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1.6: Continuidad

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Hemos visto que computar los límites algunas funciones —polinomios y funciones racionales— es muy fácil porque

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= f (a). \ end {align*}

Es decir, el límite a medida quea sex aproxima es solof(a). En términos generales, la razón por la que podemos calcular el límite de esta manera es que estas funciones no tienen ningún salto abrupto cercaa.

Muchas otras funciones tienen esta propiedad,sin(x) por ejemplo. Una función con esta propiedad se llama “continua” y hay una definición matemática precisa para ello. Si no recuerda la notación de intervalos, entonces ahora es un buen momento para echar un vistazo rápido a la Definición 0.3.5.

Definición 1.6.1.

Una funciónf(x) es continua ena si

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= f (a)\ end {align*}

Si una función no es continua ena entonces se dice que es discontinua ena.

Cuando escribimos quef es continuo sin especificar un punto, entonces normalmente esto significa quef es continuo ena absolutoaR.

Cuando escribimos quef(x) es continuo en el intervalo abierto(a,b) entonces la función es continua en cada puntoc satisfactorioa<c<b.

Entonces, si una función es continua en inmediatamentex=a sabemos que

  • f(a)existe
  • limexiste y es igual af(a)\text{,} y
  • \displaystyle \lim_{x \to a^+}existe y es igual af(a)\text{.}

Apartado rápido: continuidad unilateral

Observe en la definición anterior de continuidad en un intervalo que(a,b) hemos evitado cuidadosamente decir algo sobre si la función es continua o no en los puntos finales del intervalo, es decir, esf(x) continua enx=a ox=b\text{.} Esto se debe a que se habla de continuidad en los puntos finales de un intervalo puede ser un poco delicado.

En muchas situaciones se nos dará una funciónf(x) definida en un intervalo cerrado[a,b]\text{.} Por ejemplo, podríamos tener:

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {x+1} {x+2} &\ text {for} x\ in [0,1]. \ end {align*}

Para cualquiera0 \leq x \leq 1 conocemos el valor def(x)\text{.} Sin embargo parax \lt 0 o nox \gt 1 sabemos nada de la función —de hecho no se ha definido.

Entonces ahora, considera lo que significaf(x) para ser continuo enx=0\text{.} Necesitamos tener

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} f (x) &= f (0),\ end {alinear*}

sin embargo esto implica que los límites unilaterales

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0^+} f (x) &= f (0) &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a 0^-} f (x) &= f (0)\ end {alinear*}

Ahora el primero de estos límites unilaterales implica examinar el comportamiento def(x) forx \gt 0\text{.} Ya que esto implica mirar puntos para los quef(x) se define, esto es algo que podemos hacer. Por otro lado el segundo límite unilateral nos obliga a entender el comportamiento def(x) parax \lt 0\text{.} Esto no podemos hacer porque la función no ha sido definida parax \lt 0\text{.}

Una forma de evitar este problema es generalizar la idea de continuidad a una continuidad unilateral, así como generalizamos límites para obtener límites unilaterales.

Definición 1.6.2.

Una funciónf(x) es continua desde la derecha ena si

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= f (a). \ end {align*}

Del mismo modo una funciónf(x) es continua desde la izquierda ena si

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= f (a)\ end {alinear*}

Usando la definición de continuidad unilateral ahora podemos definir lo que significa que una función sea continua en un intervalo cerrado.

Definición 1.6.3.

Una funciónf(x) es continua en el intervalo cerrado[a,b] cuando

  • f(x)es continuo(a,b)\text{,}
  • f(x)es continuo desde la derecha ena\text{,} y
  • f(x)es continuo desde la izquierda enb\text{.}

Tenga en cuenta que las dos últimas condiciones son equivalentes a

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= f (a) &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a b^-} f (x) &= f (b). \ end {align*}

Volver al texto principal

Ya sabemos por nuestro trabajo anterior que los polinomios son continuos, y que las funciones racionales son continuas en todos los puntos de sus dominios —es decir, donde sus denominadores son distintos de cero. Como hicimos para los límites, veremos que la continuidad interactúa “muy bien” con la aritmética. Esto nos permitirá construir funciones continuas complicadas a partir de bloques de construcción continuos más simples (como polinomios).

