2.4: La regla de la cadena

Ya usa rutinariamente la regla de cadena unidimensional

\[ \frac{d}{dt}f\big(x(t)\big) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \nonumber \]

en hacer cálculos como

\[ \frac{d}{dt}\sin(t^2) = \cos(t^2)\ 2t \nonumber \]

En este ejemplo,\(f(x)=\sin(x)\) y\(x(t)=t^2\text{.}\)

Ahora generalizamos la regla de la cadena a funciones de más de una variable. Para concretar, nos concentramos en el caso en el que todas las funciones son funciones de dos variables. Es decir, encontramos las derivadas parciales\(\frac{\partial F}{\partial s}\) y\(\frac{\partial F}{\partial t}\) de una función\(F(s,t)\) que se define como una composición

\[ F(s,t)=f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big) \nonumber \]

Estamos usando el nombre\(F\) para la nueva función\(F(s,t)\) como recordatorio de que está estrechamente relacionada con, aunque no lo mismo que, la función\(f(x,y)\text{.}\) La derivada parcial\(\frac{\partial F}{\partial s}\) es la tasa de cambio de\(F\) cuando\(s\) se varía con\(t\) mantenido constante. Cuando\(s\) es variado, tanto el\(x\) argumento -como el\(y\) argumento\(y(s,t)\text{,}\) -en\(f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\) varían.\(x(s,t)\text{,}\) En consecuencia, la regla de la cadena para\(f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\) es una suma de dos términos —uno resultante de la variación del\(x\) argumento -y el otro resultante de la variación del\(y\) argumento -.

Teorema 2.4.1. La regla de la cadena

Supongamos que todas las derivadas parciales de primer orden de\(f(x,y)\text{,}\)\(x(s,t)\) y\(y(s,t)\) existen y son continuas. Entonces lo mismo es cierto para\(F(s,t)=f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\) y

\[\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t) &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial y}{\partial s}(s,t)\\ \frac{\partial F}{\partial t}(s,t) &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial y}{\partial t}(s,t) \end{align*}\]

Daremos la prueba de este teorema en §2.4.4, a continuación. Es común afirmar esta regla de la cadena como

\[\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s} &= \frac{\partial f}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial s}\\ \frac{\partial F}{\partial t} &= \frac{\partial f}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial t} \end{align*}\]

Es decir, es común suprimir los argumentos de la función. Pero debes asegurarte de entender cuáles son los argumentos antes de hacerlo.

El teorema 2.4.1 se da para el caso que\(F\) es la composición de una función de dos variables,\(f(x,y)\text{,}\) con dos funciones,\(x(s,t)\) y\(y(s,t)\text{,}\) de dos variables cada una. No hay nada mágico en el número dos. Existen variantes obvias para cualquier número de variables. Por ejemplo,

Ecuación 2.4.2

Si\(F(t) = f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\) entonces

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t) &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\\ &\hskip1in +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}(t) \end{align*}\]

y

Ecuación 2.4.3

si\(F(s,t) = f\big(x(s,t)\big)\text{,}\) entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial t}(s,t) &= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial t}(s,t) \end{align*}\]

En breve habrá un gran número de ejemplos. Primero, aquí hay una ayuda para la memoria.

Ayudas de memoria para la regla de la cadena

Te recomendamos encarecidamente que utilices el siguiente procedimiento, sin dejar de lado ningún paso, las primeras docenas de veces que uses la regla de la cadena.

• Paso 1: Enumere explícitamente todas las funciones involucradas y especifique los argumentos de cada función. Asegúrese de que todas las funciones diferentes tengan nombres diferentes. Inventar nuevos nombres para algunas de las funciones si es necesario. En el caso de la regla de la cadena en el Teorema 2.4.1, la lista sería

  \[ f(x,y)\qquad\qquad x(s,t)\qquad\qquad y(s,t)\qquad\qquad F(s,t)=f\big(x(s,t),y(s,t)\big) \nonumber \]

  Si bien las funciones\(f\) y\(F\) están estrechamente relacionadas, no son las mismas. Uno es una función de\(x\) y\(y\) mientras que el otro es una función de\(s\) y\(t\text{.}\)
• Paso 2: Anota la plantilla

  \[ \frac{\partial F}{\partial s}=\frac{\partial f}{ }\frac{ }{\partial s} \nonumber \]

  Tenga en cuenta que

  • La función\(F\) aparece una vez en el numerador de la izquierda. La función\(f\text{,}\) a partir de la cual\(F\) se construye mediante un cambio de variables, aparece una vez en el numerador de la derecha.
  • La variable en el denominador de la izquierda aparece una vez en el denominador de la derecha.
• Paso 3: Rellene los espacios en blanco con cada variable que tenga sentido. En particular, ya que\(f\) es una función de\(x\) y\(y\text{,}\) solo puede diferenciarse con respecto a\(x\) y\(y\text{.}\) Así sumamos dos copias de nuestra plantilla — una para\(x\) y otra para\(y\text{:}\)

  \[ \frac{\partial F}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} \nonumber \]

