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1.5: Funciones exponenciales y logarítmicas

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Identificar la forma de una función exponencial.
  • Explicar la diferencia entre las gráficas dexb ybx.
  • Reconocer la significación del númeroe.
  • Identificar la forma de una función logarítmica.
  • Explicar la relación entre funciones exponenciales y logarítmicas.
  • Describir cómo calcular un logaritmo a una base diferente.
  • Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficas e identidades básicas.

En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que involucran términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del númeroe. También definimos funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que involucran combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de Integraciones, y comprobamos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las definiciones.)

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales surgen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento poblacional. Por ejemplo, si una población comienza conP0 individuos y luego crece a una tasa anual de2%, su población después de 1 año es

P(1)=P0+0.02P0=P0(1+0.02)=P0(1.02).

Su población después de 2 años es

P(2)=P(1)+0.02P(1)=P(1)(1.02)=P0(1.02)2.

En general, su población después det años es

P(t)=P0(1.02)t,

que es una función exponencial. De manera más general, cualquier función de la formaf(x)=bxb>0, dondeb1,, es una función exponencial con baseb y exponente Las funcionesx. exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Tenga en cuenta que una función de la formaf(x)=xb para alguna constante nob es una función exponencial sino una función de potencia.

Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función de potencia, comparamos las funcionesy=x2 yy=2x. En Tabla1.5.1, vemos que tanto2x y sex2 acercan al infinito comox. Eventualmente, sin embargo,2x se vuelve más grande quex2 y crece más rápidamente a medida quex. En sentido contrario, comox,x2, mientras2x0. La líneay=0 es una asíntota horizontal paray=2x.

Mesa1.5.1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64

En la Figura1.5.1, graficamos ambosy=x2 yy=2x para mostrar en qué se diferencian las gráficas.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -10 a 10 y el eje y va de 0 a 50. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “y = x cuadrado”, que es una parábola. La función disminuye hasta que golpea el origen y luego comienza a aumentar. La segunda función es “y = 2 a la potencia de x”, que comienza ligeramente por encima del eje x, y comienza a aumentar muy rápidamente, más rápidamente que la primera función.
Figura1.5.1: Ambos2x yx2 acercarse al infinito comox, pero2x crece más rápidamente quex2. Comox,x2, mientras que2x0.

Evaluación de funciones exponenciales

Recordemos las propiedades de los exponentes: Six es un entero positivo, entonces definimosbx=bbb (conx factores deb). Six es un entero negativo, entoncesx=y para algún entero positivoy, y definimosbx=by=1/by. También,b0 se define como que sea1. Six es un número racional, entoncesx=p/q, dondep yq son enteros ybx=bp/q=qbp. Por ejemplo,93/2=93=(9)3=27. Sin embargo, ¿cómo sebx define six es un número irracional? Por ejemplo, ¿a qué nos referimos con22? Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responder plenamente ahora mismo; sin embargo, podemos hacer una aproximación.

Tabla1.5.2: Valores de2x para una lista de números racionales aproximados2
x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213
2x 2.639 2.65737 2.66475 2.665119 2.665138 2.665143

En Tabla1.5.2, enumeramos algunos números racionales que se aproximan2, y tambiénx se presentan los valores de2x para cada número racional. Afirmamos que si elegimos números racionalesx cada vez más cerca2, los valores de cada vez se2x acercan más a algún númeroL. Definimos ese númeroL para que sea22.

Ejemplo1.5.1: Bacterial Growth

Supongamos que se sabe que una población particular de bacterias se duplica en tamaño cada4 hora. Si un cultivo comienza con1000 bacterias, el número de bacterias después de4 horas esn(4)=10002. El número de bacterias después de8 horas esn(8)=n(4)2=100022. En general, el número de bacterias después de4m horas esn(4m)=10002m. Dejandot=4m, vemos que el número de bacterias después de t horas esn(t)=10002t/4. Encuentra el número de bacterias después de610 horas, horas y24 horas.

