1.5: Funciones exponenciales y logarítmicas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Identificar la forma de una función exponencial.
- Explicar la diferencia entre las gráficas dexb ybx.
- Reconocer la significación del númeroe.
- Identificar la forma de una función logarítmica.
- Explicar la relación entre funciones exponenciales y logarítmicas.
- Describir cómo calcular un logaritmo a una base diferente.
- Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficas e identidades básicas.
En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que involucran términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del númeroe. También definimos funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que involucran combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de Integraciones, y comprobamos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las definiciones.)
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales surgen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento poblacional. Por ejemplo, si una población comienza conP0 individuos y luego crece a una tasa anual de2%, su población después de 1 año es
P(1)=P0+0.02P0=P0(1+0.02)=P0(1.02).
Su población después de 2 años es
P(2)=P(1)+0.02P(1)=P(1)(1.02)=P0(1.02)2.
En general, su población después det años es
P(t)=P0(1.02)t,
que es una función exponencial. De manera más general, cualquier función de la formaf(x)=bxb>0, dondeb≠1,, es una función exponencial con baseb y exponente Las funcionesx. exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Tenga en cuenta que una función de la formaf(x)=xb para alguna constante nob es una función exponencial sino una función de potencia.
Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función de potencia, comparamos las funcionesy=x2 yy=2x. En Tabla1.5.1, vemos que tanto2x y sex2 acercan al infinito comox→∞. Eventualmente, sin embargo,2x se vuelve más grande quex2 y crece más rápidamente a medida quex→∞. En sentido contrario, comox→−∞,x2→∞, mientras2x→0. La líneay=0 es una asíntota horizontal paray=2x.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
2x | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
En la Figura1.5.1, graficamos ambosy=x2 yy=2x para mostrar en qué se diferencian las gráficas.

Evaluación de funciones exponenciales
Recordemos las propiedades de los exponentes: Six es un entero positivo, entonces definimosbx=b⋅b⋯b (conx factores deb). Six es un entero negativo, entoncesx=−y para algún entero positivoy, y definimosbx=b−y=1/by. También,b0 se define como que sea1. Six es un número racional, entoncesx=p/q, dondep yq son enteros ybx=bp/q=q√bp. Por ejemplo,93/2=√93=(√9)3=27. Sin embargo, ¿cómo sebx define six es un número irracional? Por ejemplo, ¿a qué nos referimos con2√2? Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responder plenamente ahora mismo; sin embargo, podemos hacer una aproximación.
x | 1.4 | 1.41 | 1.414 | 1.4142 | 1.41421 | 1.414213 |
---|---|---|---|---|---|---|
2x | 2.639 | 2.65737 | 2.66475 | 2.665119 | 2.665138 | 2.665143 |
En Tabla1.5.2, enumeramos algunos números racionales que se aproximan√2, y tambiénx se presentan los valores de2x para cada número racional. Afirmamos que si elegimos números racionalesx cada vez más cerca√2, los valores de cada vez se2x acercan más a algún númeroL. Definimos ese númeroL para que sea2√2.
Supongamos que se sabe que una población particular de bacterias se duplica en tamaño cada4 hora. Si un cultivo comienza con1000 bacterias, el número de bacterias después de4 horas esn(4)=1000⋅2. El número de bacterias después de8 horas esn(8)=n(4)⋅2=1000⋅22. En general, el número de bacterias después de4m horas esn(4m)=1000⋅2m. Dejandot=4m, vemos que el número de bacterias después de t horas esn(t)=1000⋅2t/4. Encuentra el número de bacterias después de610 horas, horas y24 horas.
Solución
El número de bacterias después de 6 horas viene dado por
n(6)=1000⋅26/4≈2828bacteria.
El número de bacterias después de10 horas viene dado por
n(10)=1000⋅210/4≈5657bacteria.
El número de bacterias después del24 horario es dado porn(24)=1000⋅26=64,000 bacterias.
Dada la función exponencialf(x)=100⋅3x/2, evaluarf(4) yf(10).
- Contestar
-
f(4)=900
f(10)=24,300.
