2.3: Derivados de orden superior

Ya has observado, en tu primer curso de Cálculo, que si\(f(x)\) es una función de\(x\text{,}\) entonces su derivada, también\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)\text{,}\) es una función de\(x\text{,}\) y puede diferenciarse para dar la derivada de segundo orden\(\frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}x^{2}} (x)\text{,}\) que a su vez puede diferenciarse una vez más para dar la tercera ordenar derivado,\(f^{(3)}(x)\text{,}\) y así sucesivamente.

Podemos hacer lo mismo para funciones de más de una variable. Si\(f(x,y)\) es una función de\(x\) y\(y\text{,}\) entonces ambas de sus derivadas parciales,\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) y también\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) son funciones de\(x\) y\(y\text{.}\) Ambos pueden diferenciarse con respecto a\(x\) y ambos pueden diferenciarse con respecto a\(y\text{.}\) Así que hay cuatro posibles derivados de segundo orden. Aquí están, junto con diversas notaciones alternas.

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x,y) &=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= f_{xx}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x,y) &=\frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(x,y) &= f_{xy}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y) &=\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(x,y) &= f_{yx}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y) &=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= f_{yy}(x,y) \end{alignat*}\]

En\(\frac{\partial^2\ f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}f\text{,}\) la derivada más cercana\(f\text{,}\) en este caso\( \frac{\partial }{\partial x} \text{,}\) se aplica primero.

En\(f_{xy}\text{,}\) la derivada con respecto a la variable más cercana\(f\text{,}\) en este caso\(x\text{,}\) se aplica primero.

Ejemplo 2.3.1

Vamos\(f(x,y) = e^{my}\cos(nx)\text{.}\) Entonces

\[\begin{align*} f_x &= -n e^{my}\sin(nx) & f_y &= m e^{my}\cos(nx)\\ f_{xx} &= -n^2 e^{my}\cos(nx) & f_{yx} &= -m n e^{my}\sin(nx)\\ f_{xy} &= -m n e^{my}\sin(nx) & f_{yy} &= m^2 e^{my}\cos(nx) \end{align*}\]

Ejemplo 2.3.2

Vamos\(f(x,y) = e^{\alpha x+\beta y}\text{.}\) Entonces

\[\begin{align*} f_x &= \alpha e^{\alpha x+\beta y} & f_y &= \beta e^{\alpha x+\beta y}\\ f_{xx} &= \alpha ^2 e^{\alpha x+\beta y} & f_{yx} &= \beta \alpha e^{\alpha x+\beta y}\\ f_{xy} &= \alpha \beta e^{\alpha x+\beta y} & f_{yy} &= \beta^2 e^{\alpha x+\beta y} \end{align*}\]

De manera más general, para cualquier número entero\(m,n\ge 0\text{,}\)

\[ \frac{\partial^{m+n} f}{\partial x^m\, \partial y^n} = \alpha ^m\beta ^n e^{\alpha x+\beta y} \nonumber \]

Ejemplo 2.3.3

Si\(f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1^4\, x_2^3\, x_3^2\, x_4\text{,}\) entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial^4\ f} {\partial x_1\, \partial x_2\,\partial x_3\,\partial x_4} &= \frac{\partial^3 \ } {\partial x_1\, \partial x_2\,\partial x_3} \left( x_1^4\, x_2^3\, x_3^2\right)\\ &= \frac{\partial^2 \ } {\partial x_1\, \partial x_2} \left( 2\ x_1^4\, x_2^3\, x_3\right)\\ &= \frac{\partial }{\partial x_1} \left( 6\ x_1^4\, x_2^2\, x_3\right)\\ &= 24\ x_1^3\, x_2^2\, x_3 \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \frac{\partial^4\ f} {\partial x_4\, \partial x_3\,\partial x_2\,\partial x_1} &= \frac{\partial^3 \ } {\partial x_4\, \partial x_3\,\partial x_2} \left( 4 x_1^3\, x_2^3\, x_3^2\,x_4\right)\\ &= \frac{\partial^2 \ } {\partial x_4\, \partial x_3} \left( 12\ x_1^3\, x_2^2\, x_3^2\,x_4\right)\\ &= \frac{\partial }{\partial x_4} \left( 24\ x_1^3\, x_2^2\, x_3\,x_4\right)\\ &= 24\ x_1^3\, x_2^2\, x_3 \end{align*}\]