Pero primero, algunos ejemplos...

Ejemplo 1.6.4 Funciones simples continuas y discontinuas.

Considere las funciones dibujadas a continuación

Estos son

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x&x\ lt 1\\ x+2 & x\ geq 1\ end {cases}\\ g (x) &=\ begin {cases} 1/x^2& x\ neq0\\ 0 & x=0\ end {cases}\\ h (x) &=\ begin {cases}\ frac {x^3-x^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 0 & x=1\ end {cases}\ end {align*}

Determinar dónde son continuos y discontinuos:

  • Cuandox \lt 1 entoncesf(x) es una línea recta (y así un polinomio) y así es continua en cada puntox \lt 1\text{.} Del mismo modo cuandox \gt 1 la función es una línea recta y así es continua en cada puntox \gt 1\text{.} El único punto que podría ser una discontinuidad es enx=1\text{.} Vemos que los límites unilaterales son diferentes. De ahí que el límite ax=1 no exista y así la función es discontinua enx=1\text{.}

    Pero tenga en cuenta que esof(x) es continuo desde un lado — ¿cuál?

  • El caso medio es muy parecido al anterior. Cuandox \neq 0 elg(x) es una función racional y así es continuo en todas partes en su dominio (que es todo reales exceptox=0). Así el único punto dondeg(x) podría ser discontinuo es enx=0\text{.} Vemos que ninguno de los límites unilaterales existen enx=0\text{,} así que el límite no existe enx=0\text{.} De ahí que la función sea discontinua enx=0\text{.}
  • Ya hemos visto la funciónh(x) antes. Por el mismo razonamiento anterior, sabemos que es continuo salvo en elx=1 que debemos verificar por separado.

    Por definición deh(x)\text{,}h(1) = 0\text{.} Debemos comparar esto con el límite como lox \to 1\text{.} hicimos antes.

    \ begin {alinear*}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &=\ frac {x^2 (x-1)} {x-1} = x^2\ end {align*}

    Así\lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^2 = 1\neq h(1)\text{.} pues,h es discontinuo enx=1\text{.}

Este ejemplo ilustra diferentes tipos de discontinuidades:

  • La funciónf(x) tiene una “discontinuidad de salto” porque la función “salta” de un valor finito a la izquierda a otro valor a la derecha.
  • La segunda función,g(x)\text{,} tiene una “discontinuidad infinita” desde\lim f(x) =+\infty\text{.}
  • La tercera función,h(x)\text{,} tiene una “discontinuidad removible” porque podríamos hacer que la función sea continua en ese punto redefiniendo la función en ese punto. es decir, establecerh(1)=1\text{.} Eso es

    \ begin {align*}\ text {nueva función} h (x) &=\ begin {cases}\ frac {x^3-x^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 1 & x=1\ end {cases}\ end {align*}

Mostrar que una función es continua puede ser una molestia, pero así como las leyes de límite nos ayudan a calcular límites complicados en términos de límites más simples, podemos usarlos para demostrar que las funciones complicadas son continuas dividiéndolas en piezas más simples.

Teorema 1.6.5 Aritmética de continuidad.

Dejara,c \in \mathbb{R} y dejarf(x) yg(x) ser funciones que son continuas ena\text{.} Entonces las siguientes funciones también son continuas enx=a\text{:}

  • f(x) + g(x)yf(x) - g(x)\text{,}
  • c f(x)yf(x) g(x)\text{,} y
  • \frac{f(x)}{g(x)}siempreg(a) \neq 0\text{.}

Arriba afirmamos que los polinomios y las funciones racionales son continuas (teniendo cuidado con los dominios de las funciones racionales —debemos evitar que los denominadores sean cero) sin convertirlo en una declaración formal. Esto se fija fácilmente...

Lema 1.6.6.

Deje quec \in \mathbb{R}\text{.} las funciones

\ begin {align*} f (x) &= x & g (x) &= c\ end {align*}

son continuos en todas partes en la línea real

Este no es exactamente el resultado que queríamos (eso es un par de líneas abajo) pero es un resultado pequeño que podemos combinar con la aritmética de límites para obtener el resultado que queremos. Estos pequeños resultados útiles se llaman “lemmas” y surgirán más a medida que avancemos.