  Tenga en cuenta que\(x\) y\(y\) son funciones de\(s\) para que los derivados\(\frac{\partial x}{\partial s}\) y\(\frac{\partial y}{\partial s}\) tengan sentido. El primer término,\(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}\text{,}\) surge de la variación de\(x\) con respecto a\(s\) y el segundo término,\(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\text{,}\) surge de la variación de\(y\) con respecto a\(s\text{.}\)
• Paso 4: Poner en la dependencia funcional explícitamente. Afortunadamente, sólo hay una dependencia funcional que tiene sentido. El lado izquierdo es una función de\(s\) y\(t\text{.}\) por lo tanto el lado derecho también debe ser una función de\(s\) y\(t\text{.}\) As\(f\) es una función de\(x\) y\(y\text{,}\) esto se logra evaluando\(f\) en\(x=x(s,t)\) y\(y=y(s,t)\text{.}\)

  \[ \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t),y(s,t)\big) \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t),y(s,t)\big) \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) \nonumber \]

  Si no pones en los argumentos, o al menos si no recuerdas cuáles son los argumentos, puedes olvidar eso\(\frac{\partial f}{\partial x}\) y\(\frac{\partial f}{\partial y}\) depender de\(s\) y\(t\text{.}\) Entonces, si tienes que computar una segunda derivada de\(F\text{,}\) ti probablemente no lograrás diferenciar los factores \(\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t),y(s,t)\big)\)y\(\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t),y(s,t)\big)\text{.}\)

Para ayudar a recordar las fórmulas del Teorema 2.4.1, a veces también es útil pretender que nuestras variables son cantidades físicas con\(f,F\) tener unidades de gramos,\(x,y\) tener unidades de metros y\(s,t\) tener unidades de segundos. Tenga en cuenta que

• el lado izquierdo,\(\frac{\partial F}{\partial s}\text{,}\) tiene unidades gramos por segundo.
• Cada término del lado derecho contiene la derivada parcial de\(f\) con respecto a una variable independiente diferente. Esa variable independiente aparece una vez en el denominador y una vez en el numerador, de manera que sus unidades (en este caso metros) cancelan. Así tanto de los términos\(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}\) como\(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\) en el lado derecho también tienen las unidades gramos por segundo.
• De ahí que ambos lados de la ecuación tengan las mismas unidades.

Aquí hay un procedimiento pictórico que utiliza un diagrama de árbol para ayudar a recordar la regla de la cadena\(\frac{\partial }{\partial s}f\big(x(s,t),y(s,t)\big)= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \text{.}\) Como en la figura de abajo a la izquierda,

• escribir, en la fila superior, “\(f\)”.
• Escribe, en la fila del medio, cada una de las variables de las que\(f(x,y)\) depende la función, es decir “\(x\)” y “\(y\)”.
• Escribe, en la fila inferior,
  • debajo de\(x\text{,}\) cada una de las variables de las que\(x(s,t)\) depende la función, es decir “\(s\)” y “\(t\)”, y
  • debajo de\(y\text{,}\) cada una de las variables de las que\(y(s,t)\) depende la función, es decir “\(s\)” y “\(t\)”.
• Dibuja una línea uniendo cada función con cada una de las variables de las que depende.
• Entonces, como en la figura de abajo a la derecha, escribe al lado de cada línea, la derivada parcial de la función en la parte superior de la línea con respecto a la variable en la parte inferior de la línea.

  

  

• Finalmente
  • observar, a partir de la figura de abajo, que hay dos caminos desde\(f\text{,}\) la parte superior, hasta\(s\text{,}\) la parte inferior. Un camino va desde\(f\) en la parte superior, pasando por\(x\) en el medio hasta\(s\) en la parte inferior. El otro camino va desde\(f\) en la parte superior, pasando por\(y\) en el medio hasta\(s\) en la parte inferior.
  • Para cada uno de esos caminos, multiplique las derivadas parciales junto a las líneas del camino. En este ejemplo, los dos productos son\(\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s}\text{,}\) para la primera ruta, y\(\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}\text{,}\) para la segunda ruta.
  • Luego sumar esos productos, dando, en este ejemplo,\(\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}\text{.}\)
  • Poner en los argumentos, como en el Paso 4, anterior.
• Eso es. Tenemos

  \[\begin{align*} \frac{\partial }{\partial s}f\big(x(s,t),y(s,t)\big) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t),y(s,t)\big) \frac{\partial x}{\partial s}(s,t)\\ &\hskip0.5in +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t),y(s,t)\big) \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) \end{align*}\]

Ejemplo 2.4.4

El lado derecho de la regla de la cadena

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}f\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\\ &\hskip1in +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}(t) \end{align*}\]

de la Ecuación 2.4.2, sin argumentos, es\(\frac{\partial f}{\partial x}\, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} +\frac{\partial f}{\partial y}\, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} +\frac{\partial f}{\partial z}\, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\text{.}\) El diagrama de árbol correspondiente es

Debido a que\(x(t)\text{,}\)\(y(t)\) y\(z(t)\) son cada una funciones de una sola variable, las derivadas al lado de las líneas inferiores del árbol son derivadas ordinarias, en lugar de parciales.

Ejemplos de reglas de cadena

Hagamos primero algunos ejemplos de rutina y trabajemos nuestro camino hacia algunos más complejos.

