6.2: Puntos Singulares Regulares - Ecuaciones de Cauchy-Euler

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El valor\(x = x_0\) se llama un punto singular regular de la oda \[\label{eq:1}(x-x_0)^2y''+p(x)(x-x_0)y'+q(x)y=0,\]si\(p(x)\) y\(q(x)\) tienen series convergentes Taylor sobre\(x = x_0\), es decir,\(p(x)\) y se\(q(x)\) puede escribir como una serie de potencia en\((x − x_0)\):

\[\begin{array}{l}p(x)=p_0+p_1(x-x_0)+p_2(x-x_0)^2+\cdots , \\ q(x)=q_0+q_1(x-x_0)+q_2(x-x_0)^2+\cdots ,\end{array}\nonumber\]con\(p_n\) y\(q_n\) constantes, y\(q_0\neq 0\) así que ese no\((x − x_0)\) es un factor común de los coeficientes. Cualquier punto x = x0 que no sea un punto ordinario o un punto singular regular se denomina punto singular irregular. Muchas ecuaciones diferenciales importantes de interés físico tienen puntos singulares regulares, y sus soluciones van por el nombre genérico de funciones especiales, con nombres específicos asociados a matemáticos ahora famosos como Bessel, Legendre, Hermite, Laguerre y Chebyshev.

Aquí, solo consideraremos la oda más simple con un punto singular regular en\(x = 0\). Esta oda se llama una ecuación de Cauchy-Euler, y tiene la forma \[\label{eq:2}x^2y''+\alpha xy'+\beta y=0,\]con\(\alpha\) y\(\beta\) constantes. Tenga en cuenta que se\(\eqref{eq:1}\) reduce a una ecuación de Cauchy-Euler (aproximadamente\(x = x_0\)) cuando se considera solo el término de orden inicial en la expansión de la serie Taylor de las funciones\(p(x)\) y\(q(x)\). De hecho, tomar\(p(x) = p_0\)\(q(x) = q_0\) y resolver la ecuación de Cauchy-Euler asociada da como resultado al menos una de las soluciones de orden principal a la oda más general\(\eqref{eq:1}\). A menudo, esto es suficiente para obtener las condiciones iniciales para la solución numérica de la oda completa. Los alumnos que deseen aprender a encontrar la solución general de\(\eqref{eq:1}\) pueden consultar a Boyce & DiPrima.

Un ansatz apropiado para\(\eqref{eq:2}\) es\(y = x^r\), cuándo\(x > 0\) y\(y = (−x)^r\) cuándo\(x < 0\), (o más generalmente,\(y = |x|^r\) para todos\(x\)), con\(r\) constante. Después de la sustitución en\(\eqref{eq:2}\), obtenemos tanto para positivo como negativo\(x\)\[r(r-1)|x|^r+\alpha r|x|^r+\beta |x|^r=0,\nonumber\] y observamos que nuestro ansatz es recompensado por cancelación de\(|x|^r\). Así obtenemos la siguiente ecuación cuadrática para\(r\): \[\label{eq:3}r^2+(\alpha -1)r+\beta=0,\]

que se puede resolver usando la fórmula cuadrática. Inmediatamente aparecen tres casos: (i) raíces distintas reales, (ii) raíces conjugadas complejas, (iii) raíces repetidas. Los estudiantes pueden recordar estar en una situación similar al resolver la oda lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. En efecto, es posible transformar directamente la ecuación de Cauchy-Euler en una ecuación con coeficientes constantes para que se puedan utilizar nuestros resultados anteriores.

La idea es cambiar variables para que la ley de poder ansatz\(y = x^r\) se convierta en un ansatz exponencial. Porque\(x > 0\), si dejamos\(x = e^ξ\) y\(y(x) = Y(ξ)\), entonces el ansatz\(y(x) = x^r\) se convierte en el ansatz\(Y(ξ) = e^{rξ}\), apropiado si\(Y(ξ)\) satisface una oda de coeficiente constante. Si\(x < 0\), entonces la transformación apropiada es\(x = −e^ξ\), ya que\(e^ξ > 0\). Solo necesitamos considerar\(x > 0\) aquí y posteriormente generalizar nuestro resultado reemplazando\(x\) en todas partes por su valor absoluto.

Transformamos así la ecuación diferencial\(\eqref{eq:2}\) para\(y = y(x)\) en una ecuación diferencial para\(Y = Y(ξ)\), usando\(x = e^ξ\), o equivalentemente,\(ξ = \ln x\). Por la regla de la cadena, de\[\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=\frac{dY}{d\xi}\frac{d\xi}{dx} \\ &=\frac{1}{x}\frac{dY}{d\xi} \\ &=e^{-\xi}\frac{dY}{d\xi},\end{aligned}\] manera que simbólicamente,\[\frac{d}{dx}=e^{-\xi}\frac{d}{d\xi}.\nonumber\]

La segunda derivada se transforma como\[\begin{aligned}\frac{d^2y}{dx^2}&=e^{-\xi}\frac{d}{d\xi}\left(e^{-\xi}\frac{dY}{d\xi}\right) \\ &=e^{-2\xi}\left(\frac{d^2Y}{d\xi^2}-\frac{dY}{d\xi}\right).\end{aligned}\]

Tras la sustitución de los derivados de\(y\) en\(\eqref{eq:2}\), y usando\(x = e^ξ\), obtenemos\[\begin{aligned}e^{e\xi}\left(e^{-2\xi}(Y''-Y')\right)+\alpha e^{\xi}\left(e^{-\xi}Y'\right)+\beta Y&=Y''+(\alpha -1)Y'+\beta Y \\ &=0.\end{aligned}\]

Como era de esperar, la oda para\(Y = Y(ξ)\) tiene coeficientes constantes, y con\(Y = e^{rξ}\), la ecuación característica para\(r\) viene dada por\(\eqref{eq:3}\). Ahora transferimos directamente los resultados previos obtenidos para la oda homogénea lineal de segundo orden de coeficiente constante.

