3.13: Secuencias Cauchy. Completitud
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Una secuencia convergente se caracteriza por el hecho de que sus términos\(x_{m}\) se vuelven (y permanecen) arbitrariamente cerca de su límite, ya que\(m \rightarrow+\infty .\) Debido a esto, sin embargo, también se acercan entre sí; de hecho,\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)\) pueden hacerse arbitrariamente pequeños para suficientemente grandes\(m\) y\(n .\) es natural para preguntar si este último bien, a su vez, implica la existencia de un límite. Este problema fue estudiado por primera vez por Augustin-Louis Cauchy\((1789-1857) .\) Así llamaremos secuencias Cauchy secuencias. Más precisamente, formulamos lo siguiente.
Una secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)\) se llama una secuencia de Cauchy (decimos brevemente que\("\left\{x_{m}\right\}\) es Cauchy”) iff, dado cualquiera\(\varepsilon>0\) (no importa lo pequeño que sea), tenemos\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilon\) para todos pero finitamente muchos\(m\) y\(n .\) En símbolos,
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m, n>k) \quad \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilon.\]
Observe que aquí solo nos ocupamos de términos\(x_{m}, x_{n},\) no con ningún otro punto. El límite (si lo hay) no está involucrado, y no tenemos que conocerlo de antemano. Ahora estudiaremos la relación entre propiedad\((1)\) y convergencia.
Toda secuencia convergente\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)\) es Cauchy.
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Dejemos\(x_{m} \rightarrow p .\) Entonces dado\(\varepsilon>0,\) hay\(k\) tal que
\[(\forall m>k) \quad \rho\left(x_{m}, p\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\]
Como esto se sostiene para cualquiera\(m>k,\), también se mantiene para cualquier otro término\(x_{n}\) con\(n>k\).
Así
\[(\forall m, n>k) \quad \rho\left(x_{m}, p\right)<\frac{\varepsilon}{2} \text{ and } \rho\left(p, x_{n}\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\]
Sumando y usando la desigualdad del triángulo, obtenemos
\[\rho\left(x_{m}, x_{n}\right) \leq \rho\left(x_{m}, p\right)+\rho\left(p, x_{n}\right)<\varepsilon,\]
y\((1)\) está probado. \(\square\)
Cada secuencia de Cauchy\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)\) está delimitada.
- Prueba
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Debemos demostrar que todos\(x_{m}\) están en algún globo. Primero intentamos un radio arbitrario\(\varepsilon\). Entonces por\((1),\) ahí hay\(k\) tal que\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilon\) para\(m, n>k .\) Fijar algunos\(n>k .\) Entonces
\[(\forall m>k) \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilon, \text{ i.e., } x_{m} \in G_{x_{n}}(\varepsilon).\]
Así el globo\(G_{x_{n}}(\varepsilon)\) contiene todos\(x_{m}\) excepto posiblemente los\(k\) términos\(x_{1}, \ldots, x_{k}\). Para incluirlos también, solo tenemos que tomar un radio\(r,\) mayor que\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right), m=1, \ldots, k .\) Entonces todos\(x_{m}\) están en el globo agrandado\(G_{x_{n}}(r) .\)\(\square\)
Nota 1. \(E^{1},\)Bajo la métrica estándar, solo las secuencias con límites finitos se consideran convergentes. Si\(x_{n} \rightarrow \pm \infty,\) entonces no\(\left\{x_{n}\right\}\) es ni siquiera una secuencia de Cauchy en\(E^{1}(\text { in view of Theorem } 2) ;\) sino en\(E^{*},\) bajo una métrica adecuada (ver Problema 5 en §11, es convergente (de ahí también Cauchy y acotada).
Si una secuencia de Cauchy se\(\left\{x_{m}\right\}\) agrupa en un punto\(p,\) entonces\(x_{m} \rightarrow p\).
- Prueba
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Queremos demostrar que\(x_{m} \rightarrow p,\) es decir, que
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho\left(x_{m}, p\right)<\varepsilon.\]
Así arreglamos\(\varepsilon>0\) y buscamos un adecuado\(k .\) Ahora como\(\left\{x_{m}\right\}\) es Cauchy, hay\(k\) tal que
\[(\forall m, n>k) \quad \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\]
Además, como\(p\) es un punto de clúster, el globo\(G_{p}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)\) contiene infinitamente muchos\(x_{n},\) por lo que podemos arreglar uno con\(n>k\left(k \text { as above). Then } \rho\left(x_{n}, p\right)<\frac{\varepsilon}{2} \text { and, as noted above, }\right.\) también\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\) para\(m>k .\) Por lo tanto
\[(\forall m>k) \quad \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)+\rho\left(x_{n}, p\right)<\varepsilon,\]
lo que implica\(\rho\left(x_{m}, p\right) \leq \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)+\rho\left(x_{n}, p\right)<\varepsilon,\) según se requiera. \(\square\)
Nota 2. De ello se deduce que una secuencia de Cauchy puede tener como máximo un punto\(p,\) de agrupamiento porque\(p\) es también su límite y por lo tanto única; ver §14, Corolario 1.
