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# 2.4: Ejemplos de Grupos/Nongroups, Parte I

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Veamos algunos ejemplos de grupos/ngrupos.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Afirmamos que$$\mathbb{Z}$$ es un grupo en adición. En efecto,$$\langle\mathbb{Z},+\rangle$$ es una estructura binaria y esa suma es asociativa sobre los enteros. El entero$$0$$ actúa como un elemento de identidad de$$\mathbb{Z}$$ subsuma (ya que$$a+0=0+a=a$$ para cada uno$$a\in \mathbb{Z}$$), y cada elemento$$a$$ en$$G$$ tiene inverso$$-a$$ desde$$a+(-a)=-a+a=0\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Para cada estructura binaria siguiente$$\langle G,*\rangle\text{,}$$ determinar si$$G$$ es o no un grupo. Para los que no son grupos, determinar el primer axioma grupal que falla, y proporcionar una prueba de que falla.

1. $$\langle \mathbb{Q},+\rangle$$
2. $$\langle \mathbb{Z},-\rangle$$
3. $$\langle \mathbb{R},\cdot\rangle$$
4. $$\langle \mathbb{C}^*,\cdot\rangle$$
5. $$\langle \mathbb{R},+\rangle$$
6. $$\langle \mathbb{Z}^+,+\rangle$$
7. $$\langle \mathbb{Z}^*,\cdot\rangle$$
8. $$\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),+\rangle$$
9. $$\langle \mathbb{C},+\rangle$$
10. $$\langle \mathbb{Z},\cdot\rangle$$
11. $$\langle \mathbb{R}^*,\cdot\rangle$$
12. $$\langle \mathbb{M}_n(\mathbb{R}),\cdot\rangle$$

Si has tomado álgebra lineal, probablemente también hayas visto una colección de matrices que es un grupo bajo multiplicación matricial.

Definición: Grupos lineales generales y especiales

Recordemos que dada una matriz cuadrada$$A\text{,}$$ la notación$$\det A$$ denota el determinante de$$A\text{.}$$ Let

\ begin {ecuación*} GL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M\ neq 0\}\ end {ecuación*}

(es decir, vamos$$GL(n,\mathbb{R})$$ be the set of all invertible $$n \times n$$ matrices over $$\mathbb{R}$$) , and let

\ begin {ecuación*} SL (n,\ mathbb {R}) =\ {M\ in\ mathbb {M} _n (\ mathbb {R}):\ det M =1\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Estos subconjuntos de grupos lineales$$\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$$ are called, respectively, the generales y especiales de grado$$n$$ sobre$$\mathbb{R}$$.

Obsérvese que estas definiciones implican que estos subconjuntos de$$\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$$ son grupos (bajo alguna operación). Efectivamente, ¡lo son!

Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$GL(n,\mathbb{R})$$es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos$$A,B∈GL(n,\mathbb{R})$$. Entonces$$\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)≠0$$ (desde$$\text{det}A, \text{det}B≠0$$), entonces$$AB∈GL(n,\mathbb{R})$$. Así,$$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$$$\langle GL(n,\mathbb{R}), \cdot \rangle$$ es una estructura binaria.

Sabemos que la multiplicación matricial es siempre asociativa, así lo$$\mathcal{G}_2$$ sostiene. Siguiente,

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

el está en$$GL(n,\mathbb{R})$$ desde$$\text{det}I_n=1≠0$$, y actúa como un elemento de identidad para$$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$$$\langle GL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$ desde

$$AI_n=I_nA=A$$

para todos$$A∈GL(n,\mathbb{R})$$.

Por último, vamos$$A∈GL(n,\mathbb{R})$$. Ya que$$\text{det}A≠0$$,$$A$$ tiene (multiplicativo matricial) inverso$$A^{−1}$$ en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$. Pero tenemos que verificar que$$A^{−1}$$ está en$$G$$. Este es de hecho el caso, sin embargo, ya que$$A^{−1}$$ es invertible (tiene inversa$$A$$), de ahí$$\text{det}A^{−1}≠0$$. Así, también$$A^{−1}$$ está en$$GL(n,\mathbb{R})$$.

Así$$GL(n,\mathbb{R})$$ es un grupo bajo multiplicación.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

$$SL(n,\mathbb{R})\text{,}$$es un grupo bajo multiplicación matricial.

Prueba

Vamos$$A,B∈SL(n,\mathbb{R})$$. Entonces$$\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)=1(1)=1$$, entonces$$AB∈SL(n,\mathbb{R})$$. Así,$$\langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$$$\langle SL(n,\mathbb{R}),\cdot \rangle$$ es una estructura binaria.

El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector.

Terminamos esta sección con un último ejemplo.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Definir$$*$$ por$$\mathbb{Q}^*$$ por$$a*b=(ab)/2$$ para todos$$a,b\in \mathbb{Q}^*\text{.}$$ Demostrar que$$\langle \mathbb{Q}^*,*\rangle$$ es un grupo.

Solución

En primer lugar,$$\langle \mathbb{Q}^∗ \rangle, \;$$ es una estructura binaria, ya que$$(ab)/2$$ es racional y distinta de cero siempre que$$a,b$$ sean racionales y no nulos.

A continuación, comprobamos que$$\mathbb{Q}^∗$$ bajo$$∗$$ satisface los axiomas grupales. Dado que la multiplicación es conmutativa sobre$$\mathbb{Q}, ∗$$ es claramente conmutativa$$\mathbb{Q}^∗$$, y así nuestro trabajo para mostrar$$\mathcal{G}_2$$ y$$\mathcal{G}_3$$ se reduce marginalmente.

Primero, la asociatividad de$$∗$$ on$$\mathbb{Q}^∗$$ se hereda de la asociatividad de multiplicación en$$\mathbb{Q}^∗$$.

Observe que la elección quizás “obvia”,$$1$$, no es un elemento de identidad para$$\mathbb{Q}^∗$$ menores$$∗$$: por ejemplo,$$1∗3= 3/2 ≠3$$. Más bien,$$e$$ es tal elemento de identidad si y sólo si por todo$$a∈\mathbb{Q}$$ lo que tenemos$$a=e∗a=(ea)/2$$. Claramente tenemos$$a=(2a)/2$$ para todos$$a∈\mathbb{Q}^∗$$; así$$2$$ actúa como elemento de identidad para$$\mathbb{Q}^∗$$ menores$$∗$$.

Por último, vamos$$a∈\mathbb{Q}^∗$$. Ya que$$a≠0$$, tiene sentido dividir por$$a$$; entonces$$4/a∈\mathbb{Q}^∗$$, con$$a∗(4/a)=(a(4/a))/2=2$$.

Así,$$\langle \mathbb{Q}^∗,∗\rangle$$ es un grupo.

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