11.1: Operaciones

Una de las primeras habilidades matemáticas que todos aprendemos es cómo sumar un par de enteros positivos. Un niño pequeño pronto reconoce que algo está mal si una suma tiene dos valores, particularmente si su suma es diferente de la del maestro. Además, es poco probable que un niño considere asignar un valor no positivo a la suma de dos enteros positivos. Es decir, a una edad temprana probablemente sabemos que la suma de dos enteros positivos es única y pertenece al conjunto de enteros positivos. Esto es lo que caracteriza a todas las operaciones binarias en un conjunto.

¿Operación?

Definición $\PageIndex{1}$: Binary Operation

Dejar$S$ ser un conjunto no vacío. Una operación binaria on$S$ es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de$S$ un elemento único de$S\text{.}$ En otras palabras, una operación binaria es una función de$S\times S$$S\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Some Common Binary Operations

La unión y la intersección son operaciones binarias en el conjunto de poder de cualquier universo. La suma y la multiplicación son operadores binarios en los números naturales. La suma y la multiplicación son operaciones binarias en el conjunto de 2 por 2 matrices reales, la$M_{2\times 2}(\mathbb{R})\text{.}$ división es una operación binaria en algunos conjuntos de números, como los reales positivos. Pero en los enteros ($1/2\notin \mathbb{Z}$) e incluso en los números reales no$(1/0$ se define), la división no es una operación binaria.

Nota$\PageIndex{1}$

1. Hacemos hincapié en que la imagen de cada par ordenado debe estar en$S\text{.}$ Este requisito descalifica la resta sobre los números naturales de la consideración como una operación binaria, ya que no$1 - 2$ es un número natural. La resta es una operación binaria en los enteros.
2. Sobre Notación. A pesar de que una operación binaria es una función, los símbolos, no las letras, se utilizan para nombrarlos. El símbolo más utilizado para una operación binaria es un asterisco, También$*\text{.}$ usaremos un diamante,$\diamond\text{,}$ cuando se necesite un segundo símbolo.

Si$*$ es una operación binaria$S$$a, b \in S\text{,}$ encendida y hay tres formas comunes de denotar la imagen del par$(a, b)\text{.}$ son:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} *a b & a*b & a b *\\\ textrm {Forma de prefijo} &\ textrm {Forma de infijo} &\ textrm {Forma de postfijo}\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Todos estamos familiarizados con la forma de infijo. Por ejemplo,$2 + 3$ es como se enseña a todos a escribir la suma de 2 y 3. ¡Pero$2 + 3$ fíjense cómo se acaba de describir en la frase anterior! La palabra suma precedió a 2 y 3. Oralmente, la forma de prefijo es bastante natural para nosotros. Los formularios de prefijo y postfijo son superiores a la forma de infijo en algunos aspectos. En el Capítulo 10, vimos que las expresiones algebraicas con más de una operación no necesitaban paréntesis si estaban en forma de prefijo o postfijo. Sin embargo, debido a nuestra familiaridad con la forma de infijo, la utilizaremos durante la mayor parte del resto de este libro.

Algunas operaciones, como la negación de números y la complementación de conjuntos, no son binarios, sino operadores unarios.

Definición$\PageIndex{2}$: Unary Operation

Dejar$S$ ser un conjunto no vacío. Un operador unario on$S$ es una regla que asigna a cada elemento de$S$ un elemento único de$S\text{.}$ En otras palabras, un operador unario es una función de$S$$S\text{.}$

Propiedades de Operaciones

Siempre que se encuentra una operación en un conjunto, hay varias propiedades que deberían venir a la mente de inmediato. Para hacer uso efectivo de una operación, debes saber cuál de estas propiedades tiene. A estas alturas, ya deberías estar familiarizado con la mayoría de estas propiedades. Aquí enumeraremos los más comunes para refrescar tu memoria y definirlos por primera vez en un entorno general.

Primero enumeramos las propiedades de una sola operación binaria.