Observe que en el Ejemplo 2.3.1,

\[ f_{xy}= f_{yx} = -m n e^{my}\sin(nx) \nonumber \]

y en el Ejemplo 2.3.2

\[ f_{xy}= f_{yx} = \alpha \beta e^{\alpha x+\beta y} \nonumber \]

y en el Ejemplo 2.3.3

\[ \frac{\partial^4\ f} {\partial x_1\, \partial x_2\,\partial x_3\,\partial x_4} = \frac{\partial^4\ f} {\partial x_4\, \partial x_3\,\partial x_2\,\partial x_1} = 24\ x_1^3\, x_2^2\, x_3 \nonumber \]

En todos estos ejemplos, no importaba en qué orden tomáramos los derivados. El siguiente teorema ¹ demuestra que esto no fue un accidente.

Teorema 2.3.4. Teorema de Clairaut o Teorema de Schwarz

Si las derivadas parciales\(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\) y\(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) existen y son continuas en\((x_0,y_0)\text{,}\) entonces

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0) \nonumber \]

Opcional — La Prueba del Teorema 2.3.4

Contorno

Aquí hay un esquema de la prueba del Teorema 2.3.4. Los detalles (numerados) se encuentran en la subsección siguiente. Fijar números reales\(x_0\)\(y_0\) y definir

\[ F(h,k) =\frac{1}{hk}\big[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)\big] \nonumber \]

Definimos de esta\(F(h,k)\) manera porque tanto derivadas\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\) parciales como\(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\) son límites de\(F(h,k)\) como\(h,k\rightarrow 0\text{.}\) Precisamente, mostramos en el ítem (1) en los detalles a continuación que

\[\begin{align*} \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) &= \lim_{k\rightarrow 0}\lim_{h\rightarrow 0}F(h,k)\\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0) &= \lim_{h\rightarrow 0}\lim_{k\rightarrow 0}F(h,k) \end{align*}\]

Tenga en cuenta que los dos lados de la derecha aquí son idénticos a excepción del orden en que se toman los límites.

Ahora bien, por el teorema del valor medio (cuatro veces),

\[\begin{align*} F(h,k)\ &\overset{\left (2  \right )}{=}\ \frac{1}{h} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} (x_0+h,y_0+\theta_1k) -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+\theta_1k)\right]\cr \ &\overset{\left (3  \right )}{=}\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta_2 h,y_0+\theta_1k)\cr F(h,k)\ &\overset{\left (4  \right )}{=}\ \frac{1}{k} \left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3h,y_0+k) -\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3h,y_0)\right]\cr \ &\overset{\left (5  \right )}{=}\ \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3 h,y_0+\theta_4k)\cr \end{align*}\]

para algunos números\(0 \lt \theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4 \lt 1\text{.}\) Todos los números\(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4\) dependen de\(x_0,y_0,h,k\text{.}\) Por lo tanto

\[ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta_2 h,y_0+\theta_1k) =\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3 h,y_0+\theta_4k) \nonumber \]

para todos\(h\) y\(k\text{.}\) Tomando el límite\((h,k)\rightarrow(0,0)\) y utilizando la continuidad asumida de ambas derivadas parciales en\((x_0,y_0)\) da

\[ \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} F(h,k) =\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) =\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \nonumber \]

según se desee. Para completar la prueba sólo tenemos que justificar los detalles (1), (2), (3), (4) y (5).

Los detalles

1. Por definición,

   \[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) =\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k} \left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0+k) -\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\right]\cr &=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k} \left[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)}{h} -\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\right]\cr &=\lim_{k\rightarrow 0}\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)}{hk}\cr &= \lim_{k\rightarrow 0}\lim_{h\rightarrow 0}F(h,k) \end{align*}\]

   Del mismo modo,

   \[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \left[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+h,y_0) -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right]\cr &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \left[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)}{k} -\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}\right]\cr &=\lim_{h\rightarrow 0}\lim_{k\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)}{hk}\cr &= \lim_{h\rightarrow 0}\lim_{k\rightarrow 0}F(h,k) \end{align*}\]

