5.5: Valores propios complejos

$\usepackage{macros} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&}$

Objetivos

1. Aprender a encontrar valores propios complejos y vectores propios de una matriz.
2. Aprende a reconocer una matriz de escala de rotación y calcula según cuánto gira y escala la matriz.
3. Comprender la geometría$2\times 2$ y$3\times 3$ las matrices con un valor propio complejo.
4. Recetas: una$2\times 2$ matriz con un valor propio complejo es similar a una matriz de escala de rotación, el truco de autovector para$2\times 2$ matrices.
5. Imágenes: la geometría de matrices con un valor propio complejo.
6. Teoremas: el teorema de rotación-escalado, el teorema de diagonalización de bloques.
7. Palabra de vocabulario: matriz de escala de rotación.

En la Sección 5.4, vimos que una$n \times n$ matriz cuyo polinomio característico tiene raíces reales$n$ distintas es diagonalizable: es similar a una matriz diagonal, que es mucho más simple de analizar. La otra posibilidad es que una matriz tenga raíces complejas, y ese es el foco de esta sección. Resulta que tal matriz es similar (en el$2\times 2$ caso) a una matriz de escala de rotación, que también es relativamente fácil de entender.

En cierto sentido, toda esta sección es análoga a la Sección 5.4, con matrices de escala de rotación que juegan el papel de matrices diagonales. Consulte la Sección 7.1 para una revisión de los números complejos.

Matrices con valores propios complejos

Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra, Teorema 7.1.1 en la Sección 7.1, aplicado al polinomio característico, vemos que:

Nota$\PageIndex{1}$

Cada$n \times n$ matriz tiene valores propios exactamente$n$ complejos, contados con multiplicidad.

Podemos calcular un vector propio correspondiente (complejo) exactamente de la misma manera que antes: por fila reduciendo la matriz$A - \lambda I_n$. Ahora, sin embargo, tenemos que hacer aritmética con números complejos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: A $2\times 2$ matrix

Encuentra los valores propios complejos y los vectores propios de la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right). \nonumber$$

Solución

El polinomio característico de$A$ es

$$f(\lambda) = \lambda^2 - \text{Tr}(A)\lambda + \det(A) = \lambda^2 - 2\lambda + 2. \nonumber$$

Las raíces de este polinomio son

$$\lambda = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}2 = 1\pm i. \nonumber$$

Primero calculamos un vector propio para$\lambda = 1+i$. Tenemos

$$A-(1+i) I_2 = \left(\begin{array}{cc}1-(1+i)&-1 \\ 1&1-(1+i) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-i&-1\\1&-i\end{array}\right). \nonumber$$

Ahora remaremos reducir, señalando que la segunda fila es$i$ veces la primera:

$$\left(\begin{array}{cc}-i&-1\\1&-i\end{array}\right) \;\xrightarrow{R_2=R_2-iR_1}\; \left(\begin{array}{cc}-i&-1\\0&0\end{array}\right) \;\xrightarrow{R_1=R_1\div -i}\; \left(\begin{array}{cc}1&-i\\0&0\end{array}\right). \nonumber$$

La forma paramétrica es$x = iy\text{,}$ tal que un vector propio es$v_1={i\choose 1}$. A continuación calculamos un vector propio para$\lambda=1-i$. Tenemos

$$A-(1-i) I_2 = \left(\begin{array}{cc}1-(1-i)&-1\\1&1-(1-i)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}i&-1\\1&i\end{array}\right). \nonumber$$

Ahora remaremos reducir, señalando que la segunda fila es$-i$ veces la primera:

$$\left(\begin{array}{cc}i&-1\\1&i\end{array}\right) \;\xrightarrow{R_2=R_2+iR_1}\; \left(\begin{array}{cc}i&-1\\0&0\end{array}\right) \;\xrightarrow{R_1=R_1\div i}\; \left(\begin{array}{cc}1&i\\0&0\end{array}\right). \nonumber$$

La forma paramétrica es$x = -iy\text{,}$ tal que un vector propio es$v_2 = {-i\choose 1}$.

Podemos verificar nuestras respuestas:

$$\begin{aligned}\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}i-1\\i+1\end{array}\right)=(1+i)\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}-i-1\\-i+1\end{array}\right)=(1-i)\left(\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right).\end{aligned}$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: A $3\times 3$ matrix

Encuentra los valores propios y vectores propios, reales y complejos, de la matriz

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4/5&-3/5&0 \\ 3/5&4/5&0\\1&2&2\end{array}\right).\nonumber$$

Solución

Calculamos el polinomio característico expandiendo cofactores a lo largo de la tercera fila:

$$f(\lambda) = \det\left(\begin{array}{ccc}4/5-\lambda &-3/5&0 \\ 3/5&4-5-\lambda &0 \\ 1&2&2-\lambda\end{array}\right) = (2-\lambda)\left(\lambda^2-\frac 85\lambda+1\right). \nonumber$$

Este polinomio tiene una raíz real en$2\text{,}$ y dos raíces complejas en

$$\lambda = \frac{8/5\pm\sqrt{64/25-4}}2 = \frac{4\pm 3i}5. \nonumber$$

Por lo tanto, los valores propios son

$$\lambda = 2,\quad \frac{4+3i}5,\quad \frac{4-3i}5. \nonumber$$

Nos globo ocular que$v_1 = e_3$ es un vector propio con valor propio$2\text{,}$ ya que la tercera columna es$2e_3$.

