7.2.E: Problemas$\mathcal{C}_{\sigma}$ -Sets, $\sigma$ -Additivity, and Permutable Series

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

Ejercicio$\PageIndex{1'}$

Demostrar Nota 3.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demuestre que cada set abierto$A \neq \emptyset$ en$E^{n}$ es una unión contable de cubos semiabiertos disjuntos.
[Esquema: Para cada$m,$ espectáculo natural que$E^{n}$ se divide en tales cubos de longitud de borde$2^{-m}$ por los hiperplanos
\ [
x_ {k} =\ frac {i} {2^ {m}}\ quad i=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots; k=1,2,\ ldots, n,
\]
y que la familia $\mathcal{C}_{m}$de tales cubos es contable.
Para$m>1,$ dejar$C_{m 1}, C_{m 2}, \ldots$ ser la secuencia de esos cubos de$\mathcal{C}_{m}$ (si los hay) que se encuentran en$A$ pero no en cualquier cubo$C_{s j}$ con$s<m .$
$\left.\text { As } A \text { is open, } x \in A \text { iff } x \in \text { some } C_{m j} .\right]$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Demostrar que cualquier conjunto abierto$A \subseteq E^{1}$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos (posiblemente infinitos).
[Pista: Por Lema$2, A=\bigcup_{n}\left(a_{n}, b_{n}\right) .$ Si, digamos,$\left(a_{1}, b_{1}\right)$ se superpone con algunos$\left(a_{m}, b_{m}\right)$, reemplace ambos por su unión. Continuar inductivamente.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Demostrar que$\mathcal{C}_{\sigma}$ está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones contables.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

(i) Encontrar$A, B \in \mathcal{C}_{\sigma}$ tal que$A-B \notin \mathcal{C}_{\sigma}$
(ii) Demostrar que no$\mathcal{C}_{\sigma}$ es un semiring.
[Pista: Prueba$A=E^{1}, B=R$ (los racionales).]
Nota. En los siguientes problemas,$J$ es contablemente infinito,$a_{i} \in E(E \text { complete). }$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Demostrar que

\ [\ sum_ {i\ in J}\ izquierda|a_ {i}\ right|<
\ infty\]
iff para cada$\varepsilon>0,$ hay un conjunto finito
\ [
F\ subconjunto J\ quad (F\ neq\ emptyset)
\]
tal que
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito$I \subset J-F$.
[Esquema: Por teorema 2, arregle$u : N onto_{\iff} J$ con
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|.
\]
Por criterio de Cauchy,
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|<\ infty
\]
iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q)\ quad\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda |a_ {u_ {k}}\ derecha|& lt;\ varepsilon.
\]
Vamos$F=\left\{u_{1}, \ldots, u_{q}\right\} .$ Si$I$ es como arriba,
\ [
(\ existe n>m>q)\ quad\ izquierda\ {u_ {m},\ ldots, u_ {n}\ derecha\}\ supseteq I;
\]
así
\ [
\ izquierda. \ suma_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|a_ {u_ {k}}\ derecha|<\ varepsilon. \ derecho]
\]

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Demostrar que si

\ [\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<
\ infty,\]
entonces para cada$\varepsilon>0,$ hay un finito$F \subset J(F \neq \emptyset)$ tal que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ en J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in K} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito$K \supset F(K \subset J)$.
[Pista: Proceder como en Problema$6,$ con$I=K-F$ y$q$ tan grande que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ in J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad\ izquierda|\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon.]
\]

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Mostrar que si
\ [
J=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} I_ {n} (\ text {disjoint}),
\]
entonces\ [

\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n},\ text {donde} b_ {n} =\ sum_ _ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
(Utilice el problema 8' abajo.)

Ejercicio$\PageIndex{8'}$

Mostrar que
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sup _ {F}\ suma_ {i\ en F}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|
\]
sobre todos los conjuntos finitos$F \subset J(F \neq \emptyset)$.
$\text { [Hint: Argue as in Theorem } 2 .]$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Mostrar que si$\emptyset \neq I \subseteq J,$ entonces
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
$\left.\text { [Hint: Use Problem } 8^{\prime} \text { and Corollary } 2 \text { of Chapter } 2, §§8-9 .\right]$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Continuando Problema$8,$ probar que si
\ [
\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n} <\ infty,

\]
entonces
\ [\ suma_ {i\ en J} a_ {i} =\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ texto con} c_ {n} =\ suma_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}.
\]
[Esquema: Por Problema 9,
\ [
(\ forall n)\ suma_ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ infty;
\]
así
\ [
c_ {n} =\ sum_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}
\]
y
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}
\]
convergen absolutamente.
Fijar$\varepsilon$ y$F$ como en Problema$7 .$ Elige el más grande$q \in N$ con
\ [
F\ cap I_ {q}\ neq\ emptyset
\]
(¿por qué existe?) , y corrige cualquier$n>q .$ Por Problema$7,(\forall k \leq n)$

\ [\ begin {aligned} (\ forall k\ leq n)\ left (\ existe\ text {finito} F_ {k} | J\ supseteq F_ {k}\ supseteq F\ cap I_ {q}\ derecha) &\\ izquierda (\ forall\ text {finito} H_ {k} | I_ {k}\ supseteq H_ {k}\ supseteq F_ {k}\ derecha) &\ izquierda|\ sum_ {i\ in H_ {k}} a_ {i} -\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ end {alineado}.
\]
(¡Explique!) Vamos
\ [
K=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} H_ {k};
\]
así
\ [
\ izquierda|\ sum_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ in J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
y$K \supset F .$ Por Problema 7,
\ [
\ izquierda|\ suma_ {i\ en K} a_ {i} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Deducir
\ [
\ izquierda|\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<2\ varepsilon.
\]
$\text { Let } n \rightarrow \infty ; \text { then } \varepsilon \rightarrow 0 .]$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

(Serie doble.) Demostrar que si una de las expresiones

\ [\ sum_ {n, k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|,\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha),\ quad\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha)
\]
es finito, así son los otros dos, y
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ left (\ sum_ {k} a_ {n k}\ right) =\ sum_ {k}\ left (\ sum_ {n} a_ {n} a_ {n k}\ right),
\]
con todas las series involucradas absolutamente convergentes.
[Pista: Usa Problemas 8 y$10,$ con$J=N \times N,$
\ [
I_ {n} =\ {(n, k)\ en J | k=1,2,\ ldots\}\ texto {para cada} n;\]
entonces
\ [
b_ {n} =
\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ text {y} c_ {n} =\ sum_ {n} =\ sum_ _ {k=1} ^ {\ infty} a_ {n k}.
\]
Así obtener
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ suma_ {k} a_ {n k}.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ izquierda. \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {k}\ suma_ {n} a_ {n, k}. \ derecho]
\]