Graficando Funciones Exponenciales
Para cualquier baseb>0,b≠1, la función exponencialf(x)=bx se define para todos los números realesx ybx>0. Por lo tanto, el dominio def(x)=bx es(−∞,∞) y el rango es(0,∞). Para graficarbx, observamos que parab>1,bx va aumentando en(−∞,∞) ybx→∞ comox→∞, mientras quebx→0 asx→−∞. Por otro lado, si0<b<1,f(x)=bx es decreciente sobre(−∞,∞) ybx→0 comox→∞ mientrasbx→∞ comox→−∞ (Figura1.5.2).

Tenga en cuenta que las funciones exponenciales satisfacen las leyes generales de los exponentes. Para recordarte estas leyes, las declaramos como reglas.
Para cualquier constantea>0,b>0, y para todosx yy,
- bx⋅by=bx+y
- bxby=bx−y
- (bx)y=bxy
- (ab)x=axbx
- axbx=(ab)x
Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones.
- (2x2/3)3(4x−1/3)2
- (x3y−1)2(xy2)−2
Soution
a. Podemos simplificar de la siguiente manera:
(2x2/3)3(4x−1/3)2=23(x2/3)342(x−1/3)2=8x216x−2/3=x2x2/32=x8/32.
b. Podemos simplificar de la siguiente manera:
(x3y−1)2(xy2)−2=(x3)2(y−1)2x−2(y2)−2=x6y−2x−2y−4=x6x2y−2y4=x8y2.
Utilice las leyes de los exponentes para simplificar6x−3y212x−4y5.
- Pista
-
xa/xb=xa−b
- Contestar
-
x/(2y3)
El número e
Un tipo especial de función exponencial aparece frecuentemente en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, considere el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorro. Supongamos que una persona invierteP dólares en una cuenta de ahorro con una tasa de interés anualr, agravada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es
A(1)=P+rP=P(1+r).
La cantidad de dinero después de2 años es
A(2)=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)2.
De manera más general, la cantidad después det años es
A(t)=P(1+r)t.
Si el dinero se compone 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es
A(12)=P+(r2)P=P(1+(r2)).
La cantidad de dinero tras1 año es
A(1)=A(12)+(r2)A(12)=P(1+r2)+r2((P(1+r2))=P(1+r2)2.
Después det años, la cantidad de dinero en la cuenta es
A(t)=P(1+r2)2t.
De manera más general, si el dinero se componen veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después det años viene dada por la función
A(t)=P(1+rn)nt.
Qué pasa comon→∞? Para responder a esta pregunta, dejamosm=n/r y escribimos
(1+rn)nt=(1+1m)mrt,
y examinar el comportamiento de(1+1/m)m asm→∞, utilizando una tabla de valores (Tabla1.5.3).
m | 10 | 100 | 1000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000 |
---|---|---|---|---|---|---|
(1+1m)m | 2.5937 | 2.7048 | 2.71692 | 2.71815 | 2.718268 | 2.718280 |
Al mirar esta mesa, parece que(1+1/m)m se está acercando a un número entre2.7 y2.8 comom→∞. De hecho,(1+1/m)m sí se acerca a algún número comom→∞. Llamamos a este númeroe. A seis decimales de precisión,
e≈2.718282.
La letrae fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entree y funciones logarítmicas. Todavía usamos la notacióne hoy en día para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos usarlo en muchas aplicaciones prácticas.
Volviendo a nuestro ejemplo de cuenta de ahorro, podemos concluir que si una persona poneP dólares en una cuenta a una tasa de interés anualr, agravada continuamente, entoncesA(t)=Pert. Esta función puede ser familiar. Dado que las funciones que involucran basee surgen a menudo en las aplicaciones, llamamos af(x)=ex la función la función exponencial natural. Esta función no sólo es interesante por la definición del númeroe, sino que también, como se discutirá a continuación, su gráfica tiene una propiedad importante.
Ya quee>1, sabemos quef(x)=ex va en aumento(−∞,∞). En la Figura1.5.3, se muestra una gráfica def(x)=ex junto con una línea tangente a la gráfica def atx=0. Damos una definición precisa de línea tangente en el siguiente capítulo; pero, informalmente, decimos que una línea tangente a una gráfica def atx=a es una línea que pasa por el punto(a,f(a)) y tiene la misma “pendiente” quef en ese punto. La funciónf(x)=ex es la única función exponencialbx con línea tangente en lax=0 que tiene una pendiente de1. Como vemos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más simple de usar en muchas instancias.