A continuación encontramos un vector propio con valor propio$(4+3i)/5$. Tenemos

$$A-\frac{4+3i}5I_3 = \left(\begin{array}{ccc}-3i/5&-3/5&0\\3/5&-3i/5&0\\ 1&2&2-(4+3i)/5\end{array}\right) \;\xrightarrow[R_2=R_2\times5/3]{R_1=R_1\times -5/3}\; \left(\begin{array}{ccc}i&1&0\\1&-i&0\\1&2&\frac{6-3i}{5}\end{array}\right). \nonumber$$

Remamos reducir, señalando que la segunda fila es$-i$ veces la primera:

$$\begin{aligned}\left(\begin{array}{ccc}i&1&0\\1&-i&0\\1&2&\frac{6-3i}{5}\end{array}\right)\xrightarrow{R_2=R_2+iR_1}\quad &\left(\begin{array}{ccc}i&1&0\\0&0&0\\1&2&\frac{6-3i}{5}\end{array}\right) \\ {}\xrightarrow{R_3=R_3+iR_1}\quad &\left(\begin{array}{ccc}i&1&0\\0&0&0\\0&2+i&\frac{6-3i}{5}\end{array}\right) \\ {}\xrightarrow{R_2\longleftrightarrow R_3}\quad &\left(\begin{array}{ccc}i&1&0\\0&2+i&\frac{6-3i}{5}\\0&0&0\end{array}\right) \\ {}\xrightarrow[R_2=R_2\div(2+i)]{R_1=R_1\div i}\quad &\left(\begin{array}{ccc}1&-i&0\\0&1&\frac{9-12i}{25}\\0&0&0\end{array}\right) \\ {}\xrightarrow{R_1=R_1+iR_2}\quad &\left(\begin{array}{ccc}1&0&\frac{12+9i}{25}\\0&1&\frac{9-12i}{25}\\0&0&0\end{array}\right).\end{aligned}$$

La variable libre es$z\text{;}$ la forma paramétrica de la solución es

$$\left\{\begin{array}{rrr}x &=& -\dfrac{12+9i}{25}z \\ y &=& -\dfrac{9-12i}{25}z.\end{array}\right.\nonumber$$

Tomando$z=25$ da el vector propio

$$v_2 = \left(\begin{array}{c}-12-9i\\-9+12i\\25\end{array}\right). \nonumber$$

Un cálculo similar (reemplazando todas las ocurrencias de$i$ by$-i$) muestra que un vector propio con valor propio$(4-3i)/5$ es

$$v_3 = \left(\begin{array}{c}-12+9i\\-9-12i\\25\end{array}\right). \nonumber$$

Podemos verificar nuestros cálculos:

$$\begin{aligned}\left(\begin{array}{ccc}4/5&-3/5&0\\3/5&4/5&0\\1&2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-12+9i\\-9-12i\\25\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}-21/5+72i/5 \\ -72/5-21i/5\\20-15i\end{array}\right)=\frac{4+3i}{5}\left(\begin{array}{c}-12+9i\\-9-12i\\25\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc}4/5&-3/5&0\\3/5&4/5&0\\1&2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-12-9i\\-9+12i\\25\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}-21/5-72i/5\\-72/5+21i/5\\20+15i\end{array}\right)=\frac{4-3i}{5}\left(\begin{array}{c}-12-9i\\-9+12i\\25\end{array}\right).\end{aligned}$$

Si$A$ es una matriz con entradas reales, entonces su polinomio característico tiene coeficientes reales, por lo que la Nota 7.1.3 en la Sección 7.1 implica que sus valores propios complejos vienen en pares conjugados. En el primer ejemplo, notamos que

$$\begin{split} 1+i \text{ has an eigenvector } \amp v_1 =\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right) \\ 1-i \text{ has an eigenvector } \amp v_2 = \left(\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

En el segundo ejemplo,

$$\begin{split} \frac{4+3i}5 \text{ has an eigenvector } \amp v_1 = \left(\begin{array}{c}-12-9i\\-9+12i\\25\end{array}\right) \\ \frac{4-3i}5 \text{ has an eigenvector } \amp v_2 =\left(\begin{array}{c}-12+9i\\-9-12i\\25\end{array}\right) \end{split} \nonumber$$

En estos casos, un vector propio para el valor propio conjugado es simplemente el vector propio conjugado (el vector propio obtenido conjugando cada entrada del primer vector propio). Esto siempre es cierto. En efecto, si$Av=\lambda v$ entonces

$$A \bar v = \bar{Av} = \bar{\lambda v} = \bar \lambda \bar v, \nonumber$$

que dice exactamente que$\bar v$ es un vector propio de$A$ con valor propio$\bar \lambda$.

Nota$\PageIndex{2}$

Dejar$A$ ser una matriz con entradas reales. Si

$$\begin{split} \lambda \text{ is a complex eigenvalue with eigenvector } \amp v, \\ \text{then } \bar\lambda \text{ is a complex eigenvalue with eigenvector }\amp\bar v. \end{split} \nonumber$$

En otras palabras, tanto los valores propios como los vectores propios vienen en pares conjugados.

Dado que puede resultar tedioso dividir por números complejos mientras se reduce la fila, es útil aprender el siguiente truco, que funciona igualmente bien para matrices con entradas reales.

Nota$\PageIndex{3}$: Eigenvector Trick for $2\times 2$ Matrices

Dejar$A$ ser una$2\times 2$ matriz, y dejar$\lambda$ ser un valor propio (real o complejo). Entonces

$$A - \lambda I_2 = \left(\begin{array}{cc}z&w\\ \star&\star\end{array}\right) \quad\implies\quad \left(\begin{array}{c}-w\\z\end{array}\right) \text{ is an eigenvector with eigenvalue } \lambda, \nonumber$$

asumiendo que la primera fila de$A-\lambda I_2$ es distinta de cero.

En efecto, como$\lambda$ es un valor propio, sabemos que no$A-\lambda I_2$ es una matriz invertible. De ello se deduce que las filas son colineales (de lo contrario el determinante es distinto de cero), de manera que la segunda fila es automáticamente un múltiplo (complejo) de la primera:

$$\left(\begin{array}{cc}z&w\\ \star&\star\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}z&w\\cz&cw\end{array}\right).\nonumber$$

Es obvio que${-w\choose z}$ está en el espacio nulo de esta matriz, como es${w\choose -z}\text{,}$ para el caso. Tenga en cuenta que nunca tuvimos que calcular la segunda fila de y$A-\lambda I_2\text{,}$ mucho menos fila reducir!