Solución

El número de bacterias después de 6 horas viene dado por

n(6)=100026/42828bacteria.

El número de bacterias después de10 horas viene dado por

n(10)=1000210/45657bacteria.

El número de bacterias después del24 horario es dado porn(24)=100026=64,000 bacterias.

Ejercicio1.5.1

Dada la función exponencialf(x)=1003x/2, evaluarf(4) yf(10).

Contestar

f(4)=900

f(10)=24,300.

Graficando Funciones Exponenciales

Para cualquier baseb>0,b1, la función exponencialf(x)=bx se define para todos los números realesx ybx>0. Por lo tanto, el dominio def(x)=bx es(,) y el rango es(0,). Para graficarbx, observamos que parab>1,bx va aumentando en(,) ybx comox, mientras quebx0 asx. Por otro lado, si0<b<1,f(x)=bx es decreciente sobre(,) ybx0 comox mientrasbx comox (Figura1.5.2).

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. La gráfica es de cuatro funciones. La primera función es “f (x) = 2 a la potencia de x”, una función curva creciente, que comienza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar. La segunda función es “f (x) = 4 a la potencia de x”, una función curva creciente, que comienza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente, más rápidamente que la primera función. La tercera función es “f (x) = (1/2) a la potencia de x”, una función curva decreciente con disminuciones hasta que se acerca al eje x sin tocarlo. La tercera función es “f (x) = (1/4) a la potencia de x”, una función curva decreciente con disminuciones hasta que se acerca al eje x sin tocarlo. Se descrasa a un ritmo más rápido que la tercera función.
Figura1.5.2: Sib>1, entoncesbx está aumentando en(,). Si0<b<1, entoncesbx está disminuyendo en(,).

Tenga en cuenta que las funciones exponenciales satisfacen las leyes generales de los exponentes. Para recordarte estas leyes, las declaramos como reglas.

Leyes de los exponentes

Para cualquier constantea>0,b>0, y para todosx yy,

  1. bxby=bx+y
  2. bxby=bxy
  3. (bx)y=bxy
  4. (ab)x=axbx
  5. axbx=(ab)x
Ejemplo1.5.2: Using the Laws of Exponents

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones.

  1. (2x2/3)3(4x1/3)2
  2. (x3y1)2(xy2)2

Soution

a. Podemos simplificar de la siguiente manera:

(2x2/3)3(4x1/3)2=23(x2/3)342(x1/3)2=8x216x2/3=x2x2/32=x8/32.

b. Podemos simplificar de la siguiente manera:

(x3y1)2(xy2)2=(x3)2(y1)2x2(y2)2=x6y2x2y4=x6x2y2y4=x8y2.

Ejercicio1.5.2

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar6x3y212x4y5.

Pista

xa/xb=xab

Contestar

x/(2y3)

El número e

Un tipo especial de función exponencial aparece frecuentemente en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, considere el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorro. Supongamos que una persona invierteP dólares en una cuenta de ahorro con una tasa de interés anualr, agravada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es

A(1)=P+rP=P(1+r).

La cantidad de dinero después de2 años es

A(2)=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)2.

De manera más general, la cantidad después det años es

A(t)=P(1+r)t.

Si el dinero se compone 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es

A(12)=P+(r2)P=P(1+(r2)).

La cantidad de dinero tras1 año es

A(1)=A(12)+(r2)A(12)=P(1+r2)+r2((P(1+r2))=P(1+r2)2.

Después det años, la cantidad de dinero en la cuenta es

A(t)=P(1+r2)2t.

De manera más general, si el dinero se componen veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después det años viene dada por la función

A(t)=P(1+rn)nt.

Qué pasa comon? Para responder a esta pregunta, dejamosm=n/r y escribimos

(1+rn)nt=(1+1m)mrt,

y examinar el comportamiento de(1+1/m)m asm, utilizando una tabla de valores (Tabla1.5.3).

