14.2: Reescalado de Variables

La reescalación variable de los modelos de campo continuo viene con otra variable adicional, es decir, el espacio, que puede reescalar para eliminar potencialmente más parámetros del modelo. En un espacio dimensional 2-D o superior, puede, teóricamente, tener dos o más variables espaciales para reescalar de forma independiente. Pero generalmente se asume que el espacio es isotrópico (es decir, no hay diferencia entre las direcciones del espacio) en la mayoría de los modelos espaciales, por lo que puede que no sea prácticamente significativo usar diferentes factores de reescalado para diferentes variables espaciales.

En fin, aquí hay un ejemplo. Tratemos de simplificar el siguiente modelo espacial depredador-presa, formulado como un sistema de reacción-difusión en un espacio bidimensional:

$$\begin{align} \dfrac{\partial{r}}{\partial{t}} &=ar-brf+D_{r}\nabla^{2}r \nonumber \\[4pt] &= ar-brf+D_{r} \left(\dfrac{\partial^{2}{r}}{\partial{x^{2}}} +\dfrac{\partial^{2}{r}}{\partial{y^{2}}}\right) \label{(14.20)} \end{align}$$

$$\begin{align} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} &=-cf+drf +D_{f}\nabla^{2}f \nonumber \\[4pt] &=-cf+drf+D_{f} \left(\dfrac{\partial^{2}f}{\partial{x^{2}}} +\dfrac{\partial^{2}f}{\partial{y^{2}}}\right) \label{(14.21)} \end{align}$$

Aquí utilizamos$r$ para presas (conejos) y$f$ para depredadores (zorros), ya que$x$ ya se toman como coordenadas espaciales.$y$ Podemos aplicar las siguientes tres reglas de reescalado a variables de estado$r$ y$f$, así como tiempo$t$ y espacio$x/y$:

$$\begin{align*} r &\rightarrow \alpha{r'} \label{(14.22)} \\[4pt] f &\rightarrow \beta{f'} \label{(14.23)} \\[4pt] t &\rightarrow \gamma{t'} \label{(14.24)} \\[4pt] x, y &\rightarrow \delta x, \delta y \label{(14.25)} \end{align*}$$

Con estos reemplazos, las ecuaciones modelo (Ecuación\ ref {(14.20)} y\ ref {(14.21)}) se pueden reescribir de la siguiente manera:

$$\begin{align} \dfrac{\partial(\alpha{r'})}{\partial{\gamma{t'}}} &=a(\alpha{r'}) -b(\alpha{r'})(\beta{f'}) +D_{r} \left(\dfrac{\partial^{2}(\alpha{r'}) }{\partial{(\delta{x'})^{2}}} +\dfrac{\partial^{2}(\alpha{r'})}{\partial{(\delta{y'})^{2}}}\right) \label{(14.26)} \\[4pt] \dfrac{\partial(\beta{f'})}{\partial{(\gamma{t'})}} &=-c(\beta{f'}) +d(\alpha{r'})(\beta{f'}) +D_{f} \left(\dfrac{\partial^{2}(\beta{f'})}{\partial{(\delta{x'})^{2}}} +\dfrac{\partial^{2}(\alpha{r'})}{\partial{(\delta{y'})}}^{2}\right) \label{(14.27)} \end{align}$$

Podemos recopilar parámetros y factores de reescalado juntos, de la siguiente manera:

$$\begin{align} \dfrac{\partial{r'}}{\partial{t'}} &= a\gamma{r'} -b{\beta}{\gamma{r' f'}} +\dfrac{D_{r}{\gamma}}{\delta^{2}}(\dfrac{\partial^{2}{r'}}{\partial{x^{'2}}}+\dfrac{\partial^{2}{r'}}{\partial{y^{'2}}})\label{(14.28)} \\[4pt] \dfrac{\partial{f'}}{\partial{t'}} &=-c{\gamma}f'+ d{\alpha{\gamma{r' f'}}} +\dfrac{D_{f}\gamma}{\delta^{2}}(\dfrac{\partial^{2}f'}{\partial{x^{'2}}}+\dfrac{\partial^{2}f'}{\partial{y^{'2}}}) \end{align}$$

Entonces podemos aplicar, por ejemplo, las siguientes opciones de reescalado

$$(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = \left(\dfrac{a}{d},\dfrac{a}{b}, \dfrac{1}{a}, \sqrt{\dfrac{D_{r}}{a}}\right) \label{(14.30)}$$

para simplificar las ecuaciones del modelo en

$$\dfrac{\partial{r'}}{\partial{t'}} =r' -r' f' +\nabla^{2}r', \label{(14.31)}$$

$$\dfrac{\partial{f'}}{\partial{t'}} =-e{\gamma{f'}} +r' f' +D_{ratio}\nabla^{2}f' \label{(14.32)}$$

con$e = c/a$ y$D_{ratio} = D_{f}/D_{r}$. El modelo original tenía seis parámetros ($a$,$b$,$c$$d$,$D_r$, y$D_f$), pero pudimos reducirlos en solo dos parámetros ($e$y$D_{ratio}$) con un poco de ayuda adicional del factor de reescalado espacial$δ$. Este resultado de reescalamiento también nos dice alguna información importante sobre lo que importa en este sistema: Es la relación entre la tasa de crecimiento de la presa ($a$) y la tasa de descomposición de los depredadores ($c$) (i.e.,$e = c/a$), así como la relación entre sus velocidades de difusión ($D_{ratio} = D_{f}/D_{r}$), que determina esencialmente la dinámica de este sistema. Ambos nuevos parámetros también tienen mucho sentido desde un punto de vista ecológico.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Rescaling the Keller-Segel model

Simplifique el siguiente modelo de Keller-Segel mediante reescalado de variables:

$$\begin{align*} \dfrac{\partial{a}}{\partial{t}} &= \mu{\nabla}^{2}a -\chi{\nabla} \cdot(a\nabla{c}) \label{(14.33)} \\[4pt] \dfrac{\partial{c}}{\partial{t}} &= D\nabla^{2}c +fa -kc \label{(14.34)} \end{align*}$$