Ejemplo$\PageIndex{3}$: A $2\times 2$ matrix, the easy way

Encuentra los valores propios complejos y los vectores propios de la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right). \nonumber$$

Solución

Dado que el polinomio característico de una$2\times 2$ matriz$A$ es que$f(\lambda) = \lambda^2-\text{Tr}(A)\lambda + \det(A)\text{,}$ sus raíces son

$$\lambda = \frac{\text{Tr}(A)\pm\sqrt{\text{Tr}(A)^2-4\det(A)}}2 = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}2 = 1\pm i. \nonumber$$

Para encontrar un vector propio con valor propio$1+i\text{,}$ calculamos

$$A - (1+i)I_2 = \left(\begin{array}{cc}-i&-1\\ \star&\star\end{array}\right) \;\xrightarrow{\text{eigenvector}}\; v_1 = \left(\begin{array}{c}1\\-i\end{array}\right). \nonumber$$

El vector propio para el valor propio conjugado es el conjugado complejo:

$$v_2 = \bar v_1 = \left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right). \nonumber$$

En Ejemplo$\PageIndex{1}$ encontramos los vectores propios${i\choose 1}$ y${-i\choose 1}$ para los autovalores$1+i$ y$1-i\text{,}$ respectivamente, pero en Ejemplo$\PageIndex{3}$ encontramos los vectores propios${1\choose -i}$ y${1\choose i}$ para los mismos valores propios de la misma matriz. Estos vectores no parecen múltiplos entre sí al principio, pero como ahora tenemos números complejos a nuestra disposición, podemos ver que en realidad son múltiplos:

$$-i\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-i\end{array}\right) \qquad i\left(\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right). \nonumber$$

Matrices de escala de rotación

Los ejemplos más importantes de matrices con valores propios complejos son matrices de escala de rotación, es decir, múltiplos escalares de matrices de rotación.

Definición$\PageIndex{1}$: Rotation-Scaling matrix

Una matriz de escala de rotación es una$2\times 2$ matriz de la forma

$$\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right), \nonumber$$

donde$a$ y$b$ son números reales, no ambos iguales a cero.

La siguiente proposición justifica el nombre.

Proposición$\PageIndex{1}$

Dejar $$A = \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right) \nonumber$$ ser una matriz de escala de rotación. Entonces:

1. $A$es un producto de una matriz de rotación $$\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\quad\text{with a scaling matrix}\quad\left(\begin{array}{cc}r&0\\0&r\end{array}\right).\nonumber$$
2. El factor de escalado$r$ es $$r = \sqrt{\det(A)} = \sqrt{a^2+b^2}. \nonumber$$
3. El ángulo de rotación$\theta$ es el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj desde el$x$ eje positivo hasta el vector${a\choose b}\text{:}$

Figura$\PageIndex{1}$

Los valores propios de$A$ son$\lambda = a \pm bi.$

Prueba

Set$r = \sqrt{\det(A)} = \sqrt{a^2+b^2}$. El punto$(a/r, b/r)$ tiene la propiedad que

$$\left(\frac ar\right)^2 + \left(\frac br\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{r^2} = 1. \nonumber$$

En otras palabras,$(a/r,b/r)$ se encuentra en el círculo unitario. Por lo tanto, tiene la forma$(\cos\theta,\sin\theta)\text{,}$ donde$\theta$ está el ángulo en sentido antihorario desde el$x$ eje positivo hasta el vector${a/r\choose b/r}\text{,}$ o ya que está en la misma línea, para${a\choose b}\text{:}$

Figura$\PageIndex{2}$

De ello se deduce que

$$A = r\left(\begin{array}{cc}a/r&-b/r \\ b/r&a/r\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}r&0\\0&r\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right), \nonumber$$

según se desee.

Para la última declaración, calculamos los valores propios de$A$ como las raíces del polinomio característico:

$$\lambda = \frac{\text{Tr}(A)\pm\sqrt{\text{Tr}(A)^2-4\det(A)}}2 = \frac{2a\pm\sqrt{4a^2-4(a^2+b^2)}}2 = a\pm bi. \nonumber$$

Geométricamente, una matriz de escala de rotación hace exactamente lo que dice el nombre: gira y escala (en cualquier orden).

Ejemplo$\PageIndex{4}$: A rotation-scaling matrix

Qué hace la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right) \nonumber$$

hacer geométricamente?

Solución

Esta es una matriz de escala de rotación con$a=b=1$. Por lo tanto, se escala en un factor de$\sqrt{\det(A)} = \sqrt 2$ y gira en sentido antihorario por$45^\circ\text{:}$

Figura$\PageIndex{3}$

Aquí hay una foto de$A\text{:}$

Figura$\PageIndex{4}$

A continuación se incluye una figura interactiva.

Figura La$\PageIndex{5}$: multiplicación por la matriz$A$ gira el plano por$45^\circ$ y se dilata por un factor de$\sqrt 2$. Mueva el vector de entrada$x$ para ver cómo$b$ cambia el vector de salida.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: A rotation-scaling matrix

Qué hace la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}&-1\\1&-\sqrt{3}\end{array}\right) \nonumber$$

hacer geométricamente?

Solución

Esta es una matriz de escala de rotación con$a=-\sqrt3$ y$b=1$. Por lo tanto, se escala en un factor de$\sqrt{\det(A)}=\sqrt{3+1}=2$ y gira en sentido contrario a las agujas del reloj por el ángulo$\theta$ en la imagen:

Figura$\PageIndex{6}$

Para calcular este ángulo, hacemos un poco de trigonometría:

Figura$\PageIndex{7}$

Por lo tanto,$A$ gira en sentido antihorario$5\pi/6$ y escala por un factor de$2$.