Estos teoremas muestran que las secuencias de Cauchy se comportan mucho como las convergentes. En efecto, nuestro siguiente teorema (un famoso resultado de Cauchy) demuestra que, en\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)\) los dos tipos de secuencias coinciden.
(Criterio de convergencia de Cauchy). Una secuencia\(\left\{\overline{x}_{m}\right\}\) en\(E^{n}\) (*o\(C^{n}\)) converge si y sólo si es una secuencia de Cauchy.
- Prueba
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Por el contrario, dejemos\(\left\{x_{m}\right\}\) ser una secuencia de Cauchy. Entonces por Teorema\(2,\) está acotado. De ahí que por el teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2 de §16, tiene un punto de cúmulo\(\overline{p} .\) Así por el Teorema 3 anterior, converge hacia\(\overline{p},\) y todo está demostrado. \(\square\)
Desafortunadamente, este teorema (junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass utilizado en su prueba) no se sostiene en todos los espacios métricos. Incluso falla en algunos subespacios de\(E^{1} .\) Por ejemplo, tenemos
\[x_{m}=\frac{1}{m} \rightarrow 0 \text{ in } E^{1}.\]
Por el Teorema 1, esta secuencia, al ser convergente, es también una secuencia de Cauchy. Además, aún conserva\((1)\) aunque le quitemos el punto 0\(E^{1}\) ya que las distancias\(\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)\) siguen siendo las mismas. Sin embargo, en el subespacio resultante\(S=E^{1}-\{0\},\) la secuencia ya no converge debido a que su límite (y punto de cúmulo único) 0 ha desaparecido, dejando un “hueco” en su lugar. Así tenemos una secuencia de Cauchy en\(S,\) sin un límite o puntos de clúster, por lo que el Teorema 4 falla en\(S\) (junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass).
De manera muy similar, ambos teoremas fallan en\((0,1)\) (pero no en\([0,1] )\) como un subespacio de\(E^{1}\). Por analogía a campos ordenados incompletos, es natural decir que\(S\) es “incompleto” por el punto de cúmulo faltante\(0,\) y llamar a un espacio (o subespacio) “completo” si no tiene tales “brechas”, es decir, si el Teorema 4 se sostiene en él.
Así definimos de la siguiente manera.
Se dice que un espacio métrico (o subespacio)\((S, \rho)\) está completo si cada secuencia de Cauchy\(S\) converge hasta algún punto\(p\) en\(S .\)
De manera similar, un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) se llama completo iff cada secuencia de Cauchy\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) converge hasta algún punto\(p\),\(A,\) es decir, iff\((A, \rho)\) está completo como un subespacio métrico de\((S, \rho) .\)
En particular,\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)\) se completan por Teorema\(4 .\) Los conjuntos\((0,1)\) y\(E^{1}-\{0\}\) están incompletos en\(E^{1},\) pero\([0,1]\) está completo. En efecto, tenemos el siguiente teorema.
(i) Todo conjunto cerrado en un espacio completo es completo en sí mismo.
(ii) Todo juego completo\(A \subseteq(S, \rho)\) está necesariamente cerrado.
- Prueba
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(i) Dejar\(A\) ser un set cerrado en un espacio completo\((S, \rho) .\) Tenemos que demostrar que el Teorema 4 sostiene en\(A(\text { as it does in } S) .\) Así arreglamos cualquier secuencia de Cauchy\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) y demostramos que converge a algunos\(p\) en\(A .\)
Ahora, ya que\(S\) está completa, la secuencia de Cauchy\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene un límite\(p\) en\(S .\) As\(A\) está cerrado, sin embargo, ese límite debe estar en\(A\) por el Teorema 4 en §16. Así se demuestra (i).
(ii) Ahora\(A\) déjese completar en un espacio métrico\((S, \rho) .\) Para probar que\(A\) está cerrado, nuevamente usamos el Teorema 4 de §16. Así arreglamos cualquier secuencia convergente\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A, x_{m} \rightarrow p \in S,\) y demostramos que\(p\) debe ser\(i n A .\)
Ahora bien, ya que\(\left\{x_{m}\right\}\) converge en\(S,\) ella es una secuencia Cauchy, tanto en\(S\) como en A. Así por la supuesta completitud de la\(A,\) misma tiene un límite\(q\) en\(A .\) Entonces, sin embargo, la singularidad de\(\lim _{x_{m}} x_{m}(\text { in } S)\) implica que\(p=q \in A,\) así\(p\) es en\(A,\) efecto. \(\square\)