1.3: Secuencias

Por una secuencia infinita (secuencia breve) nos referimos a un mapeo (llamarlo\(u )\) cuyo dominio es\(N\) (todos los números naturales también\(1,2,3, \dots ) ; D_{u}\) pueden contener\(0 .\)

Una secuencia finita es un mapa\(u\) en el que\(D_{u}\) consiste en todos los enteros positivos (o no negativos) menores que un entero fijo\(p .\) El rango\(D_{u}^{\prime}\) de cualquier secuencia\(u\) puede ser un conjunto arbitrario\(B ;\) que luego llamamos\(u\) una secuencia de elementos de\(B,\) o en\(B .\) Por ejemplo,

\[u=\left( \begin{array}{lllllll}{1} & {2} & {3} & {4} & {\ldots} & {n} & {\ldots} \\ {2} & {4} & {6} & {8} & {\ldots} & {2 n} & {\dots}\end{array}\right)\]

es una secuencia con

\[D_{u}=N=\{1,2,3, \ldots\}\]

y con valores de función

\[u(1)=2, u(2)=4, u(n)=2 n, \quad n=1,2,3, \ldots\]

En lugar de\(u(n)\) que usualmente escribimos\(u_{n}\) (“notación de índice”), y llamamos\(u_{n}\) al\(n^{th}\) término de la secuencia. Si\(n\) se trata como una variable,\(u_{n}\) se llama el término general de la secuencia, y\(\left\{u_{n}\right\}\) se utiliza para denotar la secuencia completa (infinita), así como su rango\(D_{u}^{\prime}\) (lo que se quiera decir, quedará claro a partir del contexto). La fórmula\(\left\{u_{n}\right\} \subseteq B\) significa que\(D_{u}^{\prime} \subseteq B,\) es decir, que\(u\) es una secuencia en\(B\). Para
determinar una secuencia, basta con definir su término general\(u_{n}\) por alguna fórmula o regla. En\((1)\) lo anterior,\(u_{n}=2 n\).

A menudo omitimos la mención de\(D_{u}=N\) (ya que se sabe) y damos solo el rango\(D_{u}^{\prime} .\) Así en lugar de\((1),\) escribir brevemente

\[2,4,6, \ldots, 2 n, \ldots\]

o, de manera más general,

\[u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}, \dots\]

Sin embargo, hay que recordar que\(u\) es un conjunto de pares (un mapa).

Si todos\(u_{n}\) son distintos (diferentes entre sí),\(u\) es un mapa uno a uno. No obstante, no es necesario que este sea el caso. Incluso puede ocurrir que todos\(u_{n}\) sean iguales (entonces\(u\) se dice que son constantes); por ejemplo,\(u_{n}=1\) produce la secuencia\(1,1,1, \ldots, 1, \ldots,\) i.e.

\[u=\left( \begin{array}{cccccc}{1} & {2} & {3} & {\ldots} & {n} & {\ldots} \\ {1} & {1} & {1} & {\ldots} & {1} & {\ldots}\end{array}\right)\]

Tenga en cuenta que aquí\(u\) hay una secuencia infinita (ya que\(D_{u}=N\)), a pesar de que su rango\(D_{u}^{\prime}\) tiene solo un elemento,\(D_{u}^{\prime}=\{1\} .\) (En conjuntos, los términos repetidos cuentan como un elemento; pero la secuencia\(u\) consiste en infinitamente muchos distintos pares\((n, 1) .\)) Si todos\(u_{n}\) son números reales, llamamos\(u\) una secuencia real. Para tales secuencias, tenemos las siguientes definiciones.

Definición 1

Se dice que una secuencia real\(\left\{u_{n}\right\}\) es monótona (o monótona) si es no decreciente, i.e.

\[(\forall n) \quad u_{n} \leq u_{n+1}\]

o no creciente, es decir,

\[(\forall n) \quad u_{n} \geq u_{n+1}\]

Notación:\(\left\{u_{n}\right\} \uparrow\) y\(\left\{u_{n}\right\} \downarrow,\) respectivamente. Si en cambio tenemos las desigualdades estrictas\(u_{n}<u_{n+1}\) (respectivamente,\(u_{n}>u_{n+1} ),\) llamamos\(\left\{u_{n}\right\}\) estrictamente monótona (creciente o decreciente).

Una definición similar se aplica a secuencias de conjuntos.

Definición 2

Se dice que una secuencia de conjuntos\(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, \ldots\) es monótona si se está expandiendo, es decir,

\[(\forall n) \quad A_{n} \subseteq A_{n+1}\]

o contratando, es decir,

\[(\forall n) \quad A_{n} \supseteq A_{n+1}\]

Notación:\(\left\{A_{n}\right\} \uparrow\) y\(\left\{A_{n}\right\} \downarrow,\) respectivamente. Por ejemplo, cualquier secuencia de esferas sólidas concéntricas (tratadas como conjuntos de puntos), con radios crecientes, se está expandiendo; si los radios disminuyen, obtenemos una secuencia que se contrae.

Definición 3

Dejar\(\left\{u_{n}\right\}\) ser cualquier secuencia, y dejar

\[n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots\]

ser una secuencia estrictamente creciente de números naturales. Seleccionar de\(\left\{u_{n}\right\}\) aquellos términos cuyos subíndices son\(n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}, \ldots\) Entonces la secuencia\(\left\{u_{n_{k}}\right\}\) así seleccionada (con el término\(k\) th igual a\(u_{n_{k}} ),\) se llama la subsecuencia de\(\left\{u_{n}\right\},\) determinada por los subíndices\(n_{k}, k=1,2,3, \ldots\).

Así (aproximadamente) una subsecuencia es cualquier secuencia obtenida de\(\left\{u_{n}\right\}\) al dejar caer algunos términos, sin cambiar el orden de los términos restantes (esto se asegura por las desigualdades\(n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots\) donde los\(n_{k}\) son los subíndices de los términos restantes). Por ejemplo, seleccionemos de (1) la subsecuencia de términos cuyos subíndices son primos (incluyendo 1). Entonces la subsecuencia es

\[2,4,6,10,14,22, \dots\]

es decir,

\[u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{5}, u_{7}, u_{11}, \dots\]

Todas estas definiciones se aplican a secuencias finitas en consecuencia. Observe que cada secuencia surge por “numeración” los elementos de su rango (los términos):\(u_{1}\) es el primer término,\(u_{2}\) es el segundo término, y así sucesivamente. Al numerar así, ponemos los términos en un cierto orden, determinado por sus subíndices\(1,2,3, \ldots\) (como la numeración de edificios en una calle, de libros en una biblioteca, etc. Ahora surge\() .\) la pregunta: Dado un conjunto\(A,\) es siempre posible “numerar” sus elementos por enteros ? Como veremos en\(\$ 4,\) esto no siempre es así. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición 4

\(A\)Se dice que un conjunto es contable si\(A\) está contenido en el rango de alguna secuencia (brevemente, los elementos de se\(A\) pueden poner en una secuencia).

Si, en particular, esta secuencia se puede elegir finita, llamamos\(A\) un conjunto finito. (El conjunto vacío es finito.)

Se dice que los conjuntos que no son finitos son infinitos.

Se dice que los conjuntos que no son contables son incontables.

Tenga en cuenta que todos los conjuntos finitos son contables. El ejemplo más simple de un conjunto contable infinito es\(N=\{1,2,3, \ldots\}\).