1.6: Continuidad

Hemos visto que computar los límites algunas funciones —polinomios y funciones racionales— es muy fácil porque

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= f (a). \ end {align*}

Es decir, el límite a medida que\(a\) se\(x\) aproxima es solo\(f(a)\text{.}\) En términos generales, la razón por la que podemos calcular el límite de esta manera es que estas funciones no tienen ningún salto abrupto cerca\(a\text{.}\)

Muchas otras funciones tienen esta propiedad,\(\sin(x)\) por ejemplo. Una función con esta propiedad se llama “continua” y hay una definición matemática precisa para ello. Si no recuerda la notación de intervalos, entonces ahora es un buen momento para echar un vistazo rápido a la Definición 0.3.5.

Definición 1.6.1.

Una función\(f(x)\) es continua en\(a\) si

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= f (a)\ end {align*}

Si una función no es continua en\(a\) entonces se dice que es discontinua en\(a\text{.}\)

Cuando escribimos que\(f\) es continuo sin especificar un punto, entonces normalmente esto significa que\(f\) es continuo en\(a\) absoluto\(a \in \mathbb{R}\text{.}\)

Cuando escribimos que\(f(x)\) es continuo en el intervalo abierto\((a,b)\) entonces la función es continua en cada punto\(c\) satisfactorio\(a \lt c \lt b\text{.}\)

Entonces, si una función es continua en inmediatamente\(x=a\) sabemos que

• \(f(a)\)existe
• \(\displaystyle \lim_{x \to a^-}\)existe y es igual a\(f(a)\text{,}\) y
• \(\displaystyle \lim_{x \to a^+}\)existe y es igual a\(f(a)\text{.}\)

Apartado rápido: continuidad unilateral

Observe en la definición anterior de continuidad en un intervalo que\((a,b)\) hemos evitado cuidadosamente decir algo sobre si la función es continua o no en los puntos finales del intervalo, es decir, es\(f(x)\) continua en\(x=a\) o\(x=b\text{.}\) Esto se debe a que se habla de continuidad en los puntos finales de un intervalo puede ser un poco delicado.

En muchas situaciones se nos dará una función\(f(x)\) definida en un intervalo cerrado\([a,b]\text{.}\) Por ejemplo, podríamos tener:

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {x+1} {x+2} &\ text {for} x\ in [0,1]. \ end {align*}

Para cualquiera\(0 \leq x \leq 1\) conocemos el valor de\(f(x)\text{.}\) Sin embargo para\(x \lt 0\) o no\(x \gt 1\) sabemos nada de la función —de hecho no se ha definido.

Entonces ahora, considera lo que significa\(f(x)\) para ser continuo en\(x=0\text{.}\) Necesitamos tener

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} f (x) &= f (0),\ end {alinear*}

sin embargo esto implica que los límites unilaterales

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0^+} f (x) &= f (0) &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a 0^-} f (x) &= f (0)\ end {alinear*}

Ahora el primero de estos límites unilaterales implica examinar el comportamiento de\(f(x)\) for\(x \gt 0\text{.}\) Ya que esto implica mirar puntos para los que\(f(x)\) se define, esto es algo que podemos hacer. Por otro lado el segundo límite unilateral nos obliga a entender el comportamiento de\(f(x)\) para\(x \lt 0\text{.}\) Esto no podemos hacer porque la función no ha sido definida para\(x \lt 0\text{.}\)

Una forma de evitar este problema es generalizar la idea de continuidad a una continuidad unilateral, así como generalizamos límites para obtener límites unilaterales.

Definición 1.6.2.

Una función\(f(x)\) es continua desde la derecha en\(a\) si

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= f (a). \ end {align*}

Del mismo modo una función\(f(x)\) es continua desde la izquierda en\(a\) si

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= f (a)\ end {alinear*}

Usando la definición de continuidad unilateral ahora podemos definir lo que significa que una función sea continua en un intervalo cerrado.

Definición 1.6.3.

Una función\(f(x)\) es continua en el intervalo cerrado\([a,b]\) cuando

• \(f(x)\)es continuo\((a,b)\text{,}\)
• \(f(x)\)es continuo desde la derecha en\(a\text{,}\) y
• \(f(x)\)es continuo desde la izquierda en\(b\text{.}\)

Tenga en cuenta que las dos últimas condiciones son equivalentes a

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= f (a) &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a b^-} f (x) &= f (b). \ end {align*}

Volver al texto principal

Ya sabemos por nuestro trabajo anterior que los polinomios son continuos, y que las funciones racionales son continuas en todos los puntos de sus dominios —es decir, donde sus denominadores son distintos de cero. Como hicimos para los límites, veremos que la continuidad interactúa “muy bien” con la aritmética. Esto nos permitirá construir funciones continuas complicadas a partir de bloques de construcción continuos más simples (como polinomios).

