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# 7.2:$$\mathcal{C}_{\sigma}$$-Sets. Countable Additivity. Permutable Series

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Ahora queremos ampliar aún más la definición de volumen considerando uniones contables de intervalos, llamadas$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -sets ($$\mathcal{C}$$siendo el semiring de todos los intervalos en$$E^{n}$$).

También preguntamos, si$$A$$ se divide en contablemente muchos de esos conjuntos, ¿aún se mantiene la aditividad? Esto se llama aditividad contable o$$\sigma$$ -aditividad (la$$\sigma$$ se usa siempre que se involucren uniones contables).

Necesitamos dos lemmas además del del §1.

## lema 1

Si$$B$$ es un intervalo no vacío en$$E^{n},$$ entonces dado$$\varepsilon>0,$$ hay un intervalo abierto$$C$$ y uno cerrado$$A$$ tal que

$A \subseteq B \subseteq C$

y

$v C-\varepsilon<v B<v A+\varepsilon.$

Prueba

Deja que los puntos finales de$$B$$ ser

$\overline{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \text { and } \overline{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right).$

Para cada número natural$$i$$, considere el intervalo abierto$$C_{i},$$ con puntos finales

$\left(a_{1}-\frac{1}{i}, a_{2}-\frac{1}{i}, \ldots, a_{n}-\frac{1}{i}\right) \text { and }\left(b_{1}+\frac{1}{i}, b_{2}+\frac{1}{i}, \ldots, b_{n}+\frac{1}{i}\right).$

Entonces$$B \subseteq C_{i}$$ y

$v C_{i}=\prod_{k=1}^{n}\left[b_{k}+\frac{1}{i}-\left(a_{k}-\frac{1}{i}\right)\right]=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}+\frac{2}{i}\right).$

Haciendo que$$i \rightarrow \infty,$$ obtengamos

$\lim _{i \rightarrow \infty} v C_{i}=\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)=v B.$

(¿Por qué?) De ahí que por la definición de límite secuencial, dado que$$\varepsilon>0,$$ existe un natural$$i$$ tal que

$v C_{i}-v B<\varepsilon,$

o

$v C_{i}-\varepsilon<v B.$

Como$$C_{i}$$ está abierto y$$\supseteq B,$$ es el intervalo deseado$$C.$$

Del mismo modo, se encuentra el intervalo cerrado$$A \subseteq B.$$ (¡Verifica!) $$\quad \square$$

## lema 2

Cualquier conjunto abierto$$G \subseteq E^{n}$$ es una unión contable de cubos abiertos$$A_{k}$$ y también una unión contable disjunta de intervalos semiabiertos.

(Ver también Problema 2 a continuación.)

Prueba

Si$$G=\emptyset,$$ toma todo$$A_{k}=\emptyset$$.

Si$$G \neq \emptyset,$$ cada punto$$p \in G$$ tiene un barrio cúbico

$C_{p} \subseteq G,$

centrado en$$p$$ (Problema 3 en el Capítulo 3, §12). Al encogerse ligeramente$$C_{p},$$ éste puede hacer que sus puntos finales sean racionales, con$$p$$ todavía en él (pero no necesariamente su centro), y hacer$$C_{p}$$ abiertos, medio abiertos o cerrados, según se desee. (¡Explique!)

Elija un cubo de este tipo$$C_{p}$$$$p \in G;$$ para cada

$G \subseteq \bigcup_{p \in G} C_{p}.$

Pero por construcción,$$G$$ contiene todo$$C_{p},$$ para que

$G=\bigcup_{p \in G} C_{p}.$

Además, debido a que las coordenadas de los puntos finales de todos$$C_{p}$$ son racionales, el conjunto de pares ordenados de puntos finales del$$C_{p}$$ es contable, y así, mientras el conjunto de todos$$p \in G$$ es incontable, el conjunto de distintos$$C_{p}$$ es contable. Así se puede poner la familia de todos$$C_{p}$$ en una secuencia y cambiarle el nombre$$\left\{A_{k}\right\}$$:

$G=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}.$

Si, además, los$$A_{k}$$ están semiabiertos, podemos usar el Corolario 1 y la Nota 3, ambos de §1, para hacer la unión disjunta (¡los intervalos medio abiertos forman un semiring!). $$\quad \square$$

Ahora dejemos$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ ser la familia de todas las uniones contables posibles de intervalos en$$E^{n},$$ tales como$$G$$ en Lemma 2 (usamos$$\mathcal{C}_{s}$$ para todas las uniones finitas). Por lo tanto$$A \in \mathcal{C}_{\sigma}$$ significa que$$A$$ es un$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -set, es decir,

$A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$

para alguna secuencia de intervalos$$\left\{A_{i}\right\}.$$ Tales son todos los conjuntos abiertos en$$E^{n},$$ pero también hay muchos otros$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos.

Siempre podemos hacer que la secuencia sea$$\left\{A_{i}\right\}$$ infinita (¡agregar conjuntos nulos o repetir un término!).

