8.3: Bifurcaciones bidimensionales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
una bifurcación Hopf. La bifurcación Hopf viene en dos tipos: bifurcación Hopf supercrítica y bifurcación Hopf subcrítica. Para la bifurcación supercrítica de Hopf, a medida queμ aumenta ligeramente por encima de cero, la oscilación resultante alrededor del punto fijo ahora inestable se estabiliza rápidamente a pequeña amplitud. Esta órbita estable se denomina ciclo límite. Para la bifurcación subcrítica de Hopf, a medida queμ aumenta ligeramente por encima de cero, el ciclo límite salta inmediatamente a gran amplitud.
Bifurcación supercrítica de Hopf
Un ejemplo simple de una bifurcación supercrítica de Hopf se puede dar en coordenadas polares:
.r=μr−r3,.θ=ω+br2,
La ecuación para el radio es de la forma de bifurcación de horca supercrítica. Los puntos fijos sonr∗=0 yr∗=√μ (nótese quer>0), y el primer punto fijo es estable paraμ<0 y el segundo es estable paraμ>0. La transición de los valores propios del jacobiano de la parte real negativa a la parte real positiva se puede ver si transformamos estas ecuaciones en coordenadas cartesianas. Tenemos usandor2=x2+y2,.x=.rcosθ−.θrsinθ=(μr−r3)cosθ−(ω+br2)rsinθ=μx−(x2+y2)x−ωy−b(x2+y2)y=μx−ωy−(x2+y2)(x+by);.y=.rsinθ+.θrcosθ=(μr−r3)sinθ+(ω+br2)rcosθ=μy−(x2+y2)y+ωx+b(x2+y2)x=ωx+μy−(x2+y2)(y−bx).
La estabilidad del origen está determinada por la matriz jacobiana evaluada en el origen. Los términos no lineales en la ecuación desaparecen y la matriz jacobiana en el origen viene dada porJ=(μ−ωωμ).
Los valores propios son las soluciones de(μ−λ)2+ω2=0, oλ=μ±iω. A medida queμ aumenta de valores negativos a positivos, las oscilaciones amortiguadas exponencialmente cambian en oscilaciones de crecimiento exponencial. Los términos no lineales en las ecuaciones estabilizan las oscilaciones crecientes en un ciclo límite.
Bifurcación subcrítica de Hopf
El ejemplo análogo de una bifurcación subcrítica Hopf viene dado por.r=μr+r3−r5,.θ=ω+br2.
Aquí, la ecuación para el radio es de la forma de la bifurcación de horca subcrítica. A medida queμ aumenta de valores negativos a positivos, el origen se vuelve inestable y las oscilaciones de crecimiento exponencial aumentan hasta que el radio alcanza un punto fijo estable lejos del origen. En la práctica, puede ser difícil determinar analíticamente si una bifurcación Hopf es supercrítica o subcrítica a partir de las ecuaciones de movimiento. La solución computacional, sin embargo, puede distinguir rápidamente entre los dos tipos.