Figura$\PageIndex{8}$

A continuación se incluye una figura interactiva.

Figura La$\PageIndex{9}$: multiplicación por la matriz$A$ gira el plano por$5\pi/6$ y se dilata por un factor de$2$. Mueva el vector de entrada$x$ para ver cómo$b$ cambia el vector de salida.

La matriz en el segundo ejemplo tiene una segunda columna${-\sqrt 3\choose 1}\text{,}$ que se gira en sentido contrario a las agujas del reloj desde el$x$ eje positivo en un ángulo de$5\pi/6$. Este ángulo de rotación no es igual a$\tan^{-1}\bigl(1/(-\sqrt3)\bigr) = -\frac\pi 6.$ El problema es que arctan siempre genera valores entre$-\pi/2$ y$\pi/2\text{:}$ no da cuenta de puntos en el segundo o tercer cuadrantes. Es por eso que dibujamos un triángulo y usamos sus longitudes de borde (positivas) para calcular el ángulo$\varphi\text{:}$

Figura$\PageIndex{10}$

Alternativamente, podríamos haber observado que se${-\sqrt 3\choose 1}$ encuentra en el segundo cuadrante, de manera que el ángulo$\theta$ en cuestión es

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac1{-\sqrt3}\right) + \pi. \nonumber$$

Nota$\PageIndex{4}$

Al encontrar el ángulo de rotación de un vector${a\choose b}\text{,}$ no compute ciegamente$\tan^{-1}(b/a)\text{,}$ ya que esto dará la respuesta incorrecta cuando${a\choose b}$ esté en el segundo o tercer cuadrante. En cambio, dibuja un cuadro.

Geometría de$2 \times 2$ Matrices con un Valor propio Complejo

Dejar$A$ ser una$2\times 2$ matriz con un valor propio complejo, no real$\lambda$. Entonces$A$ también tiene el valor propio$\bar\lambda\neq\lambda$. En particular,$A$ tiene valores propios distintos, por lo que es diagonalizable usando los números complejos. A menudo nos gusta pensar en nuestras matrices como una descripción de transformaciones de$\mathbb{R}^n$ (en contraposición a$\mathbb{C}^n$). Debido a esto, la siguiente construcción es útil. Da algo así como una diagonalización, excepto que todas las matrices involucradas tienen entradas reales.

Teorema$\PageIndex{1}$: Rotation-Scaling Theorem

Dejar$A$ ser una matriz$2\times 2$ real con un valor propio complejo (no real)$\lambda\text{,}$ y dejar$v$ ser un vector propio. Entonces$A = CBC^{-1}$ para

$$C = \left(\begin{array}{cc}|&| \\ \Re (v)&\Im(v) \\ |&|\end{array}\right)\quad\text{and}\quad B = \left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right). \nonumber$$

En particular,$A$ es similar a una matriz de escala de rotación que escala por un factor de$|\lambda| = \sqrt{\det(B)}.$

Prueba

Primero tenemos que demostrar eso$\Re(v)$ y$\Im(v)$ somos linealmente independientes, ya que de lo contrario no$C$ es invertible. Si no, entonces existen números reales$x,y,$ no ambos iguales a cero, tal que$x\Re(v) + y\Im(v) = 0$. Entonces

$$\begin{split} (y+ix)v \amp= (y+ix)\bigl(\Re(v)+i\Im(v)\bigr) \\ \amp= y\Re(v) - x\Im(v) + \left(x\Re(v) + y\Im(v)\right)i \\ \amp= y\Re(v) - x\Im(v). \end{split} \nonumber$$

Ahora, también$(y+ix)v$ es un vector propio de$A$ con valor propio$\lambda\text{,}$ ya que es un múltiplo escalar de$v$. Pero acabamos de demostrar que$(y+ix)v$ es un vector con entradas reales, y cualquier vector propio real de una matriz real tiene un valor propio real. Por lo tanto,$\Re(v)$ y$\Im(v)$ debe ser linealmente independiente después de todo.

Dejar$\lambda = a+bi$ y$v = {x+yi\choose z+wi}$. Observamos que

$$\begin{split} Av = \lambda v \amp= (a+bi)\left(\begin{array}{c}x+yi\\z+wi\end{array}\right) \\ \amp= \left(\begin{array}{c}(ax-by)+(ay+bx)i \\ (az-bw)+(aw+bz)i\end{array}\right) \\ \amp= \left(\begin{array}{c}ax-by\\az-bw\end{array}\right) + i\left(\begin{array}{c}ay+bx \\ aw+bz\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

Por otro lado, tenemos

$$A\left(\left(\begin{array}{c}x\\z\end{array}\right) + i\left(\begin{array}{c}y\\w\end{array}\right)\right) = A\left(\begin{array}{c}x\\z\end{array}\right) + iA\left(\begin{array}{c}y\\w\end{array}\right) = A\Re(v) + iA\Im(v). \nonumber$$

Emparejar partes reales e imaginarias da

$$A\Re(v) = \left(\begin{array}{c}ax-by\\az-bw\end{array}\right) \qquad A\Im(v) = \left(\begin{array}{c}ay+bx\\aw+bz\end{array}\right). \nonumber$$

Ahora calculamos$CBC^{-1}\Re(v)$ y$CBC^{-1}\Im(v)$. Desde$Ce_1 = \Re(v)$ y$Ce_2 = \Im(v)\text{,}$ tenemos$C^{-1}\Re(v) = e_1$ y$C^{-1}\Im(v)=e_2\text{,}$ así

$$\begin{split} CBC^{-1}\Re(v) \amp= CBe_1 = C\left(\begin{array}{c}a\\-b\end{array}\right) = a\Re(v)-b\Im(v) \\ \amp= a\left(\begin{array}{c}x\\z\end{array}\right) - b\left(\begin{array}{c}y\\w\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}ax-by\\az-bw\end{array}\right) = A\Re(v) \\ CBC^{-1}\Im(v) \amp= CBe_2 = C\left(\begin{array}{c}b\\a\end{array}\right) = b\Re(v)+a\Im(v) \\ \amp= b\left(\begin{array}{c}x\\z\end{array}\right) + a\left(\begin{array}{c}y\\w\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}ay+bx\\aw+bz\end{array}\right) = A\Im(v). \end{split} \nonumber$$

Por lo tanto,$A\Re(v) = CBC^{-1}\Re(v)$ y$A\Im(v) = CBC^{-1}\Im(v)$.

