6.1: Puntos Ordinarios

Si$x_0$ es un punto ordinario de (6.1), entonces es posible determinar dos soluciones de series de potencia (es decir, serie Taylor) para$y = y(x)$ centrado en$x = x_0$. Ilustramos el método de solución resolviendo dos ejemplos, con$x_0 = 0$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra la solución general de$y''+y=0$.

Solución

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A estas alturas, ya debes saber que la solución general es$y(x) = a_0 \cos x + a_1 \sin x$, con$a_0$ y$a_1$ constantes. Para encontrar una solución de series de potencia sobre el punto$x_0 = 0$, escribimos $$y(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n;\nonumber$$ y al diferenciar término por término $$y'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\nonumber$$ y $$y''(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}.\nonumber$$

Sustituyendo la serie de$y$ potencias y sus derivadas en la ecuación diferencial a resolver, obtenemos $$\label{eq:1}\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0.$$

El método de solución de la serie de potencia requiere combinar las dos sumas en el lado izquierdo de$\eqref{eq:1}$ en una sola serie de potencia en$x$. Para desplazar el exponente de$x^{n−2}$ en la primera suma hacia arriba en dos para obtener$x^n$, necesitamos desplazar el índice de suma hacia abajo en dos; es decir, $$\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.\nonumber$$

Luego podemos combinar las dos sumas$\eqref{eq:1}$ para obtener $$\label{eq:2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left((n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n\right)x^n=0.$$

$\eqref{eq:2}$Para que se satisfagan, el coeficiente de cada potencia de$x$ debe desaparecer por separado. (Esto se puede probar fijando$x = 0$ después de la diferenciación sucesiva). Por lo tanto, obtenemos la relación de recurrencia $$a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)},\quad n=0,1,2,\ldots\nonumber$$

Observamos que los coeficientes pares e impares se desacoplan. Se obtienen así dos secuencias independientes comenzando con el primer término$a_0$ o$a_1$. Desarrollando estas secuencias, tenemos para la secuencia que comienza con$a_0$:

$$\begin{aligned}a_0&, \\ a_2&=-\frac{1}{2}a_0, \\ a_4&=-\frac{1}{4\cdot 3}a_2=\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2}a_0, \\ a_6&=-\frac{1}{6\cdot 5}a_4=-\frac{1}{6!}a_0;\end{aligned}$$ y el coeficiente general en esta secuencia para$n = 0, 1, 2,\ldots$ es $$a_{2n}=\frac{(-1)^n}{(2n)!}a_0.\nonumber$$

Además, para la secuencia que comienza con$a_1$:

$$\begin{aligned}a_1&, \\ a_3&=-\frac{1}{3\cdot 2}a_1, \\ a_5&=-\frac{1}{5\cdot 4}a_3=\frac{1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}a_1, \\ a_7&=-\frac{1}{7\cdot 6}a_5=-\frac{1}{7!}a_1;\end{aligned}$$ y el coeficiente general en esta secuencia para$n = 0, 1, 2,\ldots$ es $$a_{2n+1}=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}a_1.\nonumber$$

Utilizando el principio de superposición, la solución general es, $$\begin{aligned}y(x)&=a_0\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+a_1\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &=a_0\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)+a_1\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \\ &=a_0\cos x+a_1\sin x,\end{aligned}$$ pues, la esperada.

En nuestro siguiente ejemplo, resolveremos la Ecuación de Airy. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de la óptica, la mecánica de fluidos y la mecánica cuántica.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Airy’s Equation

Encuentra la solución general de$y''-xy=0$.

Solución

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Con $$y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n,\nonumber$$ la ecuación diferencial se convierte $$\label{eq:3}\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}-\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}=0.$$

Desplazamos la primera suma a$x^{n+1}$ desplazando el exponente hacia arriba en tres, es decir, $$\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum\limits_{n=-1}^\infty (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}.\nonumber$$

Al combinar las dos sumas en$\eqref{eq:3}$, separamos el$n = −1$ término extra en la primera suma dada por$2a_2$. Por lo tanto,$\eqref{eq:3}$ se convierte $$\label{eq:4}2a_2+\sum\limits_{n=0}^\infty\left((n+3)(n+2)a_{n+3}-a_n\right)x^{n+1}=0.$$

Estableciendo coeficientes de potencias de$x$ a cero, primero encontramos$a_2 = 0$, y luego obtenemos la relación de recursión $$\label{eq:5}a_{n+3}=\frac{1}{(n+3)(n+2)}a_n.$$

Tres secuencias de coeficientes—aquellos que comienzan con uno$a_0,\: a_1$ o$a_2$ —desacople. En particular, las tres secuencias son $$\begin{array}{l}a_0,a_3,a_6,a_9,\ldots ; \\ a_1,a_4,a_7,a_{10},\ldots ; \\ a_2,a_5,a_8,a_{11}\ldots\end{array}\nonumber$$

Ya que$a_2 = 0$, encontramos inmediatamente para la última secuencia $$a_2=a_5=a_8=a_{11}=\cdots =0.\nonumber$$

Calculamos los primeros cuatro términos distintos de cero en la serie de potencias con coeficientes correspondientes a las dos primeras secuencias. Empezando con$a_0$, tenemos $$\begin{aligned}a_0&, \\ a_3&=\frac{1}{3\cdot 2}a_0, \\ a_6&=\frac{1}{6\cdot 5\cdot 3\cdot 2}a_0, \\ a_9&=\frac{1}{9\cdot 8\cdot 6\cdot 5\cdot 3\cdot 2}a_0;\end{aligned}$$ y comenzando con$a_1$, $$\begin{aligned}a_1&, \\ a_4&=\frac{1}{4\cdot 3}a_1, \\ a_7&=\frac{1}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}a_1, \\ a_{10}&=\frac{1}{10\cdot 9\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}a_1.\end{aligned}$$

La solución general para$y = y(x)$, por lo tanto, puede escribirse como $$\begin{aligned}y(x)&=a_0\left(1+\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}+\frac{x^9}{12960}+\cdot\right) +a_1\left(x+\frac{x^4}{12}+\frac{x^7}{504}+\frac{x^{10}}{45360}+\cdot\right) \\ &=a_0y_0(x)+a_1y_1(x).\end{aligned}$$

Supongamos que nos gustaría graficar las soluciones$y = y_0(x)$ y$y = y_1(x)$ versus$x$ resolviendo la ecuación diferencial$y'' − xy = 0$ numéricamente. ¿Qué condiciones iniciales debemos usar? Claramente,$y = y_0(x)$ resuelve la oda con valores iniciales$y(0) = 1$ y$y' (0) = 0$, mientras$y = y_1(x)$ resuelve la oda con valores iniciales$y(0) = 0$ y$y' (0) = 1$.

Las soluciones numéricas, obtenidas con MATLAB, se muestran en la Fig. $\PageIndex{1}$. Tenga en cuenta que las soluciones oscilan para negativo$x$ y crecen exponencialmente para positivo$x$. Esto se puede entender recordando que$y''+ y = 0$ tiene soluciones oscilatorias de seno y coseno y$y'' − y = 0$ tiene soluciones de seno y coseno hiperbólico exponencial.

Figura$\PageIndex{1}$: Solución numérica de la ecuación de Airy.