Definición$\PageIndex{3}$: Commutative Property

Dejar$*$ ser una operación binaria en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que * es conmutativo si y solo si$a * b = b * a$ para todos$a, b \in S\text{.}$

Definición$\PageIndex{4}$: Associative Property

Dejar$*$ ser una operación binaria en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$*$ es asociativo si y solo si$(a * b) * c = a * (b * c)$ para todos$a, b, c \in S\text{.}$

Definición$\PageIndex{5}$: Identity Property

Dejar$*$ ser una operación binaria en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$*$ tiene una identidad si y solo si existe un elemento,$e\text{,}$ en$S$ tal que$a * e = e * a = a$ para todos$a \in S\text{.}$

El siguiente inmueble presume que$*$ tiene la propiedad de identidad.

Definición$\PageIndex{6}$: Inverse Property

Dejar$*$ ser una operación binaria en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$*$ tiene la propiedad inversa si y solo si para cada uno$a \in S\text{,}$ existe$b \in S$ tal que$a*b = b*a = e\text{.}$ Llamamos a$b$ una inversa de$a\text{.}$

Definición$\PageIndex{7}$: Idempotent Property

Dejar$*$ ser una operación binaria en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$*$ es idempotente si y solo si$a * a = a$ para todos$a \in S\text{.}$

Ahora enumeramos propiedades que aplican a dos operaciones binarias.

Definición$\PageIndex{8}$: Left Distributive Property

Dejar$*$ y$\diamond$ ser operaciones binarias en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$\diamond$ se deja distributivo sobre * si y solo si$a \diamond (b * c) = (a \diamond b) * (a \diamond c)$ para todos$a,b,c\in S\text{.}$

Definición$\PageIndex{9}$: Right Distributive Property

Dejar$*$ y$\diamond$ ser operaciones binarias en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$\diamond$ es correcto distributivo sobre * si y solo si$(b * c)\diamond a = (b\diamond a) * (c \diamond a)$ para todos$a,b,c\in S\text{.}$

Definición$\PageIndex{10}$: Distributive Property

Dejar$*$ y$\diamond$ ser operaciones binarias en un conjunto$S\text{.}$ Decimos que$\diamond$ es distributivo sobre$*$ si y solo si$\diamond$ es distributivo tanto a la izquierda como a la derecha sobre$*\text{.}$

Hay una propiedad significativa de las operaciones unarias.

Definición$\PageIndex{11}$: Involution Property

Que$-$ sea una operación unaria sobre$S\text{.}$ Decimos que$-$ tiene la involución propiedad si$-(-a) = a$ por todos$a \in S\text{.}$

Por último, una propiedad de conjuntos, ya que se refieren a operaciones.

Definición$\PageIndex{12}$: Closure Property

Dejar$T$ ser un subconjunto de$S$ y dejar$*$ ser una operación binaria en$S\text{.}$ Decimos que$T$ se cierra bajo$*$ si$a, b \in T$ implica que$a * b \in T\text{.}$

En otras palabras,$T$ se cierra bajo$*$ si al operar en elementos de$T$ con no$*\text{,}$ se pueden obtener nuevos elementos que están fuera de$T\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Some Examples of Closure and Non-Closure

1. Los enteros impares se cierran bajo multiplicación, pero no bajo suma.
2. Dejemos$p$ ser una proposición sobre$U$ y dejemos$A$ ser el conjunto de proposiciones sobre$U$ eso implica$p\text{.}$ Eso es;$q \in A$ si$q\Rightarrow p\text{.}$ Entonces$A$ se cierra bajo ambos conjunción y disyunción.
3. El conjunto de enteros positivos que son múltiplos de 5 se cierra tanto bajo suma como multiplicación.

Es importante darse cuenta de que las propiedades enumeradas anteriormente dependen tanto del conjunto como de la (s) operación (es). Declaraciones como “La multiplicación es conmutativa” o “Los enteros positivos están cerrados”, carecen de sentido por sí mismos. Naturalmente, si hemos establecido un contexto en el que el conjunto u operación faltante está claramente implícito, entonces tendrían sentido.