Ejemplo 2.4.5. \(\frac{\partial }{\partial s}f\big(x(s,t),y(s,t)\big)\)

En este ejemplo encontramos\(\frac{\partial }{\partial s}f\big(x(s,t),y(s,t)\big)\) para

\[ f(x,y)=e^{xy}\qquad x(s,t)=s \qquad y(s,t)=\cos t \nonumber \]

Definir\(F(s,t)=f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\text{.}\) La regla de cadena apropiada para este ejemplo es la ecuación superior del Teorema 2.4.1.

\[ \frac{\partial F}{\partial s}(s,t) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) \nonumber \]

Para las funciones dadas

\[\begin{align*} f(x,y)&=e^{xy}\\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&= ye^{xy} & \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t),y(s,t)\big)&= y(s,t) e^{x(s,t)\,y(s,t)} = \cos t\ e^{s\cos t}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&= xe^{xy} & \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t),y(s,t)\big)&= x(s,t) e^{x(s,t)\,y(s,t)} = s\ e^{s\cos t}\\ \frac{\partial x}{\partial s}&=1 & \frac{\partial y}{\partial s}&=0 \end{align*}\]

para que

\[ \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)=\overbrace{\left\{\cos t\ e^{s\cos t}\right\}}^{\frac{\partial f}{\partial x}} \overbrace{(1) }^{\frac{\partial x}{\partial s}} +\overbrace{\left\{s\ e^{s\cos t}\right\}}^{\frac{\partial f}{\partial y}} \overbrace{(0) }^{\frac{\partial y}{\partial s}} = \cos t\ e^{s\cos t} \nonumber \]

Ejemplo 2.4.6. \(\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)\)

En este ejemplo encontramos\(\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)\) para

\[ f(x,y)=x^2-y^2\qquad x(t)=\cos t \qquad y(t)=\sin t \nonumber \]

Definir\(F(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\text{.}\) Dado que\(F(t)\) es una función de una variable su derivada se denota\(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}\) en lugar de\(\frac{\partial F}{\partial t}\text{.}\) La regla de cadena apropiada para este ejemplo (ver 2.4.2) es

\[ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t)= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t) \nonumber \]

Para las funciones dadas

\[\begin{align*} f(x,y)&=x^2-y^2\\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&= 2x & \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)&= \phantom{-}2x(t) =\phantom{-}2\cos t\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&= -2y & \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)&= -2y(t) =-2\sin t\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=-\sin t & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=\cos t \end{align*}\]

para que

\[ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t)=(2\cos t)(-\sin t) +(-2\sin t)(\cos t) = -4\sin t\cos t \nonumber \]

Por supuesto, en este ejemplo podemos calcular\(F(t)\) explícitamente

\[ F(t)=f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)^2-y(t)^2=\cos^2t-\sin^2t \nonumber \]

y luego diferenciar

\[ F'(t)=2(\cos t)(-\sin t)-2(\sin t)(\cos t) = -4 \sin t\cos t \nonumber \]

Ejemplo 2.4.7. \(\frac{\partial }{\partial t}f(x+ct)\)

Definir\(u(x,t)=x+ct\) y\(w(x,t)=f(x+ct)=f\big(u(x,t)\big)\text{.}\) Luego

\[ \frac{\partial }{\partial t}f(x+ct) =\frac{\partial w}{\partial t}(x,t) =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\big(u(x,t)\big) \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) =c\, f'(x+ct) \nonumber \]

Ejemplo 2.4.8. \(\frac{\partial^2}{\partial t^2}f(x+ct)\)

Definir\(w(x,t)=f(x+ct)\) y\(W(x,t)=\frac{\partial w}{\partial t}(x,t)=cf'(x+ct)=F\big(u(x,t)\big)\) dónde\(F(u)=cf'(u)\) y\(u(x,t)=x+ct\text{.}\) Entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2}f(x+ct) &=\frac{\partial W}{\partial t}(x,t) =\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}u}\big(u(x,t)\big) \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) =c\,f''(x+ct)\,c\\ &=c^2\,f''(x+ct) \end{align*}\]

Ejemplo 2.4.9. Ecuación de estado

Supongamos que se nos dice eso\(F(P,V,T)=0\) y que vamos a encontrar\(\frac{\partial P}{\partial T}\text{.}\)

Antes de que\(\frac{\partial P}{\partial T}\text{,}\) podamos encontrar primero tenemos que decidir qué significa. Esto sucede regularmente en las aplicaciones. De hecho, este problema particular proviene de la termodinámica. Las variables\(P,\ V,\ T\) son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de algún gas. Estas tres variables no son independientes. Están relacionados por una ecuación de estado, aquí denotado Los valores\(F(P,V,T)=0\text{.}\) dados para dos cualesquiera de\(P,\ V,\ T\text{,}\) los terceros se pueden encontrar resolviendo Se\(F(P,V,T)=0\text{.}\) nos pide encontrar\(\frac{\partial P}{\partial T}\text{.}\) Esto implícitamente nos instruye a tratar\(P\text{,}\) en este problema, como la variable dependiente. Entonces una redacción cuidadosa de este problema (que nunca encontrarás en el “mundo real”) sería la siguiente. La función\(P(V,T)\) se define por\(F\big(P(V,T),V,T)=0\text{.}\) Find Es\(\big(\frac{\partial P}{\partial T}\big)_V\text{.}\) decir, encontrar la tasa de cambio de presión a medida que se va variando la temperatura, mientras se mantiene fijo el volumen.