Pero primero, algunos ejemplos...

Ejemplo 1.6.4 Funciones simples continuas y discontinuas.

Considere las funciones dibujadas a continuación

Estos son

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x&x\ lt 1\\ x+2 & x\ geq 1\ end {cases}\\ g (x) &=\ begin {cases} 1/x^2& x\ neq0\\ 0 & x=0\ end {cases}\\ h (x) &=\ begin {cases}\ frac {x^3-x^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 0 & x=1\ end {cases}\ end {align*}

Determinar dónde son continuos y discontinuos:

• Cuando\(x \lt 1\) entonces\(f(x)\) es una línea recta (y así un polinomio) y así es continua en cada punto\(x \lt 1\text{.}\) Del mismo modo cuando\(x \gt 1\) la función es una línea recta y así es continua en cada punto\(x \gt 1\text{.}\) El único punto que podría ser una discontinuidad es en\(x=1\text{.}\) Vemos que los límites unilaterales son diferentes. De ahí que el límite a\(x=1\) no exista y así la función es discontinua en\(x=1\text{.}\)

  Pero tenga en cuenta que eso\(f(x)\) es continuo desde un lado — ¿cuál?

• El caso medio es muy parecido al anterior. Cuando\(x \neq 0\) el\(g(x)\) es una función racional y así es continuo en todas partes en su dominio (que es todo reales excepto\(x=0\)). Así el único punto donde\(g(x)\) podría ser discontinuo es en\(x=0\text{.}\) Vemos que ninguno de los límites unilaterales existen en\(x=0\text{,}\) así que el límite no existe en\(x=0\text{.}\) De ahí que la función sea discontinua en\(x=0\text{.}\)
• Ya hemos visto la función\(h(x)\) antes. Por el mismo razonamiento anterior, sabemos que es continuo salvo en el\(x=1\) que debemos verificar por separado.

  Por definición de\(h(x)\text{,}\)\(h(1) = 0\text{.}\) Debemos comparar esto con el límite como lo\(x \to 1\text{.}\) hicimos antes.

  \ begin {alinear*}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &=\ frac {x^2 (x-1)} {x-1} = x^2\ end {align*}

  Así\(\lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^2 = 1\neq h(1)\text{.}\) pues,\(h\) es discontinuo en\(x=1\text{.}\)

Este ejemplo ilustra diferentes tipos de discontinuidades:

• La función\(f(x)\) tiene una “discontinuidad de salto” porque la función “salta” de un valor finito a la izquierda a otro valor a la derecha.
• La segunda función,\(g(x)\text{,}\) tiene una “discontinuidad infinita” desde\(\lim f(x) =+\infty\text{.}\)
• La tercera función,\(h(x)\text{,}\) tiene una “discontinuidad removible” porque podríamos hacer que la función sea continua en ese punto redefiniendo la función en ese punto. es decir, establecer\(h(1)=1\text{.}\) Eso es

  \ begin {align*}\ text {nueva función} h (x) &=\ begin {cases}\ frac {x^3-x^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 1 & x=1\ end {cases}\ end {align*}

Mostrar que una función es continua puede ser una molestia, pero así como las leyes de límite nos ayudan a calcular límites complicados en términos de límites más simples, podemos usarlos para demostrar que las funciones complicadas son continuas dividiéndolas en piezas más simples.

Teorema 1.6.5 Aritmética de continuidad.

Dejar\(a,c \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser funciones que son continuas en\(a\text{.}\) Entonces las siguientes funciones también son continuas en\(x=a\text{:}\)

• \(f(x) + g(x)\)y\(f(x) - g(x)\text{,}\)
• \(c f(x)\)y\(f(x) g(x)\text{,}\) y
• \(\frac{f(x)}{g(x)}\)siempre\(g(a) \neq 0\text{.}\)

Arriba afirmamos que los polinomios y las funciones racionales son continuas (teniendo cuidado con los dominios de las funciones racionales —debemos evitar que los denominadores sean cero) sin convertirlo en una declaración formal. Esto se fija fácilmente...

Lema 1.6.6.

Deje que\(c \in \mathbb{R}\text{.}\) las funciones

\ begin {align*} f (x) &= x & g (x) &= c\ end {align*}

son continuos en todas partes en la línea real

Este no es exactamente el resultado que queríamos (eso es un par de líneas abajo) pero es un resultado pequeño que podemos combinar con la aritmética de límites para obtener el resultado que queremos. Estos pequeños resultados útiles se llaman “lemmas” y surgirán más a medida que avancemos.