Dado que$\Re(v)$ y$\Im(v)$ son linealmente independientes, forman una base para$\mathbb{R}^2$. Dejar$w$ ser cualquier vector en$\mathbb{R}^2 \text{,}$ y escribir$w = c\Re(v) + d\Im(v)$. Entonces

$$\begin{split} Aw \amp= A\bigl(c\Re(v) + d\Im(v)\bigr) \\ \amp= cA\Re(v) + dA\Im(v) \\ \amp= cCBC^{-1}\Re(v) + dCBC^{-1}\Im(v) \\ \amp= CBC^{-1}\bigl(c\Re(v) + d\Im(v)\bigr) \\ \amp= CBC^{-1} w. \end{split} \nonumber$$

Esto lo demuestra$A = CBC^{-1}$.

Aquí$\Re$ y$\Im$ denotan las partes reales e imaginarias, respectivamente:

$$\Re(a+bi) = a \quad \Im(a+bi) = b \quad \Re\left(\begin{array}{c}x+yi\\z+wi\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x\\z\end{array}\right) \quad \Im\left(\begin{array}{c}x+yi\\z+wi\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}y\\w\end{array}\right). \nonumber$$

La matriz de escala de rotación en cuestión es la matriz

$$B = \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)\quad\text{with}\quad a = \Re(\lambda),\; b = -\Im(\lambda). \nonumber$$

Geométricamente, el teorema de escala de rotación dice que una$2\times 2$ matriz con un valor propio complejo se comporta de manera similar a una matriz de escala de rotación. Ver Nota 5.3.3 en la Sección 5.3.

Se debe considerar el Teorema$\PageIndex{1}$ como un análogo cercano del Teorema 5.4.1 en la Sección 5.4, con una matriz de escala de rotación que juega el papel de una matriz diagonal. Antes de continuar, replanteamos el teorema como receta:

Receta: A$2\times 2$ Matrix with a Complex Eigenvalue

$A$Déjese ser una matriz$2\times 2$ real.

1. Calcular el polinomio característico y $$f(\lambda) = \lambda^2 - \text{Tr}(A)\lambda + \det(A), \nonumber$$ luego computar sus raíces usando la fórmula cuadrática.
2. Si los valores propios son complejos, elige uno de ellos, y llámenlo$\lambda$.
3. Encuentra un valor propio correspondiente (complejo)$v$ usando el truco 3.
4. Entonces$A=CBC^{-1}$ para $$C = \left(\begin{array}{cc}|&| \\ \Re(v)&\Im(v) \\ |&|\end{array}\right)\quad\text{and}\quad B = \left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right). \nonumber$$ Esta escala por un factor de$|\lambda|$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Qué hace la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}2&-1\\2&0\end{array}\right) \nonumber$$

hacer geométricamente?

Solución

Los valores propios de$A$ son

$$\lambda = \frac{\text{Tr}(A) \pm \sqrt{\text{Tr}(A)^2-4\det(A)}}2 = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}2 = 1\pm i. \nonumber$$

Elegimos el valor propio$\lambda = 1-i$ y encontramos un vector propio correspondiente, usando el truco, tenga en cuenta$\PageIndex{3}$:

$$A - (1-i)I_2 = \left(\begin{array}{cc}1+i&-1 \\ \star&\star\end{array}\right) \;\xrightarrow{\text{eigenvector}}\; v = \left(\begin{array}{c}1\\1+i\end{array}\right). \nonumber$$

Según el teorema$\PageIndex{1}$, tenemos$A=CBC^{-1}$ para

$$\begin{split} C \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re\left(\begin{array}{c}1\\1+i\end{array}\right)&\Im\left(\begin{array}{c}1\\1+i\end{array}\right)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right) \\ B \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

La matriz$B$ es la matriz de escala de rotación anterior Ejemplo$\PageIndex{4}$: gira en sentido antihorario por un ángulo de$45^\circ$ y escala por un factor de$\sqrt 2$. La matriz$A$ hace lo mismo, pero con respecto al sistema$\Re(v),\Im(v)$ -coordinate:

Figura$\PageIndex{11}$

Para resumir:

• $B$gira alrededor del círculo centrado en el origen y que pasa a través$e_1$ y$e_2\text{,}$ en la dirección de$e_1$ a$e_2\text{,}$ entonces escala por$\sqrt 2$.
• $A$gira alrededor de la elipse centrada en el origen y pasando a través$\Re(v)$ y$\Im(v)\text{,}$ en la dirección desde$\Re(v)$ hasta$\Im(v)\text{,}$ entonces escala por$\sqrt 2$.

El lector podría querer volver a referirse al Ejemplo 5.3.7 en la Sección 5.3.

Figura$\PageIndex{12}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre el plano. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha.