Como no se nos dice explícitamente lo que\(F\) es, no podemos resolver explícitamente para\(P(V,T)\text{.}\) Entonces, en cambio diferenciamos ambos lados de

\[ F\big(P(V,T),V,T\big)=0 \nonumber \]

con respecto a\(T\text{,}\) mientras se mantiene\(V\) fijo. Piense en el lado izquierdo,\(F\big(P(V,T),V,T\big)\text{,}\) como estar\(F\big(P(V,T),Q(V,T),R(V,T)\big)\) con\(Q(V,T)=V\) y\(R(V,T)=T\text{.}\) Por la regla de la cadena,

\[ \frac{\partial}{\partial T}F\big(P(V,T),Q(V,T),R(V,T)\big) =F_1\frac{\partial P}{\partial T} +F_2\frac{\partial Q}{\partial T} +F_3\frac{\partial R}{\partial T}=0 \nonumber \]

con\(F_j\) referencia a la derivada parcial de\(F\) respecto a su\(j^{\rm th}\) argumento. Los usuarios experimentados de reglas de cadena nunca introducen\(Q\) y\(R\text{.}\) en su lugar, simplemente escriben

\[ \frac{\partial F}{\partial P}\frac{\partial P}{\partial T} +\frac{\partial F}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T} +\frac{\partial F}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial T}=0 \nonumber \]

Recordando que\(V\) y\(T\) son las variables independientes y que, en la computación\(\frac{\partial }{\partial T}\text{,}\)\(V\) se debe tratar como una constante,

\[ \frac{\partial V}{\partial T}=0\qquad\qquad \frac{\partial T}{\partial T} = 1 \nonumber \]

Ahora poniendo en la dependencia funcional

\[ \frac{\partial F}{\partial P}\big(P(V,T),V,T\big) \frac{\partial P}{\partial T}(V,T) +\frac{\partial F}{\partial T}\big(P(V,T),V,T\big)=0 \nonumber \]

y resolviendo

\[ \frac{\partial P}{\partial T}(V,T) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial T}\big(P(V,T),V,T\big)} {\frac{\partial F}{\partial P}\big(P(V,T),V,T\big)} \nonumber \]

Ejemplo 2.4.10

Supongamos que\(f(x,y)=0\) y que vamos a encontrar\(\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\text{.}\)

Una vez más,\(x\) y no\(y\) son variables independientes. Dado un valor para uno\(x\) o\(y\text{,}\) el otro se determina resolviendo\(f(x,y)=0\text{.}\) Ya que se nos pide\(\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\text{,}\) encontrarlo es\(y\) que se debe ver como una función de\(x\text{,}\) más que al revés. Entonces\(f(x,y)=0\) realmente significa que, en este problema,\(f\big(x,y(x)\big)=0\) para todos\(x\text{.}\) Diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto a\(x\text{,}\)

\[\begin{align*} &\phantom{\implies a} f\big(x,y(x)\big) = 0\qquad\text{for all }x\\ &\implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big) = 0 \end{align*}\]

Obsérvese que no\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big)\) es lo mismo que\(f_x\big(x,y(x)\big)\text{.}\) El primero es, por definición, la tasa de cambio con respecto a\(x\) de\(g(x)=f\big(x,y(x)\big)\text{.}\) Precisamente,

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}&=\lim_{\Delta  x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta  x)-g(x)}{\Delta  x}\notag\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\big(x+\Delta x\,,\,y(x+\Delta x)\big) -f\big(x\,,\,y(x)\big)}{\Delta x} \tag{$*$} \end{align*}\]

Por otra parte, por definición,

\[\begin{align*} f_x(x,y)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\notag\\ \implies f_x\big(x,y(x)\big) &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\big(x+\Delta x\,,\,y(x)\big) -f\big(x\,,\,y(x)\big)} {\Delta x} \tag{$**$} \end{align*}\]

Los lados de la mano derecha\((*)\) y no\((**)\) son los mismos. En\(\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\text{,}\) como\(\Delta x\) varía el valor de\(y\) eso se sustituye por el primero\(f(\cdots)\) en el lado derecho, es decir,\(y(x+\Delta x)\text{,}\) cambia como\(\Delta x\) cambios. Es decir, estamos calculando la tasa de cambio de\(f\) a lo largo del camino (curvo)\(y=y(x)\text{.}\) En\((**)\text{,}\) el valor correspondiente de\(y\) es\(y(x)\) y es independiente de Es\(\Delta x\text{.}\) decir, estamos calculando la tasa de cambio de\(f\) a lo largo de una línea recta horizontal. Como ejemplo concreto, supongamos que\(f(x,y)=x+y\text{.}\) Entonces,\(0=f\big(x\,,\,y(x)\big)=x+y(x)\) da\(y(x)=-x\) para que

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,-x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x+(-x)] =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}0 =0 \nonumber \]

Pero\(f(x,y)=x+y\) implica que\(f_x(x,y)=1\) para todos\(x\) y\(y\) para que

\[ f_x(x,y(x))=f_x(x,y)\Big|_{y=-x}=1\Big|_{y=-x}=1 \nonumber \]

