10.3: Integrales trigonométricas

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El truco aquí es armar algunas propiedades elementales de\(z = e^{i \theta}\) en el círculo unitario.

\(e^{-i \theta} = 1/z.\)
\(\cos (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} = \dfrac{z + 1/z}{2}.\)
\(\sin (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} = \dfrac{z - 1/z}{2i}.\)

Empezamos con un ejemplo. Después de eso vamos a exponer un teorema más general.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Compute

\[\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}.\]

Asumir eso\(|a| \ne 1\).

Solución

Observe que\([0, 2\pi]\) es el intervalo utilizado para parametrizar el círculo unitario como\(z = e^{i \theta}\). Tenemos que hacer dos sustituciones:

\[\begin{array} {rcl} {\cos (\theta)} & = & {\dfrac{z + 1/z}{2}} \\ {dz} & = & {i e^{i \theta} \ d\theta \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ d \theta = \dfrac{dz}{iz}} \end{array}\]

Haciendo estas sustituciones obtenemos

\[\begin{array} {rcl} {I} & = & {\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{1 + a^2 - 2a (z + 1/z)/2} \cdot \dfrac{dz}{iz}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 +1))} \ dz.} \end{array}\]

Entonces, vamos

\[f(z) = \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 + 1))}.\]

El teorema del residuo implica

\[I = 2\pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside the unit circle.}\]

Podemos factorizar el denominador:

\[f(z) = \dfrac{-1}{ia (z - a) (z - 1/a)}.\]

Los polos están en\(a\),\(1/a\). Uno está dentro del círculo unitario y otro está afuera.

Si\(|a| > 1\) entonces\(1/a\) está dentro del círculo de la unidad y\(\text{Res} (f, 1/a) = \dfrac{1}{i(a^2 - 1)}\)

Si\(|a| < 1\) entonces\(a\) está dentro del círculo de la unidad y\(\text{Res} (f, a) = \dfrac{1}{i(1 - a^2)}\)

Tenemos

\[I = \begin{cases} \dfrac{2 \pi}{a^2 - 1} & \text{if } |a| > 1 \\ \dfrac{2 \pi}{1 - a^2} & \text{if } |a| < 1 \end{cases}\]

El ejemplo ilustra una técnica general que exponemos ahora.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(R(x, y)\) es una función racional sin polos en el círculo

\[x^2 + y^2 = 1\]

luego para

\[f(z) = \dfrac{1}{iz} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i})\]

tenemos

\[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = 2 \pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside } |z| = 1.\]

Prueba

Hacemos las mismas sustituciones que en el Ejemplo 10.4.1. Entonces,

\[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = \int_{|z| = 1} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i}) \dfrac{dz}{iz}\]

La suposición sobre los polos significa que no\(f\) tiene polos en el contorno\(|z| = 1\). El teorema del residuo implica ahora el teorema.