Mesas de Operación

Si el conjunto en el que se define una operación binaria es pequeño, una tabla suele ser una buena manera de describir la operación. Por ejemplo, podríamos querer definir$\oplus$ on$\{0, 1, 2\}$ por$a\oplus b=\left\{ \begin{array}{cc} a+b & \textrm{ if } a+b < 3 \\ a+b-3 & \textrm{ if } a+b\geq 3 \\ \end{array} \right.$ La mesa para$\oplus$ es

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c | c c c}\ oplus & 0 & 1 & 2\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1\ end {array}\ end {ecuación*}

La fila superior y la columna izquierda de una tabla de operaciones son los encabezados de columna y fila, respectivamente. Para determinar$a\oplus b\text{,}$ encontrar la entrada en la fila etiquetada$a$ y la columna etiquetada$b\text{.}$ La siguiente tabla de operaciones sirve para definir * en$\{i, j, k\}\text{.}$

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c | c c c} * & i & j & k\\ hline i & i & i & i\\ j & j & j & j & j\\ k & k & k & k\ end {array}\ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que$j*k = j\text{,}$ aún$k * j = k\text{.}$ así, no$*$ es conmutativo. La conmutatividad es fácil de identificar en una tabla: la tabla debe ser simétrica con respecto a la diagonal que va desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha.

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Determinar las propiedades que tienen las siguientes operaciones sobre los enteros positivos.

1. adición
2. multiplicación
3. $M$definido por$a M b = \textrm{ larger} \textrm{ of } a \textrm{ and } b$
4. $m$definido por$a m b = \textrm{ smaller} \textrm{ of } a \textrm{ and } b$
5. $@$definido por$a @ b = a^b$

Responder

1. Conmutativo y asociativo. Observe que cero es la identidad para la suma, pero no es un entero positivo.
2. Conmutativo, asociativo y tiene identidad (1)
3. Conmutativo, asociativo, tiene identidad (1) y es idempotente
4. Conmutativo, asociativo e idempotente
5. Ninguno. Observe que$2 @ (3 @ 3) = 134217728\text{,}$ mientras$(2 @ 3) @ 3 = 512\text{;}$ y$a @ 1 = a\text{,}$ mientras$1 @ a = 1\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

¿Qué pares de operaciones en Ejercicio$\PageIndex{1}$ son distributivas unas sobre otras?

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejar$*$ ser una operación en un set$S$ y$A, B \subseteq S\text{.}$ Demostrar que si$A$ y$B$ están ambos cerrados bajo$*\text{,}$ entonces también$A\cap B$ se cierra bajo$*\text{,}$ pero no$A \cup B$ necesita ser.

Responder

\ begin {equation*}\ begin {split} a, b\ in A\ cap B &\ Rightarrow a, b\ in A\ textrm {por la definición de intersección}\\ &\ Rightarrow a*b\ in A\ textrm {por el cierre de} A\ textrm {con respecto a} *\ end {split}\ end {ecuación*}

De igual manera,$a, b \in A \cap B \Rightarrow a*b \in B\text{.}$ Por lo tanto,$a * b \in A \cap B\text{.}$ El conjunto de enteros positivos se cierra bajo suma, y también lo es el conjunto de enteros negativos, pero$1 + -1 = 0\text{.}$ Por lo tanto, su unión, los enteros distintos de cero, no se cierra bajo suma.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

¿Cómo se puede escoger la identidad de una operación de su mesa?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Definir$a * b$ por$\lvert a - b \rvert\text{,}$ el valor absoluto de$a - b\text{.}$ Qué propiedades$*$ tiene en el conjunto de números naturales,$\mathbb{N}\text{?}$

Responder

1. $*$es conmutativo ya que$|a−b|=|b−a|$ para todos$a,\: b∈N$
2. $∗$no es asociativo. Toma$a=1$,$b=2$, y$c=3$, entonces$(a∗b)∗c=||1−2|−3|=2$, y$a∗(b∗c)=|1−|2−3||=0$.
3. Cero es la identidad para$∗$ on$\mathbb{N}$, ya que$a∗0=|a−0|=a=|0−a|=0∗a$.
4. Cada elemento de$\mathbb{N}$ se invierte desde entonces$a∗a=|a−a|=0$.
5. $∗$no es idempotente, ya que, para$a≠0$,$a*a=0\neq a$.