2. El teorema del valor medio (Teorema 2.13.4 en el texto CLP-1) dice que, para cualquier función diferenciable\(\vec{a}rphi(x)\text{,}\)
   • la pendiente de la línea que une los puntos\(\big(x_0,\vec{a}rphi(x_0)\big)\) y\(\big(x_0+k,\vec{a}rphi(x_0+k)\big)\) en la gráfica de\(\vec{a}rphi\)

   es lo mismo que

   • la pendiente de la tangente a la gráfica en algún punto entre\(x_0\) y\(x_0+k\text{.}\)

   Es decir, hay algunos\(0 \lt \theta_1 \lt 1\) tales que

   \[ \frac{\vec{a}rphi(x_0+k)-\vec{a}rphi(x_0)}{k}=\frac{d\vec{a}rphi}{dx}(x_0+\theta_1 k) \nonumber \]

   

   Aplicando esto con\(x\) reemplazado por\(y\) y\(\vec{a}rphi\) reemplazado por\(G(y)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y)\) da

   \[\begin{align*} \frac{G(y_0+k)-G(y_0)}{k} &=\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}y}(y_0+\theta_1 k) \qquad\text{for some } 0 \lt \theta_1 \lt 1\\ &=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+h,y_0+\theta_1k) -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+\theta_1k) \end{align*}\]

   Por lo tanto, para algunos\(0 \lt \theta_1 \lt 1\text{,}\)

   \[\begin{align*} F(h,k)\ &=\ \frac{1}{h} \left[\frac{G(y_0+k)-G(y_0)}{k}\right]\\ &=\frac{1}{h} \left[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+h,y_0+\theta_1k) -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+\theta_1k)\right] \end{align*}\]

3. Definir\(H(x)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_0+\theta_1k)\text{.}\) Por el teorema del valor medio,

   \[\begin{align*} F(h,k)\ &=\ \frac{1}{h}\left[H(x_0+h)-H(x_0)\right]\\ &=\ \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}x}(x_0+\theta_2 h) \qquad\text{for some } 0 \lt \theta_2 \lt 1\\ &=\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta_2 h,y_0+\theta_1k) \end{align*}\]

4. Definir\(A(x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0)\text{.}\) Por el teorema del valor medio,

   \[\begin{align*} F(h,k)\ &=\ \frac{1}{k} \left[\frac{A(x_0+h)-A(x_0)}{h}\right]\\ &=\ \frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x}(x_0+\theta_3 h) \qquad\text{for some } 0 \lt \theta_3 \lt 1\\ &=\frac{1}{k} \left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3h,y_0+k) -\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3h,y_0)\right] \end{align*}\]

5. Definir\(B(y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3h,y)\text{.}\) por el teorema del valor medio

   \[\begin{align*} F(h,k)\ &=\ \frac{1}{k}\left[B(y_0+k)-B(y_0)\right]\\ &=\ \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}y}(y_0+\theta_4 k) \qquad\text{for some } 0 \lt \theta_4 \lt 1\\ &=\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_3 h,y_0+\theta_4k) \end{align*}\]

Esto completa la prueba del Teorema 2.3.4.

Opcional: un ejemplo de\(\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \ne\frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\)

En el Teorema 2.3.4, demostramos que\(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}(x_0,y_0) =\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\) si las derivadas parciales

\(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\)y\ (\ frac {\ parcial^2 f} {\ parcial y\ parcial x}\]

existen y son continuos en\((x_0,y_0)\text{.}\) Aquí hay un ejemplo que muestra que si las derivadas parciales\(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\) y no\(\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}\) son continuas en\((x_0,y_0)\text{,}\) entonces es posible que

\(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \ne\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\text{.}\)

Definir

\[ f(x,y)=\begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{if } (x,y)\ne (0,0) \\ 0 & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases} \nonumber \]

Esta función es continua en todas partes. Tenga en cuenta que\(f(x,0)=0\) para todos\(x\) y\(f(0,y)=0\) para todos Ahora\(y\text{.}\) calculamos las derivadas parciales de primer orden. Para\((x,y)\ne (0,0)\text{,}\)

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= {\color{blue}{y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}} +xy\frac{2x}{x^2+y^2} - xy\frac{2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\\ &\ = {\color{blue}y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}} + xy\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= {\color{blue}{x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}} -xy\frac{2y}{x^2+y^2} - xy\frac{2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\\ &\ = {\color{blue}{x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}} - xy\frac{4yx^2}{(x^2+y^2)^2} \end{align*}\]

Para\((x,y)= (0,0)\text{,}\)