Ahora como podemos obtener cualquier polinomio y cualquier función racional sumando, restando, multiplicando y dividiendo cuidadosamente las funcionesf(x)=x yg(x)=c\text{,} el lema anterior se combina con el teorema de “aritmética de continuidad” para darnos el resultado que queremos:

Teorema 1.6.7 Continuidad de polinomios y funciones racionales.

Cada polinomio es continuo en todas partes. Del mismo modo, toda función racional es continua excepto donde su denominador es cero (es decir, en todo su dominio).

Con un poco más de trabajo este resultado se puede extender a familias más amplias de funciones:

Teorema 1.6.8.

Las siguientes funciones son continuas en todas partes en sus dominios

  • polinomios, funciones racionales
  • raíces y poderes
  • funciones trigonales y sus inversos
  • exponencial y el logaritmo

No hemos encontrado funciones trigonométricas inversas, ni funciones exponenciales o logaritmos, pero las veremos en el siguiente capítulo. Por el momento, sólo tiene que archivar la información.

Usando una combinación de los resultados anteriores se puede mostrar que muchas funciones complicadas son continuas excepto en algunos puntos (generalmente donde un denominador es igual a cero).

Ejemplo 1.6.9 Continuidad de\frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}.

¿Dónde está la funciónf(x) = \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} continua?

Simplemente rompemos las cosas en pedazos y luego las volvemos a armar manteniendo un registro de dónde podrían salir mal las cosas.

  • La función es una relación de dos piezas — así que comprueba si el numerador es continuo, el denominador es continuo y si el denominador podría ser cero.
  • El numerador es el\sin(x) que es “continuo en su dominio” según uno de los teoremas anteriores. Su dominio es todo números reales 1, por lo que es continuo en todas partes. Aquí no hay problemas.
  • El denominador es la suma de2 y\cos(x)\text{.} Desde2 es una constante es continua en todas partes. De igual manera (acabamos de verificar las cosas para el punto anterior) sabemos que\cos(x) es continuo en todas partes. De ahí que el denominador sea continuo.
  • Entonces solo tenemos que verificar si el denominador es cero. Uno de los hechos que debemos saber 2 es que

    \ comenzar {reunir*} -1\ leq\ cos (x)\ leq 1\\\ fin {reunir*}

    y así al agregar 2 obtenemos

    \ comenzar {reunir*} 1\ leq 2+\ cos (x)\ leq 3\ fin {reunir*}
Por lo tanto, no importa qué valor dex\text{,}2+\cos(x) \geq 1 y así no puede ser cero.
  • Entonces el numerador es continuo, el denominador es continuo y en ninguna parte cero, por lo que la función es continua en todas partes.

Si la función se cambiara a\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2-5x+6} gran parte del mismo razonamiento se puede utilizar. Siendo un poco concisos podríamos responder con:

  • El numerador y el denominador son continuos.
  • Dado quex^2-5x+6=(x-2)(x-3) el denominador es cero cuandox=2,3\text{.}
  • Entonces la función es continua en todas partes excepto posiblementex=2,3\text{.} en Para verificar que la función realmente es discontinua en esos puntos, basta con verificar que el numerador es distinto de cero enx=2,3\text{.} Indeed sabemos que\sin(x) es cero solo cuandox = n\pi (para cualquier enteron). De ahí que\sin(2),\sin(3) \neq 0\text{.} así el numerador sea distinto de cero, mientras que el denominador es cero y por lo tantox=2,3 realmente son puntos de discontinuidad.

Tenga en cuenta que este ejemplo plantea un punto sutil sobre la comprobación de la continuidad cuando el numerador y el denominador son simultáneamente cero. Hay bastantes resultados posibles en este caso y necesitamos herramientas más sofisticadas para analizar adecuadamente el comportamiento de las funciones cercanas a dichos puntos. Volveremos a esta pregunta más adelante en el texto después de haber desarrollado las expansiones de Taylor (ver Sección 3.4).

Entonces sabemos qué pasa cuando sumamos restar multiplicar y dividir, ¿qué pasa cuando componemos funciones? Bueno, los límites y las composiciones funcionan muy bien cuando las cosas son continuas.

Teorema 1.6.10 Composiciones y continuidad.

