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# 7.2.E: Problemas$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -Sets, $$\sigma$$ -Additivity, and Permutable Series

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Demostrar Nota 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demuestre que cada set abierto$$A \neq \emptyset$$ en$$E^{n}$$ es una unión contable de cubos semiabiertos disjuntos.
[Esquema: Para cada$$m,$$ espectáculo natural que$$E^{n}$$ se divide en tales cubos de longitud de borde$$2^{-m}$$ por los hiperplanos
\ [
x_ {k} =\ frac {i} {2^ {m}}\ quad i=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots; k=1,2,\ ldots, n,
\]
y que la familia $$\mathcal{C}_{m}$$de tales cubos es contable.
Para$$m>1,$$ dejar$$C_{m 1}, C_{m 2}, \ldots$$ ser la secuencia de esos cubos de$$\mathcal{C}_{m}$$ (si los hay) que se encuentran en$$A$$ pero no en cualquier cubo$$C_{s j}$$ con$$s<m .$$
$$\left.\text { As } A \text { is open, } x \in A \text { iff } x \in \text { some } C_{m j} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que cualquier conjunto abierto$$A \subseteq E^{1}$$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos (posiblemente infinitos).
[Pista: Por Lema$$2, A=\bigcup_{n}\left(a_{n}, b_{n}\right) .$$ Si, digamos,$$\left(a_{1}, b_{1}\right)$$ se superpone con algunos$$\left(a_{m}, b_{m}\right)$$, reemplace ambos por su unión. Continuar inductivamente.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar que$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones contables.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

(i) Encontrar$$A, B \in \mathcal{C}_{\sigma}$$ tal que$$A-B \notin \mathcal{C}_{\sigma}$$
(ii) Demostrar que no$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ es un semiring.
[Pista: Prueba$$A=E^{1}, B=R$$ (los racionales).]
Nota. En los siguientes problemas,$$J$$ es contablemente infinito,$$a_{i} \in E(E \text { complete). }$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que

\ [\ sum_ {i\ in J}\ izquierda|a_ {i}\ right|<
\ infty\]
iff para cada$$\varepsilon>0,$$ hay un conjunto finito
\ [
F\ subconjunto J\ quad (F\ neq\ emptyset)
\]
tal que
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito$$I \subset J-F$$.
[Esquema: Por teorema 2, arregle$$u : N onto_{\iff} J$$ con
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|.
\]
Por criterio de Cauchy,
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|<\ infty
\]
iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q)\ quad\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda |a_ {u_ {k}}\ derecha|& lt;\ varepsilon.
\]
Vamos$$F=\left\{u_{1}, \ldots, u_{q}\right\} .$$ Si$$I$$ es como arriba,
\ [
(\ existe n>m>q)\ quad\ izquierda\ {u_ {m},\ ldots, u_ {n}\ derecha\}\ supseteq I;
\]
así
\ [
\ izquierda. \ suma_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|a_ {u_ {k}}\ derecha|<\ varepsilon. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si

\ [\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<
\ infty,\]
entonces para cada$$\varepsilon>0,$$ hay un finito$$F \subset J(F \neq \emptyset)$$ tal que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ en J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in K} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito$$K \supset F(K \subset J)$$.
[Pista: Proceder como en Problema$$6,$$ con$$I=K-F$$ y$$q$$ tan grande que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ in J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad\ izquierda|\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon.]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Mostrar que si
\ [
J=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} I_ {n} (\ text {disjoint}),
\]
entonces\ [

\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n},\ text {donde} b_ {n} =\ sum_ _ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
(Utilice el problema 8' abajo.)

## Ejercicio$$\PageIndex{8'}$$

Mostrar que
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sup _ {F}\ suma_ {i\ en F}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|
\]
sobre todos los conjuntos finitos$$F \subset J(F \neq \emptyset)$$.
$$\text { [Hint: Argue as in Theorem } 2 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Mostrar que si$$\emptyset \neq I \subseteq J,$$ entonces
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
$$\left.\text { [Hint: Use Problem } 8^{\prime} \text { and Corollary } 2 \text { of Chapter } 2, §§8-9 .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Continuando Problema$$8,$$ probar que si
\ [
\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n} <\ infty,

\]
entonces
\ [\ suma_ {i\ en J} a_ {i} =\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ texto con} c_ {n} =\ suma_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}.
\]
[Esquema: Por Problema 9,
\ [
(\ forall n)\ suma_ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ infty;
\]
así
\ [
c_ {n} =\ sum_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}
\]
y
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}
\]
convergen absolutamente.
Fijar$$\varepsilon$$ y$$F$$ como en Problema$$7 .$$ Elige el más grande$$q \in N$$ con
\ [
F\ cap I_ {q}\ neq\ emptyset
\]
(¿por qué existe?) , y corrige cualquier$$n>q .$$ Por Problema$$7,(\forall k \leq n)$$

\ [\ begin {aligned} (\ forall k\ leq n)\ left (\ existe\ text {finito} F_ {k} | J\ supseteq F_ {k}\ supseteq F\ cap I_ {q}\ derecha) &\\ izquierda (\ forall\ text {finito} H_ {k} | I_ {k}\ supseteq H_ {k}\ supseteq F_ {k}\ derecha) &\ izquierda|\ sum_ {i\ in H_ {k}} a_ {i} -\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ end {alineado}.
\]
(¡Explique!) Vamos
\ [
K=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} H_ {k};
\]
así
\ [
\ izquierda|\ sum_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ in J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
y$$K \supset F .$$ Por Problema 7,
\ [
\ izquierda|\ suma_ {i\ en K} a_ {i} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Deducir
\ [
\ izquierda|\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<2\ varepsilon.
\]
$$\text { Let } n \rightarrow \infty ; \text { then } \varepsilon \rightarrow 0 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

(Serie doble.) Demostrar que si una de las expresiones

\ [\ sum_ {n, k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|,\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha),\ quad\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha)
\]
es finito, así son los otros dos, y
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ left (\ sum_ {k} a_ {n k}\ right) =\ sum_ {k}\ left (\ sum_ {n} a_ {n} a_ {n k}\ right),
\]
con todas las series involucradas absolutamente convergentes.
[Pista: Usa Problemas 8 y$$10,$$ con$$J=N \times N,$$
\ [
I_ {n} =\ {(n, k)\ en J | k=1,2,\ ldots\}\ texto {para cada} n;\]
entonces
\ [
b_ {n} =
\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ text {y} c_ {n} =\ sum_ {n} =\ sum_ _ {k=1} ^ {\ infty} a_ {n k}.
\]
Así obtener
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ suma_ {k} a_ {n k}.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ izquierda. \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {k}\ suma_ {n} a_ {n, k}. \ derecho]
\]

7.2.E: Problemas$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -Sets, $$\sigma$$ -Additivity, and Permutable Series is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.