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,0)\right]_{x=0} &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 0\right]_{x=0} &=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(0,y)\right]_{y=0} &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} 0\right]_{y=0} &=0 \end{alignat*}\]

A modo de resumen, las dos derivadas parciales de primer orden son

\[\begin{align*} f_x(x,y)&=\begin{cases} y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + \frac{4x^2y^3}{{(x^2+y^2)}^2} & \text{if } (x,y)\ne (0,0)\\ 0 & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases}\\ f_y(x,y)&=\begin{cases} x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} - \frac{4x^3y^2}{{(x^2+y^2)}^2} & \text{if } (x,y)\ne (0,0)\\ 0 & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{align*}\]

Ambos\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) y\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) son continuos. Finalmente, calculamos

\[\begin{align*} \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(0,0) &=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_y(x,0)\right]_{x=0} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[f_y(h,0)-f_y(0,0)\right]\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[h\frac{h^2-0^2}{h^2+0^2}-0\right] =1\\ \frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(0,0) &=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f_x(0,y)\right]_{y=0} =\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[f_x(0,k)-f_x(0,0)\right]\\ &=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[k\frac{0^2-k^2}{0^2+k^2}-0\right] =-1 \end{align*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

Que todas las derivadas parciales de tercer orden de la función\(f(x,y,z)\) existan y sean continuas. Demostrar que

\[\begin{align*} f_{xyz}(x,y,z) &=f_{xzy}(x,y,z) =f_{yxz}(x,y,z) =f_{yzx}(x,y,z)\\ &=f_{zxy}(x,y,z) =f_{zyx}(x,y,z) \end{align*}\]

2

Encontrar, si es posible, una función\(f(x,y)\) para la cual\(f_x(x,y)=e^y\) y\(f_y(x,y)=e^x\text{.}\)

Etapa 2

3

Encuentra las derivadas parciales especificadas.

1. \(f(x,y) = x^2y^3\text{;}\)\(f_{xx}(x,y)\text{,}\)\(f_{xyy}(x,y)\text{,}\)\(f_{yxy}(x,y)\)
2. \(f(x,y) = e^{xy^2}\text{;}\)\(f_{xx}(x,y)\text{,}\)\(f_{xy}(x,y)\text{,}\)\(f_{xxy}(x,y)\text{,}\)\(f_{xyy}(x,y)\)
3. \(\displaystyle f(u,v,w) = \frac{1}{u+2v+3w}\ \text{,}\)\(\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial u\partial v\partial w}(u,v,w)\ \text{,}\)\(\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial u\partial v\partial w}(3,2,1)\)

4

Buscar todas las segundas derivadas parciales de\(f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}\text{.}\)

5

Encuentra las derivadas parciales especificadas.

1. \(f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big)\text{;}\)\(f_{xyz}(x,y,z)\)
2. \(f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big) +\arctan\big(e^{\sqrt{xz}}\big) +\arctan\big(e^{\sqrt{yz}}\big)\text{;}\)\(f_{xyz}(x,y,z)\)
3. \(f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xyz}}\big)\text{;}\)\(f_{xx}(1,0,0)\)

6 ✳

Dejar\(f(r,\theta)=r^m\cos m\theta\) ser una función de\(r\) y\(\theta\text{,}\) donde\(m\) es un entero positivo.

1. Encuentre las derivadas parciales de segundo orden\(f_{rr}\text{,}\)\(f_{r\theta}\text{,}\)\(f_{\theta\theta}\) y evalúe sus respectivos valores en\((r,\theta)=(1,0)\text{.}\)
2. Determinar el valor del número real\(\lambda \) para que\(f(r,\theta)\) satisfaga la ecuación diferencial

   \[ f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0 \nonumber \]

Etapa 3

7

Que\(\alpha \gt 0\) sea una constante. Demostrar que\(\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)}\) satisface la ecuación de calor

\[ u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) \nonumber \]

para todos\(t \gt 0\)

1. La historia de este importante teorema es bastante enrevesada. Ver “Una nota sobre la historia de los derivados parciales mixtos” de Thomas James Higgins que se publicó en Scripta Mathematica 7 (1940), 59-62. El teorema lleva el nombre de Alexis Clairaut (1713-1765), matemático, astrónomo y geofísico francés, y Hermann Schwarz (1843—1921), matemático alemán.