Sif es continuo enb y\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b luego\displaystyle \lim_{x\to a} f(g(x)) = f(b)\text{.} i.e.

\ start {alinear*}\ lim_ {x\ a} f\ izquierda (g (x)\ derecha) &= f\ izquierda (\ lim_ {x\ a} g (x)\ derecha)\ end {alinear*}

Por lo tanto, sig es continuo ena yf es continuo eng(a) entonces la función compuesta(f \circ g)(x) = f(g(x)) es continua ena\text{.}

Entonces cuando componemos dos funciones continuas obtenemos una nueva función continua.

Podemos poner esto en uso

Ejemplo 1.6.11 Continuidad de funciones compuestas.

¿Dónde son continuas las siguientes funciones?

\ begin {alinear*} f (x) &=\ sin\ izquierda (x^2 +\ cos (x)\ derecha)\\ g (x) &=\ sqrt {\ sin (x)}\ end {alinear*}

Nuestro primer paso debería ser descomponer las funciones en pedazos y estudiarlas. Cuando los volvemos a juntar debemos tener cuidado de dividirlos por cero, o caer fuera del dominio.

  • La funciónf(x) es la composición de\sin(x) conx^2+\cos(x)\text{.}
  • Estas piezas,\sin(x), x^2, \cos(x) son continuas en todas partes.
  • Entonces la sumax^2+\cos(x) es continua en todas partes
  • Y de ahí la composición de\sin(x) yx^2+\cos(x) es continua en todas partes.

La segunda función es un poco más complicado.

  • La funcióng(x) es la composición de\sqrt{x} con\sin(x)\text{.}
  • \sqrt{x}es continuo en su dominiox \geq 0\text{.}
  • \sin(x)es continuo en todas partes, pero es negativo en muchos lugares.
  • Parag(x) que sea definido y continuo debemos restringirx para que\sin(x) \geq 0\text{.}
  • Recordemos la gráfica de\sin(x)\text{:}

    De ahí\sin(x)\geq 0 cuandox\in[0,\pi] ox\in [2\pi,3\pi] ox\in[-2\pi,-\pi] o... Para ser más precisos\sin(x) es positivo cuandox \in [2n\pi,(2n+1)\pi] para cualquier enteron\text{.}

  • Por lo tanto,g(x) es continuo cuandox \in [2n\pi,(2n+1)\pi] para cualquier enteron\text{.}

Las funciones continuas son muy agradables (matemáticamente hablando). Las funciones del “mundo real” tienden a ser continuas (aunque no siempre). El aspecto clave que los hace agradables es el hecho de que no salten sobre ellos.

La ausencia de tales saltos lleva al siguiente teorema que, si bien puede resultar bastante confuso a primera vista, en realidad dice algo muy natural —incluso obvio—. Dice, en términos generales, que, a medida que dibuja la gráficay=f(x) comenzando enx=a y terminando enx=b\text{,}y cambios continuamente dey=f(a) ay=f(b)\text{,} sin saltos, y en consecuenciay debe tomar cada valor entref(a) y alf(b) menos una vez. Empezaremos con solo dar la declaración precisa y luego la explicaremos en detalle.

Teorema 1.6.12 Teorema del valor intermedio (IVT).

Leta \lt b y letf ser una función que es continua en todos los puntosa\leq x \leq b\text{.} SiY hay algún número entref(a) yf(b) entonces existe algún númeroc \in [a,b] para quef(c) = Y\text{.}

Al igual que la\epsilon-\delta definición de límites 3, deberíamos romper este teorema en pedazos. Antes de hacer eso, tenga en cuenta las siguientes imágenes.

Ahora el desglose

  • Dejara \lt b y dejarf ser una función que sea continua en todos los puntosa\leq x \leq b\text{.} — Esto es establecer la escena. Tenemosa,b cona \lt b (podemos asumir con seguridad que estos son números reales). Nuestra función debe ser continua en todos los puntos entrea yb\text{.}
  • siY hay algún número entref(a) yf(b) — Ahora necesitamos otro númeroY y la única restricción sobre ello es que se encuentra entref(a) y Esf(b)\text{.} decir, sif(a)\leq f(b) entoncesf(a) \leq Y \leq f(b)\text{.} O sif(a) \geq f(b) entoncesf(a) \geq Y \geq f(b)\text{.} Entonces fíjate queY podría ser igualf(a) of(b) — si quisiéramos evitar esa posibilidad, entonces normalmente diríamos explícitamenteY \neq f(a), f(b) o escribiríamos queY es estrictamente entref(a) yf(b)\text{.}
  • existe algún númeroc \in [a,b] para quef(c) = Y — así que si satisfacemos todas las condiciones anteriores, entonces tiene que haber algún número realc entrea yb para que cuandof(c) lo evaluemos seaY\text{.}

Entonces eso desglosa la declaración probatoria por declaración, pero ¿qué significa realmente?

