7.2:\(\mathcal{C}_{\sigma}\)-Sets. Countable Additivity. Permutable Series

Ahora queremos ampliar aún más la definición de volumen considerando uniones contables de intervalos, llamadas\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -sets (\(\mathcal{C}\)siendo el semiring de todos los intervalos en\(E^{n}\)).

También preguntamos, si\(A\) se divide en contablemente muchos de esos conjuntos, ¿aún se mantiene la aditividad? Esto se llama aditividad contable o\(\sigma\) -aditividad (la\(\sigma\) se usa siempre que se involucren uniones contables).

Necesitamos dos lemmas además del del §1.

lema 1

Si\(B\) es un intervalo no vacío en\(E^{n},\) entonces dado\(\varepsilon>0,\) hay un intervalo abierto\(C\) y uno cerrado\(A\) tal que

\[A \subseteq B \subseteq C\]

y

\[v C-\varepsilon<v B<v A+\varepsilon.\]

Prueba

Deja que los puntos finales de\(B\) ser

\[\overline{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \text { and } \overline{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right).\]

Para cada número natural\(i\), considere el intervalo abierto\(C_{i},\) con puntos finales

\[\left(a_{1}-\frac{1}{i}, a_{2}-\frac{1}{i}, \ldots, a_{n}-\frac{1}{i}\right) \text { and }\left(b_{1}+\frac{1}{i}, b_{2}+\frac{1}{i}, \ldots, b_{n}+\frac{1}{i}\right).\]

Entonces\(B \subseteq C_{i}\) y

\[v C_{i}=\prod_{k=1}^{n}\left[b_{k}+\frac{1}{i}-\left(a_{k}-\frac{1}{i}\right)\right]=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}+\frac{2}{i}\right).\]

Haciendo que\(i \rightarrow \infty,\) obtengamos

\[\lim _{i \rightarrow \infty} v C_{i}=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)=v B.\]

(¿Por qué?) De ahí que por la definición de límite secuencial, dado que\(\varepsilon>0,\) existe un natural\(i\) tal que

\[v C_{i}-v B<\varepsilon,\]

o

\[v C_{i}-\varepsilon<v B.\]

Como\(C_{i}\) está abierto y\(\supseteq B,\) es el intervalo deseado\(C.\)

Del mismo modo, se encuentra el intervalo cerrado\(A \subseteq B.\) (¡Verifica!) \(\quad \square\)

lema 2

Cualquier conjunto abierto\(G \subseteq E^{n}\) es una unión contable de cubos abiertos\(A_{k}\) y también una unión contable disjunta de intervalos semiabiertos.

(Ver también Problema 2 a continuación.)

Prueba

Si\(G=\emptyset,\) toma todo\(A_{k}=\emptyset\).

Si\(G \neq \emptyset,\) cada punto\(p \in G\) tiene un barrio cúbico

\[C_{p} \subseteq G,\]

centrado en\(p\) (Problema 3 en el Capítulo 3, §12). Al encogerse ligeramente\(C_{p},\) éste puede hacer que sus puntos finales sean racionales, con\(p\) todavía en él (pero no necesariamente su centro), y hacer\(C_{p}\) abiertos, medio abiertos o cerrados, según se desee. (¡Explique!)

Elija un cubo de este tipo\(C_{p}\)\(p \in G;\) para cada

\[G \subseteq \bigcup_{p \in G} C_{p}.\]

Pero por construcción,\(G\) contiene todo\(C_{p},\) para que

\[G=\bigcup_{p \in G} C_{p}.\]

Además, debido a que las coordenadas de los puntos finales de todos\(C_{p}\) son racionales, el conjunto de pares ordenados de puntos finales del\(C_{p}\) es contable, y así, mientras el conjunto de todos\(p \in G\) es incontable, el conjunto de distintos\(C_{p}\) es contable. Así se puede poner la familia de todos\(C_{p}\) en una secuencia y cambiarle el nombre\(\left\{A_{k}\right\}\):

\[G=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}.\]

Si, además, los\(A_{k}\) están semiabiertos, podemos usar el Corolario 1 y la Nota 3, ambos de §1, para hacer la unión disjunta (¡los intervalos medio abiertos forman un semiring!). \(\quad \square\)

Ahora dejemos\(\mathcal{C}_{\sigma}\) ser la familia de todas las uniones contables posibles de intervalos en\(E^{n},\) tales como\(G\) en Lemma 2 (usamos\(\mathcal{C}_{s}\) para todas las uniones finitas). Por lo tanto\(A \in \mathcal{C}_{\sigma}\) significa que\(A\) es un\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -set, es decir,

\[A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\]

para alguna secuencia de intervalos\(\left\{A_{i}\right\}.\) Tales son todos los conjuntos abiertos en\(E^{n},\) pero también hay muchos otros\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos.

Siempre podemos hacer que la secuencia sea\(\left\{A_{i}\right\}\) infinita (¡agregar conjuntos nulos o repetir un término!).