Ahora volvamos a

\[\begin{align*} & \phantom{\implies a} f\big(x,y(x)\big) = 0\qquad\text{for all }x\\ & \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big) = 0\\ & \implies f_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x) = 0\qquad\text{by the chain rule}\\ & \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x) = -\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\\ & \implies \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right]\\ & \phantom{\implies}\qquad= -\frac{f_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f_x\big(x,y(x)\big)] -f_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f_y\big(x,y(x)\big)]} {f_y\big(x,y(x)\big)^2} \tag{$\dagger$} \end{align*}\]

por la regla del cociente. Ahora basta con sustituir en\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_x\big(x,y(x)\big)\big]\) y\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_y\big(x,y(x)\big)\big]\text{.}\) Para el primero aplicar la regla de la cadena a\(h(x) = u\big(x,y(x)\big)\) con\(u(x,y)=f_x\big(x,y\big)\text{.}\)

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_x\big(x,y(x)\big)\big]&=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=u_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +u_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{xx}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_{xy}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{xx}\big(x,y(x)\big) -f_{xy}\big(x,y(x)\big) \left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right] \end{align*}\]

Sustituyendo esto y

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_y\big(x,y(x)\big)\big] &=f_{yx}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_{yy}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{yx}\big(x,y(x)\big) -f_{yy}\big(x,y(x)\big) \left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right] \end{align*}\]

en el lado derecho de\((\dagger)\) da la respuesta final.

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x) &= -\frac{ f_y f_{xx} - f_y f_{xy} \frac{f_x}{f_y} - f_x f_{yx} + f_x f_{yy}\frac{f_x}{f_y}} {f_y^2}\\ &= -\frac{ f_y^2 f_{xx} - 2 f_x f_y f_{xy} + f_x^2 f_{yy}} {f_y^3} \end{align*}\]

con todos de\(f_x\text{,}\)\(f_y\text{,}\)\(f_{xx}\text{,}\)\(f_{xy}\text{,}\)\(f_{yy}\) tener argumentos\(\big(x\,,\,y(x)\big)\text{.}\)

Pasamos ahora a la prueba del Teorema 2.4.1. Para darle una idea de cómo irá la prueba, primero revisamos la prueba de la regla familiar de la cadena unidimensional.

Revisión del Comprobante de\(\frac{d}{dt}f\big(x(t)\big) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\)

Como calentamiento, revisemos la prueba de la regla de la cadena unidimensional

\[ \frac{d}{dt}f\big(x(t)\big) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}(t) \nonumber \]

asumiendo que\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) existe y eso\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\) es continuo. Deseamos encontrar la derivada de\(F(t) = f\big(x(t)\big)\text{.}\) Por definición

\[\begin{align*} F'(t) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big)}{h} \end{align*}\]

Observe que el numerador es la diferencia de\(f(x)\) evaluado a dos valores cercanos de\(x\text{,}\) a saber\(x_1=x(t+h)\) y\(x_0=x(t)\text{.}\) El teorema del valor medio es una buena herramienta para estudiar la diferencia en los valores de\(f(x)\) en dos puntos cercanos. Recordemos que el teorema del valor medio dice que, para cualquier dado\(x_0\) y\(x_1\text{,}\) existe un (en general desconocido)\(c\) entre ellos para que

\[ f(x_1) - f(x_0) = f'(c)\ (x_1-x_0) \nonumber \]

Para esta prueba, elegimos\(x_0=x(t)\) y\(x_1=x(t+h)\text{.}\) El teorema del valor medio nos dice que existe un\(c_h\) modo que

\[\begin{align*} f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big) &= f(x_1)-f(x_0) = f'(c_h)\ \big[x(t+h)-x(t)\big] \end{align*}\]

Hemos puesto el subíndice\(c_h\) para hacer hincapié\(h\) en\(c_h\text{,}\) lo que está entre\(x_0=x(t)\) y\(x_1=x(t+h)\text{,}\) puede depender de\(h\text{.}\) Ahora ya que\(c_h\) está atrapado entre\(x(t)\) y\(x(t+h)\) y ya que\(x(t+h)\rightarrow x(t)\) como\(h\rightarrow 0\text{,}\) tenemos eso también\(c_h\) debe tender a \(x(t)\)como\(h\rightarrow 0\text{.}\) enchufar esto a la definición de\(F'(t)\text{,}\)

\[\begin{align*} F'(t) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(c_h)\ \big[x(t+h)-x(t)\big]}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}f'(c_h)\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}\\ &= f'\big(x(t)\big)\ x'(t) \end{align*}\]

según se desee.

Prueba de Teorema 2.4.1

Ahora vamos a probar la fórmula para\(\frac{\partial }{\partial s} f\big( x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\) que se da en el Teorema 2.4.1. La prueba utiliza las mismas ideas que la prueba de la regla de una cadena variable, que acabamos de revisar.

Deseamos encontrar la derivada parcial con respecto a\(s\) de\(F(s,t)=f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\text{.}\) Por definición

\[\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t) &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(s+h,t)-F(s,t)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big) -f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)}{h} \end{align*}\]

El numerador es la diferencia de\(f(x,y)\) evaluada a dos valores cercanos de\((x,y)\text{,}\) a saber\((x_1,y_1)=\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big)\) e\((x_0,y_0)=\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\text{.}\) In pasando de\((x_0,y_0)\) a\((x_1,y_1)\text{,}\) ambos el\(x\) y\(y\) -coordenadas cambian. Al sumar y restar podemos separar el cambio en la\(x\) coordenada -del cambio en la\(y\) coordenada -.

\[\begin{gather*} f(x_1,y_1) - f(x_0,y_0) =\big\{f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1)\big\} + \big\{f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0)\big\} \end{gather*}\]

