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LibreTexts Español

7.2.E: ProblemasCσ -Sets, σ -Additivity, and Permutable Series

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio7.2.E.1

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

Ejercicio7.2.E.1

Demostrar Nota 3.

Ejercicio7.2.E.2

Demuestre que cada set abiertoA enEn es una unión contable de cubos semiabiertos disjuntos.
[Esquema: Para cadam, espectáculo natural queEn se divide en tales cubos de longitud de borde2m por los hiperplanos
\ [
x_ {k} =\ frac {i} {2^ {m}}\ quad i=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots; k=1,2,\ ldots, n,
\]
y que la familia Cmde tales cubos es contable.
Param>1, dejarCm1,Cm2, ser la secuencia de esos cubos deCm (si los hay) que se encuentran enA pero no en cualquier cuboCsj cons<m.
 As A is open, xA iff x some Cmj.]

Ejercicio7.2.E.3

Demostrar que cualquier conjunto abiertoAE1 es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos (posiblemente infinitos).
[Pista: Por Lema2,A=n(an,bn). Si, digamos,(a1,b1) se superpone con algunos(am,bm), reemplace ambos por su unión. Continuar inductivamente.

Ejercicio7.2.E.4

Demostrar queCσ está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones contables.

Ejercicio7.2.E.5

(i) EncontrarA,BCσ tal queABCσ
(ii) Demostrar que noCσ es un semiring.
[Pista: PruebaA=E1,B=R (los racionales).]
Nota. En los siguientes problemas,J es contablemente infinito,aiE(E complete). 

Ejercicio7.2.E.6

Demostrar que

\ [\ sum_ {i\ in J}\ izquierda|a_ {i}\ right|<
\ infty\]
iff para cadaε>0, hay un conjunto finito
\ [
F\ subconjunto J\ quad (F\ neq\ emptyset)
\]
tal que
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finitoIJF.
[Esquema: Por teorema 2, arregleu:NontoJ con
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|.
\]
Por criterio de Cauchy,
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|<\ infty
\]
iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q)\ quad\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda |a_ {u_ {k}}\ derecha|& lt;\ varepsilon.
\]
VamosF={u1,,uq}. SiI es como arriba,
\ [
(\ existe n>m>q)\ quad\ izquierda\ {u_ {m},\ ldots, u_ {n}\ derecha\}\ supseteq I;
\]
así
\ [
\ izquierda. \ suma_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|a_ {u_ {k}}\ derecha|<\ varepsilon. \ derecho]
\]

Ejercicio7.2.E.7

Demostrar que si

\ [\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<
\ infty,\]
entonces para cadaε>0, hay un finitoFJ(F) tal que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ en J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in K} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finitoKF(KJ).
[Pista: Proceder como en Problema6, conI=KF yq tan grande que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ in J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad\ izquierda|\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon.]
\]

Ejercicio7.2.E.8

Mostrar que si
\ [
J=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} I_ {n} (\ text {disjoint}),
\]
entonces\ [

\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n},\ text {donde} b_ {n} =\ sum_ _ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
(Utilice el problema 8' abajo.)

Ejercicio7.2.E.8

Mostrar que
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sup _ {F}\ suma_ {i\ en F}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|
\]
sobre todos los conjuntos finitosFJ(F).
 [Hint: Argue as in Theorem 2.]

Ejercicio7.2.E.9

Mostrar que siIJ, entonces
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
 [Hint: Use Problem 8 and Corollary 2 of Chapter 2,§§89.]

Ejercicio7.2.E.10

Continuando Problema8, probar que si
\ [
\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n} <\ infty,

\]
entonces
\ [\ suma_ {i\ en J} a_ {i} =\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ texto con} c_ {n} =\ suma_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}.
\]
[Esquema: Por Problema 9,
\ [
(\ forall n)\ suma_ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ infty;
\]
así
\ [
c_ {n} =\ sum_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}
\]
y
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}
\]
convergen absolutamente.
Fijarε yF como en Problema7. Elige el más grandeqN con
\ [
F\ cap I_ {q}\ neq\ emptyset
\]
(¿por qué existe?) , y corrige cualquiern>q. Por Problema7,(kn)

\ [\ begin {aligned} (\ forall k\ leq n)\ left (\ existe\ text {finito} F_ {k} | J\ supseteq F_ {k}\ supseteq F\ cap I_ {q}\ derecha) &\\ izquierda (\ forall\ text {finito} H_ {k} | I_ {k}\ supseteq H_ {k}\ supseteq F_ {k}\ derecha) &\ izquierda|\ sum_ {i\ in H_ {k}} a_ {i} -\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ end {alineado}.
\]
(¡Explique!) Vamos
\ [
K=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} H_ {k};
\]
así
\ [
\ izquierda|\ sum_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ in J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
yKF. Por Problema 7,
\ [
\ izquierda|\ suma_ {i\ en K} a_ {i} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Deducir
\ [
\ izquierda|\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<2\ varepsilon.
\]
 Let n; then ε0.]

Ejercicio7.2.E.11

(Serie doble.) Demostrar que si una de las expresiones

\ [\ sum_ {n, k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|,\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha),\ quad\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha)
\]
es finito, así son los otros dos, y
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ left (\ sum_ {k} a_ {n k}\ right) =\ sum_ {k}\ left (\ sum_ {n} a_ {n} a_ {n k}\ right),
\]
con todas las series involucradas absolutamente convergentes.
[Pista: Usa Problemas 8 y10, conJ=N×N,
\ [
I_ {n} =\ {(n, k)\ en J | k=1,2,\ ldots\}\ texto {para cada} n;\]
entonces
\ [
b_ {n} =
\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ text {y} c_ {n} =\ sum_ {n} =\ sum_ _ {k=1} ^ {\ infty} a_ {n k}.
\]
Así obtener
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ suma_ {k} a_ {n k}.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ izquierda. \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {k}\ suma_ {n} a_ {n, k}. \ derecho]
\]


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