  • Dibuja cualquier función continua que te guste entrea yb — debe ser continua.
  • La función toma el valorf(a) atx=a yf(b) atx=b — vea la figura de la izquierda arriba.
  • Ahora podemos elegir cualquieraY que se encuentre entref(a) yf(b) — ver la figura del medio arriba. El IVT 4 nos dice que debe haber algúnx -valor que cuando se conecta a la función nos da EsY\text{.} decir, hay algoc entrea yb para que tambiénf(c) = Y\text{.} podamos interpretar esto gráficamente; el IVT nos dice que la recta horizontal y=Ydebe intersectar la gráficay=f(x) en algún momento(c,Y) cona\le c\le b\text{.}
  • Observe que la IVT no nos dice cuántos de esosc -valores hay, solo que hay al menos uno de ellos. Ver la figura de la derecha arriba. Para esa elección particular deY hay tresc valores diferentes para quef(c_1) = f(c_2) = f(c_3) = Y\text{.}

Este teorema dice que sif(x) es una función continua en todo el intervaloa \leq x \leq b entonces comox se mueve dea ab\text{,}f(x) toma cada valor entref(a) y alf(b) menos una vez. Para poner esto ligeramente diferente, sif fuera para evitar un valor entref(a) yf(b) entoncesf no puede ser continuo en[a,b]\text{.}

No es difícil convencerse de que la continuidad def es crucial para la IVT. Sin ella se pueden construir rápidamente ejemplos de funciones que contradicen el teorema. Vea la figura a continuación para algunos ejemplos no continuos:

En el ejemplo de la izquierda vemos que una función discontinua puede “saltar” sobre elY -valor que hemos elegido, así que no hayx -valor que hagaf(x)=Y\text{.} El ejemplo de la derecha demuestra por qué necesitamos tener cuidado con los extremos del intervalo. En particular, una función debe ser continua a lo largo de todo el intervalo[a,b] incluyendo los puntos finales del intervalo. Si solo requerimos que la función sea continua(a,b) (tan estrictamente entrea yb) entonces la función podría “saltar” sobre elY valor -ena ob\text{.}

Si todavía estás confundido entonces aquí hay un ejemplo del “mundo real”

Ejemplo 1.6.13 La IVT en el “mundo real”.

Estás escalando el Grouse-grind 5 con un amigo — llámalo Bob. Bob estaba ansioso y comenzó a las 9 de la mañana. Bob, aunque muy ansioso, también es muy torpe; se torció el tobillo en algún lugar del camino y ha dejado de moverse a las 9:21am y apenas está sentado 6 disfrutando de la vista. Llegas tarde y comienzas a subir a las 10 am y estando bastante en forma llegas a la cima a las 11 am. El IVT implica que en algún momento entre las 10 am y las 11 am te encuentras con Bob.

Se puede traducir esta situación a la forma de la IVT de la siguiente manera. tSea el tiempo y deje que lasa = 10am y lasb= 11am. Dejag(t) ser tu distancia a lo largo del sendero. De ahí 7g(a) = 0 yg(b) = 2.9km\text{.} ya que eres un mortal, tu posición a lo largo del sendero es una función continua —ni helicópteros ni teletransportación o... No tenemos idea de dónde está sentado Bob, excepto que está en algún lugar entreg(a) yg(b)\text{,} llamar a este puntoY\text{.} La IVT garantiza que hay algún tiempoc entrea yb (así entre las 10 am y las 11 am) cong(c) = Y (y tu posición será la misma que la de Bob).