Tabla1.5.3: Valores de(1+1m)m asm
m 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
(1+1m)m 2.5937 2.7048 2.71692 2.71815 2.718268 2.718280

Al mirar esta mesa, parece que(1+1/m)m se está acercando a un número entre2.7 y2.8 comom. De hecho,(1+1/m)m sí se acerca a algún número comom. Llamamos a este númeroe. A seis decimales de precisión,

e2.718282.

Leonhard Euler

La letrae fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entree y funciones logarítmicas. Todavía usamos la notacióne hoy en día para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos usarlo en muchas aplicaciones prácticas.

Volviendo a nuestro ejemplo de cuenta de ahorro, podemos concluir que si una persona poneP dólares en una cuenta a una tasa de interés anualr, agravada continuamente, entoncesA(t)=Pert. Esta función puede ser familiar. Dado que las funciones que involucran basee surgen a menudo en las aplicaciones, llamamos af(x)=ex la función la función exponencial natural. Esta función no sólo es interesante por la definición del númeroe, sino que también, como se discutirá a continuación, su gráfica tiene una propiedad importante.

Ya quee>1, sabemos quef(x)=ex va en aumento(,). En la Figura1.5.3, se muestra una gráfica def(x)=ex junto con una línea tangente a la gráfica def atx=0. Damos una definición precisa de línea tangente en el siguiente capítulo; pero, informalmente, decimos que una línea tangente a una gráfica def atx=a es una línea que pasa por el punto(a,f(a)) y tiene la misma “pendiente” quef en ese punto. La funciónf(x)=ex es la única función exponencialbx con línea tangente en lax=0 que tiene una pendiente de1. Como vemos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más simple de usar en muchas instancias.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. La gráfica es de la función “f (x) = e a la potencia de x”, una función curva creciente que inicia ligeramente por encima del eje x. La intercepción y está en el punto (0, 1). En este punto, se dibuja una línea tangente a la función. Esta línea tiene la etiqueta “pendiente = 1”.
Figura1.5.3: La gráfica def(x)=ex tiene una línea tangente con pendiente1 enx=0.
Ejemplo1.5.3: Compounding Interest

Supongamos que$500 se invierte en una cuenta a una tasa de interés anual der=5.5%, compuesto continuamente.

  1. Dejart denotar el número de años después de la inversión inicial yA(t) denotar la cantidad de dinero en la cuenta en el momentot. Encuentra una fórmula paraA(t).
  2. Encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después de10 años y después de20 años.

Solución

a. si losP dólares se invierten en una cuenta a una tasa de interés anualr, agravada continuamente, entoncesA(t)=Pert. AquíP=$500 yr=0.055. Por lo tanto,A(t)=500e0.055t.

b. Después de10 años, la cantidad de dinero en la cuenta es

A(10)=500e0.05510=500e0.55$866.63.

Después de20 años, la cantidad de dinero en la cuenta es

A(20)=500e0.05520=500e1.1$1,502.08.

Ejercicio1.5.3

Si$750 se invierte en una cuenta a una tasa de interés anual de4%, compuesto continuamente, encuentre una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después det años. Encuentra la cantidad de dinero después de30 años.

Pista

A(t)=Pert

Contestar

A(t)=750e0.04t. Después de30 años, habrá aproximadamente$2,490.09.

Funciones logarítmicas

Usando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversos, que son las funciones logarítmicas. Estos son útiles cuando necesitamos considerar cualquier fenómeno que varíe en un amplio rango de valores, como la escala de pH en química o decibelios en los niveles de sonido.

La función exponencialf(x)=bx es uno a uno, con dominio(,) y rango(0,). Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada la función logarítmica con baseb. Para cualquierab>0,b1, la función logarítmica con baseb, denotadalogb, tiene dominio(0,) y rango(,), y satisface

logb(x)=y

si y sólo siby=x.