Distintas raíces reales

Este caso más simple no necesita transformación. Si\((\alpha − 1)^2 − 4\beta > 0\), entonces con\(r_±\) las raíces reales de\(\eqref{eq:3}\), la solución general es\[y(x)=c_1|x|^{r_+}+c_2|x|^{r_-}.\nonumber\]

Raíces Complejo-Conjugado Distinto

Si\((\alpha − 1)^2 − 4\beta < 0\), podemos escribir las complejas raíces de\(\eqref{eq:3}\) as\(r_± = \lambda ± i\mu\). Recordemos que la solución general para\(Y = Y(ξ)\) es dada por\[Y(\xi)=e^{\lambda\xi}(A\cos\mu\xi +B\sin\mu\xi );\nonumber\] y después de la transformación, y reemplazando\(x\) por\(|x|\),\[y(x)=|x|^{\lambda}(A\cos (\mu\ln |x|)+B\sin (\mu\ln |x|)).\nonumber\]

Raíces Repetidas

Si\((\alpha − 1)^2 − 4\beta = 0\), hay una raíz real\(r\) de\(\eqref{eq:3}\). La solución general para\(Y\) es el\[Y(\xi )=e^{r\xi}(c_1+c_2\xi ),\nonumber\] rendimiento\[y(x)=|x|^r(c_1+c_2\ln |x|).\nonumber\]

Damos ahora ejemplos que ilustran estos tres casos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver\(2x 2y'' + 3xy' − y = 0\) para\(0 ≤ x ≤ 1\) con condición de límite de dos puntos\(y(0) = 0\) y\(y(1) = 1\).

Solución

Ya que\(x > 0\), tratamos\(y = x^r\) de obtener la ecuación característica\[\begin{aligned}0&=2r(r-1)+3r-1 \\ &=2r^2+r-1 \\ &=(2r-1)(r+1).\end{aligned}\]

Dado que la ecuación característica tiene dos raíces reales, la solución general viene dada por\[y(x)=c_1x^{\frac{1}{2}}+c_2x^{-1}.\nonumber\]

Ahora nos encontramos por primera vez con condiciones de límite de dos puntos, que se pueden utilizar para determinar los coeficientes\(c_1\) y\(c_2\). Ya que\(y(0)=0\), debemos tener\(c_2 = 0\). Aplicando la condición restante\(y(1) = 1\), obtenemos la solución única\[y(x)=\sqrt{x}.\nonumber\]

Tenga en cuenta que\(x = 0\) se llama punto singular de la oda ya que la solución general es singular en\(x = 0\) cuando\(c_2\neq 0\). Nuestra condición límite impone que\(y(x)\) es finita en la\(x = 0\) eliminación de la solución singular. Sin embargo,\(y'\) sigue siendo singular en\(x = 0\). De hecho, es por eso que impusimos una condición de límite de dos puntos en lugar de especificar el valor de\(y' (0)\) (que es infinito)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver\(x^2y'' + xy' + \pi^2y = 0\) con condición de límite de dos puntos\(y(1) = 1\) y\(y(\sqrt{e}) = 1\).

Solución

Con el ansatz\(y = x^r\), obtenemos para\[\begin{aligned}0&=r(r-1)+r+\pi^2 \\ &=r^2+\pi^2,\end{aligned}\] que\(r=\pm i\pi\). Por lo tanto\(\xi =\ln x\), con\(Y(\xi )=A\cos\pi\xi +B\sin\pi\xi\), tenemos, y la solución general para\(y(x)\) es\[y(x)=A\cos (\pi\ln x)+B\sin (\pi\ln x).\nonumber\]

La primera condición límite\(y(1) = 1\) rinde\(A = 1\). La segunda condición límite\(y(\sqrt{e}) = 1\) rinde\(B = 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver\(x^2y'' + 5xy' + 4y = 0\) con condición de límite de dos puntos\(y(1) = 0\) y\(y(e) = 1\).

Solución

Con el ansatz\(y = x^r\), obtenemos para\[\begin{aligned}0&=r(r-1)+5r+4 \\ &=r^2+4r+4 \\ &=(r+2)^2,\end{aligned}\] que haya una raíz repetida\(r=-2\). Con\(\xi =\ln x\), tenemos\(Y(\xi )=(c_1+c_2\xi )e^{-2\xi }\), para que la solución general sea\[y(x)=\frac{c_1+c_2\ln x}{x^2}.\nonumber\]

La primera condición límite\(y(1) = 0\) rinde\(c_1 = 0\). La segunda condición límite\(y(e) = 1\) rinde\(c_2 = e^2\). Por lo tanto, la solución es\[y(x)=\frac{e^2\ln x}{x^2}.\nonumber\]