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3.1.E: Problemas en los vectores en\(E^{n}\) (Exercises)

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar por inducción sobre\(n\) eso

    \ [\ left (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {n}\ right) =\ left (y_ {1}, y_ {2},\ ldots, y_ {n}\ right)\ text {iff} x_ {k} =y_ {k}, k=1,2,\ ldots, n.
    \]
    [Pista: Utilice el Problema 6 (ii) del Capítulo 1, §§1-3, y el Ejemplo (i) en el Capítulo 2, §§5-6. ]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Completar las pruebas de los Teoremas 1 y 3 y Notas 3 y 8.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Dado\(\overline{x}=(-1,2,0,-7), \overline{y}=(0,0,-1,-2),\) y\(\overline{z}=(2,4,-3,-3)\) en\(E^{4},\) express\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z}\) como combinaciones lineales de los vectores unitarios básicos. También, computar sus valores absolutos, sus inversos, así como sus sumas mutuas, diferencias, productos puntuales y distancias. ¿Alguno de ellos es ortogonal? ¿Paralelo?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Con\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z}\) como en Problema\(3,\) encontrar escalares\(a, b,\) y\(c\) tal que
    \ [
    a\ overline {x} +b\ overline {y} +c\ overline {z} =\ overline {u},
    \]
    cuando
    \ [
    \ begin {array} {rlrl} {(\ mathrm {i})\ overline {u}} & {=\ overline {e} _ {1};} & {} & {\ text {(ii)}\ overline {u} =\ overline {e} _ _ {3}};\\ {\ text {(iii)}\ overline {u}} & {= (-2,4,0,1);} & {} & {\ text {(iv)}\ overline {u} =\ overline {0}}. \ end {array}
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Se dice que un conjunto finito de vectores\(\overline{x}, \overline{x}_{2}, \ldots, \overline{x}_{m}\) es dependiente si hay escalares\(a_{1}, \ldots, a_{m},\) no todos cero, tal que
    \ [
    \ sum_ {k=1} ^ {m} a_ {k}\ overline {x} _ {k} =\ overline {0},
    \]
    e independiente de lo contrario. Demostrar la independencia de los siguientes conjuntos de vectores:
    (a)\(\overline{e}_{1}, \overline{e}_{2}, \ldots, \overline{e}_{n}\) en\(E^{n}\);
    (b)\((1,2,-3,4)\) y\((2,3,0,0)\) en\(E^{4} ;\)
    (c)\((2,0,0),(4,-1,3),\) y\((0,4,1)\) en\(E^{3} ;\)
    (d) los vectores\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z}\) del Problema 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar (para\(E^{2}\) y\(E^{3} )\) que

    \ [\ overline {x}\ cdot\ overline {y} =|\ overline {x} ||\ overline {y} |\ cos\ alpha,
    \]
    donde\(\alpha\) está el ángulo entre los vectores\(\overrightarrow{0 x}\) y\(\overrightarrow{0 y} ;\) denotamos\(\alpha\) por\(\langle\overline{x}, \overline{y}\rangle\).
    [Pista: Considera el triángulo\(\overline{0} \overline{x} \overline{y},\) con lados\(\overline{x}=\overrightarrow{0 x}, \overline{y}=\overrightarrow{0 y},\) y\(\overrightarrow{x y}=\vec{y}-\vec{x}\) (ver Definición 7). Por la ley de los cosenos,
    \ [
    |\ vec {x} |^ {2} +|\ vec {y} |^ {2} -2|\ vec {x} ||\ vec {y} |\ cos\ alpha=|\ vec {y} -\ vec {x} |^ {2}.
    \]
    Ahora sustituya\(|\vec{x}|^{2}=\vec{x} \cdot \vec{x},|\vec{y}|^{2}=\vec{y} \cdot \vec{y},\) y
    \ [
    |\ vec {y} -\ vec {x} |^ {2} =(\ vec {y} -\ vec {x})\ cdot (\ vec {y} -\ vec {x}) =\ vec {y}\ cdot\ vec {y} +\ vec {x}\ cdot\ vec {x} -2\ vec {x}\ cdot\ vec {y}. (\ mathrm {¿Por qué}?)
    \]
    Entonces simplifique.]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Motivado por Problema\(6,\) definir en\(E^{n}\)