Por ejemplo,

log2(8)=3

ya que23=8,

log10(1100)=2

ya que102=1102=1100,

logb(1)=0

ya queb0=1 para cualquier baseb>0.

Además, dado quey=logb(x) yy=bx son funciones inversas,

logb(bx)=x

y

blogb(x)=x.

La función logarítmica más utilizada es la funciónloge. Dado que esta función utiliza naturale como base, se le llama logaritmo natural. Aquí usamos la notaciónln(x) olnx para significarloge(x). Por ejemplo,

ln(e)=loge(e)=1ln(e3)=loge(e3)=3ln(1)=loge(1)=0.

Dado que las funcionesf(x)=ex yg(x)=ln(x) son inversas unas de otras,

ln(ex)=xyelnx=x,

y sus gráficas son simétricas sobre la líneay=x (Figura1.5.4).

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -3 a 4. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = e a la potencia de x”, una función curva creciente que comienza ligeramente por encima del eje x. La intercepción y está en el punto (0, 1) y no hay intercepción x. La segunda función es “f (x) = ln (x)”, una función curva creciente. La intercepción x está en el punto (1, 0) y no hay intercepción y. También se traza una línea punteada con etiqueta “y = x” en la gráfica, para mostrar que las funciones son imágenes especulares sobre esta línea.
Figura1.5.4: Las funcionesy=ex yy=ln(x) son inversas entre sí, por lo que sus gráficas son simétricas alrededor de la líneay=x.

En general, para cualquier baseb>0,b1, la funcióng(x)=logb(x) es simétrica sobre la líneay=x con la funciónf(x)=bx. Usando este hecho y las gráficas de las funciones exponenciales, graficamos funcioneslogb para varios valores deb>1 (Figura1.5.5).

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. La gráfica es de tres funciones. Las tres funciones a log funciones que están aumentando las funciones curvas que comienzan ligeramente a la derecha del eje y y tienen una intercepción x en (1, 0). La primera función es “y = log base 10 (x)”, la segunda función es “f (x) = ln (x)”, y la tercera función es “y = log base 2 (x)”. La tercera función aumenta más rápidamente, la segunda función aumenta la siguiente más rápidamente y la tercera función aumenta la más lenta.
Figura1.5.5: Las gráficas dey=logb(x) se representan parab=2,e,10.

Antes de resolver algunas ecuaciones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, revisemos las propiedades básicas de los logaritmos.

Propiedades de logaritmos

Sia,b,c>0,b1, yr es cualquier número real, entonces

  • Propiedad del producto

logb(ac)=logb(a)+logb(c)

  • Propiedad del cociente

logb(ac)=logb(a)logb(c)

  • Propiedad de energía

logb(ar)=rlogb(a)

Ejemplo1.5.4: Solving Equations Involving Exponential Functions

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones parax.

  1. 5x=2
  2. ex+6ex=5

Solución

a. Aplicando la función de logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, tenemos

ln5x=ln2.

Usando la propiedad de poder de logaritmos,

xln5=ln2.

Por lo tanto,

x=ln2ln5.

b. Multiplicando ambos lados de la ecuación porex, llegamos a la ecuación

e2x+6=5ex.

Reescribir esta ecuación como

e2x5ex+6=0,

entonces podemos reescribirlo como una ecuación cuadrática enex:

(ex)25(ex)+6=0.

Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática. Factorizando esta ecuación, obtenemos

(ex3)(ex2)=0.

Por lo tanto, las soluciones satisfacenex=3 yex=2. Tomar el logaritmo natural de ambos lados nos da las solucionesx=ln3,ln2.

Ejercicio1.5.4

Resolver

e2x/(3+e2x)=1/2.

Pista

Primero resuelve la ecuación parae2x

Contestar

x=ln32.

Ejemplo1.5.5: Solving Equations Involving Logarithmic Functions

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones parax.