Aparte de encontrar a Bob sentado a un lado del sendero, una de las aplicaciones más importantes de la IVT es determinar dónde una función es cero. Para cuadráticas sabemos (o deberíamos saber) que

\ start {alinear*} ax^2+bx+c &= 0 &\ text {cuando} x &=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}\ end {align*}

Si bien los babilonios podrían (en su mayoría, pero no del todo) hacer lo anterior, la fórmula correspondiente para resolver un cúbico es más fea y eso para un cuartico es aún más fea. Uno de los resultados más famosos en matemáticas demuestra que no existe tal fórmula para quinticos o polinomios de grado superior 8.

Así que incluso para los polinomios no podemos, en general, escribir fórmulas explícitas para sus ceros y tener que conformarnos con aproximaciones numéricas —es decir, anotar la raíz como una expansión decimal a la precisión que queramos. Para funciones más complicadas no tenemos otra opción —no hay razón para que los ceros sean expresables como pequeñas fórmulas lindas y limpias. Al mismo tiempo, encontrar los ceros de una función:

\ begin {align*} f (x) &= 0\ end {align*}

o resolver ecuaciones de la forma 9

\ begin {alinear*} g (x) &= h (x)\ end {alinear*}

puede ser un paso crucial en muchas pruebas y aplicaciones matemáticas.

Por esta razón hay un cuerpo considerable de matemáticas que se enfoca solo en encontrar los ceros de las funciones. El IVT proporciona una manera muy sencilla de “localizar” los ceros de una función. En particular, si sabemos que una función continua es negativa en un puntox=a y positiva en otro puntox=b\text{,} entonces debe haber (por la IVT) un puntox=c entrea yb dondef(c)=0\text{.}

Considera la más a la izquierda de las cifras anteriores. Representa una función continua que es negativa enx=a y positiva enx=b\text{.} Así que eligeY=0 y aplica la IVT — debe haber algunac cona \leq c \leq b para quef(c) = Y = 0\text{.} Si bien esto no nos dicec exactamente, sí nos da límites sobre las posibles posiciones de al menos uno cero — debe haber al menos una c obedeciendoa \le c \le b\text{.}

Ver figura media. Para conseguir mejores límites podríamos probar un punto a medio camino entrea yb\text{.} Así establecera' = \frac{a+b}{2}\text{.} En este ejemplo vemos quef(a') es negativo. Aplicar la IVT nuevamente nos dice que hay algoc entrea' yb así quef(c) = 0\text{.} Otra vez — no tenemosc exactamente, pero hemos reducido a la mitad el rango de valores que podría tomar.

Mira la figura más a la derecha y hazlo de nuevo — prueba el punto a mitad de camino entrea' yb\text{.} En este ejemplo vemos quef(b') es positivo. Aplicar la IVT nos dice que hay algoc entrea' yb' así quef(c) = 0\text{.} Esta nueva gama es una cuarta parte de la longitud del original. Si seguimos haciendo este proceso el rango se dividirá a la mitad cada vez hasta que sepamos que el cero está dentro de algún pequeño rango de valores posibles. Este proceso se llama el método de la bisección.

Considere el siguiente ejemplo de búsqueda cero

Ejemplo 1.6.14 Mostrar quef(x)=x-1+\sin(\pi x/2) has a zero.

Mostrar que la funciónf(x) = x-1+\sin(\pi x/2) tiene un cero en0 \leq x \leq 1\text{.}

Esta pregunta se ha configurado muy bien para llevarnos hacia el uso de la IVT; ya se nos da un bonito intervalo en el que mirar. En general, podríamos tener que probar algunos puntos y experimentar un poco con una calculadora antes de que podamos comenzar a reducir un rango.

Comencemos probando los puntos finales del intervalo que se nos da

\ begin {alinear*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {alinear*}

Entonces conocemos un punto dondef es positivo y otro donde es negativo. Entonces por la IVT hay un punto intermedio donde es cero.

PERO para aplicar el IVT tenemos que demostrar que la función es continua, y no podemos simplemente escribir

es continuo

Tenemos que explicarle al lector por qué es continuo. Es decir, tenemos que demostrarlo.

Entonces, para escribir nuestra respuesta podemos poner algo como lo siguiente, teniendo en cuenta que necesitamos decirle al lector lo que estamos haciendo para que pueda seguirlo fácilmente.