Supongamos que$500 se invierte en una cuenta a una tasa de interés anual der=5.5%, compuesto continuamente.
- Dejart denotar el número de años después de la inversión inicial yA(t) denotar la cantidad de dinero en la cuenta en el momentot. Encuentra una fórmula paraA(t).
- Encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después de10 años y después de20 años.
Solución
a. si losP dólares se invierten en una cuenta a una tasa de interés anualr, agravada continuamente, entoncesA(t)=Pert. AquíP=$500 yr=0.055. Por lo tanto,A(t)=500e0.055t.
b. Después de10 años, la cantidad de dinero en la cuenta es
A(10)=500e0.055⋅10=500e0.55≈$866.63.
Después de20 años, la cantidad de dinero en la cuenta es
A(20)=500e0.055⋅20=500e1.1≈$1,502.08.
Si$750 se invierte en una cuenta a una tasa de interés anual de4%, compuesto continuamente, encuentre una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después det años. Encuentra la cantidad de dinero después de30 años.
- Pista
-
A(t)=Pert
- Contestar
-
A(t)=750e0.04t. Después de30 años, habrá aproximadamente$2,490.09.
Funciones logarítmicas
Usando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversos, que son las funciones logarítmicas. Estos son útiles cuando necesitamos considerar cualquier fenómeno que varíe en un amplio rango de valores, como la escala de pH en química o decibelios en los niveles de sonido.
La función exponencialf(x)=bx es uno a uno, con dominio(−∞,∞) y rango(0,∞). Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada la función logarítmica con baseb. Para cualquierab>0,b≠1, la función logarítmica con baseb, denotadalogb, tiene dominio(0,∞) y rango(−∞,∞), y satisface
logb(x)=y
si y sólo siby=x.
Por ejemplo,
log2(8)=3
ya que23=8,
log10(1100)=−2
ya que10−2=1102=1100,
logb(1)=0
ya queb0=1 para cualquier baseb>0.
Además, dado quey=logb(x) yy=bx son funciones inversas,
logb(bx)=x
y
blogb(x)=x.
La función logarítmica más utilizada es la funciónloge. Dado que esta función utiliza naturale como base, se le llama logaritmo natural. Aquí usamos la notaciónln(x) olnx para significarloge(x). Por ejemplo,
ln(e)=loge(e)=1ln(e3)=loge(e3)=3ln(1)=loge(1)=0.
Dado que las funcionesf(x)=ex yg(x)=ln(x) son inversas unas de otras,
ln(ex)=xyelnx=x,
y sus gráficas son simétricas sobre la líneay=x (Figura1.5.4).

En general, para cualquier baseb>0,b≠1, la funcióng(x)=logb(x) es simétrica sobre la líneay=x con la funciónf(x)=bx. Usando este hecho y las gráficas de las funciones exponenciales, graficamos funcioneslogb para varios valores deb>1 (Figura1.5.5).

Antes de resolver algunas ecuaciones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, revisemos las propiedades básicas de los logaritmos.
Sia,b,c>0,b≠1, yr es cualquier número real, entonces
- Propiedad del producto
logb(ac)=logb(a)+logb(c)
- Propiedad del cociente
logb(ac)=logb(a)−logb(c)
- Propiedad de energía
logb(ar)=rlogb(a)
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones parax.
- 5x=2
- ex+6e−x=5
Solución
a. Aplicando la función de logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, tenemos
ln5x=ln2.
Usando la propiedad de poder de logaritmos,
xln5=ln2.
Por lo tanto,
x=ln2ln5.
b. Multiplicando ambos lados de la ecuación porex, llegamos a la ecuación
e2x+6=5ex.
Reescribir esta ecuación como
e2x−5ex+6=0,
entonces podemos reescribirlo como una ecuación cuadrática enex:
(ex)2−5(ex)+6=0.
Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática. Factorizando esta ecuación, obtenemos
(ex−3)(ex−2)=0.
Por lo tanto, las soluciones satisfacenex=3 yex=2. Tomar el logaritmo natural de ambos lados nos da las solucionesx=ln3,ln2.
Resolver
e2x/(3+e2x)=1/2.