  1. ln(1x)=4
  2. log10x+log10x=2
  3. ln(2x)3ln(x2)=0

Solución

a. Por la definición de la función de logaritmo natural,

ln(1x)=4

  • si y sólo sie4=1x.

Por lo tanto, la solución esx=1/e4.

b. Usando las propiedades product (Equation\ ref {productprop}) y power (Equation\ ref {powerprop}) de las funciones logarítmicas, reescriba el lado izquierdo de la ecuación como

log10x+log10x=log10xx=log10x3/2=32log10x.

Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como

32log10x=2

o

log10x=43.

La solución esx=104/3=10310.

c. Usando la propiedad power (Ecuación\ ref {powerprop}) de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación comoln(2x)ln(x6)=0.

Usando la propiedad cociente (Ecuación\ ref {quotientprop}), esto se convierte en

ln(2x5)=0

Por lo tanto2/x5=1,, lo que implicax=52. Entonces debemos verificar si hay alguna solución extraña.

Ejercicio1.5.5

Resolverln(x3)4ln(x)=1.

Pista

Primero use la propiedad power, luego use la propiedad product de logaritmos.

Contestar

x=1e

Al evaluar una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones sonlog10 olog, llamado logaritmo común, oln, que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones de logaritmo se pueden expresar en términos de cualquier base deseadab. Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, primero puede aplicar las fórmulas de cambio de base. Usando este cambio de base, normalmente escribimos una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponenciales naturales y logarítmicas naturales.

Regla: Fórmulas de cambio de base

Vamosa>0,b>0, ya1,b1.

1. ax=bxlogbapara cualquier número realx.

Sib=e, esta ecuación se reduce aax=exlogea=exlna.

2. logax=logbxlogbapara cualquier número realx>0.

Sib=e, esta ecuación se reduce alogax=lnxlna.

Prueba

Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad power de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier baseb>0,b1,logb(ax)=xlogba. Por lo tanto,

blogb(ax)=bxlogba.

Además, lo sabemosbx ylogb(x) son funciones inversas. Por lo tanto,

blogb(ax)=ax.

Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos queax=bxlogba.

Para probar el segundo inmueble, demostramos que

(logba)(logax)=logbx.

Vamosu=logba,v=logax, yw=logbx. Eso lo demostraremosuv=w. Por la definición de funciones logarítmicas, lo sabemosbu=a,av=x, ybw=x. De las ecuaciones anteriores, vemos que

buv=(bu)v=av=x=bw.

Por lo tanto,buv=bw. Dado que las funciones exponenciales son uno a uno, podemos concluir queuv=w.

Ejemplo1.5.6: Changing Bases

Utilice una utilidad de cálculo para evaluarlog37 con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente.

Solución

Utilice la segunda ecuación cona=3 yb=e:log37=ln7ln31.77124.

Ejercicio1.5.6

Utilice la fórmula de cambio de base y una utilidad de cálculo para evaluarlog46.

Pista

Utilice el cambio de base para reescribir esta expresión en términos de expresiones que involucran la función de logaritmo natural.

Contestar

log46=ln6ln41.29248

Ejemplo1.5.7: The Richter Scale for Earthquakes

En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como la escala de Richter) para medir la magnitud de un terremoto. La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente manera: Considere un sismo con magnitudR1 en la escala de Richter y un segundo terremoto con magnitudR2 en la escala de Richter. SupongamosR1>R2, lo que significa que el sismo de magnitudR1 es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro sismo?

Una fotografía de una falla sísmica.
Figura1.5.6: (crédito: modificación de obra de Robb Hannawacker, NPS)

Una manera de medir la intensidad de un sismo es mediante el uso de un sismógrafo para medir la amplitud de las olas sísmicas. SiA1 es la amplitud medida para el primer sismo yA2 es la amplitud medida para el segundo sismo, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos sismos satisfacen la siguiente ecuación:

R1R2=log10(A1A2).

Considera un sismo que mide 8 en la escala de Richter y un sismo que mide 7 en la escala de Richter. Entonces,

87=log10(A1A2).