Si en cambio hubiéramos elegido$\bar\lambda = 1+i$ como nuestro valor propio, entonces habríamos encontrado el vector propio$\bar v = {1\choose 1-i}$. En este caso tendríamos$A=C'B'(C')^{-1}\text{,}$ donde

$$\begin{split} C' \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re\left(\begin{array}{c}1\\1-i\end{array}\right)&\Im\left(\begin{array}{c}1\\1-i\end{array}\right)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&0\\1&-1\end{array}\right) \\ B' \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re(\overline{\lambda})&\Im(\overline{\lambda}) \\ -\Im(\overline{\lambda})&\Re(\overline{\lambda})\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

Entonces, también$A$ es similar a una rotación en sentido horario por$45^\circ\text{,}$ seguida de una escala por$\sqrt 2$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Qué hace la matriz

$$A = \left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}+1&-2\\1&-\sqrt{3}-1\end{array}\right) \nonumber$$

hacer geométricamente?

Solución

Los valores propios de$A$ son

$$\lambda = \frac{\text{Tr}(A) \pm \sqrt{\text{Tr}(A)^2-4\det(A)}}2 = \frac{-2\sqrt 3\pm\sqrt{12-16}}2 = -\sqrt3\pm i. \nonumber$$

Elegimos el valor propio$\lambda = -\sqrt3-i$ y encontramos un vector propio correspondiente, usando el truco, tenga en cuenta$\PageIndex{3}$:

$$A - (-\sqrt3-i)I_2 = \left(\begin{array}{cc}1+i&-2\\ \star&\star\end{array}\right) \;\xrightarrow{\text{eigenvector}}\; v = \left(\begin{array}{c}2\\1+i\end{array}\right). \nonumber$$

Según el teorema$\PageIndex{1}$, tenemos$A=CBC^{-1}$ para

$$\begin{split} C \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re\left(\begin{array}{c}2\\1+i\end{array}\right)&\Im\left(\begin{array}{c}2\\1+i\end{array}\right)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right) \\ B \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}&-1\\1&-\sqrt{3}\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

La matriz$B$ es la matriz de escala de rotación en el Ejemplo anterior$\PageIndex{5}$: gira en sentido antihorario por un ángulo de$5\pi/6$ y escala por un factor de$2$. La matriz$A$ hace lo mismo, pero con respecto al sistema$\Re(v),\Im(v)$ -coordinate:

Figura$\PageIndex{13}$

Para resumir:

• $B$gira alrededor del círculo centrado en el origen y que pasa a través$e_1$ y$e_2\text{,}$ en la dirección de$e_1$ a$e_2\text{,}$ entonces escala por$2$.
• $A$gira alrededor de la elipse centrada en el origen y pasando a través$\Re(v)$ y$\Im(v)\text{,}$ en la dirección desde$\Re(v)$ hasta$\Im(v)\text{,}$ entonces escala por$2$.

El lector podría querer volver a referirse al Ejemplo 5.3.7 en la Sección 5.3.

Figura$\PageIndex{14}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre el plano. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha.

Si en cambio hubiéramos elegido$\bar\lambda = -\sqrt3-i$ como nuestro valor propio, entonces habríamos encontrado el vector propio$\bar v = {2\choose 1-i}$. En este caso tendríamos$A=C'B'(C')^{-1}\text{,}$ donde

$$\begin{split} C' \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re\left(\begin{array}{c}2\\1-i\end{array}\right)&\Im\left(\begin{array}{c}2\\1-i\end{array}\right)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2&0\\1&-1\end{array}\right) \\ B' \amp= \left(\begin{array}{cc}\Re(\overline{\lambda})&\Im(\overline{\lambda}) \\ -\Im(\overline{\lambda})&\Re(\overline{\lambda})\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}&1\\-1&-\sqrt{3}\end{array}\right). \end{split} \nonumber$$

Entonces, también$A$ es similar a una rotación en sentido horario por$5\pi/6\text{,}$ seguida de una escala por$2$.

Vimos en los ejemplos anteriores que el Teorema se$\PageIndex{1}$ puede aplicar de dos maneras diferentes a cualquier matriz dada: uno tiene que elegir uno de los dos valores propios conjugados con los que trabajar. Reemplazar$\lambda$ por$\bar\lambda$ tiene el efecto de reemplazar$v$ por$\bar v\text{,}$ lo que solo niega todas las partes imaginarias, así que también tenemos$A=C'B'(C')^{-1}$ para

$$C' = \left(\begin{array}{cc}|&| \\ \Re(v)&-\Im(v) \\ |&|\end{array}\right)\quad\text{and}\quad B' = \left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&-\Im(\lambda) \\ \Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right). \nonumber$$

Las matrices$B$ y$B'$ son similares entre sí. La única diferencia entre ellos es el sentido de rotación, ya que${\Re(\lambda)\choose -\Im(\lambda)}$ y${\Re(\lambda)\choose \Im(\lambda)}$ son imágenes especulares entre sí sobre el$x$ eje -eje:

Figura$\PageIndex{15}$

La discusión que sigue es muy análoga a la exposición en la subsección La geometría de las matrices diagonalizables en la Sección 5.4, en la que se estudió la dinámica de$2\times 2$ las matrices diagonalizables.

Nota$\PageIndex{5}$: Dynamics of a $2\times 2$ Matrix with a Complex Eigenvalue

Dejar$A$ ser una$2\times 2$ matriz con un valor propio complejo (no real)$\lambda$. Por Teorema$\PageIndex{1}$, la matriz$A$ es similar a una matriz que gira en cierta cantidad y escala por$|\lambda|$. De ahí,$A$ gira alrededor de una elipse y escala por$|\lambda|$. Hay tres casos diferentes.