- Pista
-
Primero resuelve la ecuación parae2x
- Contestar
-
x=ln32.
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones parax.
- ln(1x)=4
- log10√x+log10x=2
- ln(2x)−3ln(x2)=0
Solución
a. Por la definición de la función de logaritmo natural,
ln(1x)=4
- si y sólo sie4=1x.
Por lo tanto, la solución esx=1/e4.
b. Usando las propiedades product (Equation\ ref {productprop}) y power (Equation\ ref {powerprop}) de las funciones logarítmicas, reescriba el lado izquierdo de la ecuación como
log10√x+log10x=log10x√x=log10x3/2=32log10x.
Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como
32log10x=2
o
log10x=43.
La solución esx=104/3=103√10.
c. Usando la propiedad power (Ecuación\ ref {powerprop}) de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación comoln(2x)−ln(x6)=0.
Usando la propiedad cociente (Ecuación\ ref {quotientprop}), esto se convierte en
ln(2x5)=0
Por lo tanto2/x5=1,, lo que implicax=5√2. Entonces debemos verificar si hay alguna solución extraña.
Resolverln(x3)−4ln(x)=1.
- Pista
-
Primero use la propiedad power, luego use la propiedad product de logaritmos.
- Contestar
-
x=1e
Al evaluar una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones sonlog10 olog, llamado logaritmo común, oln, que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones de logaritmo se pueden expresar en términos de cualquier base deseadab. Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, primero puede aplicar las fórmulas de cambio de base. Usando este cambio de base, normalmente escribimos una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponenciales naturales y logarítmicas naturales.
Vamosa>0,b>0, ya≠1,b≠1.
1. ax=bxlogbapara cualquier número realx.
Sib=e, esta ecuación se reduce aax=exlogea=exlna.
2. logax=logbxlogbapara cualquier número realx>0.
Sib=e, esta ecuación se reduce alogax=lnxlna.
Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad power de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier baseb>0,b≠1,logb(ax)=xlogba. Por lo tanto,
blogb(ax)=bxlogba.
Además, lo sabemosbx ylogb(x) son funciones inversas. Por lo tanto,
blogb(ax)=ax.
Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos queax=bxlogba.
Para probar el segundo inmueble, demostramos que
(logba)⋅(logax)=logbx.
Vamosu=logba,v=logax, yw=logbx. Eso lo demostraremosu⋅v=w. Por la definición de funciones logarítmicas, lo sabemosbu=a,av=x, ybw=x. De las ecuaciones anteriores, vemos que
buv=(bu)v=av=x=bw.
Por lo tanto,buv=bw. Dado que las funciones exponenciales son uno a uno, podemos concluir queu⋅v=w.
◻
Utilice una utilidad de cálculo para evaluarlog37 con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente.
Solución
Utilice la segunda ecuación cona=3 yb=e:log37=ln7ln3≈1.77124.
Utilice la fórmula de cambio de base y una utilidad de cálculo para evaluarlog46.
- Pista
-
Utilice el cambio de base para reescribir esta expresión en términos de expresiones que involucran la función de logaritmo natural.
- Contestar
-
log46=ln6ln4≈1.29248
En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como la escala de Richter) para medir la magnitud de un terremoto. La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente manera: Considere un sismo con magnitudR1 en la escala de Richter y un segundo terremoto con magnitudR2 en la escala de Richter. SupongamosR1>R2, lo que significa que el sismo de magnitudR1 es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro sismo?

Una manera de medir la intensidad de un sismo es mediante el uso de un sismógrafo para medir la amplitud de las olas sísmicas. SiA1 es la amplitud medida para el primer sismo yA2 es la amplitud medida para el segundo sismo, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos sismos satisfacen la siguiente ecuación:
R1−R2=log10(A1A2).
Considera un sismo que mide 8 en la escala de Richter y un sismo que mide 7 en la escala de Richter. Entonces,
8−7=log10(A1A2).
Por lo tanto,
log10(A1A2)=1,
lo que implicaA1/A2=10 oA1=10A2. Ya queA1 es 10 veces el tamaño deA2, decimos que el primer sismo es 10 veces más intenso que el segundo sismo. Por otro lado, si un sismo mide 8 en la escala de Richter y otro mide 6, entonces la intensidad relativa de los dos sismos satisface la ecuación
log10(A1A2)=8−6=2.
