7.2.E: Problemas\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -Sets, \(\sigma\) -Additivity, and Permutable Series

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

Demostrar Nota 3.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demuestre que cada set abierto\(A \neq \emptyset\) en\(E^{n}\) es una unión contable de cubos semiabiertos disjuntos.
[Esquema: Para cada\(m,\) espectáculo natural que\(E^{n}\) se divide en tales cubos de longitud de borde\(2^{-m}\) por los hiperplanos
\ [
x_ {k} =\ frac {i} {2^ {m}}\ quad i=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots; k=1,2,\ ldots, n,
\]
y que la familia \(\mathcal{C}_{m}\)de tales cubos es contable.
Para\(m>1,\) dejar\(C_{m 1}, C_{m 2}, \ldots\) ser la secuencia de esos cubos de\(\mathcal{C}_{m}\) (si los hay) que se encuentran en\(A\) pero no en cualquier cubo\(C_{s j}\) con\(s<m .\)
\(\left.\text { As } A \text { is open, } x \in A \text { iff } x \in \text { some } C_{m j} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que cualquier conjunto abierto\(A \subseteq E^{1}\) es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos (posiblemente infinitos).
[Pista: Por Lema\(2, A=\bigcup_{n}\left(a_{n}, b_{n}\right) .\) Si, digamos,\(\left(a_{1}, b_{1}\right)\) se superpone con algunos\(\left(a_{m}, b_{m}\right)\), reemplace ambos por su unión. Continuar inductivamente.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que\(\mathcal{C}_{\sigma}\) está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones contables.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

(i) Encontrar\(A, B \in \mathcal{C}_{\sigma}\) tal que\(A-B \notin \mathcal{C}_{\sigma}\)
(ii) Demostrar que no\(\mathcal{C}_{\sigma}\) es un semiring.
[Pista: Prueba\(A=E^{1}, B=R\) (los racionales).]
Nota. En los siguientes problemas,\(J\) es contablemente infinito,\(a_{i} \in E(E \text { complete). }\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que

\ [\ sum_ {i\ in J}\ izquierda|a_ {i}\ right|<
\ infty\]
iff para cada\(\varepsilon>0,\) hay un conjunto finito
\ [
F\ subconjunto J\ quad (F\ neq\ emptyset)
\]
tal que
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito\(I \subset J-F\).
[Esquema: Por teorema 2, arregle\(u : N onto_{\iff} J\) con
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|.
\]
Por criterio de Cauchy,
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {u_ {n}}\ derecha|<\ infty
\]
iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q)\ quad\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda |a_ {u_ {k}}\ derecha|& lt;\ varepsilon.
\]
Vamos\(F=\left\{u_{1}, \ldots, u_{q}\right\} .\) Si\(I\) es como arriba,
\ [
(\ existe n>m>q)\ quad\ izquierda\ {u_ {m},\ ldots, u_ {n}\ derecha\}\ supseteq I;
\]
así
\ [
\ izquierda. \ suma_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|a_ {u_ {k}}\ derecha|<\ varepsilon. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que si

\ [\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<
\ infty,\]
entonces para cada\(\varepsilon>0,\) hay un finito\(F \subset J(F \neq \emptyset)\) tal que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ en J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in K} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
por cada finito\(K \supset F(K \subset J)\).
[Pista: Proceder como en Problema\(6,\) con\(I=K-F\) y\(q\) tan grande que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i\ in J} a_ {i} -\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad\ izquierda|\ sum_ {i\ in F} a_ {i}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon.]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Mostrar que si
\ [
J=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} I_ {n} (\ text {disjoint}),
\]
entonces\ [

\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n},\ text {donde} b_ {n} =\ sum_ _ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
(Utilice el problema 8' abajo.)

Ejercicio\(\PageIndex{8'}\)

Mostrar que
\ [
\ suma_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ sup _ {F}\ suma_ {i\ en F}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|
\]
sobre todos los conjuntos finitos\(F \subset J(F \neq \emptyset)\).
\(\text { [Hint: Argue as in Theorem } 2 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Mostrar que si\(\emptyset \neq I \subseteq J,\) entonces
\ [
\ sum_ {i\ in I}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|.
\]
\(\left.\text { [Hint: Use Problem } 8^{\prime} \text { and Corollary } 2 \text { of Chapter } 2, §§8-9 .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Continuando Problema\(8,\) probar que si
\ [
\ sum_ {i\ en J}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} b_ {n} <\ infty,

\]
entonces
\ [\ suma_ {i\ en J} a_ {i} =\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ texto con} c_ {n} =\ suma_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}.
\]
[Esquema: Por Problema 9,
\ [
(\ forall n)\ suma_ {i\ in I_ {n}}\ izquierda|a_ {i}\ derecha|<\ infty;
\]
así
\ [
c_ {n} =\ sum_ {i\ in I_ {n}} a_ {i}
\]
y
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}
\]
convergen absolutamente.
Fijar\(\varepsilon\) y\(F\) como en Problema\(7 .\) Elige el más grande\(q \in N\) con
\ [
F\ cap I_ {q}\ neq\ emptyset
\]
(¿por qué existe?) , y corrige cualquier\(n>q .\) Por Problema\(7,(\forall k \leq n)\)

\ [\ begin {aligned} (\ forall k\ leq n)\ left (\ existe\ text {finito} F_ {k} | J\ supseteq F_ {k}\ supseteq F\ cap I_ {q}\ derecha) &\\ izquierda (\ forall\ text {finito} H_ {k} | I_ {k}\ supseteq H_ {k}\ supseteq F_ {k}\ derecha) &\ izquierda|\ sum_ {i\ in H_ {k}} a_ {i} -\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ end {alineado}.
\]
(¡Explique!) Vamos
\ [
K=\ bigcup_ {k=1} ^ {n} H_ {k};
\]
así
\ [
\ izquierda|\ sum_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ in J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon
\]
y\(K \supset F .\) Por Problema 7,
\ [
\ izquierda|\ suma_ {i\ en K} a_ {i} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Deducir
\ [
\ izquierda|\ suma_ {k=1} ^ {n} c_ {k} -\ suma_ {i\ en J} a_ {i}\ derecha|<2\ varepsilon.
\]
\(\text { Let } n \rightarrow \infty ; \text { then } \varepsilon \rightarrow 0 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

(Serie doble.) Demostrar que si una de las expresiones

\ [\ sum_ {n, k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|,\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha),\ quad\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ derecha)
\]
es finito, así son los otros dos, y
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ left (\ sum_ {k} a_ {n k}\ right) =\ sum_ {k}\ left (\ sum_ {n} a_ {n} a_ {n k}\ right),
\]
con todas las series involucradas absolutamente convergentes.
[Pista: Usa Problemas 8 y\(10,\) con\(J=N \times N,\)
\ [
I_ {n} =\ {(n, k)\ en J | k=1,2,\ ldots\}\ texto {para cada} n;\]
entonces
\ [
b_ {n} =
\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n k}\ derecha|\ text {y} c_ {n} =\ sum_ {n} =\ sum_ _ {k=1} ^ {\ infty} a_ {n k}.
\]
Así obtener
\ [
\ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {n}\ suma_ {k} a_ {n k}.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ izquierda. \ suma_ {n, k} a_ {n k} =\ suma_ {k}\ suma_ {n} a_ {n, k}. \ derecho]
\]