  • Utilizaremos la IVT para demostrar que hay un cero en[0,1]\text{.}
  • Primero debemos demostrar que la función es continua.
    • Ya quex-1 es un polinomio es continuo en todas partes.
    • La función\sin(\pi x/2) es una función trigonométrica y también es continua en todas partes.
    • La suma de dos funciones continuas también es continua, por lo quef(x) es continua en todas partes.
  • Vamosa=0, b=1\text{,} entonces

    \ begin {alinear*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {alinear*}

  • La función es negativa enx=0 y positiva enx=1\text{.} Dado que la función es continua sabemos que hay un puntoc \in [0,1] para quef(c) = 0\text{.}

Observe que aunque no hemos usado oraciones completas en nuestra explicación aquí, todavía estamos usando palabras. Tus matemáticas, a menos que sea un cálculo muy sencillo, deben contener palabras así como símbolos.

El cero de esta función se encuentra en aproximadamentex=0.4053883559\text{.}

El método de la bisección es realmente solo la idea de que podemos seguir repitiendo el razonamiento anterior (con una calculadora a mano). Cada iteración nos dirá la ubicación del cero con mayor precisión. El siguiente ejemplo ilustra esto.

Ejemplo 1.6.15 Usando el método de la bisección.

Utilice el método de bisección para encontrar un cero de

\ begin {align*} f (x) &= x-1+\ sin (\ pi x/2)\ end {align*}

que se encuentra entre0 y1\text{.}

Entonces comenzamos con los dos puntos que elaboramos anteriormente:

  • a=0, b=1y

    \ begin {align*} f (0) &= -1\\ f (1) &= 1\ end {align*}

  • Prueba el punto en el mediox = \frac{0+1}{2} = 0.5

    \ begin {align*} f (0.5) &= 0.2071067813\ gt 0\ end {align*}

  • Entonces nuestro nuevo intervalo será[0,0.5] ya que la función es negativa enx=0 y positiva enx=0.5

Repetir

  • a=0, b=0.5dóndef(0) \lt 0 yf(0.5) \gt 0\text{.}
  • Prueba el punto en el mediox = \frac{0+0.5}{2} = 0.25

    \ begin {align*} f (0.25) &= -0.3673165675\ lt 0\ end {align*}

  • Entonces nuestro nuevo intervalo será[0.25,0.5] ya que la función es negativa enx=0.25 y positiva enx=0.5

Repetir

  • a=0.25, b=0.5dóndef(0.25) \lt 0 yf(0.5) \gt 0\text{.}
  • Pruebe el punto en el mediox = \frac{0.25+0.5}{2} = 0.375\ begin {align*} f (0.375) &= -0.0694297669\ lt 0\ end {align*}
  • Entonces nuestro nuevo intervalo será[0.375,0.5] ya que la función es negativa enx=0.375 y positiva enx=0.5

A continuación se muestra una ilustración de lo que hemos observado hasta ahora junto con una gráfica de la función real.

Y una iteración final:

  • a=0.375, b=0.5dóndef(0.375) \lt 0 yf(0.5) \gt 0\text{.}
  • Prueba el punto en el mediox = \frac{0.375+0.5}{2} = 0.4375

    \ begin {align*} f (0.4375) &= 0.0718932843\ gt 0\ end {align*}

  • Entonces nuestro nuevo intervalo será[0.375,0.4375] ya que la función es negativa enx=0.375 y positiva enx=0.4375

Así que sin mucho trabajo conocemos la ubicación de un cero dentro de un rango de longitud0.0625 = 2^{-4}\text{.} Cada iteración va a reducir a la mitad la longitud del rango y seguimos adelante hasta llegar a la precisión que necesitamos, aunque es mucho más fácil programar una computadora para hacerlo.

Ejercicios

Etapa 1
Ejercicio\PageIndex{1}

Da un ejemplo de una función (puedes escribir una fórmula, o dibujar una gráfica) que tiene infinitamente muchas discontinuidades infinitas.

Ejercicio\PageIndex{2}

Cuando nací, tenía menos de un metro de altura. Ahora, tengo más de un metro de altura. ¿Cuál es la conclusión del Teorema del Valor Intermedio sobre mi estatura?