Por Corolario 1 y Nota 3 de §1, podemos descomponer cualquier$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ conjunto$$A$$ en contabilizadamente muchos intervalos disjuntos. Esto se puede hacer de muchas maneras. No obstante, tenemos el siguiente resultado.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si

$A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \text { (disjoint)} =\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \text { (disjoint)}$

para algunos intervalos$$A_{i}, B_{k}$$ en$$E^{n},$$ entonces

$\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}=\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.$

Así podemos (y hacer) definir inequívocamente cualquiera de estas sumas como el volumen$$v A$$ del$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -set$$A.$$

Prueba

Utilizaremos el teorema de Heine-Borel (Problema 10 en el Capítulo 4, §6; ¡revísalo!).

$\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k},$

por lo que, en particular,

$\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}<+\infty.$

Como

$\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i}=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} v A_{i},$

hay un número entero$$m$$ para el cual

$\sum_{i=1}^{m} v A_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.$

Arreglamos eso$$m$$ y establecemos

$2 \varepsilon=\sum_{i=1}^{m} v A_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}>0.$

Dejando caer “vacíos” (si los hay), asumimos$$A_{i} \neq \emptyset$$ y$$B_{k} \neq \emptyset$$.

Entonces Lemma 1 rinde intervalos abiertos$$Y_{k} \supseteq B_{k},$$ con

$v B_{k}>v Y_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k}}, \quad k=1,2, \ldots,$

y cerrados$$X_{i} \subseteq A_{i},$$ con

$v X_{i}+\frac{\varepsilon}{m}>v A_{i};$

por lo

\begin{aligned} 2 \varepsilon=\sum_{i=1}^{m} v A_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k} &<\sum_{i=1}^{m}\left(v X_{i}+\frac{\varepsilon}{m}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\left(v Y_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k}}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{m} v X_{i}-\sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k}+2 \varepsilon. \end{aligned}

Por lo tanto

$\sum_{i=1}^{m} v X_{i}>\sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k}.$

(¡Explique en detalle!)

Ahora, como

$X_{i} \subseteq A_{i} \subseteq A=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} Y_{k},$

cada uno de los intervalos cerrados$$X_{i}$$ está cubierto por los conjuntos abiertos$$Y_{k}$$.

Por el teorema de Heine-Borel, ya$$\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}$$ está cubierto por un número finito del$$Y_{k},$$ decir,

$\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}.$

Los$$X_{i}$$ son disjuntos, porque incluso los conjuntos más grandes$$A_{i}$$ son. Así, por Lemma 1 (ii) en §1,

$\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k} \leq \sum_{k=1}^{\infty} v Y_{k},$

contrario a (1). Esta contradicción completa la prueba. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si

$A=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \text { (disjoint)}$

para algunos intervalos$$B_{k},$$ entonces

$v A=\sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.$

En efecto, esta es simplemente la definición de$$v A$$ contenida en el Teorema 1.

Nota 1. En particular, el Corolario 1 sostiene si$$A$$ es un intervalo en sí mismo. Expresamos esto diciendo que el volumen de intervalos es$$\sigma$$ -aditivo o contablemente aditivo. Esto también muestra que nuestra definición anterior de volumen (para intervalos) concuerda con la definición contenida en el Teorema 1 (para$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos).

Nota 2. Como todos los conjuntos abiertos son$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos (Lema 2), ahora se define el volumen para cualquier conjunto abierto$$A \subseteq E^{n}$$ (en particular, for$$A=E^{n}$$).

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si$$A_{i}, B_{k}$$ hay intervalos en$$E^{n},$$ con

$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k},$

entonces siempre que$$A_{i}$$ sean mutuamente disjuntos,

$\sum_{i=1}^{\infty} v A_{i} \leq \sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.$

Prueba

La prueba es como en el Teorema 1 (pero la$$B_{k}$$ necesidad no tiene por qué ser disjunta aquí).

## Corolario$$\PageIndex{3}$$ ("$$\sigma$$-subadditivity" of the volume)

Si

$A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k},$

donde$$A \in \mathcal{C}_{\sigma}$$ y los intervalos$$B_{k}$$ son en$$E^{n},$$ entonces

$v A \leq \sum_{k=1}^{\infty} v B_{k}.$

Prueba

Set

$A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}(\text { disjoint }), A_{i} \in \mathcal{C},$

y usar Corolario 2. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{4}$$ ("monotonicity")

Si$$A, B \in \mathcal{C}_{\sigma},$$ con

$A \subseteq B,$

entonces

$v A \leq v B.$

(“Los conjuntos más grandes tienen volúmenes más grandes”.)

Esto es simplemente Corolario 3, con$$\bigcup_{k} B_{k}=B$$.

## Corolario$$\PageIndex{5}$$

El volumen de todo$$E^{n}$$ es$$\infty$$ (escribimos$$\infty$$ para$$+\infty$$).

Prueba

Tenemos$$A \subseteq E^{n}$$ para cualquier intervalo$$A$$.

Así, por Corolario 4,$$v A \leq v E^{n}$$.

