2.4: La regla de la cadena
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ya usa rutinariamente la regla de cadena unidimensional
ddtf(x(t))=dfdx(x(t)) dxdt(t)
en hacer cálculos como
ddtsin(t2)=cos(t2) 2t
En este ejemplo,f(x)=sin(x) yx(t)=t2.
Ahora generalizamos la regla de la cadena a funciones de más de una variable. Para concretar, nos concentramos en el caso en el que todas las funciones son funciones de dos variables. Es decir, encontramos las derivadas parciales∂F∂s y∂F∂t de una funciónF(s,t) que se define como una composición
F(s,t)=f(x(s,t),y(s,t))
Estamos usando el nombreF para la nueva funciónF(s,t) como recordatorio de que está estrechamente relacionada con, aunque no lo mismo que, la funciónf(x,y). La derivada parcial∂F∂s es la tasa de cambio deF cuandos se varía cont mantenido constante. Cuandos es variado, tanto elx argumento -como ely argumentoy(s,t), -enf(x(s,t),y(s,t)) varían.x(s,t), En consecuencia, la regla de la cadena paraf(x(s,t),y(s,t)) es una suma de dos términos —uno resultante de la variación delx argumento -y el otro resultante de la variación dely argumento -.
Supongamos que todas las derivadas parciales de primer orden def(x,y),x(s,t) yy(s,t) existen y son continuas. Entonces lo mismo es cierto paraF(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)) y
∂F∂s(s,t)=∂f∂x(x(s,t),y(s,t))∂x∂s(s,t)+∂f∂y(x(s,t),y(s,t))∂y∂s(s,t)∂F∂t(s,t)=∂f∂x(x(s,t),y(s,t))∂x∂t(s,t)+∂f∂y(x(s,t),y(s,t))∂y∂t(s,t)
Daremos la prueba de este teorema en §2.4.4, a continuación. Es común afirmar esta regla de la cadena como
∂F∂s=∂f∂x∂x∂s+∂f∂y∂y∂s∂F∂t=∂f∂x∂x∂t+∂f∂y∂y∂t
Es decir, es común suprimir los argumentos de la función. Pero debes asegurarte de entender cuáles son los argumentos antes de hacerlo.
El teorema 2.4.1 se da para el caso queF es la composición de una función de dos variables,f(x,y), con dos funciones,x(s,t) yy(s,t), de dos variables cada una. No hay nada mágico en el número dos. Existen variantes obvias para cualquier número de variables. Por ejemplo,
SiF(t)=f(x(t),y(t),z(t)), entonces
dFdt(t)=∂f∂x(x(t),y(t),z(t))dxdt(t)+∂f∂y(x(t),y(t),z(t))dydt(t)+∂f∂z(x(t),y(t),z(t))dzdt(t)
y
siF(s,t)=f(x(s,t)), entonces
∂F∂t(s,t)=dfdx(x(s,t))∂x∂t(s,t)
En breve habrá un gran número de ejemplos. Primero, aquí hay una ayuda para la memoria.
Ayudas de memoria para la regla de la cadena
Te recomendamos encarecidamente que utilices el siguiente procedimiento, sin dejar de lado ningún paso, las primeras docenas de veces que uses la regla de la cadena.
- Paso 1: Enumere explícitamente todas las funciones involucradas y especifique los argumentos de cada función. Asegúrese de que todas las funciones diferentes tengan nombres diferentes. Inventar nuevos nombres para algunas de las funciones si es necesario. En el caso de la regla de la cadena en el Teorema 2.4.1, la lista sería
f(x,y)x(s,t)y(s,t)F(s,t)=f(x(s,t),y(s,t))
Si bien las funcionesf yF están estrechamente relacionadas, no son las mismas. Uno es una función dex yy mientras que el otro es una función des yt. - Paso 2: Anota la plantilla
∂F∂s=∂f∂s
Tenga en cuenta que
- La funciónF aparece una vez en el numerador de la izquierda. La funciónf, a partir de la cualF se construye mediante un cambio de variables, aparece una vez en el numerador de la derecha.
- La variable en el denominador de la izquierda aparece una vez en el denominador de la derecha.