$\color{Red}|\lambda| > 1\text{:}$cuando el factor de escalado es mayor que$1\text{,}$ entonces los vectores tienden a alargarse, es decir, más lejos del origen. En este caso, multiplicar repetidamente un vector por$A$ hace que el vector se “salga en espiral”. Por ejemplo,

$$A = \frac 1{\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad \lambda = \frac{\sqrt3-i}{\sqrt 2} \qquad |\lambda| = \sqrt 2 > 1 \nonumber$$

da lugar a la siguiente imagen:

Figura$\PageIndex{16}$

$\color{Red}|\lambda| = 1\text{:}$cuando el factor de escalado es igual a$1\text{,}$ entonces los vectores no tienden a alargarse o acortarse. En este caso, multiplicar repetidamente un vector por$A$ simplemente “gira alrededor de una elipse”. Por ejemplo,

$$A = \frac 12\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad \lambda = \frac{\sqrt3-i}2 \qquad |\lambda| = 1 \nonumber$$

da lugar a la siguiente imagen:

Figura$\PageIndex{17}$

$\color{Red}|\lambda| \lt 1\text{:}$cuando el factor de escalado es menor que$1\text{,}$ entonces los vectores tienden a acortarse, es decir, más cerca del origen. En este caso, multiplicar repetidamente un vector por$A$ hace que el vector se “incline”. Por ejemplo,

$$A = \frac 1{2\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad \lambda = \frac{\sqrt3-i}{2\sqrt 2} \qquad |\lambda| = \frac 1{\sqrt 2} \lt 1 \nonumber$$

da lugar a la siguiente imagen:

Figura$\PageIndex{18}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Interactive: $|\lambda|>1$

$$A = \frac 1{\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad B = \frac 1{\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}&-1\\1&\sqrt{3}\end{array}\right) \qquad C = \left(\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right) \nonumber$$

$$\lambda = \frac{\sqrt3-i}{\sqrt 2} \qquad |\lambda| = \sqrt 2 > 1 \nonumber$$

Figura$\PageIndex{19}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre el plano. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha.

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Interactive: $|\lambda|=1$

$$A = \frac 12\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad B = \frac 12\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}&-1\\1&\sqrt{3}\end{array}\right) \qquad C = \left(\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right) \nonumber$$

$$\lambda = \frac{\sqrt3-i}2 \qquad |\lambda| = 1 \nonumber$$

Figura$\PageIndex{20}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre el plano. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha.

Ejemplo$\PageIndex{10}$: Interactive: $|\lambda|\lt1$

$$A = \frac 1{2\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1&-2\\1&\sqrt{3}-1\end{array}\right) \qquad B = \frac 1{2\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}&-1\\1&\sqrt{3}\end{array}\right) \qquad C = \left(\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right) \nonumber$$

$$\lambda = \frac{\sqrt3-i}{2\sqrt 2} \qquad |\lambda| = \frac 1{\sqrt 2} \lt 1 \nonumber$$

Figura$\PageIndex{21}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre el plano. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha.

Observación: Clasificación de$2\times 2$ matrices up to similarity

En este punto, podemos anotar la matriz “más simple” posible que es similar a cualquier$2\times 2$ matriz dada$A$. Hay cuatro casos:

1. $A$tiene dos valores propios reales$\lambda_1,\lambda_2$. En este caso,$A$ es diagonalizable, por lo que$A$ es similar a la matriz $$\left(\begin{array}{cc}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{array}\right). \nonumber$$ Esta representación es única hasta reordenar los valores propios.
2. $A$tiene un valor propio real$\lambda$ de multiplicidad geométrica$2$. En este caso, vimos en el Ejemplo 5.4.20 en la Sección 5.4 que$A$ es igual a la matriz $$\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right). \nonumber$$
3. $A$tiene un valor propio real$\lambda$ de multiplicidad geométrica$1$. En este caso, no$A$ es diagonalizable, y vimos en Observación:$2\times 2$ Matrices no diagonalizables con un valor propio en la Sección 5.4 que$A$ es similar a la matriz $$\left(\begin{array}{cc}\lambda&1\\0&\lambda\end{array}\right). \nonumber$$
4. $A$no tiene valores propios reales. En este caso,$A$ tiene un valor propio complejo$\lambda\text{,}$ y$A$ es similar a la matriz rotación-escalado $$\left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right) \nonumber$$ por Teorema$\PageIndex{1}$. Por Proposición$\PageIndex{1}$, los valores propios de una matriz de escala de rotación de$\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right) are \(a\pm bi\text{,}$ manera que dos matrices de escala de rotación$\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)$ y$\left(\begin{array}{cc}c&-d\\d&c\end{array}\right)$ son similares si y solo si$a=c$ y$b=\pm d$.

Diagonalización de bloques

Para matrices mayores que$2\times 2\text{,}$ hay un teorema que combina el Teorema 5.4.1 en la Sección 5.4 y el Teorema$\PageIndex{1}$. Dice esencialmente que una matriz es similar a una matriz con partes que parecen una matriz diagonal, y partes que parecen una matriz de escala de rotación.

Teorema$\PageIndex{2}$: Block Diagonalization Theorem

$A$Déjese ser una$n\times n$ matriz real. Supongamos que para cada valor propio (real o complejo), la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica. Entonces$A = CBC^{-1}\text{,}$ donde$B$ y$C$ son los siguientes:

• La matriz$B$ es diagonal de bloques, donde los bloques son$1\times 1$ bloques que contienen los valores propios reales (con sus multiplicidades), o$2\times 2$ bloques que contienen las matrices $$\left(\begin{array}{cc}\Re(\lambda)&\Im(\lambda) \\ -\Im(\lambda)&\Re(\lambda)\end{array}\right) \nonumber$$ para cada valor propio no real$\lambda$ (con multiplicidad).
• Las columnas de$C$ forman bases para los espacios propios para los vectores propios reales, o vienen en pares$\bigl(\,\Re(v)\;\Im(v)\,\bigr)$ para los vectores propios no reales.

El Teorema$\PageIndex{2}$ se demuestra de la misma manera que el Teorema 5.4.1 en la Sección 5.4 y Teorema$\PageIndex{1}$. Se entiende mejor en el caso de$3\times 3$ las matrices.