Por lo tanto,A1=100A2 .Es decir, el primer sismo es 100 veces más intenso que el segundo sismo.
¿Cómo podemos usar funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7.3 en Haití en 2010?
Solución
Para comparar los sismos de Japón y Haití, podemos usar una ecuación presentada anteriormente:
9−7.3=log10(A1A2).
Por lo tantoA1/A2=101.7,, y concluimos que el sismo en Japón fue aproximadamente 50 veces más intenso que el sismo en Haití.
Comparar la gravedad relativa de un8.4 sismo de magnitud con un7.4 sismo de magnitud.
- Pista
-
R1−R2=log10(A1/A2).
- Contestar
-
El8.4 sismo de magnitud es aproximadamente10 veces más o menos tan severo como el7.4 terremoto de magnitud.
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones deex ye−x. Estas funciones surgen naturalmente en diversas aplicaciones de ingeniería y física, incluyendo el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común para una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria (Figura1.5.7). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largoy del eje, podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. Primero, definimos las funciones hiperbólicas.

Coseno hiperbólico
coshx=ex+e−x2
Seno hiperbólico
sinhx=ex−e−x2
Tangente hiperbólica
tanhx=sinhxcoshx=ex−e−xex+e−x
Cosecante hiperbólico
cschx=1sinhx=2ex−e−x
Secante hiperbólica
sechx=1coshx=2ex+e−x
Cotangente hiperbólica
cothx=coshxsinhx=ex+e−xex−e−x
El nombrecosh rima con “dios”, mientras que el nombresinh se pronuncia “cincha”. Tanh,sech,csch,ycoth se pronuncian “tanch”, “seech”, “coseech” y “cotanch”, respectivamente.
Utilizando la definicióncosh(x) y principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la de la Figura1.5.8, puede ser descrita por la funciónh(x)=acosh(x/a)+c para ciertas constantesa yc.
Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas? Para responder a esta pregunta, considere la cantidadcosh2t−sinh2t. Usando la definición decosh ysinh, vemos que
cosh2t−sinh2t=e2t+2+e−2t4−e2t−2+e−2t4=1.
Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométricacos2t+sin2t=1. Aquí, dado un valort, el punto(x,y)=(cosht,sinht) se encuentra en la hipérbola unitariax2−y2=1 (Figura1.5.8).

Gráficas de Funciones Hiperbólicas
Para graficarcoshx ysinhx, hacemos uso del hecho de que ambas funciones se acercan(1/2)ex comox→∞, ya quee−x→0 comox→∞. Comox→−∞,coshx enfoques1/2e−x, mientras quesinhx enfoques−1/2e−x. Por lo tanto, utilizando las gráficas de1/2ex,1/2e−x, y−1/2e−x como guías, graficamoscoshx ysinhx. Para graficartanhx, utilizamos el hecho de quetanh(0)=0,−1<tanh(x)<1 para todosx,tanhx→1 comox→∞, ytanhx→−1 comox→−∞. Las gráficas de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden esbozar utilizando las gráficas decoshxsinhx, ytanhx (Figura1.5.9).

Identidades que involucran funciones hiperbólicas
La identidadcosh2t−sinh2t=1, mostrada en la Figura1.5.8, es una de varias identidades que involucran las funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las primeras cuatro propiedades se derivan fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Excepto por algunas diferencias en los signos, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades para funciones trigonométricas.
- cosh(−x)=coshx
- sinh(−x)=−sinhx
- coshx+sinhx=ex
- coshx−sinhx=e−x
- cosh2x−sinh2x=1
- 1−tanh2x=sech2x
- coth2x−1=csch2x
- sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy
- cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy
- Simplificarsinh(5lnx).
- Sisinhx=3/4, encuentra los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes.
Solución:
a. Usando la definición de lasinh función, escribimos
sinh(5lnx)=e5lnx−e−5lnx2=eln(x5)−eln(x−5)2=x5−x−52.
b. Utilizando la identidadcosh2x−sinh2x=1, vemos que
cosh2x=1+(34)2=2516.
Ya quecoshx≥1 para todosx, debemos tenercoshx=5/4. Luego, usando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos quetanhx=3/5,cschx=4/3,sechx=4/5, ycothx=5/3.