- Paso 3: Rellene los espacios en blanco con cada variable que tenga sentido. En particular, ya quef es una función dex yy, solo puede diferenciarse con respecto ax yy. Así sumamos dos copias de nuestra plantilla — una parax y otra paray:
∂F∂s=∂f∂x∂x∂s+∂f∂y∂y∂s
Tenga en cuenta quex yy son funciones des para que los derivados∂x∂s y∂y∂s tengan sentido. El primer término,∂f∂x∂x∂s, surge de la variación dex con respecto as y el segundo término,∂f∂y∂y∂s, surge de la variación dey con respecto as. - Paso 4: Poner en la dependencia funcional explícitamente. Afortunadamente, sólo hay una dependencia funcional que tiene sentido. El lado izquierdo es una función des yt. por lo tanto el lado derecho también debe ser una función des yt. Asf es una función dex yy, esto se logra evaluandof enx=x(s,t) yy=y(s,t).
∂F∂s(s,t)=∂f∂x(x(s,t),y(s,t))∂x∂s(s,t)+∂f∂y(x(s,t),y(s,t))∂y∂s(s,t)
Si no pones en los argumentos, o al menos si no recuerdas cuáles son los argumentos, puedes olvidar eso∂f∂x y∂f∂y depender des yt. Entonces, si tienes que computar una segunda derivada deF, ti probablemente no lograrás diferenciar los factores ∂f∂x(x(s,t),y(s,t))y∂f∂y(x(s,t),y(s,t)).
Para ayudar a recordar las fórmulas del Teorema 2.4.1, a veces también es útil pretender que nuestras variables son cantidades físicas conf,F tener unidades de gramos,x,y tener unidades de metros ys,t tener unidades de segundos. Tenga en cuenta que
- el lado izquierdo,∂F∂s, tiene unidades gramos por segundo.
- Cada término del lado derecho contiene la derivada parcial def con respecto a una variable independiente diferente. Esa variable independiente aparece una vez en el denominador y una vez en el numerador, de manera que sus unidades (en este caso metros) cancelan. Así tanto de los términos∂f∂x∂x∂s como∂f∂y∂y∂s en el lado derecho también tienen las unidades gramos por segundo.
- De ahí que ambos lados de la ecuación tengan las mismas unidades.
Aquí hay un procedimiento pictórico que utiliza un diagrama de árbol para ayudar a recordar la regla de la cadena∂∂sf(x(s,t),y(s,t))=∂f∂x∂x∂s+∂f∂y∂y∂s. Como en la figura de abajo a la izquierda,
- escribir, en la fila superior, “f”.
- Escribe, en la fila del medio, cada una de las variables de las quef(x,y) depende la función, es decir “x” y “y”.
- Escribe, en la fila inferior,
- debajo dex, cada una de las variables de las quex(s,t) depende la función, es decir “s” y “t”, y
- debajo dey, cada una de las variables de las quey(s,t) depende la función, es decir “s” y “t”.
- Dibuja una línea uniendo cada función con cada una de las variables de las que depende.
- Entonces, como en la figura de abajo a la derecha, escribe al lado de cada línea, la derivada parcial de la función en la parte superior de la línea con respecto a la variable en la parte inferior de la línea.
- Finalmente
- observar, a partir de la figura de abajo, que hay dos caminos desdef, la parte superior, hastas, la parte inferior. Un camino va desdef en la parte superior, pasando porx en el medio hastas en la parte inferior. El otro camino va desdef en la parte superior, pasando pory en el medio hastas en la parte inferior.
- Para cada uno de esos caminos, multiplique las derivadas parciales junto a las líneas del camino. En este ejemplo, los dos productos son∂f∂x∂x∂s, para la primera ruta, y∂f∂y∂y∂s, para la segunda ruta.
- Luego sumar esos productos, dando, en este ejemplo,∂f∂x∂x∂s+∂f∂y∂y∂s.
- Poner en los argumentos, como en el Paso 4, anterior.
- Eso es. Tenemos
∂∂sf(x(s,t),y(s,t))=∂f∂x(x(s,t),y(s,t))∂x∂s(s,t)+∂f∂y(x(s,t),y(s,t))∂y∂s(s,t)
El lado derecho de la regla de la cadena
ddtf(x(t),y(t),z(t))=∂f∂x(x(t),y(t),z(t))dxdt(t)+∂f∂y(x(t),y(t),z(t))dydt(t)+∂f∂z(x(t),y(t),z(t))dzdt(t)
de la Ecuación 2.4.2, sin argumentos, es∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt+∂f∂zdzdt. El diagrama de árbol correspondiente es
Debido a quex(t),y(t) yz(t) son cada una funciones de una sola variable, las derivadas al lado de las líneas inferiores del árbol son derivadas ordinarias, en lugar de parciales.
