11.1: Operaciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Una de las primeras habilidades matemáticas que todos aprendemos es cómo sumar un par de enteros positivos. Un niño pequeño pronto reconoce que algo está mal si una suma tiene dos valores, particularmente si su suma es diferente de la del maestro. Además, es poco probable que un niño considere asignar un valor no positivo a la suma de dos enteros positivos. Es decir, a una edad temprana probablemente sabemos que la suma de dos enteros positivos es única y pertenece al conjunto de enteros positivos. Esto es lo que caracteriza a todas las operaciones binarias en un conjunto.
¿Operación?
Definición 11.1.1: Binary Operation
DejarS ser un conjunto no vacío. Una operación binaria onS es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos deS un elemento único deS. En otras palabras, una operación binaria es una función deS×SS.
Ejemplo11.1.1: Some Common Binary Operations
La unión y la intersección son operaciones binarias en el conjunto de poder de cualquier universo. La suma y la multiplicación son operadores binarios en los números naturales. La suma y la multiplicación son operaciones binarias en el conjunto de 2 por 2 matrices reales, laM2×2(R). división es una operación binaria en algunos conjuntos de números, como los reales positivos. Pero en los enteros (1/2∉Z) e incluso en los números reales no(1/0 se define), la división no es una operación binaria.
Nota11.1.1
- Hacemos hincapié en que la imagen de cada par ordenado debe estar enS. Este requisito descalifica la resta sobre los números naturales de la consideración como una operación binaria, ya que no1−2 es un número natural. La resta es una operación binaria en los enteros.
- Sobre Notación. A pesar de que una operación binaria es una función, los símbolos, no las letras, se utilizan para nombrarlos. El símbolo más utilizado para una operación binaria es un asterisco, También∗. usaremos un diamante,⋄, cuando se necesite un segundo símbolo.
Si∗ es una operación binariaSa,b∈S, encendida y hay tres formas comunes de denotar la imagen del par(a,b). son:
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} *a b & a*b & a b *\\\ textrm {Forma de prefijo} &\ textrm {Forma de infijo} &\ textrm {Forma de postfijo}\\\ end {array}\ end {ecuación*}
Todos estamos familiarizados con la forma de infijo. Por ejemplo,2+3 es como se enseña a todos a escribir la suma de 2 y 3. ¡Pero2+3 fíjense cómo se acaba de describir en la frase anterior! La palabra suma precedió a 2 y 3. Oralmente, la forma de prefijo es bastante natural para nosotros. Los formularios de prefijo y postfijo son superiores a la forma de infijo en algunos aspectos. En el Capítulo 10, vimos que las expresiones algebraicas con más de una operación no necesitaban paréntesis si estaban en forma de prefijo o postfijo. Sin embargo, debido a nuestra familiaridad con la forma de infijo, la utilizaremos durante la mayor parte del resto de este libro.
Algunas operaciones, como la negación de números y la complementación de conjuntos, no son binarios, sino operadores unarios.
Definición11.1.2: Unary Operation
DejarS ser un conjunto no vacío. Un operador unario onS es una regla que asigna a cada elemento deS un elemento único deS. En otras palabras, un operador unario es una función deSS.
Propiedades de Operaciones
Siempre que se encuentra una operación en un conjunto, hay varias propiedades que deberían venir a la mente de inmediato. Para hacer uso efectivo de una operación, debes saber cuál de estas propiedades tiene. A estas alturas, ya deberías estar familiarizado con la mayoría de estas propiedades. Aquí enumeraremos los más comunes para refrescar tu memoria y definirlos por primera vez en un entorno general.
Primero enumeramos las propiedades de una sola operación binaria.
Definición11.1.3: Commutative Property
Dejar∗ ser una operación binaria en un conjuntoS. Decimos que * es conmutativo si y solo sia∗b=b∗a para todosa,b∈S.
Definición11.1.4: Associative Property
Dejar∗ ser una operación binaria en un conjuntoS. Decimos que∗ es asociativo si y solo si(a∗b)∗c=a∗(b∗c) para todosa,b,c∈S.
Definición11.1.5: Identity Property
Dejar∗ ser una operación binaria en un conjuntoS. Decimos que∗ tiene una identidad si y solo si existe un elemento,e, enS tal quea∗e=e∗a=a para todosa∈S.
El siguiente inmueble presume que∗ tiene la propiedad de identidad.
Definición11.1.6: Inverse Property
Dejar∗ ser una operación binaria en un conjuntoS. Decimos que∗ tiene la propiedad inversa si y solo si para cada unoa∈S, existeb∈S tal quea∗b=b∗a=e. Llamamos ab una inversa dea.
Definición11.1.7: Idempotent Property
Dejar∗ ser una operación binaria en un conjuntoS. Decimos que∗ es idempotente si y solo sia∗a=a para todosa∈S.
Ahora enumeramos propiedades que aplican a dos operaciones binarias.
Definición11.1.8: Left Distributive Property
Dejar∗ y⋄ ser operaciones binarias en un conjuntoS. Decimos que⋄ se deja distributivo sobre * si y solo sia⋄(b∗c)=(a⋄b)∗(a⋄c) para todosa,b,c∈S.
Definición11.1.9: Right Distributive Property
Dejar∗ y⋄ ser operaciones binarias en un conjuntoS. Decimos que⋄ es correcto distributivo sobre * si y solo si(b∗c)⋄a=(b⋄a)∗(c⋄a) para todosa,b,c∈S.