Por lo tanto,

log10(A1A2)=1,

lo que implicaA1/A2=10 oA1=10A2. Ya queA1 es 10 veces el tamaño deA2, decimos que el primer sismo es 10 veces más intenso que el segundo sismo. Por otro lado, si un sismo mide 8 en la escala de Richter y otro mide 6, entonces la intensidad relativa de los dos sismos satisface la ecuación

log10(A1A2)=86=2.

Por lo tanto,A1=100A2 .Es decir, el primer sismo es 100 veces más intenso que el segundo sismo.

¿Cómo podemos usar funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7.3 en Haití en 2010?

Solución

Para comparar los sismos de Japón y Haití, podemos usar una ecuación presentada anteriormente:

97.3=log10(A1A2).

Por lo tantoA1/A2=101.7,, y concluimos que el sismo en Japón fue aproximadamente 50 veces más intenso que el sismo en Haití.

Ejercicio1.5.7

Comparar la gravedad relativa de un8.4 sismo de magnitud con un7.4 sismo de magnitud.

Pista

R1R2=log10(A1/A2).

Contestar

El8.4 sismo de magnitud es aproximadamente10 veces más o menos tan severo como el7.4 terremoto de magnitud.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones deex yex. Estas funciones surgen naturalmente en diversas aplicaciones de ingeniería y física, incluyendo el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común para una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria (Figura1.5.7). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largoy del eje, podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. Primero, definimos las funciones hiperbólicas.

Una fotografía de una telaraña recogiendo gotas de rocío.
Figura:La1.5.7 forma de un hilo de seda en una tela de araña se puede describir en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes con solo su propio peso. (crédito: “Mtpaley”, Wikimedia Commons)
Definiciones: funciones hiperbólicas

Coseno hiperbólico

coshx=ex+ex2

Seno hiperbólico

sinhx=exex2

Tangente hiperbólica

tanhx=sinhxcoshx=exexex+ex

Cosecante hiperbólico

cschx=1sinhx=2exex

Secante hiperbólica

sechx=1coshx=2ex+ex

Cotangente hiperbólica

cothx=coshxsinhx=ex+exexex

El nombrecosh rima con “dios”, mientras que el nombresinh se pronuncia “cincha”. Tanh,sech,csch,ycoth se pronuncian “tanch”, “seech”, “coseech” y “cotanch”, respectivamente.

Utilizando la definicióncosh(x) y principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la de la Figura1.5.8, puede ser descrita por la funciónh(x)=acosh(x/a)+c para ciertas constantesa yc.

Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas? Para responder a esta pregunta, considere la cantidadcosh2tsinh2t. Usando la definición decosh ysinh, vemos que

cosh2tsinh2t=e2t+2+e2t4e2t2+e2t4=1.

Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométricacos2t+sin2t=1. Aquí, dado un valort, el punto(x,y)=(cosht,sinht) se encuentra en la hipérbola unitariax2y2=1 (Figura1.5.8).

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -1 a 3 y el eje y va de -3 a 3. La gráfica es de la relación “(x al cuadrado) - (y al cuadrado) -1”. El punto más a la izquierda de la relación está en la intercepción x, que está en el punto (1, 0). A partir de este punto la relación aumenta y disminuye en las curvas a medida que aumenta x. Esta relación se conoce como hipérbola y se asemeja a una forma de “U” lateral. Hay un punto trazado en la gráfica de la relación etiquetada “(cosh (1), sinh (1))”, que se encuentra en el punto aproximado (1.5, 1.2).
Figura1.5.8: La hipérbola unitariacosh2tsinh2t=1.