Ejemplos de reglas de cadena
Hagamos primero algunos ejemplos de rutina y trabajemos nuestro camino hacia algunos más complejos.
En este ejemplo encontramos∂∂sf(x(s,t),y(s,t)) para
f(x,y)=exyx(s,t)=sy(s,t)=cost
DefinirF(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)). La regla de cadena apropiada para este ejemplo es la ecuación superior del Teorema 2.4.1.
∂F∂s(s,t)=∂f∂x(x(s,t),y(s,t))∂x∂s(s,t)+∂f∂y(x(s,t),y(s,t))∂y∂s(s,t)
Para las funciones dadas
f(x,y)=exy∂f∂x(x,y)=yexy∂f∂x(x(s,t),y(s,t))=y(s,t)ex(s,t)y(s,t)=cost escost∂f∂y(x,y)=xexy∂f∂y(x(s,t),y(s,t))=x(s,t)ex(s,t)y(s,t)=s escost∂x∂s=1∂y∂s=0
para que
∂F∂s(s,t)=∂f∂x⏞{cost escost}∂x∂s⏞(1)+∂f∂y⏞{s escost}∂y∂s⏞(0)=cost escost
En este ejemplo encontramosddtf(x(t),y(t)) para
f(x,y)=x2−y2x(t)=costy(t)=sint
DefinirF(t)=f(x(t),y(t)). Dado queF(t) es una función de una variable su derivada se denotadFdt en lugar de∂F∂t. La regla de cadena apropiada para este ejemplo (ver 2.4.2) es
dFdt(t)=∂f∂x(x(t),y(t))dxdt(t)+∂f∂y(x(t),y(t))dydt(t)
Para las funciones dadas
f(x,y)=x2−y2∂f∂x(x,y)=2x∂f∂x(x(t),y(t))=−2x(t)=−2cost∂f∂y(x,y)=−2y∂f∂y(x(t),y(t))=−2y(t)=−2sintdxdt=−sintdydt=cost
para que
dFdt(t)=(2cost)(−sint)+(−2sint)(cost)=−4sintcost
Por supuesto, en este ejemplo podemos calcularF(t) explícitamente
F(t)=f(x(t),y(t))=x(t)2−y(t)2=cos2t−sin2t
y luego diferenciar
F′(t)=2(cost)(−sint)−2(sint)(cost)=−4sintcost
Definiru(x,t)=x+ct yw(x,t)=f(x+ct)=f(u(x,t)). Luego
∂∂tf(x+ct)=∂w∂t(x,t)=dfdu(u(x,t))∂u∂t(x,t)=cf′(x+ct)
Definirw(x,t)=f(x+ct) yW(x,t)=∂w∂t(x,t)=cf′(x+ct)=F(u(x,t)) dóndeF(u)=cf′(u) yu(x,t)=x+ct. Entonces
∂2∂t2f(x+ct)=∂W∂t(x,t)=dFdu(u(x,t))∂u∂t(x,t)=cf″(x+ct)c=c2f″(x+ct)
Supongamos que se nos dice esoF(P,V,T)=0 y que vamos a encontrar∂P∂T.
Antes de que∂P∂T, podamos encontrar primero tenemos que decidir qué significa. Esto sucede regularmente en las aplicaciones. De hecho, este problema particular proviene de la termodinámica. Las variablesP, V, T son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de algún gas. Estas tres variables no son independientes. Están relacionados por una ecuación de estado, aquí denotado Los valoresF(P,V,T)=0. dados para dos cualesquiera deP, V, T, los terceros se pueden encontrar resolviendo SeF(P,V,T)=0. nos pide encontrar∂P∂T. Esto implícitamente nos instruye a tratarP, en este problema, como la variable dependiente. Entonces una redacción cuidadosa de este problema (que nunca encontrarás en el “mundo real”) sería la siguiente. La funciónP(V,T) se define porF(P(V,T),V,T)=0. Find Es(∂P∂T)V. decir, encontrar la tasa de cambio de presión a medida que se va variando la temperatura, mientras se mantiene fijo el volumen.
