,\mathbb{R})$. Así,$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$\langle GL(n,\mathbb{R}), \cdot \rangle$ es una estructura binaria.

Sabemos que la multiplicación matricial es siempre asociativa, así lo$\mathcal{G}_2$ sostiene. Siguiente,

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

el está en$GL(n,\mathbb{R})$ desde$\text{det}I_n=1≠0$, y actúa como un elemento de identidad para$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$ desde

$AI_n=I_nA=A$

para todos$A∈GL(n,\mathbb{R})$.

Por último, vamos$A∈GL(n,\mathbb{R})$. Ya que$\text{det}A≠0$,$A$ tiene (multiplicativo matricial) inverso$A^{−1}$ en$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$. Pero tenemos que verificar que$A^{−1}$ está en$G$. Este es de hecho el caso, sin embargo, ya que$A^{−1}$ es invertible (tiene inversa$A$), de ahí$\text{det}A^{−1}≠0$. Así, también$A^{−1}$ está en$GL(n,\mathbb{R})$.

Así$GL(n,\mathbb{R})$ es un grupo bajo multiplicación.

Teorema$\PageIndex{2}$

$SL(n,\mathbb{R})\text{,}$es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos$A,B∈SL(n,\mathbb{R})$. Entonces$\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)=1(1)=1$, entonces$AB∈SL(n,\mathbb{R})$. Así,$\langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$\langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$ es una estructura binaria.

El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector.

Observación

A lo largo de este curso, si estamos discutiendo un conjunto$GL(n,\mathbb{R})$ o$SL(n,\mathbb{R})\text{,}$ debe asumir$n\in \mathbb{Z}^+\text{,}$ a menos que se indique lo contrario.

Let\(A,B\in SL(n, \R)\text{.}\) Then \(\det(AB)=(\det A)(\det B) =1(1)=1\text{,}\) so \(AB\in SL(n,\R)\text{.}\) Thus, \(\langle SL(n,\R), \cdot\rangle\) is a binary structure.

El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector. Terminamos esta sección con un último ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Definir$*$ por$\mathbb{Q}^*$ por$a*b=(ab)/2$ para todos$a,b\in \mathbb{Q}^*\text{.}$ Demostrar que$\langle \mathbb{Q}^*,*\rangle$ es un grupo.

Solución

En primer lugar,$\langle \mathbb{Q}^∗ \rangle, \;$ es una estructura binaria, ya que$(ab)/2$ es racional y distinta de cero siempre que$a,b$ sean racionales y no nulos.

A continuación, comprobamos que$\mathbb{Q}^∗$ bajo$∗$ satisface los axiomas grupales. Dado que la multiplicación es conmutativa sobre$\mathbb{Q}, ∗$ es claramente conmutativa$\mathbb{Q}^∗$, y así nuestro trabajo para mostrar$\mathcal{G}_2$ y$\mathcal{G}_3$ se reduce marginalmente.

Primero, la asociatividad de$∗$ on$\mathbb{Q}^∗$ se hereda de la asociatividad de multiplicación en$\mathbb{Q}^∗$.

Observe que la elección quizás “obvia”,$1$, no es un elemento de identidad para$\mathbb{Q}^∗$ menores$∗$: por ejemplo,$1∗3= 3/2 ≠3$. Más bien,$e$ es tal elemento de identidad si y sólo si por todo$a∈\mathbb{Q}$ lo que tenemos$a=e∗a=(ea)/2$. Claramente tenemos$a=(2a)/2$ para todos$a∈\mathbb{Q}^∗$; así$2$ actúa como elemento de identidad para$\mathbb{Q}^∗$ menores$∗$.

Por último, vamos$a∈\mathbb{Q}^∗$. Ya que$a≠0$, tiene sentido dividir por$a$; entonces$4/a∈\mathbb{Q}^∗$, con$a∗(4/a)=(a(4/a))/2=2$.

Así,$\langle \mathbb{Q}^∗,∗\rangle$ es un grupo.

En primer lugar,\(\langle\Q^*,\rangle\) es una estructura binaria, ya que\((ab)/2\) es racional y distinta de cero siempre que\(a,b\) sean racionales y no nulos.

A continuación, comprobamos que\(\Q^*\) bajo\(*\) satisface los axiomas grupales. Dado que la multiplicación es conmutativa\(\Q\text{,}\)\(*\) es claramente conmutativa\(\Q^*\text{,}\) y así nuestro trabajo para mostrar\(\G_2\) y\(\G_3\) se reduce marginalmente.

Primero, la asociatividad de\(*\) on\(\Q^*\) se hereda de la asociatividad de multiplicación en\(\Q^*\text{.}\)

Observe que la elección quizás “obvia”, 1, no es un elemento de identidad\(*\text{:}\) por\(\Q^*\) debajo por ejemplo,\(1*3=3/2 \neq 3\text{.}\) más bien,\(e\) es tal elemento de identidad si y sólo si por todos\(a\in \Q\)\(a=e*a=(ea)/2\text{.}\) tenemos Claramente tenemos\(a=(2a)/2\) para todos\(a\in \Q^*\text{;}\) así\(2\) actúa como un elemento de identidad\(\Q^*\) para\(*\text{.}\)

Por último, vamos\(a\in \Q^*\text{.}\)\(a\neq 0\text{,}\) Ya que tiene sentido dividir para\(a\text{;}\) entonces\(4/a\in \Q^*\text{,}\) con\(a*(4/a)=(a(4/a))/2=2\text{.}\)

Así,\(\langle \Q^*,*\rangle\) es un grupo.