Por Corolario 1 y Nota 3 de §1, podemos descomponer cualquier\(\mathcal{C}_{\sigma}\) conjunto\(A\) en contabilizadamente muchos intervalos disjuntos. Esto se puede hacer de muchas maneras. No obstante, tenemos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si

\[A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \text { (disjoint)} =\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \text { (disjoint)}\]

para algunos intervalos\(A_{i}, B_{k}\) en\(E^{n},\) entonces

\[\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}=\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.\]

Así podemos (y hacer) definir inequívocamente cualquiera de estas sumas como el volumen\(v A\) del\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -set\(A.\)

Prueba

Utilizaremos el teorema de Heine-Borel (Problema 10 en el Capítulo 4, §6; ¡revísalo!).

Buscando una contradicción, digamos

\[\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k},\]

por lo que, en particular,

\[\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}<+\infty.\]

Como

\[\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} v A_{i},\]

hay un número entero\(m\) para el cual

\[\sum_{i=1}^{m} v A_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.\]

Arreglamos eso\(m\) y establecemos

\[2 \varepsilon=\sum_{i=1}^{m} v A_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}>0.\]

Dejando caer “vacíos” (si los hay), asumimos\(A_{i} \neq \emptyset\) y\(B_{k} \neq \emptyset\).

Entonces Lemma 1 rinde intervalos abiertos\(Y_{k} \supseteq B_{k},\) con

\[v B_{k}>v Y_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k}}, \quad k=1,2, \ldots,\]

y cerrados\(X_{i} \subseteq A_{i},\) con

\[v X_{i}+\frac{\varepsilon}{m}>v A_{i};\]

por lo

\[\begin{aligned} 2 \varepsilon=\sum_{i=1}^{m} v A_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k} &<\sum_{i=1}^{m}\left(v X_{i}+\frac{\varepsilon}{m}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\left(v Y_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k}}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{m} v X_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k}+2 \varepsilon. \end{aligned}\]

Por lo tanto

\[\sum_{i=1}^{m} v X_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k}.\]

(¡Explique en detalle!)

Ahora, como

\[X_{i} \subseteq A_{i} \subseteq A=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} Y_{k},\]

cada uno de los intervalos cerrados\(X_{i}\) está cubierto por los conjuntos abiertos\(Y_{k}\).

Por el teorema de Heine-Borel, ya\(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\) está cubierto por un número finito del\(Y_{k},\) decir,

\[\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}.\]

Los\(X_{i}\) son disjuntos, porque incluso los conjuntos más grandes\(A_{i}\) son. Así, por Lemma 1 (ii) en §1,

\[\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k} \leq \sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k},\]

contrario a (1). Esta contradicción completa la prueba. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si

\[A=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \text { (disjoint)}\]

para algunos intervalos\(B_{k},\) entonces

\[v A=\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.\]

En efecto, esta es simplemente la definición de\(v A\) contenida en el Teorema 1.

Nota 1. En particular, el Corolario 1 sostiene si\(A\) es un intervalo en sí mismo. Expresamos esto diciendo que el volumen de intervalos es\(\sigma\) -aditivo o contablemente aditivo. Esto también muestra que nuestra definición anterior de volumen (para intervalos) concuerda con la definición contenida en el Teorema 1 (para\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos).

Nota 2. Como todos los conjuntos abiertos son\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos (Lema 2), ahora se define el volumen para cualquier conjunto abierto\(A \subseteq E^{n}\) (en particular, for\(A=E^{n}\)).

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si\(A_{i}, B_{k}\) hay intervalos en\(E^{n},\) con

\[\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k},\]

entonces siempre que\(A_{i}\) sean mutuamente disjuntos,

\[\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i} \leq \sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.\]

Prueba

La prueba es como en el Teorema 1 (pero la\(B_{k}\) necesidad no tiene por qué ser disjunta aquí).

Corolario\(\PageIndex{3}\) ("\(\sigma\)-subadditivity" of the volume)

Si

\[A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k},\]

donde\(A \in \mathcal{C}_{\sigma}\) y los intervalos\(B_{k}\) son en\(E^{n},\) entonces

\[v A \leq \sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.\]

Prueba

Set

\[A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}(\text { disjoint }), A_{i} \in \mathcal{C},\]

y usar Corolario 2. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{4}\) ("monotonicity")

Si\(A, B \in \mathcal{C}_{\sigma},\) con

\[A \subseteq B,\]

entonces

\[v A \leq v B.\]

(“Los conjuntos más grandes tienen volúmenes más grandes”.)

Esto es simplemente Corolario 3, con\(\bigcup_{k} B_{k}=B\).

Corolario\(\PageIndex{5}\)

El volumen de todo\(E^{n}\) es\(\infty\) (escribimos\(\infty\) para\(+\infty\)).

Prueba

Tenemos\(A \subseteq E^{n}\) para cualquier intervalo\(A\).

Así, por Corolario 4,\(v A \leq v E^{n}\).

Como se\(v A\) puede elegir arbitrariamente grande,\(v E^{n}\) debe ser infinito. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{6}\)

Para cualquier conjunto contable\(A \subset E^{n}, v A=0.\) En particular,\(v \emptyset=0\).