Como no se nos dice explícitamente lo queF es, no podemos resolver explícitamente paraP(V,T). Entonces, en cambio diferenciamos ambos lados de
F(P(V,T),V,T)=0
con respecto aT, mientras se mantieneV fijo. Piense en el lado izquierdo,F(P(V,T),V,T), como estarF(P(V,T),Q(V,T),R(V,T)) conQ(V,T)=V yR(V,T)=T. Por la regla de la cadena,
∂∂TF(P(V,T),Q(V,T),R(V,T))=F1∂P∂T+F2∂Q∂T+F3∂R∂T=0
conFj referencia a la derivada parcial deF respecto a sujth argumento. Los usuarios experimentados de reglas de cadena nunca introducenQ yR. en su lugar, simplemente escriben
∂F∂P∂P∂T+∂F∂V∂V∂T+∂F∂T∂T∂T=0
Recordando queV yT son las variables independientes y que, en la computación∂∂T,V se debe tratar como una constante,
∂V∂T=0∂T∂T=1
Ahora poniendo en la dependencia funcional
∂F∂P(P(V,T),V,T)∂P∂T(V,T)+∂F∂T(P(V,T),V,T)=0
y resolviendo
∂P∂T(V,T)=−∂F∂T(P(V,T),V,T)∂F∂P(P(V,T),V,T)
Supongamos quef(x,y)=0 y que vamos a encontrard2ydx2.
Una vez más,x y noy son variables independientes. Dado un valor para unox oy, el otro se determina resolviendof(x,y)=0. Ya que se nos pided2ydx2, encontrarlo esy que se debe ver como una función dex, más que al revés. Entoncesf(x,y)=0 realmente significa que, en este problema,f(x,y(x))=0 para todosx. Diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto ax,
⟹af(x,y(x))=0for all x⟹ddxf(x,y(x))=0
Obsérvese que noddxf(x,y(x)) es lo mismo quefx(x,y(x)). El primero es, por definición, la tasa de cambio con respecto ax deg(x)=f(x,y(x)). Precisamente,
dgdx=lim
Por otra parte, por definición,
\begin{align*} f_x(x,y)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\notag\\ \implies f_x\big(x,y(x)\big) &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\big(x+\Delta x\,,\,y(x)\big) -f\big(x\,,\,y(x)\big)} {\Delta x} \tag{$**$} \end{align*}
Los lados de la mano derecha(*) y no(**) son los mismos. En\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\text{,} como\Delta x varía el valor dey eso se sustituye por el primerof(\cdots) en el lado derecho, es decir,y(x+\Delta x)\text{,} cambia como\Delta x cambios. Es decir, estamos calculando la tasa de cambio def a lo largo del camino (curvo)y=y(x)\text{.} En(**)\text{,} el valor correspondiente dey esy(x) y es independiente de Es\Delta x\text{.} decir, estamos calculando la tasa de cambio def a lo largo de una línea recta horizontal. Como ejemplo concreto, supongamos quef(x,y)=x+y\text{.} Entonces,0=f\big(x\,,\,y(x)\big)=x+y(x) day(x)=-x para que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,-x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x+(-x)] =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}0 =0 \nonumber
Perof(x,y)=x+y implica quef_x(x,y)=1 para todosx yy para que
f_x(x,y(x))=f_x(x,y)\Big|_{y=-x}=1\Big|_{y=-x}=1 \nonumber
Ahora volvamos a
\begin{align*} & \phantom{\implies a} f\big(x,y(x)\big) = 0\qquad\text{for all }x\\ & \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\big(x,y(x)\big) = 0\\ & \implies f_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x) = 0\qquad\text{by the chain rule}\\ & \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x) = -\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\\ & \implies \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right]\\ & \phantom{\implies}\qquad= -\frac{f_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f_x\big(x,y(x)\big)] -f_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f_y\big(x,y(x)\big)]} {f_y\big(x,y(x)\big)^2} \tag{$\dagger$} \end{align*}
por la regla del cociente. Ahora basta con sustituir en\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_x\big(x,y(x)\big)\big] y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_y\big(x,y(x)\big)\big]\text{.} Para el primero aplicar la regla de la cadena ah(x) = u\big(x,y(x)\big) conu(x,y)=f_x\big(x,y\big)\text{.}
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_x\big(x,y(x)\big)\big]&=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=u_x\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +u_y\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{xx}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_{xy}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{xx}\big(x,y(x)\big) -f_{xy}\big(x,y(x)\big) \left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right] \end{align*}
Sustituyendo esto y
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[f_y\big(x,y(x)\big)\big] &=f_{yx}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} +f_{yy}\big(x,y(x)\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\cr &=f_{yx}\big(x,y(x)\big) -f_{yy}\big(x,y(x)\big) \left[\frac{f_x\big(x,y(x)\big)}{f_y\big(x,y(x)\big)}\right] \end{align*}
en el lado derecho de(\dagger) da la respuesta final.