Definición11.1.10: Distributive Property
Dejar∗ y⋄ ser operaciones binarias en un conjuntoS. Decimos que⋄ es distributivo sobre∗ si y solo si⋄ es distributivo tanto a la izquierda como a la derecha sobre∗.
Hay una propiedad significativa de las operaciones unarias.
Definición11.1.11: Involution Property
Que− sea una operación unaria sobreS. Decimos que− tiene la involución propiedad si−(−a)=a por todosa∈S.
Por último, una propiedad de conjuntos, ya que se refieren a operaciones.
Definición11.1.12: Closure Property
DejarT ser un subconjunto deS y dejar∗ ser una operación binaria enS. Decimos queT se cierra bajo∗ sia,b∈T implica quea∗b∈T.
En otras palabras,T se cierra bajo∗ si al operar en elementos deT con no∗, se pueden obtener nuevos elementos que están fuera deT.
Ejemplo11.1.2: Some Examples of Closure and Non-Closure
- Los enteros impares se cierran bajo multiplicación, pero no bajo suma.
- Dejemosp ser una proposición sobreU y dejemosA ser el conjunto de proposiciones sobreU eso implicap. Eso es;q∈A siq⇒p. EntoncesA se cierra bajo ambos conjunción y disyunción.
- El conjunto de enteros positivos que son múltiplos de 5 se cierra tanto bajo suma como multiplicación.
Es importante darse cuenta de que las propiedades enumeradas anteriormente dependen tanto del conjunto como de la (s) operación (es). Declaraciones como “La multiplicación es conmutativa” o “Los enteros positivos están cerrados”, carecen de sentido por sí mismos. Naturalmente, si hemos establecido un contexto en el que el conjunto u operación faltante está claramente implícito, entonces tendrían sentido.
Mesas de Operación
Si el conjunto en el que se define una operación binaria es pequeño, una tabla suele ser una buena manera de describir la operación. Por ejemplo, podríamos querer definir⊕ on{0,1,2} pora⊕b={a+b if a+b<3a+b−3 if a+b≥3 La mesa para⊕ es
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c | c c c}\ oplus & 0 & 1 & 2\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1\ end {array}\ end {ecuación*}
La fila superior y la columna izquierda de una tabla de operaciones son los encabezados de columna y fila, respectivamente. Para determinara⊕b, encontrar la entrada en la fila etiquetadaa y la columna etiquetadab. La siguiente tabla de operaciones sirve para definir * en{i,j,k}.
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c | c c c} * & i & j & k\\ hline i & i & i & i\\ j & j & j & j & j\\ k & k & k & k\ end {array}\ end {ecuación*}
Tenga en cuenta quej∗k=j, aúnk∗j=k. así, no∗ es conmutativo. La conmutatividad es fácil de identificar en una tabla: la tabla debe ser simétrica con respecto a la diagonal que va desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha.
Ejercicios
Ejercicio11.1.1
Determinar las propiedades que tienen las siguientes operaciones sobre los enteros positivos.
- adición
- multiplicación
- Mdefinido poraMb= larger of a and b
- mdefinido poramb= smaller of a and b
- @definido pora@b=ab
- Responder
-
- Conmutativo y asociativo. Observe que cero es la identidad para la suma, pero no es un entero positivo.
- Conmutativo, asociativo y tiene identidad (1)
- Conmutativo, asociativo, tiene identidad (1) y es idempotente
- Conmutativo, asociativo e idempotente
- Ninguno. Observe que2@(3@3)=134217728, mientras(2@3)@3=512; ya@1=a, mientras1@a=1.
Ejercicio11.1.2
¿Qué pares de operaciones en Ejercicio11.1.1 son distributivas unas sobre otras?
Ejercicio11.1.3
Dejar∗ ser una operación en un setS yA,B⊆S. Demostrar que siA yB están ambos cerrados bajo∗, entonces tambiénA∩B se cierra bajo∗, pero noA∪B necesita ser.
- Responder
-
\ begin {equation*}\ begin {split} a, b\ in A\ cap B &\ Rightarrow a, b\ in A\ textrm {por la definición de intersección}\\ &\ Rightarrow a*b\ in A\ textrm {por el cierre de} A\ textrm {con respecto a} *\ end {split}\ end {ecuación*}
De igual manera,a,b∈A∩B⇒a∗b∈B. Por lo tanto,a∗b∈A∩B. El conjunto de enteros positivos se cierra bajo suma, y también lo es el conjunto de enteros negativos, pero1+−1=0. Por lo tanto, su unión, los enteros distintos de cero, no se cierra bajo suma.
Ejercicio11.1.4
¿Cómo se puede escoger la identidad de una operación de su mesa?
Ejercicio11.1.5
Definira∗b por|a−b|, el valor absoluto dea−b. Qué propiedades∗ tiene en el conjunto de números naturales,N?
- Responder
-
- ∗es conmutativo ya que|a−b|=|b−a| para todosa,b∈N
- ∗no es asociativo. Tomaa=1,b=2, yc=3, entonces(a∗b)∗c=||1−2|−3|=2, ya∗(b∗c)=|1−|2−3||=0.
- Cero es la identidad para∗ onN, ya quea∗0=|a−0|=a=|0−a|=0∗a.
- Cada elemento deN se invierte desde entoncesa∗a=|a−a|=0.
- ∗no es idempotente, ya que, paraa≠0,a∗a=0≠a.