Ahora como podemos obtener cualquier polinomio y cualquier función racional sumando, restando, multiplicando y dividiendo cuidadosamente las funciones\(f(x)=x\) y\(g(x)=c\text{,}\) el lema anterior se combina con el teorema de “aritmética de continuidad” para darnos el resultado que queremos:

Teorema 1.6.7 Continuidad de polinomios y funciones racionales.

Cada polinomio es continuo en todas partes. Del mismo modo, toda función racional es continua excepto donde su denominador es cero (es decir, en todo su dominio).

Con un poco más de trabajo este resultado se puede extender a familias más amplias de funciones:

Teorema 1.6.8.

Las siguientes funciones son continuas en todas partes en sus dominios

• polinomios, funciones racionales
• raíces y poderes
• funciones trigonales y sus inversos
• exponencial y el logaritmo

No hemos encontrado funciones trigonométricas inversas, ni funciones exponenciales o logaritmos, pero las veremos en el siguiente capítulo. Por el momento, sólo tiene que archivar la información.

Usando una combinación de los resultados anteriores se puede mostrar que muchas funciones complicadas son continuas excepto en algunos puntos (generalmente donde un denominador es igual a cero).

Ejemplo 1.6.9 Continuidad de\(\frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}\).

¿Dónde está la función\(f(x) = \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}\) continua?

Simplemente rompemos las cosas en pedazos y luego las volvemos a armar manteniendo un registro de dónde podrían salir mal las cosas.

• La función es una relación de dos piezas — así que comprueba si el numerador es continuo, el denominador es continuo y si el denominador podría ser cero.
• El numerador es el\(\sin(x)\) que es “continuo en su dominio” según uno de los teoremas anteriores. Su dominio es todo números reales ¹, por lo que es continuo en todas partes. Aquí no hay problemas.
• El denominador es la suma de\(2\) y\(\cos(x)\text{.}\) Desde\(2\) es una constante es continua en todas partes. De igual manera (acabamos de verificar las cosas para el punto anterior) sabemos que\(\cos(x)\) es continuo en todas partes. De ahí que el denominador sea continuo.
• Entonces solo tenemos que verificar si el denominador es cero. Uno de los hechos que debemos saber ² es que

  \ comenzar {reunir*} -1\ leq\ cos (x)\ leq 1\\\ fin {reunir*}

  y así al agregar 2 obtenemos

  \ comenzar {reunir*} 1\ leq 2+\ cos (x)\ leq 3\ fin {reunir*}

Por lo tanto, no importa qué valor de\(x\text{,}\)\(2+\cos(x) \geq 1\) y así no puede ser cero.

• Entonces el numerador es continuo, el denominador es continuo y en ninguna parte cero, por lo que la función es continua en todas partes.

Si la función se cambiara a\(\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2-5x+6}\) gran parte del mismo razonamiento se puede utilizar. Siendo un poco concisos podríamos responder con:

• El numerador y el denominador son continuos.
• Dado que\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) el denominador es cero cuando\(x=2,3\text{.}\)
• Entonces la función es continua en todas partes excepto posiblemente\(x=2,3\text{.}\) en Para verificar que la función realmente es discontinua en esos puntos, basta con verificar que el numerador es distinto de cero en\(x=2,3\text{.}\) Indeed sabemos que\(\sin(x)\) es cero solo cuando\(x = n\pi\) (para cualquier entero\(n\)). De ahí que\(\sin(2),\sin(3) \neq 0\text{.}\) así el numerador sea distinto de cero, mientras que el denominador es cero y por lo tanto\(x=2,3\) realmente son puntos de discontinuidad.

Tenga en cuenta que este ejemplo plantea un punto sutil sobre la comprobación de la continuidad cuando el numerador y el denominador son simultáneamente cero. Hay bastantes resultados posibles en este caso y necesitamos herramientas más sofisticadas para analizar adecuadamente el comportamiento de las funciones cercanas a dichos puntos. Volveremos a esta pregunta más adelante en el texto después de haber desarrollado las expansiones de Taylor (ver Sección 3.4).

Entonces sabemos qué pasa cuando sumamos restar multiplicar y dividir, ¿qué pasa cuando componemos funciones? Bueno, los límites y las composiciones funcionan muy bien cuando las cosas son continuas.

Teorema 1.6.10 Composiciones y continuidad.