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x) &= -\frac{ f_y f_{xx} - f_y f_{xy} \frac{f_x}{f_y} - f_x f_{yx} + f_x f_{yy}\frac{f_x}{f_y}} {f_y^2}\\ &= -\frac{ f_y^2 f_{xx} - 2 f_x f_y f_{xy} + f_x^2 f_{yy}} {f_y^3} \end{align*}
con todos def_x\text{,}f_y\text{,}f_{xx}\text{,}f_{xy}\text{,}f_{yy} tener argumentos\big(x\,,\,y(x)\big)\text{.}
Pasamos ahora a la prueba del Teorema 2.4.1. Para darle una idea de cómo irá la prueba, primero revisamos la prueba de la regla familiar de la cadena unidimensional.
Revisión del Comprobante de\frac{d}{dt}f\big(x(t)\big) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)
Como calentamiento, revisemos la prueba de la regla de la cadena unidimensional
\frac{d}{dt}f\big(x(t)\big) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}(t) \nonumber
asumiendo que\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} existe y eso\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} es continuo. Deseamos encontrar la derivada deF(t) = f\big(x(t)\big)\text{.} Por definición
\begin{align*} F'(t) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big)}{h} \end{align*}
Observe que el numerador es la diferencia def(x) evaluado a dos valores cercanos dex\text{,} a saberx_1=x(t+h) yx_0=x(t)\text{.} El teorema del valor medio es una buena herramienta para estudiar la diferencia en los valores def(x) en dos puntos cercanos. Recordemos que el teorema del valor medio dice que, para cualquier dadox_0 yx_1\text{,} existe un (en general desconocido)c entre ellos para que
f(x_1) - f(x_0) = f'(c)\ (x_1-x_0) \nonumber
Para esta prueba, elegimosx_0=x(t) yx_1=x(t+h)\text{.} El teorema del valor medio nos dice que existe unc_h modo que
\begin{align*} f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big) &= f(x_1)-f(x_0) = f'(c_h)\ \big[x(t+h)-x(t)\big] \end{align*}
Hemos puesto el subíndicec_h para hacer hincapiéh enc_h\text{,} lo que está entrex_0=x(t) yx_1=x(t+h)\text{,} puede depender deh\text{.} Ahora ya quec_h está atrapado entrex(t) yx(t+h) y ya quex(t+h)\rightarrow x(t) comoh\rightarrow 0\text{,} tenemos eso tambiénc_h debe tender a x(t)comoh\rightarrow 0\text{.} enchufar esto a la definición deF'(t)\text{,}
\begin{align*} F'(t) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(t+h)\big)-f\big(x(t)\big)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(c_h)\ \big[x(t+h)-x(t)\big]}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}f'(c_h)\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}\\ &= f'\big(x(t)\big)\ x'(t) \end{align*}
según se desee.
Prueba de Teorema 2.4.1
Ahora vamos a probar la fórmula para\frac{\partial }{\partial s} f\big( x(s,t)\,,\,y(s,t)\big) que se da en el Teorema 2.4.1. La prueba utiliza las mismas ideas que la prueba de la regla de una cadena variable, que acabamos de revisar.
Deseamos encontrar la derivada parcial con respecto as deF(s,t)=f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\text{.} Por definición
\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t) &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(s+h,t)-F(s,t)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big) -f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)}{h} \end{align*}
El numerador es la diferencia def(x,y) evaluada a dos valores cercanos de(x,y)\text{,} a saber(x_1,y_1)=\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big) e(x_0,y_0)=\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\text{.} In pasando de(x_0,y_0) a(x_1,y_1)\text{,} ambos elx yy -coordenadas cambian. Al sumar y restar podemos separar el cambio en lax coordenada -del cambio en lay coordenada -.