Gráficas de Funciones Hiperbólicas

Para graficarcoshx ysinhx, hacemos uso del hecho de que ambas funciones se acercan(1/2)ex comox, ya queex0 comox. Comox,coshx enfoques1/2ex, mientras quesinhx enfoques1/2ex. Por lo tanto, utilizando las gráficas de1/2ex,1/2ex, y1/2ex como guías, graficamoscoshx ysinhx. Para graficartanhx, utilizamos el hecho de quetanh(0)=0,1<tanh(x)<1 para todosx,tanhx1 comox, ytanhx1 comox. Las gráficas de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden esbozar utilizando las gráficas decoshxsinhx, ytanhx (Figura1.5.9).

Una imagen de seis gráficas. Cada gráfica tiene un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -4 a 4. La primera gráfica es de la función “y = cosh (x)”, que es una hipérbola. La función disminuye hasta llegar al punto (0, 1), donde comienza a aumentar. También hay dos funciones que sirven como límite para esta función. La primera de estas funciones es “y = (1/2) (e a potencia de -x)”, una función curva decreciente y la segunda de estas funciones es “y = (1/2) (e a potencia de x)”, una función curva creciente. La función “y = cosh (x)” siempre está por encima de estas dos funciones sin tocarlas nunca. La segunda gráfica es de la función “y = sinh (x)”, que es una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven como límite para esta función. La primera de estas funciones es “y = (1/2) (e a potencia de x)”, una función curva creciente y la segunda de estas funciones es “y = - (1/2) (e a potencia de -x)”, una función curva creciente que se acerca al eje x sin tocarlo. La función “y = sinh (x)” siempre está entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. La tercera gráfica es de la función “y = sech (x)”, que aumenta hasta el punto (0, 1), donde comienza a disminuir. La gráfica de la función tiene una joroba. La cuarta gráfica es de la función “y = csch (x)”. En el lado izquierdo del eje y, la función inicia ligeramente por debajo del eje x y disminuye hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y disminuye hasta acercarse al eje x, que nunca toca. La quinta gráfica es de la función “y = tanh (x)”, una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven como límite para esta función. La primera de estas funciones es “y = 1”, una función de línea horizontal y la segunda de estas funciones es “y = -1”, otra función de línea horizontal. La función “y = tanh (x)” siempre se encuentra entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. La sexta gráfica es de la función “y = coth (x)”. En el lado izquierdo del eje y, la función inicia ligeramente por debajo de la línea límite “y = 1” y disminuye hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y disminuye hasta acercarse a la línea límite “y = -1”, que nunca toca.
Figura1.5.9: Las funciones hiperbólicas implican combinaciones deex yex.

Identidades que involucran funciones hiperbólicas

La identidadcosh2tsinh2t=1, mostrada en la Figura1.5.8, es una de varias identidades que involucran las funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las primeras cuatro propiedades se derivan fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Excepto por algunas diferencias en los signos, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades para funciones trigonométricas.

Identidades que involucran funciones hiperbólicas
  1. cosh(x)=coshx
  2. sinh(x)=sinhx
  3. coshx+sinhx=ex
  4. coshxsinhx=ex
  5. cosh2xsinh2x=1
  6. 1tanh2x=sech2x
  7. coth2x1=csch2x
  8. sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy
  9. cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy
Ejemplo1.5.8: Evaluating Hyperbolic Functions
  1. Simplificarsinh(5lnx).
  2. Sisinhx=3/4, encuentra los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes.

Solución:

a. Usando la definición de lasinh función, escribimos

sinh(5lnx)=e5lnxe5lnx2=eln(x5)eln(x5)2=x5x52.

b. Utilizando la identidadcosh2xsinh2x=1, vemos que

cosh2x=1+(34)2=2516.

Ya quecoshx1 para todosx, debemos tenercoshx=5/4. Luego, usando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos quetanhx=3/5,cschx=4/3,sechx=4/5, ycothx=5/3.

Ejercicio1.5.8

Simplificarcosh(2lnx).

Pista

Utilice la definición de lacosh función y la propiedad power de las funciones logaritmo.