Simplificarcosh(2lnx).
- Pista
-
Utilice la definición de lacosh función y la propiedad power de las funciones logaritmo.
- Contestar
-
(x2+x−2)/2
Funciones hiperbólicas inversas
A partir de las gráficas de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son uno-a-uno exceptocoshx ysechx. Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo[0,∞), entonces todas las funciones hiperbólicas son uno a uno, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas en sí mismas involucran funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas involucran funciones logarítmicas.
\ [\ begin {align*} &\ sinh^ {−1} x =\ nombreoperador {arcsinh} x=\ ln\ izquierda (x+\ sqrt {x^2+1}\ derecha) &\ cosh^ {−1} x =\ nombreoperador {arccosh} x=\ ln\ izquierda (x+\ sqrt {x^2−1}\ derecha)\ [4pt]
&\ tanh^ {−1} x=\ nombreoperador {arctanh} x=\ dfrac {1} {2}\ ln\ izquierda (\ dfrac {1+x} {1−x}\ derecha) &\ coth^ {−1} x =\ nombreoperador {arccot} x=\ frac {1} {2}\ ln\ izquierda (\ dfrac {x+1} {x−1}\ derecha)\\ [4pt]
&\ nombreoperador {sech} ^ {−1} x=\ nombreoperador {arcsech} x=\ ln\ izquierda (\ dfrac {1+\ sqrt {1−x^2} {x}\ derecha) &\ nombreoperador {csch} ^ {−1} x=\ nombreoperador {arccsch} x=\ ln\ izquierda (\ dfrac {1} {x} +\ dfrac {\ sqrt {1+x^2}} {|x|}\ derecha)\ end { alinear*}\]
Veamos cómo derivar la primera ecuación. Los demás siguen de manera similar. Supongamosy=sinh−1x. Entonces,x=sinhy y, por la definición de la función sinusoidal hiperbólica,x=ey−e−y2. Por lo tanto,
ey−2x−e−y=0.
Multiplicando esta ecuación porey, obtenemos
e2y−2xey−1=0.
Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución
ey=2x±√4x2+42=x±√x2+1.
Ya queey>0, la única solución es la que tiene el signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que
y=ln(x+√x2+1).
Evalúe cada una de las siguientes expresiones.
sinh−1(2)
tanh−1(1/4)
Solución:
sinh−1(2)=ln(2+√22+1)=ln(2+√5)≈1.4436
tanh−1(1/4)=12ln(1+1/41−1/4)=12ln(5/43/4)=12ln(53)≈0.2554
Evaluartanh−1(1/2).
- Pista
-
Utilice la definición detanh−1x y simplifique.
- Contestar
-
12ln(3)≈0.5493.
Conceptos clave
- La función exponencialy=bx está aumentando sib>1 y disminuyendo si0<b<1. Su dominio es(−∞,∞) y su rango es(0,∞).
- La función logarítmicay=logb(x) es la inversa dey=bx. Su dominio es(0,∞) y su rango es(−∞,∞).
- La función exponencial natural esy=ex y la función logarítmica natural esy=lnx=logex.
- Dada una función exponencial o función logarítmica en basea, podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier baseb>0, normalmenteb≠1. convertimos a basee.
- Las funciones hiperbólicas implican combinaciones de las funciones exponencialesex ye−x. como resultado, las funciones hiperbólicas inversas involucran el logaritmo natural.
Glosario
- base
- el númerob en la función exponencialf(x)=bx y la función logarítmicaf(x)=logbx
- exponente
- el valorx en la expresiónbx
- funciones hiperbólicas
- las funciones denotadassinh,cosh,tanh,csch,sech, ycoth, que implican ciertas combinaciones deex ye−x
- funciones hiperbólicas inversas
- las inversas de las funciones hiperbólicas dondecosh ysech están restringidas al dominio[0,∞); cada una de estas funciones se puede expresar en términos de una composición de la función logaritmo natural y una función algebraica
- función exponencial natural
- la funciónf(x)=ex
- logaritmo natural
- la funciónlnx=logex
- número e
- a medida quem aumenta, la cantidad(1+(1/m)m se acerca a algún número real; definimos ese número real para que seae; el valor dee es aproximadamente2.718282