10.5: Propiedades de las funciones de Bessel

Las funciones de Bessel tienen muchas propiedades interesantes:\[\begin{aligned} J_{0}(0) &= 1,\\ J_{\nu}(x) &= 0\quad\text{(if $\nu>0$),}\\ J_{-n}(x) &= (-1)^{n }J_{n}(x),\\ \frac{d}{dx} \left[x^{-\nu}J_{\nu}(x) \right] &= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x),\\ \frac{d}{dx} \left[x^{\nu}J_{\nu}(x) \right] &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x),\\ \frac{d}{dx} \left[J_{\nu}(x) \right] &=\frac{1}{2}\left[J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)\right],\\ x J_{\nu+1}(x) &= 2 \nu J_{\nu}(x) -x J_{\nu-1}(x),\\ \int x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)\,dx &= -x^{-\nu}J_{\nu}(x)+C,\\ \int x^{\nu}J_{\nu-1}(x)\,dx &= x^{\nu}J_{\nu}(x)+C.\end{aligned} \nonumber \]

Déjame probar algunos de estos. Primer aviso de la definición que\(J_{n}(x)\) es par o impar si\(n\) es par o impar,

\[J_{n}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!(n+k)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k}. \nonumber \]

Sustituir\(x=0\) en la definición de la función de Bessel da\(0\) si\(\nu >0\), ya que en ese caso tenemos la suma de potencias positivas de\(0\), que son todas igualmente cero.

Echemos un vistazo a\(J_{-n}\):

\[\begin{aligned} J_{-n}(x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(-n+k+1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k}\nonumber\\ &= \sum_{k=n}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(-n+k+1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n+2k}\nonumber\\ &= \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l+n}}{(l+n)!l!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2l}\nonumber\\ &= (-1)^{n} J_{n}(x).\end{aligned} \nonumber \]

Aquí hemos utilizado el hecho de que desde\(\Gamma(-l) = \pm \infty\),\(1/\Gamma(-l) = 0\) [esto también se puede probar definiendo una relación de recurrencia para\(1/\Gamma(l)\)]. Además cambiamos las variables de suma a\(l=-n+k\).

El siguiente:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \left[x^{-\nu}J_{\nu}(x) \right] &= 2^{-\nu}\frac{d}{dx} \left\{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \right\} \nonumber\\&= 2^{-\nu} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k-1)!\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \nonumber\\&= -2^{-\nu} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(l)!\Gamma(\nu+l+2)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2l+1} \nonumber\\&= -2^{-\nu} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(l)!\Gamma(\nu+1+l+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2l+1} \nonumber\\&= -x^{-\nu} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(l)!\Gamma(\nu+1+l+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2l+\nu+1} \nonumber\\&= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x).\end{aligned} \nonumber \]Del mismo modo\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \left[x^{\nu}J_{\nu}(x) \right] &=x^{\nu}J_{\nu-1}(x).\end{aligned} \nonumber \]

La siguiente relación se puede obtener evaluando las derivadas en las dos ecuaciones anteriores, y resolviendo para\(J_{\nu}(x)\):

\[\begin{aligned} x^{-\nu}J'_{\nu}(x)-\nu x^{-\nu-1}J_{\nu}(x)&= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x),\\ x^{\nu}J_{\nu}(x)+\nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x)&=x^{\nu}J_{\nu-1}(x).\end{aligned} \nonumber \]

Multiplica la primera ecuación por\(x^{\nu}\) y la segunda por\(x^{-\nu}\) y suma:

\[\begin{aligned} -2\nu \frac{1}{x}J_{\nu}(x) = -J_{\nu+1}(x)+J_{\nu-1}(x).\end{aligned} \nonumber \]

Después del reordenamiento de términos esto lleva a la expresión deseada.

Eliminando\(J_{\nu}\) entre las ecuaciones da (misma multiplicación, toma diferencia en su lugar)\[\begin{aligned} 2 J'_{\nu}(x) &=J_{\nu+1}(x)+J_{\nu-1}(x).\end{aligned} \nonumber \]

Integrar las relaciones diferenciales conduce a las relaciones integrales.

La función de Bessel es un tema inagotable — siempre hay propiedades más útiles de las que uno sabe. En la física matemática a menudo se utilizan libros especializados.