La primera mitad,\(\big\{f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1)\big\}\text{,}\) tiene el mismo\(y\) argumento en ambos términos y así lo es la diferencia de la función de una variable\(g(x) = f(x,y_1)\) (viendo\(y_1\) solo como una constante) evaluada en los dos valores cercanos,\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\) de\(x\text{.}\) Consecuentemente, podemos hacer uso del valor medio teorema como lo hicimos en §2.4.3 anterior. Hay un\(c_{x,h}\) entre\(x_0=x(s,t)\) y\(x_1=x(s+h,t)\) tal que

\[\begin{align*} f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1) &=g(x_1) - g(x_0) =g'(c_{x,h}) [x_1-x_0] =\frac{\partial f}{\partial x}(c_{x,h}\,,\,y_1)\,[x_1-x_0]\\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\,\big[x(s+h,t)-x(s,t)\big] \end{align*}\]

Hemos introducido los dos subíndices\(c_{x,h}\) para recordarnos que puede depender\(h\) y que se encuentra entre los dos\(x\) -valores\(x_0\) y\(x_1\text{.}\)

Del mismo modo, la segunda mitad,\(\big\{f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0)\big\}\text{,}\) es la diferencia de la función de una variable\(h(y) = f(x_0,y)\) (viendo\(x_0\) solo como una constante) evaluada en los dos valores cercanos,\(y_0\text{,}\)\(y_1\text{,}\) de So,\(y\text{.}\) por el teorema del valor medio,

\[\begin{align*} f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0) &=h(y_1) - h(y_0) =h'(c_{y,h}) [y_1-y_0] =\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,c_{y,h})\,[y_1-y_0]\\ &=\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big)\,\big[y(s+h,t)-y(s,t)\big] \end{align*}\]

para algunos (desconocidos)\(c_{y,h}\) entre\(y_0=y(s,t)\) y\(y_1=y(s+h,t)\text{.}\) Otra vez, los dos subíndices en nos\(c_{y,h}\) recuerdan que puede depender de\(h\) y que se encuentra entre los dos\(y\) -valores\(y_0\) y\(y_1\text{.}\) Así, señalando que, como\(h\) tiende a cero,\(c_{x,h}\text{,}\) que es atrapado entre\(x(s,t)\) y\(x(s+h,t)\text{,}\) debe tender a\(x(s,t)\text{,}\) y\(c_{y,h}\text{,}\) que está atrapado entre\(y(s,t)\) y\(y(s+h,t)\text{,}\) debe tender a\(y(s,t)\text{,}\)

\[\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big) -f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\,\big[x(s+h,t)-x(s,t)\big] }{h}\\ &\hskip0.75in+ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big)\,\big[y(s+h,t)-y(s,t)\big] }{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(s+h,t)-x(s,t)}{h}\\ &\hskip0.75in+ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{y(s+h,t)-y(s,t) }{h}\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) \end{align*}\]

Podemos por supuesto seguir el mismo procedimiento para evaluar la derivada parcial con respecto a\(t\text{.}\) Esto concluye la prueba del Teorema 2.4.1.

Ejercicios

Etapa 1

1

Escriba la regla de la cadena para cada una de las siguientes funciones.

1. \(\frac{\partial h}{\partial x}\)para\(h(x,y)=f\big(x,u(x,y)\big)\)
2. \(\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}\)para\(h(x)=f\big(x,u(x),v(x)\big)\)
3. \(\frac{\partial h}{\partial x}\)para\(h(x,y,z)=f\big(u(x,y,z),v(x,y),w(x)\big)\)

2

A continuación\(z=f(x,y)\) se muestra una pieza de la superficie para alguna función continuamente diferenciable\(f(x,y)\text{.}\) La curva de nivel\(f(x,y)=z_1\) se marca con una línea azul. Los tres puntos\(P_0\text{,}\)\(P_1\text{,}\) y\(P_2\) se encuentran en la superficie.

En la curva de nivel\(z=z_1\text{,}\) podemos pensar en función de\(y\)\(x\text{.}\) Let\(w(x)=f(x,y(x))=z_1\text{.}\) We aproximamos, en\(P_0\text{,}\)\(f_x(x,y) \approx \frac{\Delta f}{\Delta x}\) e\(\frac{dw}{dx}(x)\approx\frac{\Delta w}{\Delta x}\text{.}\) Identificamos las cantidades\(\Delta f\text{,}\)\(\Delta w\text{,}\) y\(\Delta x\) a partir del diagrama.

3 ✳

Dejar\(w=f(x,y,t)\) con\(x\) y\(y\) dependiendo de\(t\text{.}\) Supongamos que en algún momento\((x,y)\) y en algún momento\(t\text{,}\) las derivadas parciales\(f_x\text{,}\)\(f_y\) y\(f_t\) son iguales a\(2\text{,}\)\(-3\) y\(5\) respectivamente, mientras\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1\) y\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2\text{.}\) Encuentra y explica la diferencia entre\(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}\) y\(f_t\text{.}\)

4

Textos termodinámicos utilizan la relación

\[ \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)=-1 \nonumber \]

Explique el significado de esta ecuación y demuestre que es verdad.