Si\(f\) es continuo en\(b\) y\(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b\) luego\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(g(x)) = f(b)\text{.}\) i.e.

\ start {alinear*}\ lim_ {x\ a} f\ izquierda (g (x)\ derecha) &= f\ izquierda (\ lim_ {x\ a} g (x)\ derecha)\ end {alinear*}

Por lo tanto, si\(g\) es continuo en\(a\) y\(f\) es continuo en\(g(a)\) entonces la función compuesta\((f \circ g)(x) = f(g(x))\) es continua en\(a\text{.}\)

Entonces cuando componemos dos funciones continuas obtenemos una nueva función continua.

Podemos poner esto en uso

Ejemplo 1.6.11 Continuidad de funciones compuestas.

¿Dónde son continuas las siguientes funciones?

\ begin {alinear*} f (x) &=\ sin\ izquierda (x^2 +\ cos (x)\ derecha)\\ g (x) &=\ sqrt {\ sin (x)}\ end {alinear*}

Nuestro primer paso debería ser descomponer las funciones en pedazos y estudiarlas. Cuando los volvemos a juntar debemos tener cuidado de dividirlos por cero, o caer fuera del dominio.

• La función\(f(x)\) es la composición de\(\sin(x)\) con\(x^2+\cos(x)\text{.}\)
• Estas piezas,\(\sin(x), x^2, \cos(x)\) son continuas en todas partes.
• Entonces la suma\(x^2+\cos(x)\) es continua en todas partes
• Y de ahí la composición de\(\sin(x)\) y\(x^2+\cos(x)\) es continua en todas partes.

La segunda función es un poco más complicado.

• La función\(g(x)\) es la composición de\(\sqrt{x}\) con\(\sin(x)\text{.}\)
• \(\sqrt{x}\)es continuo en su dominio\(x \geq 0\text{.}\)
• \(\sin(x)\)es continuo en todas partes, pero es negativo en muchos lugares.
• Para\(g(x)\) que sea definido y continuo debemos restringir\(x\) para que\(\sin(x) \geq 0\text{.}\)
• Recordemos la gráfica de\(\sin(x)\text{:}\)

  

  De ahí\(\sin(x)\geq 0\) cuando\(x\in[0,\pi]\) o\(x\in [2\pi,3\pi]\) o\(x\in[-2\pi,-\pi]\) o... Para ser más precisos\(\sin(x)\) es positivo cuando\(x \in [2n\pi,(2n+1)\pi]\) para cualquier entero\(n\text{.}\)

• Por lo tanto,\(g(x)\) es continuo cuando\(x \in [2n\pi,(2n+1)\pi]\) para cualquier entero\(n\text{.}\)

Las funciones continuas son muy agradables (matemáticamente hablando). Las funciones del “mundo real” tienden a ser continuas (aunque no siempre). El aspecto clave que los hace agradables es el hecho de que no salten sobre ellos.

La ausencia de tales saltos lleva al siguiente teorema que, si bien puede resultar bastante confuso a primera vista, en realidad dice algo muy natural —incluso obvio—. Dice, en términos generales, que, a medida que dibuja la gráfica\(y=f(x)\) comenzando en\(x=a\) y terminando en\(x=b\text{,}\)\(y\) cambios continuamente de\(y=f(a)\) a\(y=f(b)\text{,}\) sin saltos, y en consecuencia\(y\) debe tomar cada valor entre\(f(a)\) y al\(f(b)\) menos una vez. Empezaremos con solo dar la declaración precisa y luego la explicaremos en detalle.

Teorema 1.6.12 Teorema del valor intermedio (IVT).

Let\(a \lt b\) y let\(f\) ser una función que es continua en todos los puntos\(a\leq x \leq b\text{.}\) Si\(Y\) hay algún número entre\(f(a)\) y\(f(b)\) entonces existe algún número\(c \in [a,b]\) para que\(f(c) = Y\text{.}\)

Al igual que la\(\epsilon-\delta\) definición de límites ³, deberíamos romper este teorema en pedazos. Antes de hacer eso, tenga en cuenta las siguientes imágenes.