\begin{gather*} f(x_1,y_1) - f(x_0,y_0) =\big\{f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1)\big\} + \big\{f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0)\big\} \end{gather*}
La primera mitad,\big\{f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1)\big\}\text{,} tiene el mismoy argumento en ambos términos y así lo es la diferencia de la función de una variableg(x) = f(x,y_1) (viendoy_1 solo como una constante) evaluada en los dos valores cercanos,x_0\text{,}x_1\text{,} dex\text{.} Consecuentemente, podemos hacer uso del valor medio teorema como lo hicimos en §2.4.3 anterior. Hay unc_{x,h} entrex_0=x(s,t) yx_1=x(s+h,t) tal que
\begin{align*} f(x_1,y_1) - f(x_0,y_1) &=g(x_1) - g(x_0) =g'(c_{x,h}) [x_1-x_0] =\frac{\partial f}{\partial x}(c_{x,h}\,,\,y_1)\,[x_1-x_0]\\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\,\big[x(s+h,t)-x(s,t)\big] \end{align*}
Hemos introducido los dos subíndicesc_{x,h} para recordarnos que puede dependerh y que se encuentra entre los dosx -valoresx_0 yx_1\text{.}
Del mismo modo, la segunda mitad,\big\{f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0)\big\}\text{,} es la diferencia de la función de una variableh(y) = f(x_0,y) (viendox_0 solo como una constante) evaluada en los dos valores cercanos,y_0\text{,}y_1\text{,} de So,y\text{.} por el teorema del valor medio,
\begin{align*} f(x_0,y_1) - f(x_0,y_0) &=h(y_1) - h(y_0) =h'(c_{y,h}) [y_1-y_0] =\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,c_{y,h})\,[y_1-y_0]\\ &=\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big)\,\big[y(s+h,t)-y(s,t)\big] \end{align*}
para algunos (desconocidos)c_{y,h} entrey_0=y(s,t) yy_1=y(s+h,t)\text{.} Otra vez, los dos subíndices en nosc_{y,h} recuerdan que puede depender deh y que se encuentra entre los dosy -valoresy_0 yy_1\text{.} Así, señalando que, comoh tiende a cero,c_{x,h}\text{,} que es atrapado entrex(s,t) yx(s+h,t)\text{,} debe tender ax(s,t)\text{,} yc_{y,h}\text{,} que está atrapado entrey(s,t) yy(s+h,t)\text{,} debe tender ay(s,t)\text{,}
\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x(s+h,t)\,,\,y(s+h,t)\big) -f\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\,\big[x(s+h,t)-x(s,t)\big] }{h}\\ &\hskip0.75in+ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big)\,\big[y(s+h,t)-y(s,t)\big] }{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial f}{\partial x}\big(c_{x,h}\,,\,y(s+h,t)\big)\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(s+h,t)-x(s,t)}{h}\\ &\hskip0.75in+ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,c_{y,h}\big) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{y(s+h,t)-y(s,t) }{h}\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(s,t)\,,\,y(s,t)\big)\, \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) \end{align*}
Podemos por supuesto seguir el mismo procedimiento para evaluar la derivada parcial con respecto at\text{.} Esto concluye la prueba del Teorema 2.4.1.
Ejercicios
Etapa 1
Escriba la regla de la cadena para cada una de las siguientes funciones.
- \frac{\partial h}{\partial x}parah(x,y)=f\big(x,u(x,y)\big)
- \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}parah(x)=f\big(x,u(x),v(x)\big)
- \frac{\partial h}{\partial x}parah(x,y,z)=f\big(u(x,y,z),v(x,y),w(x)\big)
A continuaciónz=f(x,y) se muestra una pieza de la superficie para alguna función continuamente diferenciablef(x,y)\text{.} La curva de nivelf(x,y)=z_1 se marca con una línea azul. Los tres puntosP_0\text{,}P_1\text{,} yP_2 se encuentran en la superficie.
En la curva de nivelz=z_1\text{,} podemos pensar en función deyx\text{.} Letw(x)=f(x,y(x))=z_1\text{.} We aproximamos, enP_0\text{,}f_x(x,y) \approx \frac{\Delta f}{\Delta x} e\frac{dw}{dx}(x)\approx\frac{\Delta w}{\Delta x}\text{.} Identificamos las cantidades\Delta f\text{,}\Delta w\text{,} y\Delta x a partir del diagrama.
Dejarw=f(x,y,t) conx yy dependiendo det\text{.} Supongamos que en algún momento(x,y) y en algún momentot\text{,} las derivadas parcialesf_x\text{,}f_y yf_t son iguales a2\text{,}-3 y5 respectivamente, mientras\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1 y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2\text{.} Encuentra y explica la diferencia entre\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} yf_t\text{.}
Textos termodinámicos utilizan la relación
\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)=-1 \nonumber
Explique el significado de esta ecuación y demuestre que es verdad.