5

¿Qué tiene de malo el siguiente argumento? Supongamos que\(w=f(x,y,z)\) y\(z=g(x,y)\text{.}\) Por la regla de la cadena,

\[\begin{gather*} \frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} \end{gather*}\]

De ahí\(0=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\) y así\(\frac{\partial w}{\partial z}=0\) o\(\frac{\partial z}{\partial x}=0\text{.}\)

Etapa 2

6

Utilice dos métodos (uno usando la regla de cadena) para evaluar\(\frac{\partial w}{\partial s}\) y\(\frac{\partial w}{\partial t}\) dado que la función\(w=x^2+y^2+z^2\text{,}\) con\(x=st,\ y=s\cos t\) y\(z=s\sin t\text{.}\)

7

Evaluar\(\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy)\) en términos de derivadas parciales de\(f\text{.}\) Puedes asumir que\(f\) es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

8

Encuentra todas las derivadas de segundo orden de\(g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)\text{.}\) Puedes asumir que\(f(x,y)\) es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

9 ✳

Supongamos que\(f(x,y)\) satisface la ecuación de Laplace\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0\text{.}\) Mostrar que este es también el caso de la función compuesta Es\(g(s,t) = f (s - t, s + t)\text{.}\) decir, mostrar que\(\frac{\partial^2 g}{\partial s^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial t^2}=0\text{.}\) puedes asumir que\(f(x,y)\) es una función suave para que la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas aplicar.

10 ✳

Deja\(z = f(x,y)\) dónde\(x = 2s + t\) y\(y = s - t\text{.}\) Encuentra los valores de las constantes\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\) tal que

\[ a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} +c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 z}{\partial s^2} +\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \nonumber \]

Se puede asumir que\(z = f(x,y)\) es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

11 ✳

Dejar\(F\) ser una función en\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Denotar puntos en\(\mathbb{R}^2\) por\((u, v)\) y las derivadas parciales correspondientes de\(F\) por\(F_u(u, v)\text{,}\)\(F_v (u, v)\text{,}\)\(F_{uu}(u, v)\text{,}\)\(F_{uv}(u, v)\text{,}\) etc.. Supongamos que esos derivados son todos continuos. Express

\[\begin{gather*} \frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y} F(x^2 - y^2 , 2xy) \end{gather*}\]

en términos de derivadas parciales de la función\(F\text{.}\)

12 ✳

\(u(x,y)\)se define como

\[ u(x,y) = e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) \nonumber \]

para una función arbitraria\(F(z)\text{.}\)

1. Si\(F(z) = \ln(z)\text{,}\) encuentra\(\frac{\partial u}{\partial x}\) y\(\frac{\partial u}{\partial y}\text{.}\)
2. Para un\(F(z)\) espectáculo arbitrario que\(u(x,y)\) satisfaga

   \[ 2xy\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = u \nonumber \]

13 ✳

Dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser dos funciones de\(x\) satisfacción\(f''(7) = -2\) y\(g''(-4) = -1\text{.}\) Si\(z = h(s,t) = f(2s + 3t) + g(s - 6t)\) es una función de\(s\) y\(t\text{,}\) encontrar el valor de\(\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\) cuándo\(s = 2\) y\(t = 1\text{.}\)

14 ✳

Supongamos que\(w = f (xz, yz)\text{,}\) donde\(f\) es una función diferenciable. Demostrar que

\[ x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} = z\frac{\partial w}{\partial z} \nonumber \]

15 ✳

Supongamos que\(z = f (x, y)\) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, y\(x = r \cos t\text{,}\)\(y = r \sin t\text{.}\) Expresar las siguientes derivadas parciales en términos\(r\text{,}\)\(t\text{,}\) y derivadas parciales de\(f\text{.}\)

1. \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}\)
2. \(\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\)

16 ✳

Let\(z = f(x, y)\text{,}\) donde\(f(x, y)\) tiene derivados parciales continuos de segundo orden, y

\[\begin{gather*} f_x (2, 1) = 5, \qquad f_y(2, 1) =-2, \\ f_{xx}(2, 1) = 2,\qquad f_{xy}(2, 1) = 1, \qquad f_{yy}(2, 1) = -4 \end{gather*}\]

Encuentra\(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}} z\big(x(t),y(t)\big)\) cuándo\(x(t)=2t^2\text{,}\)\(y(t)=t^3\) y\(t=1\text{.}\)

17 ✳

Supongamos que la función\(F(x,y,z)\) satisface la ecuación\(\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\) y las derivadas parciales mixtas\(\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}\) y\(\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}\) son iguales. Que\(A\) sean algunas constantes y dejemos\(G(\gamma mma, s, t) = F (\gamma mma + s, \gamma mma-s, At)\text{.}\) encontrar el valor de\(A\) tal que\(\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial^2 G}{\partial \gamma mma^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial s^2}\text{.}\)

18 ✳

Dejar\(f(x)\) ser una función diferenciable, y supongamos que se le da que\(f'(0) = 10\text{.}\) Let\(g(s,t) = f (as - bt)\text{,}\) donde\(a\) y\(b\) son constantes. Evaluar\(\frac{\partial g}{\partial s}\) en el punto es\((s,t) = (b,a)\text{,}\) decir, encontrar\(\frac{\partial g}{\partial s}\big|_{(b,a)}\text{.}\)

19 ✳

Dejar\(f(u,v)\) ser una función diferenciable de dos variables, y dejar\(z\) ser una función diferenciable de\(x\) y\(y\) definida implícitamente por\(f(xz,yz) = 0\text{.}\) Mostrar que

\[ x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = -z \nonumber \]