Prueba

Primero\(A=\{\overline{a}\}\) déjese ser un singleton. Entonces podemos tratar\(A\) como un intervalo degenerado\([\overline{a}, \overline{a}].\) Como todas sus longitudes de borde son\(0,\) tenemos\(v A=0\).

A continuación, si\(A=\left\{\overline{a}_{1}, \overline{a}_{2}, \ldots\right\}\) es un conjunto contable, entonces

\[A=\bigcup_{k}\left\{\overline{a}_{k}\right\};\]

por lo

\[v A=\sum_{k} v\left\{\overline{a}_{k}\right\}=0\]

por Corolario 1.

Por último,\(\emptyset\) es el intervalo abierto degenerado\((\overline{a}, \overline{a});\) tan\(v \emptyset=0. \quad \square\)

Nota 3. En realidad, todas estas proposiciones se mantienen también si todos los conjuntos involucrados son\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos, no solo intervalos (¡divide cada\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -set en intervalos disjuntos!).

Serie Permutable. Dado que\(\sigma\) -aditividad implica sumas contables, parece útil generalizar la noción de serie.

Decimos que una serie de constantes,

\[\sum a_{n},\]

es permutable si tiene una suma definida (posiblemente infinita) obedeciendo a la ley conmutativa general:

Dado cualquier mapa uno-uno

\[u : N \stackrel{\mathrm{onto}}{\longleftrightarrow} N\]

(\(N=\)los naturales), tenemos

\[\sum_{n} a_{n}=\sum_{n} a_{u_{n}},\]

donde\(u_{n}=u(n)\).

(Tales son todas series positivas y todas absolutamente convergentes en un espacio completo\(E;\) ver Capítulo 4, §13.) Si la serie es permutable, la suma no depende de la elección del mapa\(u.\)

Por lo tanto, dado cualquiera\(u : N \stackrel{\mathrm{onto}}{\longleftrightarrow} J\) (donde\(J\) es un conjunto de índices contables) y un conjunto

\[\left\{a_{i} | i \in J\right\} \subseteq E\]

(donde\(E\) es\(E^{*}\) o un espacio normado), podemos definir

\[\sum_{i \in J} a_{i}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{u_{n}}\]

si\(\sum_{n} a_{u_{n}}\) es permutable.

En particular, si

\[J=N \times N\]

(un conjunto contable, por el Teorema 1 en el Capítulo 1, §9), llamamos

\[\sum_{i \in J} a_{i}\]

una serie doble, denotada por símbolos como

\[\sum_{n, k} a_{k n} \quad(k, n \in N).\]

Tenga en cuenta que

\[\sum_{i \in J}\left|a_{i}\right|\]

siempre se define (siendo una serie positiva).

Si

\[\sum_{i \in J}\left|a_{i}\right|<\infty,\]

decimos que\(\sum_{i \in J} a_{i}\) converge absolutamente.

Para una serie positiva, obtenemos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(i) Todas las series positivas en\(E^{*}\) son permutables.

(ii) Para series dobles positivas en\(E^{*},\) tenemos

\[\sum_{n, k=1}^{\infty} a_{n k}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty} a_{n k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n k}\right).\]

Prueba

(i) Dejar

\[s=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { and } s_{m}=\sum_{n=1}^{m} a_{n} \quad\left(a_{n} \geq 0\right).\]

Entonces claramente

\[s_{m+1}=s_{m}+a_{m+1} \geq s_{m};\]

es decir,\(\left\{s_{m}\right\} \uparrow\), y así

\[s=\lim _{m \rightarrow \infty} s_{m}=\sup _{m} s_{m}\]

por Teorema 3 en el Capítulo 3, §15.

De ahí que\(s\) ciertamente no exceda el lub de todas las sumas posibles de la forma

\[\sum_{i \in I} a_{i},\]

donde\(I\) es un subconjunto finito de\(N\) (las sumas parciales\(s_{m}\) están entre ellas). Por lo tanto

\[s \leq \sup \sum_{i \in I} a_{i},\]

sobre todos los conjuntos finitos\(I \subset N\).

Por otro lado, cada uno de esos\(\sum_{i \in I} a_{i}\) es superado por, o es igual, a algunos\(s_{m}\). De ahí que en (4), la desigualdad inversa se mantenga, también, y así

\[s=\sup \sum_{i \in I} a_{i}.\]

Pero sup\(\sum_{i \in I} a_{i}\) claramente no depende de ningún arreglo de la a_ {i}. Por lo tanto, la serie\(\sum a_{n}\) es permutable y se prueba la aserción (i).

La aserción (ii) sigue de manera similar al considerar las sumas de la forma\(\sum_{i \in I} a_{i}\) donde\(I\) es un subconjunto finito de\(N \times N,\) y mostrando que el lub de tales sumas es igual a cada una de las tres expresiones en (3). Se lo dejamos al lector. \(\quad \square\)

Una fórmula similar se mantiene para series absolutamente convergentes (ver Problemas).