    \ [\ langle\ overline {x},\ overline {y}\ rangle=\ arccos\ frac {\ overline {x}\ cdot\ overline {y}} {|\ overline {x} ||\ overline {y} |}\ text {if}\ overline {x}\ text {and}\ overline {} y\ text {nonare cero.}
    \]
    (¿Por qué existe un ángulo con tal coseno?) Demostrar que
    (i)\(\overline{x} \perp \overline{y}\) iff\(\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle= 0,\) es decir,\(\langle\overline{x}, \overline{y}\rangle=\frac{\pi}{2}\);
    (ii)\(\sum_{k=1}^{n} \cos ^{2}\left\langle\overline{x}, \overline{e}_{k}\right\rangle= 1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Continuar Problemas 3 y\(7,\) encontrar los cosenos de los ángulos entre los lados,\(\overrightarrow{x y}, \quad \overrightarrow{y z},\) y\(\overrightarrow{z x}\) del triángulo\(\overline{x} \overline{y} \overline{z},\) con\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z}\) como en el Problema 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra un vector unitario\(E^{4},\) con componentes positivos, que forme ángulos iguales con los ejes, es decir, con los vectores unitarios básicos (ver Problema 7).

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demostrar para\(E^{n}\) eso si\(\overline{u}\) es ortogonal a cada uno de los vectores unitarios básicos\(\overline{e}_{1}\),\(\overline{e}_{2}, \ldots, \overline{e}_{n},\) entonces\(\overline{u}=\overline{0} .\) Deduce que

    \ [\ overline {u} =\ overline {0}\ text {iff}\ left (\ forall\ overline {x}\ in E^ {n}\ right)\ overline {x}\ cdot\ overline {u} =0.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Demostrar eso\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) son paralelos iff

    \ [\ frac {x_ {1}} {y_ {1}} =\ frac {x_ {2}} {y_ {2}} =\ cdots=\ frac {x_ {n}} {y_ {n}} =c\ quad\ left (c\ in E^ {1}\ right),
    \]
    donde\(" x_{k} / y_{k}="c\) va a ser reemplazado por\(" x_{k}=0 "\) si\(y_{k}=0\).

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Usa inducción\(n\) para probar la identidad Lagrange (válida en cualquier campo),
    \ [
    \ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} ^ {2}\ right)\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} y_ {k} ^ {2}\ right) -\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} y_ {k}}\ derecha) ^ {2} =\ suma_ {1\ leq i<k\ leq n}\ izquierda (x_ {i} y_ {k} -x_ {k} y_ {i}\ derecha) ^ {2}.
    \]
    De ahí encontrar una nueva prueba del Teorema 4\(\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Utilice los\(\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)(\text { "equality") to show that two nonzero }\) vectores Problema 7 y Teorema 4\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) en\(E^{n}\) son paralelos iff\(\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle=\pm 1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    (i) Demostrar que\(|\overline{x}+\overline{y}|=|\overline{x}|+|\overline{y}|+|\overline{y}|\) iff\(\overline{x}=t \overline{y}\) o\(\overline{y}=t \overline{x}\) para algunos\(t \geq 0\); equivalentemente, iff\(\cos \langle\overline{x}, \overline{y}\rangle= 1\) (ver Problema 7\() .\)
    ii) Encontrar condiciones similares para\(|\overline{x}-\overline{y}|=|\overline{x}|+|\overline{y}|\).
    [Pista: Mira la prueba del teorema 4\(\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) . ]\)


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