Ahora el desglose

• Dejar\(a \lt b\) y dejar\(f\) ser una función que sea continua en todos los puntos\(a\leq x \leq b\text{.}\) — Esto es establecer la escena. Tenemos\(a,b\) con\(a \lt b\) (podemos asumir con seguridad que estos son números reales). Nuestra función debe ser continua en todos los puntos entre\(a\) y\(b\text{.}\)
• si\(Y\) hay algún número entre\(f(a)\) y\(f(b)\) — Ahora necesitamos otro número\(Y\) y la única restricción sobre ello es que se encuentra entre\(f(a)\) y Es\(f(b)\text{.}\) decir, si\(f(a)\leq f(b)\) entonces\(f(a) \leq Y \leq f(b)\text{.}\) O si\(f(a) \geq f(b)\) entonces\(f(a) \geq Y \geq f(b)\text{.}\) Entonces fíjate que\(Y\) podría ser igual\(f(a)\) o\(f(b)\) — si quisiéramos evitar esa posibilidad, entonces normalmente diríamos explícitamente\(Y \neq f(a), f(b)\) o escribiríamos que\(Y\) es estrictamente entre\(f(a)\) y\(f(b)\text{.}\)
• existe algún número\(c \in [a,b]\) para que\(f(c) = Y\) — así que si satisfacemos todas las condiciones anteriores, entonces tiene que haber algún número real\(c\) entre\(a\) y\(b\) para que cuando\(f(c)\) lo evaluemos sea\(Y\text{.}\)

Entonces eso desglosa la declaración probatoria por declaración, pero ¿qué significa realmente?

• Dibuja cualquier función continua que te guste entre\(a\) y\(b\) — debe ser continua.
• La función toma el valor\(f(a)\) at\(x=a\) y\(f(b)\) at\(x=b\) — vea la figura de la izquierda arriba.
• Ahora podemos elegir cualquiera\(Y\) que se encuentre entre\(f(a)\) y\(f(b)\) — ver la figura del medio arriba. El IVT ⁴ nos dice que debe haber algún\(x\) -valor que cuando se conecta a la función nos da Es\(Y\text{.}\) decir, hay algo\(c\) entre\(a\) y\(b\) para que también\(f(c) = Y\text{.}\) podamos interpretar esto gráficamente; el IVT nos dice que la recta horizontal \(y=Y\)debe intersectar la gráfica\(y=f(x)\) en algún momento\((c,Y)\) con\(a\le c\le b\text{.}\)
• Observe que la IVT no nos dice cuántos de esos\(c\) -valores hay, solo que hay al menos uno de ellos. Ver la figura de la derecha arriba. Para esa elección particular de\(Y\) hay tres\(c\) valores diferentes para que\(f(c_1) = f(c_2) = f(c_3) = Y\text{.}\)

Este teorema dice que si\(f(x)\) es una función continua en todo el intervalo\(a \leq x \leq b\) entonces como\(x\) se mueve de\(a\) a\(b\text{,}\)\(f(x)\) toma cada valor entre\(f(a)\) y al\(f(b)\) menos una vez. Para poner esto ligeramente diferente, si\(f\) fuera para evitar un valor entre\(f(a)\) y\(f(b)\) entonces\(f\) no puede ser continuo en\([a,b]\text{.}\)

No es difícil convencerse de que la continuidad de\(f\) es crucial para la IVT. Sin ella se pueden construir rápidamente ejemplos de funciones que contradicen el teorema. Vea la figura a continuación para algunos ejemplos no continuos:

En el ejemplo de la izquierda vemos que una función discontinua puede “saltar” sobre el\(Y\) -valor que hemos elegido, así que no hay\(x\) -valor que haga\(f(x)=Y\text{.}\) El ejemplo de la derecha demuestra por qué necesitamos tener cuidado con los extremos del intervalo. En particular, una función debe ser continua a lo largo de todo el intervalo\([a,b]\) incluyendo los puntos finales del intervalo. Si solo requerimos que la función sea continua\((a,b)\) (tan estrictamente entre\(a\) y\(b\)) entonces la función podría “saltar” sobre el\(Y\) valor -en\(a\) o\(b\text{.}\)

Si todavía estás confundido entonces aquí hay un ejemplo del “mundo real”

Ejemplo 1.6.13 La IVT en el “mundo real”.

Estás escalando el Grouse-grind ⁵ con un amigo — llámalo Bob. Bob estaba ansioso y comenzó a las 9 de la mañana. Bob, aunque muy ansioso, también es muy torpe; se torció el tobillo en algún lugar del camino y ha dejado de moverse a las 9:21am y apenas está sentado ⁶ disfrutando de la vista. Llegas tarde y comienzas a subir a las 10 am y estando bastante en forma llegas a la cima a las 11 am. El IVT implica que en algún momento entre las 10 am y las 11 am te encuentras con Bob.