Ejercicio\PageIndex{3}

Dar un ejemplo (por boceto o fórmula) de una funciónf(x)\text{,} definida en el intervalo[0,2]\text{,} conf(0)=0\text{,}f(2)=2\text{,} yf(x) nunca igual a 1. ¿Por qué esto no contradice el Teorema del Valor Intermedio?

Ejercicio\PageIndex{4}

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos quef es una función continua sobre[10,20]\text{,}f(10)=13\text{,} yf(20)=-13\text{.} Entoncesf tiene un cero entrex=10 yx=20\text{.}

Ejercicio\PageIndex{5}

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos quef es una función continua sobre[10,20]\text{,}f(10)=13\text{,} yf(20)=-13\text{.} Entoncesf(15)=0\text{.}

Ejercicio\PageIndex{6}

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos quef es una función sobre[10,20]\text{,}f(10)=13\text{,}f(20)=-13\text{,} y yf toma cada valor entre-13 y13\text{.} Entoncesf es continuo.

Ejercicio\PageIndex{7}

Supongamos quef(t) es continuo ent=5\text{.} Verdadero o falso:t=5 está en el dominio def(t)\text{.}

Ejercicio\PageIndex{8}

Supongamos\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{,} y supongamos quef(t) es continuo ent=5\text{.} Verdadero o falso:f(5)=17\text{.}

Ejercicio\PageIndex{9}

Supongamos\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{.} Verdadero o falso:f(5)=17\text{.}

Ejercicio\PageIndex{10}

Supongamosf(x) yg(x) son continuos enx=0\text{,} y vamosh(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}\text{.} ¿Qué es\displaystyle\lim_{x \to 0^+} h(x)\text{?}

Etapa 2
Ejercicio\PageIndex{11}

Encuentra una constantek para que la función

a(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{when } x \neq 0\\ k&\mbox{when }x=0 \end{array}\right. \nonumber

es continuo enx=0\text{.}

Ejercicio\PageIndex{12}

Usa el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que la funciónf(x)=x^3+x^2+x+1 toma el valor 12345 al menos una vez en su dominio.

Ejercicio\PageIndex{13}(✳)

Describa todos los puntos para los que la función es continua:f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{14}(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{15}(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{16}(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:f(x)=\dfrac{1}{\sin x}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{17}(✳)

Encuentre todos los valores dec tal que la siguiente función sea continua enx=c\text{:}

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x \gt c \end{array}\right. \nonumber

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\PageIndex{18}(✳)

Encuentra todos los valores dec tal manera que la siguiente función es continua en todas partes:

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x^2+c & x\ geq 0\\\ cos cx & x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\PageIndex{19}(✳)

Encuentra todos los valores dec tal que la siguiente función sea continua:

f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x \lt c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} \nonumber

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\PageIndex{20}(✳)

Encuentra todos los valores dec tal que la siguiente función sea continua:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x \gt 2c \end{array}\right. \nonumber

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Etapa 3
Ejercicio\PageIndex{21}

Demostrar que existe al menos un número realx satisfactorio\sin x = x-1

Ejercicio\PageIndex{22}(✳)

Demostrar que existe al menos un número realc tal que3^c=c^2\text{.}

Ejercicio\PageIndex{23}(✳)

Demostrar que existe al menos un número realc tal que2\tan(c)=c+1\text{.}

Ejercicio\PageIndex{24}(✳)

Demostrar que existe al menos un número real c tal que\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{25}(✳)

Demostrar que existe al menos un número realc tal que\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}\text{.}

Ejercicio\PageIndex{26}

Utilice el teorema del valor intermedio para encontrar un intervalo de longitud uno que contenga una raíz def(x)=x^7-15x^6+9x^2-18x+15\text{.}

Ejercicio\PageIndex{27}

Utilice el teorema del valor intermedio para dar una aproximación decimal de\sqrt[3]{7} que es correcta al menos a dos decimales. Puedes usar una calculadora, pero solo para sumar, restar, multiplicar y dividir.

Ejercicio\PageIndex{28}

Supongamosf(x) yg(x) son funciones que son continuas a lo largo del intervalo[a,b]\text{,} conf(a) \leq g(a) yg(b)\leq f(b)\text{.} Mostrar que existe algunac \in [a,b] conf(c)=g(c)\text{.}


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