¿Qué tiene de malo el siguiente argumento? Supongamos quew=f(x,y,z) yz=g(x,y)\text{.} Por la regla de la cadena,
\begin{gather*} \frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} \end{gather*}
De ahí0=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} y así\frac{\partial w}{\partial z}=0 o\frac{\partial z}{\partial x}=0\text{.}
Etapa 2
Utilice dos métodos (uno usando la regla de cadena) para evaluar\frac{\partial w}{\partial s} y\frac{\partial w}{\partial t} dado que la funciónw=x^2+y^2+z^2\text{,} conx=st,\ y=s\cos t yz=s\sin t\text{.}
Evaluar\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy) en términos de derivadas parciales def\text{.} Puedes asumir quef es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.
Encuentra todas las derivadas de segundo orden deg(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)\text{.} Puedes asumir quef(x,y) es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.
Supongamos quef(x,y) satisface la ecuación de Laplace\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0\text{.} Mostrar que este es también el caso de la función compuesta Esg(s,t) = f (s - t, s + t)\text{.} decir, mostrar que\frac{\partial^2 g}{\partial s^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial t^2}=0\text{.} puedes asumir quef(x,y) es una función suave para que la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas aplicar.
Dejaz = f(x,y) dóndex = 2s + t yy = s - t\text{.} Encuentra los valores de las constantesa\text{,}b yc tal que
a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} +c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 z}{\partial s^2} +\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \nonumber
Se puede asumir quez = f(x,y) es una función suave para que se aplique la Regla de Cadena y el Teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas.
DejarF ser una función en\mathbb{R}^2\text{.} Denotar puntos en\mathbb{R}^2 por(u, v) y las derivadas parciales correspondientes deF porF_u(u, v)\text{,}F_v (u, v)\text{,}F_{uu}(u, v)\text{,}F_{uv}(u, v)\text{,} etc.. Supongamos que esos derivados son todos continuos. Express
\begin{gather*} \frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y} F(x^2 - y^2 , 2xy) \end{gather*}
en términos de derivadas parciales de la funciónF\text{.}
u(x,y)se define como
u(x,y) = e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) \nonumber
para una función arbitrariaF(z)\text{.}
- SiF(z) = \ln(z)\text{,} encuentra\frac{\partial u}{\partial x} y\frac{\partial u}{\partial y}\text{.}
- Para unF(z) espectáculo arbitrario queu(x,y) satisfaga
2xy\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = u \nonumber
Dejarf(x) yg(x) ser dos funciones dex satisfacciónf''(7) = -2 yg''(-4) = -1\text{.} Siz = h(s,t) = f(2s + 3t) + g(s - 6t) es una función des yt\text{,} encontrar el valor de\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} cuándos = 2 yt = 1\text{.}
Supongamos quew = f (xz, yz)\text{,} dondef es una función diferenciable. Demostrar que
x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} = z\frac{\partial w}{\partial z} \nonumber
Supongamos quez = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, yx = r \cos t\text{,}y = r \sin t\text{.} Expresar las siguientes derivadas parciales en términosr\text{,}t\text{,} y derivadas parciales def\text{.}
- \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}
- \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}
Letz = f(x, y)\text{,} dondef(x, y) tiene derivados parciales continuos de segundo orden, y
\begin{gather*} f_x (2, 1) = 5, \qquad f_y(2, 1) =-2, \\ f_{xx}(2, 1) = 2,\qquad f_{xy}(2, 1) = 1, \qquad f_{yy}(2, 1) = -4 \end{gather*}
Encuentra\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}} z\big(x(t),y(t)\big) cuándox(t)=2t^2\text{,}y(t)=t^3 yt=1\text{.}
Supongamos que la funciónF(x,y,z) satisface la ecuación\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} y las derivadas parciales mixtas\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} y\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} son iguales. QueA sean algunas constantes y dejemosG(\gamma mma, s, t) = F (\gamma mma + s, \gamma mma-s, At)\text{.} encontrar el valor deA tal que\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial^2 G}{\partial \gamma mma^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial s^2}\text{.}
