10.3: Integrales trigonométricas

El truco aquí es armar algunas propiedades elementales de$z = e^{i \theta}$ en el círculo unitario.

1. $e^{-i \theta} = 1/z.$
2. $\cos (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} = \dfrac{z + 1/z}{2}.$
3. $\sin (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} = \dfrac{z - 1/z}{2i}.$

Empezamos con un ejemplo. Después de eso vamos a exponer un teorema más general.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Compute

$$\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}.$$

Asumir eso$|a| \ne 1$.

Solución

Observe que$[0, 2\pi]$ es el intervalo utilizado para parametrizar el círculo unitario como$z = e^{i \theta}$. Tenemos que hacer dos sustituciones:

$$\begin{array} {rcl} {\cos (\theta)} & = & {\dfrac{z + 1/z}{2}} \\ {dz} & = & {i e^{i \theta} \ d\theta \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ d \theta = \dfrac{dz}{iz}} \end{array}$$

Haciendo estas sustituciones obtenemos

$$\begin{array} {rcl} {I} & = & {\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{1 + a^2 - 2a (z + 1/z)/2} \cdot \dfrac{dz}{iz}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 +1))} \ dz.} \end{array}$$

Entonces, vamos

$$f(z) = \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 + 1))}.$$

El teorema del residuo implica

$$I = 2\pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside the unit circle.}$$

Podemos factorizar el denominador:

$$f(z) = \dfrac{-1}{ia (z - a) (z - 1/a)}.$$

Los polos están en$a$,$1/a$. Uno está dentro del círculo unitario y otro está afuera.

Si$|a| > 1$ entonces$1/a$ está dentro del círculo de la unidad y$\text{Res} (f, 1/a) = \dfrac{1}{i(a^2 - 1)}$

Si$|a| < 1$ entonces$a$ está dentro del círculo de la unidad y$\text{Res} (f, a) = \dfrac{1}{i(1 - a^2)}$

Tenemos

$$I = \begin{cases} \dfrac{2 \pi}{a^2 - 1} & \text{if } |a| > 1 \\ \dfrac{2 \pi}{1 - a^2} & \text{if } |a| < 1 \end{cases}$$

El ejemplo ilustra una técnica general que exponemos ahora.

Teorema$\PageIndex{1}$

Supongamos que$R(x, y)$ es una función racional sin polos en el círculo

$$x^2 + y^2 = 1$$

luego para

$$f(z) = \dfrac{1}{iz} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i})$$

tenemos

$$\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = 2 \pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside } |z| = 1.$$

Prueba

Hacemos las mismas sustituciones que en el Ejemplo 10.4.1. Entonces,

$$\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = \int_{|z| = 1} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i}) \dfrac{dz}{iz}$$

La suposición sobre los polos significa que no$f$ tiene polos en el contorno$|z| = 1$. El teorema del residuo implica ahora el teorema.