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# 3.1.E: Problemas en los vectores en$$E^{n}$$ (Exercises)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar por inducción sobre$$n$$ eso

\ [\ left (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {n}\ right) =\ left (y_ {1}, y_ {2},\ ldots, y_ {n}\ right)\ text {iff} x_ {k} =y_ {k}, k=1,2,\ ldots, n.
\]
[Pista: Utilice el Problema 6 (ii) del Capítulo 1, §§1-3, y el Ejemplo (i) en el Capítulo 2, §§5-6. ]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Completar las pruebas de los Teoremas 1 y 3 y Notas 3 y 8.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dado$$\overline{x}=(-1,2,0,-7), \overline{y}=(0,0,-1,-2),$$ y$$\overline{z}=(2,4,-3,-3)$$ en$$E^{4},$$ express$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z}$$ como combinaciones lineales de los vectores unitarios básicos. También, computar sus valores absolutos, sus inversos, así como sus sumas mutuas, diferencias, productos puntuales y distancias. ¿Alguno de ellos es ortogonal? ¿Paralelo?

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Con$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z}$$ como en Problema$$3,$$ encontrar escalares$$a, b,$$ y$$c$$ tal que
\ [
a\ overline {x} +b\ overline {y} +c\ overline {z} =\ overline {u},
\]
cuando
\ [
\ begin {array} {rlrl} {(\ mathrm {i})\ overline {u}} & {=\ overline {e} _ {1};} & {} & {\ text {(ii)}\ overline {u} =\ overline {e} _ _ {3}};\\ {\ text {(iii)}\ overline {u}} & {= (-2,4,0,1);} & {} & {\ text {(iv)}\ overline {u} =\ overline {0}}. \ end {array}
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Se dice que un conjunto finito de vectores$$\overline{x}, \overline{x}_{2}, \ldots, \overline{x}_{m}$$ es dependiente si hay escalares$$a_{1}, \ldots, a_{m},$$ no todos cero, tal que
\ [
\ sum_ {k=1} ^ {m} a_ {k}\ overline {x} _ {k} =\ overline {0},
\]
e independiente de lo contrario. Demostrar la independencia de los siguientes conjuntos de vectores:
(a)$$\overline{e}_{1}, \overline{e}_{2}, \ldots, \overline{e}_{n}$$ en$$E^{n}$$;
(b)$$(1,2,-3,4)$$ y$$(2,3,0,0)$$ en$$E^{4} ;$$
(c)$$(2,0,0),(4,-1,3),$$ y$$(0,4,1)$$ en$$E^{3} ;$$
(d) los vectores$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z}$$ del Problema 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar (para$$E^{2}$$ y$$E^{3} )$$ que

\ [\ overline {x}\ cdot\ overline {y} =|\ overline {x} ||\ overline {y} |\ cos\ alpha,
\]
donde$$\alpha$$ está el ángulo entre los vectores$$\overrightarrow{0 x}$$ y$$\overrightarrow{0 y} ;$$ denotamos$$\alpha$$ por$$\langle\overline{x}, \overline{y}\rangle$$.
[Pista: Considera el triángulo$$\overline{0} \overline{x} \overline{y},$$ con lados$$\overline{x}=\overrightarrow{0 x}, \overline{y}=\overrightarrow{0 y},$$ y$$\overrightarrow{x y}=\vec{y}-\vec{x}$$ (ver Definición 7). Por la ley de los cosenos,
\ [
|\ vec {x} |^ {2} +|\ vec {y} |^ {2} -2|\ vec {x} ||\ vec {y} |\ cos\ alpha=|\ vec {y} -\ vec {x} |^ {2}.
\]
Ahora sustituya$$|\vec{x}|^{2}=\vec{x} \cdot \vec{x},|\vec{y}|^{2}=\vec{y} \cdot \vec{y},$$ y
\ [
|\ vec {y} -\ vec {x} |^ {2} =(\ vec {y} -\ vec {x})\ cdot (\ vec {y} -\ vec {x}) =\ vec {y}\ cdot\ vec {y} +\ vec {x}\ cdot\ vec {x} -2\ vec {x}\ cdot\ vec {y}. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Entonces simplifique.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Motivado por Problema$$6,$$ definir en$$E^{n}$$

\ [\ langle\ overline {x},\ overline {y}\ rangle=\ arccos\ frac {\ overline {x}\ cdot\ overline {y}} {|\ overline {x} ||\ overline {y} |}\ text {if}\ overline {x}\ text {and}\ overline {} y\ text {nonare cero.}
\]
(¿Por qué existe un ángulo con tal coseno?) Demostrar que
(i)$$\overline{x} \perp \overline{y}$$ iff$$\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle= 0,$$ es decir,$$\langle\overline{x}, \overline{y}\rangle=\frac{\pi}{2}$$;
(ii)$$\sum_{k=1}^{n} \cos ^{2}\left\langle\overline{x}, \overline{e}_{k}\right\rangle= 1$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Continuar Problemas 3 y$$7,$$ encontrar los cosenos de los ángulos entre los lados,$$\overrightarrow{x y}, \quad \overrightarrow{y z},$$ y$$\overrightarrow{z x}$$ del triángulo$$\overline{x} \overline{y} \overline{z},$$ con$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z}$$ como en el Problema 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Encuentra un vector unitario$$E^{4},$$ con componentes positivos, que forme ángulos iguales con los ejes, es decir, con los vectores unitarios básicos (ver Problema 7).

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar para$$E^{n}$$ eso si$$\overline{u}$$ es ortogonal a cada uno de los vectores unitarios básicos$$\overline{e}_{1}$$,$$\overline{e}_{2}, \ldots, \overline{e}_{n},$$ entonces$$\overline{u}=\overline{0} .$$ Deduce que

\ [\ overline {u} =\ overline {0}\ text {iff}\ left (\ forall\ overline {x}\ in E^ {n}\ right)\ overline {x}\ cdot\ overline {u} =0.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar eso$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$ son paralelos iff

\ [\ frac {x_ {1}} {y_ {1}} =\ frac {x_ {2}} {y_ {2}} =\ cdots=\ frac {x_ {n}} {y_ {n}} =c\ quad\ left (c\ in E^ {1}\ right),
\]
donde$$" x_{k} / y_{k}="c$$ va a ser reemplazado por$$" x_{k}=0 "$$ si$$y_{k}=0$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Usa inducción$$n$$ para probar la identidad Lagrange (válida en cualquier campo),
\ [
\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} ^ {2}\ right)\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} y_ {k} ^ {2}\ right) -\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} y_ {k}}\ derecha) ^ {2} =\ suma_ {1\ leq i<k\ leq n}\ izquierda (x_ {i} y_ {k} -x_ {k} y_ {i}\ derecha) ^ {2}.
\]
De ahí encontrar una nueva prueba del Teorema 4$$\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Utilice los$$\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)(\text { "equality") to show that two nonzero }$$ vectores Problema 7 y Teorema 4$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$ en$$E^{n}$$ son paralelos iff$$\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle=\pm 1$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

(i) Demostrar que$$|\overline{x}+\overline{y}|=|\overline{x}|+|\overline{y}|+|\overline{y}|$$ iff$$\overline{x}=t \overline{y}$$ o$$\overline{y}=t \overline{x}$$ para algunos$$t \geq 0$$; equivalentemente, iff$$\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle= 1$$ (ver Problema 7$$) .$$
ii) Encontrar condiciones similares para$$|\overline{x}-\overline{y}|=|\overline{x}|+|\overline{y}|$$.
[Pista: Mira la prueba del teorema 4$$\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) . ]$$

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