Nota$\PageIndex{6}$: Block Diagonalization of a $3\times 3$ Matrix with a Complex Eigenvalue

Dejar$A$ ser una$3\times 3$ matriz con un valor propio complejo$\lambda_1$. Entonces$\bar\lambda_1$ hay otro valor propio, y hay un valor propio real$\lambda_2$. Dado que hay tres valores propios distintos, tienen multiplicidad algebraica y geométrica uno, por lo que el Teorema$\PageIndex{2}$ se aplica a$A$.

Dejar$v_1$ ser un vector propio (complejo) con valor propio$\lambda_1\text{,}$ y dejar$v_2$ ser un vector propio (real) con valor propio$\lambda_2$. Entonces el teorema$\PageIndex{2}$ dice que$A = CBC^{-1}$ para

Figura$\PageIndex{22}$

Ejemplo$\PageIndex{11}$: Geometry of a $3\times 3$ matrix with a complex eigenvalue

Qué hace la matriz

$$A = \frac 1{29}\left(\begin{array}{ccc}33&-23&9\\22&33&-23\\19&14&50\end{array}\right) \nonumber$$

hacer geométricamente?

Solución

Primero encontramos los valores propios (reales y complejos) de$A$. Calculamos el polinomio característico usando cualquier método que nos guste:

$$f(\lambda) = \det(A-\lambda I_3) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 6\lambda + 4. \nonumber$$

Buscamos una raíz real utilizando el teorema de raíz racional. Las posibles raíces racionales son las que$\pm 1,\pm 2,\pm 4\text{;}$ encontramos$f(2) = 0\text{,}$ para que$\lambda-2$ se divida$f(\lambda)$. La realización de la división larga polinomial da

$$f(\lambda) = -(\lambda-2)\bigl(\lambda^2-2\lambda+2\bigr). \nonumber$$

El término cuadrático tiene raíces

$$\lambda = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}2 = 1\pm i, \nonumber$$

para que la lista completa de valores propios sea$\lambda_1 = 1-i\text{,}$$\bar\lambda_1 = 1+i\text{,}$ y$\lambda_2 = 2$.

Ahora calculamos algunos vectores propios, empezando por$\lambda_1=1-i$. Remaremos reducir (probablemente con la ayuda de una computadora):

$$A-(1-i)I_3 = \frac 1{29}\left(\begin{array}{ccc}4+29i&-23&9\\22&4+29i&-23\\19&14&21+29i\end{array}\right) \;\xrightarrow{\text{RREF}}\; \left(\begin{array}{ccc}1&0&7/5+i/5 \\ 0&1&-2/5+9i/5 \\ 0&0&0\end{array}\right). \nonumber$$

La variable libre es$z\text{,}$ y la forma paramétrica es

$$\left\{\begin{array}{ccc}x &=& -\left(\dfrac 75+\dfrac 15i\right)z\\ y &=& \left(\dfrac 25-\dfrac 95i\right)z\end{array}\right. \quad\xrightarrow[\text{eigenvector}]{z=5}\quad v_1=\left(\begin{array}{c}-7-i\\2-9i\\5\end{array}\right).\nonumber$$

Para$\lambda_2=2\text{,}$ nosotros tenemos

$$A - 2I_3 = \frac 1{29}\left(\begin{array}{ccc}-25&-23&9\\22&-25&-23\\19&14&-8\end{array}\right) \;\xrightarrow{\text{RREF}}\; \left(\begin{array}{ccc}1&0&-2/3 \\ 0&1&1/3 \\ 0&0&0\end{array}\right). \nonumber$$

La variable libre es$z\text{,}$ y la forma paramétrica es

$$\left\{\begin{array}{rrr}x &=& \dfrac 23z \\ y &=& -\dfrac 13z \end{array}\right. \quad\xrightarrow[\text{eigenvector}]{z=3}\quad v_2=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right).\nonumber$$

Según el teorema$\PageIndex{2}$, tenemos$A=CBC^{-1}$ para

$$\begin{aligned}C&=\left(\begin{array}{ccc}|&|&| \\ \Re(v_1)&\Im(v_1)&v_2 \\ |&|&|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-7&-1&2\\2&-9&-1\\5&0&3\end{array}\right) \\ B&=\left(\begin{array}{ccc}\Re(\lambda_1)&\Im(\lambda_1)&0 \\ -\Im(\lambda_1)&\Re(\lambda_1)&0 \\ 0&0&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{array}\right).\end{aligned}$$

La matriz$B$ es una combinación de la matriz de escala de rotación$\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)$ de Ejemplo$\PageIndex{4}$, y una matriz diagonal. Más específicamente,$B$ actúa sobre las$xy$ coordenadas girando en sentido contrario a las agujas del reloj$45^\circ$ y escalando por$\sqrt2\text{,}$ y escala la$z$ coordenada por$2$. Esto significa que los puntos por encima de la espiral$xy$ -plano fuera del$z$ eje -y se mueven hacia arriba, y los puntos por debajo de la espiral$xy$ -plano fuera del$z$ eje -y se mueven hacia abajo.

La matriz$A$ hace lo mismo que$B\text{,}$ pero con respecto al sistema$\{\Re(v_1),\Im(v_1),v_2\}$ -coordenada. Es decir,$A$ actúa sobre el$\Re(v_1),\Im(v_1)$ plano al salir en espiral, y$A$ actúa sobre la$v_2$ coordenada escalando por un factor de$2$. Vea la demo a continuación.

Figura$\PageIndex{23}$: La acción geométrica de$A$ y$B$ sobre$\mathbb{R}^3$. Haga clic en “multiplicar” para multiplicar los puntos$B$ coloreados por a la$A$ izquierda y a la derecha. (Hemos escalado$C$ por$1/6$ para que los vectores$x$ y$y$ tengan aproximadamente el mismo tamaño.)