Contestar

(x2+x2)/2

Funciones hiperbólicas inversas

A partir de las gráficas de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son uno-a-uno exceptocoshx ysechx. Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo[0,), entonces todas las funciones hiperbólicas son uno a uno, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas en sí mismas involucran funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas involucran funciones logarítmicas.

Definiciones: Funciones hiperbólicas inversas

\ [\ begin {align*} &\ sinh^ {−1} x =\ nombreoperador {arcsinh} x=\ ln\ izquierda (x+\ sqrt {x^2+1}\ derecha) &\ cosh^ {−1} x =\ nombreoperador {arccosh} x=\ ln\ izquierda (x+\ sqrt {x^2−1}\ derecha)\ [4pt]
&\ tanh^ {−1} x=\ nombreoperador {arctanh} x=\ dfrac {1} {2}\ ln\ izquierda (\ dfrac {1+x} {1−x}\ derecha) &\ coth^ {−1} x =\ nombreoperador {arccot} x=\ frac {1} {2}\ ln\ izquierda (\ dfrac {x+1} {x−1}\ derecha)\\ [4pt]
&\ nombreoperador {sech} ^ {−1} x=\ nombreoperador {arcsech} x=\ ln\ izquierda (\ dfrac {1+\ sqrt {1−x^2} {x}\ derecha) &\ nombreoperador {csch} ^ {−1} x=\ nombreoperador {arccsch} x=\ ln\ izquierda (\ dfrac {1} {x} +\ dfrac {\ sqrt {1+x^2}} {|x|}\ derecha)\ end { alinear*}\]

Veamos cómo derivar la primera ecuación. Los demás siguen de manera similar. Supongamosy=sinh1x. Entonces,x=sinhy y, por la definición de la función sinusoidal hiperbólica,x=eyey2. Por lo tanto,

ey2xey=0.

Multiplicando esta ecuación porey, obtenemos

e2y2xey1=0.

Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución

ey=2x±4x2+42=x±x2+1.

Ya queey>0, la única solución es la que tiene el signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que

y=ln(x+x2+1).

Ejemplo1.5.9: Evaluating Inverse Hyperbolic Functions

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

sinh1(2)

tanh1(1/4)

Solución:

sinh1(2)=ln(2+22+1)=ln(2+5)1.4436

tanh1(1/4)=12ln(1+1/411/4)=12ln(5/43/4)=12ln(53)0.2554

Ejercicio1.5.9

Evaluartanh1(1/2).

Pista

Utilice la definición detanh1x y simplifique.

Contestar

12ln(3)0.5493.

Conceptos clave

  • La función exponencialy=bx está aumentando sib>1 y disminuyendo si0<b<1. Su dominio es(,) y su rango es(0,).
  • La función logarítmicay=logb(x) es la inversa dey=bx. Su dominio es(0,) y su rango es(,).
  • La función exponencial natural esy=ex y la función logarítmica natural esy=lnx=logex.
  • Dada una función exponencial o función logarítmica en basea, podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier baseb>0, normalmenteb1. convertimos a basee.
  • Las funciones hiperbólicas implican combinaciones de las funciones exponencialesex yex. como resultado, las funciones hiperbólicas inversas involucran el logaritmo natural.

Glosario

base
el númerob en la función exponencialf(x)=bx y la función logarítmicaf(x)=logbx
exponente
el valorx en la expresiónbx
funciones hiperbólicas
las funciones denotadassinh,cosh,tanh,csch,sech, ycoth, que implican ciertas combinaciones deex yex
funciones hiperbólicas inversas
las inversas de las funciones hiperbólicas dondecosh ysech están restringidas al dominio[0,); cada una de estas funciones se puede expresar en términos de una composición de la función logaritmo natural y una función algebraica
función exponencial natural
la funciónf(x)=ex
logaritmo natural
la funciónlnx=logex
número e
a medida quem aumenta, la cantidad(1+(1/m)m se acerca a algún número real; definimos ese número real para que seae; el valor dee es aproximadamente2.718282

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