Dejarf(x) ser una función diferenciable, y supongamos que se le da quef'(0) = 10\text{.} Letg(s,t) = f (as - bt)\text{,} dondea yb son constantes. Evaluar\frac{\partial g}{\partial s} en el punto es(s,t) = (b,a)\text{,} decir, encontrar\frac{\partial g}{\partial s}\big|_{(b,a)}\text{.}
Dejarf(u,v) ser una función diferenciable de dos variables, y dejarz ser una función diferenciable dex yy definida implícitamente porf(xz,yz) = 0\text{.} Mostrar que
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = -z \nonumber
Dejar quew(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t) para alguna función dos veces diferenciableu = u(x, y)\text{.}
- Encuentraw_{ss} en términos deu_{xx}\text{,}u_{xy}, yu_{yy}\text{.} puedes asumir queu_{xy} = u_{yx}\text{.}
- Supongamosu_{xx} + u_{yy} = 0\text{.} por quéA voluntad constantew_{ss} = Aw_{tt}\text{?}
Supongamos quef(x,y) es dos veces diferenciable (conf_{xy}=f_{yx}), yx=r\cos\theta yy=r\sin\theta\text{.}
- Evaluarf_\theta\text{,}f_r yf_{r\theta} en términosr\text{,}\theta y derivados parciales def respecto ax yy\text{.}
- Dejarg(x,y) ser otra función satisfactoriag_x=f_y yg_y=-f_x\text{.} Expressf_r yf_\theta en términos der\text{,}\theta yg_r\text{,}g_\theta\text{.}
Por definición, el gradiente de la función diferenciablef(x,y) en el punto\big( x_0\,,\,y_0\big) es
\vec{n}abla f(x_0,y_0) =\left \langle \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big) \right \rangle \nonumber
Supongamos que sabemos
\vec{n}abla f(3,6)=\left \langle 7,8 \right \rangle \nonumber
Supongamos también que
\vec{n}abla g(1,2)=\left \langle -1,4 \right \rangle, \nonumber
y
\vec{n}abla h(1,2)=\left \langle -5,10 \right \rangle. \nonumber
Asumiendog(1,2)=3\text{,}h(1,2)=6\text{,} yz(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big)\text{,} encontrar
\vec{n}abla z(1,2) \nonumber
- Dejarf ser una función diferenciable arbitraria definida en toda la línea real. Mostrar que la funciónw definida en todo el plano como
w(x,y)=e^{-y}f(x-y) \nonumber
satisface la ecuación diferencial parcial:w+\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0 \nonumber
- Las ecuacionesx=u^3-3uv^2\text{,}y=3u^2v-v^3 yz=u^2-v^2 definirz como una función dex yy\text{.} Determinar\frac{\partial z}{\partial x} en el punto(u,v)=(2,1) que corresponde al punto(x,y)=(2,11)\text{.}
Las ecuaciones
\begin{align*} x^2-y\cos(uv)&=v\\ x^2+y^2-\sin(uv)&=\frac{4}{\pi}u \end{align*}
definirx ey implícitamente como funciones deu yv (es decir,x=x(u,v)\text{,} yy=y(u,v)) cerca del punto(x,y)=(1,1) en el que(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.}
- Encuentra
\frac{\partial x}{\partial u}\text{ and } \frac{\partial y}{\partial u} \nonumber
en(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.} - Siz=x^4+y^4\text{,} determinar\frac{\partial z}{\partial u} en el punto(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)\text{.}
Dejarf(u,v) ser una función diferenciable, y dejaru=x+y yv=x-y\text{.} encontrar una constante,\alpha \text{,} tal que
\begin{gather*} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{gather*}
Etapa 3
La ecuación de onda
\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0 \nonumber
surge en muchos modelos que involucran fenómenos ondulados. Dejaru(x,t) yv(\xi,\eta) relacionarse por el cambio de variables
\begin{align*} u(x,t)&=v\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\cr \xi(x,t)&=x-ct\cr \eta(x,t)&=x+ct \end{align*}
- Demuestre que\ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ si y solo si\ \frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}=0\text{.}
- Demostrar que\ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ si y solo si\ u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\ para algunas funcionesF yG\text{.}
- Interpretar\ F(x-ct)+G(x+ct)\ en términos de olas viajeras. Piense enu(x,t) como la altura, en la posiciónx y el tiempot\text{,} de una ola que viaja a lo largo delx eje.
Observación: No te arroje los extraños símbolos\xi y\eta\text{.} son solo dos letras inofensivas del alfabeto griego, llamadas “xi” y “eta” respectivamente.
Evaluar
- \frac{\partial y}{\partial z}sie^{yz}-x^2 z \ln y = \pi
- \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}siF(x,y,x^2-y^2)=0
- \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_usixyuv=1 yx+y+u+v=0