Como se$$v A$$ puede elegir arbitrariamente grande,$$v E^{n}$$ debe ser infinito. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{6}$$

Para cualquier conjunto contable$$A \subset E^{n}, v A=0.$$ En particular,$$v \emptyset=0$$.

Prueba

Primero$$A=\{\overline{a}\}$$ déjese ser un singleton. Entonces podemos tratar$$A$$ como un intervalo degenerado$$[\overline{a}, \overline{a}].$$ Como todas sus longitudes de borde son$$0,$$ tenemos$$v A=0$$.

A continuación, si$$A=\left\{\overline{a}_{1}, \overline{a}_{2}, \ldots\right\}$$ es un conjunto contable, entonces

$A=\bigcup_{k}\left\{\overline{a}_{k}\right\};$

por lo

$v A=\sum_{k} v\left\{\overline{a}_{k}\right\}=0$

por Corolario 1.

Por último,$$\emptyset$$ es el intervalo abierto degenerado$$(\overline{a}, \overline{a});$$ tan$$v \emptyset=0. \quad \square$$

Nota 3. En realidad, todas estas proposiciones se mantienen también si todos los conjuntos involucrados son$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos, no solo intervalos (¡divide cada$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -set en intervalos disjuntos!).

Serie Permutable. Dado que$$\sigma$$ -aditividad implica sumas contables, parece útil generalizar la noción de serie.

Decimos que una serie de constantes,

$\sum a_{n},$

es permutable si tiene una suma definida (posiblemente infinita) obedeciendo a la ley conmutativa general:

$u : N \stackrel{\mathrm{onto}}{\longleftrightarrow} N$

($$N=$$los naturales), tenemos

$\sum_{n} a_{n}=\sum_{n} a_{u_{n}},$

donde$$u_{n}=u(n)$$.

(Tales son todas series positivas y todas absolutamente convergentes en un espacio completo$$E;$$ ver Capítulo 4, §13.) Si la serie es permutable, la suma no depende de la elección del mapa$$u.$$

Por lo tanto, dado cualquiera$$u : N \stackrel{\mathrm{onto}}{\longleftrightarrow} J$$ (donde$$J$$ es un conjunto de índices contables) y un conjunto

$\left\{a_{i} | i \in J\right\} \subseteq E$

(donde$$E$$ es$$E^{*}$$ o un espacio normado), podemos definir

$\sum_{i \in J} a_{i}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{u_{n}}$

si$$\sum_{n} a_{u_{n}}$$ es permutable.

En particular, si

$J=N \times N$

(un conjunto contable, por el Teorema 1 en el Capítulo 1, §9), llamamos

$\sum_{i \in J} a_{i}$

una serie doble, denotada por símbolos como

$\sum_{n, k} a_{k n} \quad(k, n \in N).$

Tenga en cuenta que

$\sum_{i \in J}\left|a_{i}\right|$

siempre se define (siendo una serie positiva).

Si

$\sum_{i \in J}\left|a_{i}\right|<\infty,$

decimos que$$\sum_{i \in J} a_{i}$$ converge absolutamente.

Para una serie positiva, obtenemos el siguiente resultado.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(i) Todas las series positivas en$$E^{*}$$ son permutables.

(ii) Para series dobles positivas en$$E^{*},$$ tenemos

$\sum_{n, k=1}^{\infty} a_{n k}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty} a_{n k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n k}\right).$

Prueba

(i) Dejar

$s=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { and } s_{m}=\sum_{n=1}^{m} a_{n} \quad\left(a_{n} \geq 0\right).$

Entonces claramente

$s_{m+1}=s_{m}+a_{m+1} \geq s_{m};$

es decir,$$\left\{s_{m}\right\} \uparrow$$, y así

$s=\lim _{m \rightarrow \infty} s_{m}=\sup _{m} s_{m}$

por Teorema 3 en el Capítulo 3, §15.

De ahí que$$s$$ ciertamente no exceda el lub de todas las sumas posibles de la forma

$\sum_{i \in I} a_{i},$

donde$$I$$ es un subconjunto finito de$$N$$ (las sumas parciales$$s_{m}$$ están entre ellas). Por lo tanto

$s \leq \sup \sum_{i \in I} a_{i},$

sobre todos los conjuntos finitos$$I \subset N$$.

Por otro lado, cada uno de esos$$\sum_{i \in I} a_{i}$$ es superado por, o es igual, a algunos$$s_{m}$$. De ahí que en (4), la desigualdad inversa se mantenga, también, y así

$s=\sup \sum_{i \in I} a_{i}.$

Pero sup$$\sum_{i \in I} a_{i}$$ claramente no depende de ningún arreglo de la a_ {i}. Por lo tanto, la serie$$\sum a_{n}$$ es permutable y se prueba la aserción (i).

La aserción (ii) sigue de manera similar al considerar las sumas de la forma$$\sum_{i \in I} a_{i}$$ donde$$I$$ es un subconjunto finito de$$N \times N,$$ y mostrando que el lub de tales sumas es igual a cada una de las tres expresiones en (3). Se lo dejamos al lector. $$\quad \square$$

Una fórmula similar se mantiene para series absolutamente convergentes (ver Problemas).

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