Se puede traducir esta situación a la forma de la IVT de la siguiente manera. \(t\)Sea el tiempo y deje que las\(a = \) 10am y las\(b=\) 11am. Deja\(g(t)\) ser tu distancia a lo largo del sendero. De ahí ⁷\(g(a) = 0\) y\(g(b) = 2.9km\text{.}\) ya que eres un mortal, tu posición a lo largo del sendero es una función continua —ni helicópteros ni teletransportación o... No tenemos idea de dónde está sentado Bob, excepto que está en algún lugar entre\(g(a)\) y\(g(b)\text{,}\) llamar a este punto\(Y\text{.}\) La IVT garantiza que hay algún tiempo\(c\) entre\(a\) y\(b\) (así entre las 10 am y las 11 am) con\(g(c) = Y\) (y tu posición será la misma que la de Bob).

Aparte de encontrar a Bob sentado a un lado del sendero, una de las aplicaciones más importantes de la IVT es determinar dónde una función es cero. Para cuadráticas sabemos (o deberíamos saber) que

\ start {alinear*} ax^2+bx+c &= 0 &\ text {cuando} x &=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}\ end {align*}

Si bien los babilonios podrían (en su mayoría, pero no del todo) hacer lo anterior, la fórmula correspondiente para resolver un cúbico es más fea y eso para un cuartico es aún más fea. Uno de los resultados más famosos en matemáticas demuestra que no existe tal fórmula para quinticos o polinomios de grado superior ⁸.

Así que incluso para los polinomios no podemos, en general, escribir fórmulas explícitas para sus ceros y tener que conformarnos con aproximaciones numéricas —es decir, anotar la raíz como una expansión decimal a la precisión que queramos. Para funciones más complicadas no tenemos otra opción —no hay razón para que los ceros sean expresables como pequeñas fórmulas lindas y limpias. Al mismo tiempo, encontrar los ceros de una función:

\ begin {align*} f (x) &= 0\ end {align*}

o resolver ecuaciones de la forma ⁹

\ begin {alinear*} g (x) &= h (x)\ end {alinear*}

puede ser un paso crucial en muchas pruebas y aplicaciones matemáticas.

Por esta razón hay un cuerpo considerable de matemáticas que se enfoca solo en encontrar los ceros de las funciones. El IVT proporciona una manera muy sencilla de “localizar” los ceros de una función. En particular, si sabemos que una función continua es negativa en un punto\(x=a\) y positiva en otro punto\(x=b\text{,}\) entonces debe haber (por la IVT) un punto\(x=c\) entre\(a\) y\(b\) donde\(f(c)=0\text{.}\)

Considera la más a la izquierda de las cifras anteriores. Representa una función continua que es negativa en\(x=a\) y positiva en\(x=b\text{.}\) Así que elige\(Y=0\) y aplica la IVT — debe haber alguna\(c\) con\(a \leq c \leq b\) para que\(f(c) = Y = 0\text{.}\) Si bien esto no nos dice\(c\) exactamente, sí nos da límites sobre las posibles posiciones de al menos uno cero — debe haber al menos una c obedeciendo\(a \le c \le b\text{.}\)

Ver figura media. Para conseguir mejores límites podríamos probar un punto a medio camino entre\(a\) y\(b\text{.}\) Así establecer\(a' = \frac{a+b}{2}\text{.}\) En este ejemplo vemos que\(f(a')\) es negativo. Aplicar la IVT nuevamente nos dice que hay algo\(c\) entre\(a'\) y\(b\) así que\(f(c) = 0\text{.}\) Otra vez — no tenemos\(c\) exactamente, pero hemos reducido a la mitad el rango de valores que podría tomar.

Mira la figura más a la derecha y hazlo de nuevo — prueba el punto a mitad de camino entre\(a'\) y\(b\text{.}\) En este ejemplo vemos que\(f(b')\) es positivo. Aplicar la IVT nos dice que hay algo\(c\) entre\(a'\) y\(b'\) así que\(f(c) = 0\text{.}\) Esta nueva gama es una cuarta parte de la longitud del original. Si seguimos haciendo este proceso el rango se dividirá a la mitad cada vez hasta que sepamos que el cero está dentro de algún pequeño rango de valores posibles. Este proceso se llama el método de la bisección.

Considere el siguiente ejemplo de búsqueda cero

Ejemplo 1.6.14 Mostrar que\(f(x)=x-1+\sin(\pi x/2)\) has a zero.

Mostrar que la función\(f(x) = x-1+\sin(\pi x/2)\) tiene un cero en\(0 \leq x \leq 1\text{.}\)

Esta pregunta se ha configurado muy bien para llevarnos hacia el uso de la IVT; ya se nos da un bonito intervalo en el que mirar. En general, podríamos tener que probar algunos puntos y experimentar un poco con una calculadora antes de que podamos comenzar a reducir un rango.

