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7.2.E: Problemas\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -Sets, \(\sigma\) -Additivity, and Permutable Series

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    113987
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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Demostrar Nota 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demuestre que cada set abierto\(A \neq \emptyset\) en\(E^{n}\) es una unión contable de cubos semiabiertos disjuntos.
    [Esquema: Para cada\(m,\) espectáculo natural que\(E^{n}\) se divide en tales cubos de longitud de borde\(2^{-m}\) por los hiperplanos
    \ [
    x_ {k} =\ frac {i} {2^ {m}}\ quad i=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots; k=1,2,\ ldots, n,
    \]
    y que la familia \(\mathcal{C}_{m}\)de tales cubos es contable.
    Para\(m>1,\) dejar\(C_{m 1}, C_{m 2}, \ldots\) ser la secuencia de esos cubos de\(\mathcal{C}_{m}\) (si los hay) que se encuentran en\(A\) pero no en cualquier cubo\(C_{s j}\) con\(s<m .\)
    \(\left.\text { As } A \text { is open, } x \in A \text { iff } x \in \text { some } C_{m j} .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que cualquier conjunto abierto\(A \subseteq E^{1}\) es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos (posiblemente infinitos).
    [Pista: Por Lema\(2, A=\bigcup_{n}\left(a_{n}, b_{n}\right) .\) Si, digamos,\(\left(a_{1}, b_{1}\right)\) se superpone con algunos\(\left(a_{m}, b_{m}\right)\), reemplace ambos por su unión. Continuar inductivamente.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que\(\mathcal{C}_{\sigma}\) está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones contables.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    (i) Encontrar\(A, B \in \mathcal{C}_{\sigma}\) tal que\(A-B \notin \mathcal{C}_{\sigma}\)
    (ii) Demostrar que no\(\mathcal{C}_{\sigma}\) es un semiring.
    [Pista: Prueba\(A=E^{1}, B=R\) (los racionales).]
    Nota. En los siguientes problemas,\(J\) es contablemente infinito,\(a_{i} \in E(E \text { complete). }\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que

    \ [\ sum_ {i\ in J}\ izquierda|a_ {i}\ right|<
    \ infty\]
    iff para cada\(\varepsilon>0,\) hay un conjunto finito
    \ [
    F\ subconjunto J\ quad (F\ neq\ emptyset)
    \]
    tal que
    \ [
    \ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
    \]
    por cada finito\(I \subset J-F\).
    [Esquema: Por teorema 2, arregle\(u : N onto_{\iff} J\) con
    \ [
    \ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|.
    \]
    Por criterio de Cauchy,
    \ [
    \ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|<\ infty
    \]
    iff
    \ [
    (\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q)\ quad\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda |a_ {u_ {k}}\ derecha|& lt;\ varepsilon.
    \]
    Vamos\(F=\left\{u_{1}, \ldots, u_{q}\right\} .\) Si\(I\) es como arriba,
    \ [
    (\ existe n>m>q)\ quad\ izquierda\ {u_ {m},\ ldots, u_ {n}\ derecha\}\ supseteq I;
    \]
    así
    \ [
    \ izquierda. \ suma_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|a_ {u_ {k}}\ derecha|<\ varepsilon. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar que si

    \ [\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<
    \ infty,\]
    entonces para cada\(\varepsilon>0,\) hay un finito\(F \subset J(F \neq \emptyset)\) tal que
    \ [
    \ izquierda|\ sum_ {i\ en J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in K} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
    \]
    por cada finito\(K \supset F(K \subset J)\).
    [Pista: Proceder como en Problema\(6,\) con\(I=K-F\) y\(q\) tan grande que
    \ [
    \ izquierda|\ sum_ {i\ in J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad\ izquierda|\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon.]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Mostrar que si
    \ [
    J=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} I_ {n} (\ text {disjoint}),
    \]
    entonces\ [

    \ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n},\ text {donde} b_ {n} =\ sum_ _ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
    \]
    (Utilice el problema 8' abajo.)

    Ejercicio\(\PageIndex{8'}\)

    Mostrar que
    \ [
    \ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sup _ {F}\ suma_ {i\ en F}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|
    \]
    sobre todos los conjuntos finitos\(F \subset J(F \neq \emptyset)\).
    \(\text { [Hint: Argue as in Theorem } 2 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Mostrar que si\(\emptyset \neq I \subseteq J,\) entonces
    \ [
    \ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
    \]
    \(\left.\text { [Hint: Use Problem } 8^{\prime} \text { and Corollary } 2 \text { of Chapter } 2, §§8-9 .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Continuando Problema\(8,\) probar que si
    \ [
    \ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n} <\ infty,

    \]
    entonces
    \ [\ suma_ {i\ en J} a_ {i} =\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ texto con} c_ {n} =\ suma_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}.
    \]
    [Esquema: Por Problema 9,
    \ [
    (\ forall n)\ suma_ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ infty;
    \]
    así
    \ [
    c_ {n} =\ sum_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}
    \]
    y
    \ [
    \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}
    \]
    convergen absolutamente.
    Fijar\(\varepsilon\) y\(F\) como en Problema\(7 .\) Elige el más grande\(q \in N\) con
    \ [
    F\ cap I_ {q}\ neq\ emptyset
    \]
    (¿por qué existe?) , y corrige cualquier\(n>q .\) Por Problema\(7,(\forall k \leq n)\)

    \ [\ begin {aligned} (\ forall k\ leq n)\ left (\ existe\ text {finito} F_ {k} | J\ supseteq F_ {k}\ supseteq F\ cap I_ {q}\ derecha) &\\ izquierda (\ forall\ text {finito} H_ {k} | I_ {k}\ supseteq H_ {k}\ supseteq F_ {k}\ derecha) &\ izquierda|\ sum_ {i\ in H_ {k}} a_ {i} -\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ end {alineado}.
    \]
    (¡Explique!) Vamos
    \ [
    K=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} H_ {k};
    \]
    así
    \ [
    \ izquierda|\ sum_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ in J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
    \]
    y\(K \supset F .\) Por Problema 7,
    \ [
    \ izquierda|\ suma_ {i\ en K} a_ {i} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon.
    \]
    Deducir
    \ [
    \ izquierda|\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<2\ varepsilon.
    \]
    \(\text { Let } n \rightarrow \infty ; \text { then } \varepsilon \rightarrow 0 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    (Serie doble.) Demostrar que si una de las expresiones

    \ [\ sum_ {n, k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|,\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha),\ quad\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha)
    \]
    es finito, así son los otros dos, y
    \ [
    \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ left (\ sum_ {k} a_ {n k}\ right) =\ sum_ {k}\ left (\ sum_ {n} a_ {n} a_ {n k}\ right),
    \]
    con todas las series involucradas absolutamente convergentes.
    [Pista: Usa Problemas 8 y\(10,\) con\(J=N \times N,\)
    \ [
    I_ {n} =\ {(n, k)\ en J | k=1,2,\ ldots\}\ texto {para cada} n;\]
    entonces
    \ [
    b_ {n} =
    \ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ text {y} c_ {n} =\ sum_ {n} =\ sum_ _ {k=1} ^ {\ infty} a_ {n k}.
    \]
    Así obtener
    \ [
    \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ suma_ {k} a_ {n k}.
    \]
    Del mismo modo,
    \ [
    \ izquierda. \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {k}\ suma_ {n} a_ {n, k}. \ derecho]
    \]


    7.2.E: Problemas\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -Sets, \(\sigma\) -Additivity, and Permutable Series is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.