8.3: Bifurcaciones bidimensionales

una bifurcación Hopf. La bifurcación Hopf viene en dos tipos: bifurcación Hopf supercrítica y bifurcación Hopf subcrítica. Para la bifurcación supercrítica de Hopf, a medida que\(\mu\) aumenta ligeramente por encima de cero, la oscilación resultante alrededor del punto fijo ahora inestable se estabiliza rápidamente a pequeña amplitud. Esta órbita estable se denomina ciclo límite. Para la bifurcación subcrítica de Hopf, a medida que\(\mu\) aumenta ligeramente por encima de cero, el ciclo límite salta inmediatamente a gran amplitud.

Bifurcación supercrítica de Hopf

Un ejemplo simple de una bifurcación supercrítica de Hopf se puede dar en coordenadas polares:

\[\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r-r^3 , \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2,\end{aligned}\]dónde\(x = r \cos\theta\) y\(y = r \sin\theta\). El parámetro\(\mu\) controla la estabilidad del punto fijo en el origen, el parámetro\(\omega\) es la frecuencia de oscilación cerca del origen, y el parámetro\(b\) determina la dependencia de la frecuencia de oscilación a oscilaciones de mayor amplitud. Aunque incluimos\(b\) por generalidad, nuestro análisis cualitativo de estas ecuaciones será independiente de\(b\).

La ecuación para el radio es de la forma de bifurcación de horca supercrítica. Los puntos fijos son\(r_* = 0\) y\(r_* =\sqrt{\mu}\) (nótese que\(r > 0\)), y el primer punto fijo es estable para\(\mu < 0\) y el segundo es estable para\(\mu > 0\). La transición de los valores propios del jacobiano de la parte real negativa a la parte real positiva se puede ver si transformamos estas ecuaciones en coordenadas cartesianas. Tenemos usando\(r^2 = x^2 + y^2\),\[\begin{aligned}\overset{.}{x}&=\overset{.}{r}\cos\theta -\overset{.}{\theta}r\sin\theta \\ &=(\mu r-r^3)\cos\theta -(\omega +br^2)r\sin\theta \\ &=\mu x-(x^2+y^2)x-\omega y-b(x^2+y^2)y \\ &=\mu x-\omega y-(x^2+y^2)(x+by); \\ \overset{.}{y}&=\overset{.}{r}\sin\theta +\overset{.}{\theta}r\cos\theta \\ &=(\mu r-r^3)\sin\theta +(\omega +br^2)r\cos\theta \\ &=\mu y-(x^2+y^2)y+\omega x+b(x^2+y^2)x \\ &=\omega x+\mu y-(x^2+y^2)(y-bx).\end{aligned}\]

La estabilidad del origen está determinada por la matriz jacobiana evaluada en el origen. Los términos no lineales en la ecuación desaparecen y la matriz jacobiana en el origen viene dada por\[J=\left(\begin{array}{cc}\mu &-\omega \\ \omega &\mu\end{array}\right).\nonumber\]

Los valores propios son las soluciones de\((\mu −\lambda)^2 + \omega^2 = 0\), o\(\lambda = \mu ± i\omega\). A medida que\(\mu\) aumenta de valores negativos a positivos, las oscilaciones amortiguadas exponencialmente cambian en oscilaciones de crecimiento exponencial. Los términos no lineales en las ecuaciones estabilizan las oscilaciones crecientes en un ciclo límite.

Bifurcación subcrítica de Hopf

El ejemplo análogo de una bifurcación subcrítica Hopf viene dado por\[\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r+r^3-r^5, \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2.\end{aligned}\]

Aquí, la ecuación para el radio es de la forma de la bifurcación de horca subcrítica. A medida que\(\mu\) aumenta de valores negativos a positivos, el origen se vuelve inestable y las oscilaciones de crecimiento exponencial aumentan hasta que el radio alcanza un punto fijo estable lejos del origen. En la práctica, puede ser difícil determinar analíticamente si una bifurcación Hopf es supercrítica o subcrítica a partir de las ecuaciones de movimiento. La solución computacional, sin embargo, puede distinguir rápidamente entre los dos tipos.