Comencemos probando los puntos finales del intervalo que se nos da

\ begin {alinear*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {alinear*}

Entonces conocemos un punto donde\(f\) es positivo y otro donde es negativo. Entonces por la IVT hay un punto intermedio donde es cero.

PERO para aplicar el IVT tenemos que demostrar que la función es continua, y no podemos simplemente escribir

es continuo

Tenemos que explicarle al lector por qué es continuo. Es decir, tenemos que demostrarlo.

Entonces, para escribir nuestra respuesta podemos poner algo como lo siguiente, teniendo en cuenta que necesitamos decirle al lector lo que estamos haciendo para que pueda seguirlo fácilmente.

• Utilizaremos la IVT para demostrar que hay un cero en\([0,1]\text{.}\)
• Primero debemos demostrar que la función es continua.
  • Ya que\(x-1\) es un polinomio es continuo en todas partes.
  • La función\(\sin(\pi x/2)\) es una función trigonométrica y también es continua en todas partes.
  • La suma de dos funciones continuas también es continua, por lo que\(f(x)\) es continua en todas partes.
• Vamos\(a=0, b=1\text{,}\) entonces

  \ begin {alinear*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {alinear*}

• La función es negativa en\(x=0\) y positiva en\(x=1\text{.}\) Dado que la función es continua sabemos que hay un punto\(c \in [0,1]\) para que\(f(c) = 0\text{.}\)

Observe que aunque no hemos usado oraciones completas en nuestra explicación aquí, todavía estamos usando palabras. Tus matemáticas, a menos que sea un cálculo muy sencillo, deben contener palabras así como símbolos.

El cero de esta función se encuentra en aproximadamente\(x=0.4053883559\text{.}\)

El método de la bisección es realmente solo la idea de que podemos seguir repitiendo el razonamiento anterior (con una calculadora a mano). Cada iteración nos dirá la ubicación del cero con mayor precisión. El siguiente ejemplo ilustra esto.

Ejemplo 1.6.15 Usando el método de la bisección.

Utilice el método de bisección para encontrar un cero de

\ begin {align*} f (x) &= x-1+\ sin (\ pi x/2)\ end {align*}

que se encuentra entre\(0\) y\(1\text{.}\)

Entonces comenzamos con los dos puntos que elaboramos anteriormente:

• \(a=0, b=1\)y

  \ begin {align*} f (0) &= -1\\ f (1) &= 1\ end {align*}

• Prueba el punto en el medio\(x = \frac{0+1}{2} = 0.5\)

  \ begin {align*} f (0.5) &= 0.2071067813\ gt 0\ end {align*}

• Entonces nuestro nuevo intervalo será\([0,0.5]\) ya que la función es negativa en\(x=0\) y positiva en\(x=0.5\)

Repetir

• \(a=0, b=0.5\)dónde\(f(0) \lt 0\) y\(f(0.5) \gt 0\text{.}\)
• Prueba el punto en el medio\(x = \frac{0+0.5}{2} = 0.25\)

  \ begin {align*} f (0.25) &= -0.3673165675\ lt 0\ end {align*}

• Entonces nuestro nuevo intervalo será\([0.25,0.5]\) ya que la función es negativa en\(x=0.25\) y positiva en\(x=0.5\)

Repetir

• \(a=0.25, b=0.5\)dónde\(f(0.25) \lt 0\) y\(f(0.5) \gt 0\text{.}\)
• Pruebe el punto en el medio\(x = \frac{0.25+0.5}{2} = 0.375\)\ begin {align*} f (0.375) &= -0.0694297669\ lt 0\ end {align*}

• Entonces nuestro nuevo intervalo será\([0.375,0.5]\) ya que la función es negativa en\(x=0.375\) y positiva en\(x=0.5\)

A continuación se muestra una ilustración de lo que hemos observado hasta ahora junto con una gráfica de la función real.

Y una iteración final:

• \(a=0.375, b=0.5\)dónde\(f(0.375) \lt 0\) y\(f(0.5) \gt 0\text{.}\)
• Prueba el punto en el medio\(x = \frac{0.375+0.5}{2} = 0.4375\)

  \ begin {align*} f (0.4375) &= 0.0718932843\ gt 0\ end {align*}

• Entonces nuestro nuevo intervalo será\([0.375,0.4375]\) ya que la función es negativa en\(x=0.375\) y positiva en\(x=0.4375\)

Así que sin mucho trabajo conocemos la ubicación de un cero dentro de un rango de longitud\(0.0625 = 2^{-4}\text{.}\) Cada iteración va a reducir a la mitad la longitud del rango y seguimos adelante hasta llegar a la precisión que necesitamos, aunque es mucho más fácil programar una computadora para hacerlo.

