2.7: Cauchy-Riemann todo el camino hacia abajo

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Hemos definido una función analítica como una que tiene una derivada compleja. El siguiente teorema muestra que si\(f\) es analítico entonces así es\(f'\). Así, ¡hay derivados todo el camino hacia abajo!

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Asumir los parciales de segundo orden de\(u\) y\(v\) existir y son continuos. Si\(f(z) = u + iv\) es analítico, entonces también lo es\(f'(z)\).

Prueba

Para mostrar esto tenemos que demostrar que\(f'(z)\) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si\(f = u + iv\) sabemos

\(u_x = v_y\),\(u_y = -v_x\),\(f' = u_x + iv_x\).

Vamos a escribir

\[f' = U + iV,\]

entonces, por Cauchy-Riemann,

\[U = u_x = u_y,\ \ V= v_x = -u_y.\]

Queremos mostrar eso\(U_x = V_y\) y\(U_x = -V_x\). Los hacemos uno a la vez.

Para probar\(U_x = V_y\), usamos la Ecuación 2.8.2 para ver que

\[U_x = v_{yx} \text{ and } V_y = v_{xy}.\]

Ya que\(v_{xy} = v_{yx}\), tenemos\(U_x = V_y\).

Del mismo modo, para mostrar\(U_y = -V_x\), calculamos

\[U_y = u_{xy} \text{ and } V_x = -u_{yx}.\]

Entonces,\(U_y = -V_x\). QED.

Punto técnico. Hemos asumido tantos parciales como necesitamos. Hasta el momento no podemos garantizar que todos los parciales existan. Pronto tendremos un teorema que dice que una función analítica tiene derivadas de todo orden. Simplemente vamos a asumir eso por ahora. En cualquier caso, en la mayoría de los ejemplos esto será obvio.