20 ✳

Dejar que\(w(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t)\) para alguna función dos veces diferenciable\(u = u(x, y)\text{.}\)

1. Encuentra\(w_{ss}\) en términos de\(u_{xx}\text{,}\)\(u_{xy}\), y\(u_{yy}\text{.}\) puedes asumir que\(u_{xy} = u_{yx}\text{.}\)
2. Supongamos\(u_{xx} + u_{yy} = 0\text{.}\) por qué\(A\) voluntad constante\(w_{ss} = Aw_{tt}\text{?}\)

21 ✳

Supongamos que\(f(x,y)\) es dos veces diferenciable (con\(f_{xy}=f_{yx}\)), y\(x=r\cos\theta\) y\(y=r\sin\theta\text{.}\)

1. Evaluar\(f_\theta\text{,}\)\(f_r\) y\(f_{r\theta}\) en términos\(r\text{,}\)\(\theta\) y derivados parciales de\(f\) respecto a\(x\) y\(y\text{.}\)
2. Dejar\(g(x,y)\) ser otra función satisfactoria\(g_x=f_y\) y\(g_y=-f_x\text{.}\) Express\(f_r\) y\(f_\theta\) en términos de\(r\text{,}\)\(\theta\) y\(g_r\text{,}\)\(g_\theta\text{.}\)

22 ✳

Por definición, el gradiente de la función diferenciable\(f(x,y)\) en el punto\(\big( x_0\,,\,y_0\big)\) es

\[ \vec{n}abla f(x_0,y_0) =\left \langle \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big) \right \rangle \nonumber \]

Supongamos que sabemos

\[ \vec{n}abla f(3,6)=\left \langle 7,8 \right \rangle \nonumber \]

Supongamos también que

\[ \vec{n}abla g(1,2)=\left \langle -1,4 \right \rangle, \nonumber \]

y

\[ \vec{n}abla h(1,2)=\left \langle -5,10 \right \rangle. \nonumber \]

Asumiendo\(g(1,2)=3\text{,}\)\(h(1,2)=6\text{,}\) y\(z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big)\text{,}\) encontrar

\[ \vec{n}abla z(1,2) \nonumber \]

23 ✳

1. Dejar\(f\) ser una función diferenciable arbitraria definida en toda la línea real. Mostrar que la función\(w\) definida en todo el plano como

   \[ w(x,y)=e^{-y}f(x-y) \nonumber \]

   satisface la ecuación diferencial parcial:

   \[ w+\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0 \nonumber \]

2. Las ecuaciones\(x=u^3-3uv^2\text{,}\)\(y=3u^2v-v^3\) y\(z=u^2-v^2\) definir\(z\) como una función de\(x\) y\(y\text{.}\) Determinar\(\frac{\partial z}{\partial x}\) en el punto\((u,v)=(2,1)\) que corresponde al punto\((x,y)=(2,11)\text{.}\)

24 ✳

Las ecuaciones

\[\begin{align*} x^2-y\cos(uv)&=v\\ x^2+y^2-\sin(uv)&=\frac{4}{\pi}u \end{align*}\]

definir\(x\) e\(y\) implícitamente como funciones de\(u\) y\(v\) (es decir,\(x=x(u,v)\text{,}\) y\(y=y(u,v)\)) cerca del punto\((x,y)=(1,1)\) en el que\((u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.}\)

1. Encuentra

   \[ \frac{\partial x}{\partial u}\text{ and } \frac{\partial y}{\partial u} \nonumber \]

   en\((u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.}\)
2. Si\(z=x^4+y^4\text{,}\) determinar\(\frac{\partial z}{\partial u}\) en el punto\((u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.}\)

25 ✳

Dejar\(f(u,v)\) ser una función diferenciable, y dejar\(u=x+y\) y\(v=x-y\text{.}\) encontrar una constante,\(\alpha \text{,}\) tal que

\[\begin{gather*} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{gather*}\]

Etapa 3

26

La ecuación de onda

\[ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0 \nonumber \]

surge en muchos modelos que involucran fenómenos ondulados. Dejar\(u(x,t)\) y\(v(\xi,\eta)\) relacionarse por el cambio de variables

\[\begin{align*} u(x,t)&=v\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\cr \xi(x,t)&=x-ct\cr \eta(x,t)&=x+ct \end{align*}\]

1. Demuestre que\(\ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ \) si y solo si\(\ \frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}=0\text{.}\)
2. Demostrar que\(\ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ \) si y solo si\(\ u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\ \) para algunas funciones\(F\) y\(G\text{.}\)
3. Interpretar\(\ F(x-ct)+G(x+ct)\ \) en términos de olas viajeras. Piense en\(u(x,t)\) como la altura, en la posición\(x\) y el tiempo\(t\text{,}\) de una ola que viaja a lo largo del\(x\) eje.

Observación: No te arroje los extraños símbolos\(\xi\) y\(\eta\text{.}\) son solo dos letras inofensivas del alfabeto griego, llamadas “xi” y “eta” respectivamente.

27

Evaluar

1. \(\frac{\partial y}{\partial z}\)si\(e^{yz}-x^2 z \ln y = \pi\)
2. \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)si\(F(x,y,x^2-y^2)=0\)
3. \(\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_u\)si\(xyuv=1\) y\(x+y+u+v=0\)