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Da un ejemplo de una función (puedes escribir una fórmula, o dibujar una gráfica) que tiene infinitamente muchas discontinuidades infinitas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Cuando nací, tenía menos de un metro de altura. Ahora, tengo más de un metro de altura. ¿Cuál es la conclusión del Teorema del Valor Intermedio sobre mi estatura?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dar un ejemplo (por boceto o fórmula) de una función\(f(x)\text{,}\) definida en el intervalo\([0,2]\text{,}\) con\(f(0)=0\text{,}\)\(f(2)=2\text{,}\) y\(f(x)\) nunca igual a 1. ¿Por qué esto no contradice el Teorema del Valor Intermedio?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos que\(f\) es una función continua sobre\([10,20]\text{,}\)\(f(10)=13\text{,}\) y\(f(20)=-13\text{.}\) Entonces\(f\) tiene un cero entre\(x=10\) y\(x=20\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos que\(f\) es una función continua sobre\([10,20]\text{,}\)\(f(10)=13\text{,}\) y\(f(20)=-13\text{.}\) Entonces\(f(15)=0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

¿Es válida la siguiente declaración?

Supongamos que\(f\) es una función sobre\([10,20]\text{,}\)\(f(10)=13\text{,}\)\(f(20)=-13\text{,}\) y y\(f\) toma cada valor entre\(-13\) y\(13\text{.}\) Entonces\(f\) es continuo.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(f(t)\) es continuo en\(t=5\text{.}\) Verdadero o falso:\(t=5\) está en el dominio de\(f(t)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{,}\) y supongamos que\(f(t)\) es continuo en\(t=5\text{.}\) Verdadero o falso:\(f(5)=17\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{.}\) Verdadero o falso:\(f(5)=17\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Supongamos\(f(x)\) y\(g(x)\) son continuos en\(x=0\text{,}\) y vamos\(h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}\text{.}\) ¿Qué es\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} h(x)\text{?}\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Encuentra una constante\(k\) para que la función

\[ a(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{when } x \neq 0\\ k&\mbox{when }x=0 \end{array}\right. \nonumber \]

es continuo en\(x=0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Usa el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que la función\(f(x)=x^3+x^2+x+1\) toma el valor 12345 al menos una vez en su dominio.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)(✳)

Describa todos los puntos para los que la función es continua:\(f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)(✳)

Describa todos los puntos para los que esta función es continua:\(f(x)=\dfrac{1}{\sin x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)(✳)

Encuentre todos los valores de\(c\) tal que la siguiente función sea continua en\(x=c\text{:}\)

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x \gt c \end{array}\right. \nonumber \]

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)(✳)

Encuentra todos los valores de\(c\) tal manera que la siguiente función es continua en todas partes:

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x^2+c & x\ geq 0\\\ cos cx & x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)(✳)

Encuentra todos los valores de\(c\) tal que la siguiente función sea continua:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x \lt c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} \nonumber \]

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)(✳)

Encuentra todos los valores de\(c\) tal que la siguiente función sea continua:

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x \gt 2c \end{array}\right. \nonumber \]

Usa la definición de continuidad para justificar tu respuesta.

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Demostrar que existe al menos un número real\(x\) satisfactorio\(\sin x = x-1\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)(✳)

Demostrar que existe al menos un número real\(c\) tal que\(3^c=c^2\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)(✳)

Demostrar que existe al menos un número real\(c\) tal que\(2\tan(c)=c+1\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)(✳)

Demostrar que existe al menos un número real c tal que\(\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)(✳)

Demostrar que existe al menos un número real\(c\) tal que\(\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Utilice el teorema del valor intermedio para encontrar un intervalo de longitud uno que contenga una raíz de\(f(x)=x^7-15x^6+9x^2-18x+15\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Utilice el teorema del valor intermedio para dar una aproximación decimal de\(\sqrt[3]{7}\) que es correcta al menos a dos decimales. Puedes usar una calculadora, pero solo para sumar, restar, multiplicar y dividir.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Supongamos\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones que son continuas a lo largo del intervalo\([a,b]\text{,}\) con\(f(a) \leq g(a)\) y\(g(b)\leq f(b)\text{.}\) Mostrar que existe alguna\(c \in [a,b]\) con\(f(c)=g(c)\text{.}\)