10.4: Funciones de Bessel de Orden General
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La relación de recurrencia para la función Bessel de orden general ahora se\(\pm\nu\) puede resolver usando la función gamma,
\[a_{m} = -\frac{1}{m(m\pm 2\nu)} a_{m-2} \nonumber \]
tiene las soluciones (\(x > 0\))
\[\begin{aligned} J_{\nu}(x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu+2k}, \\ J_{-\nu}(x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(-\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu+2k}.\end{aligned} \nonumber \]
La solución general a la ecuación de orden de Bessel\(\nu\) es así
\[y(x) = A J_{\nu}(x)+BJ_{-\nu}(x), \nonumber \]
para cualquier valor no entero de\(\nu\). Esto también se mantiene para valores medio enteros (sin registros).