10.6: Teoría de Sturm-Liouville

Al final vamos a querer escribir una solución a una ecuación como una serie de funciones de Bessel. Para ello tendremos que entender acerca de la ortogonalidad de la función de Bessel —así como los senos y los cosenos eran ortogonales. Esto se hace más fácilmente mediante el desarrollo de una herramienta matemática llamada teoría de Sturm-Liouville. Se parte de una ecuación en la llamada forma autoadjoint

\[[r(x) y'(x)]' + [p(x)+\lambda s(x)] y(x) = 0 \label{eq:selfadj} \]

donde\(\lambda\) es un número, y\(r(x)\) y\(s(x)\) son mayores que 0 encendido\([a,b]\). Aplicamos las condiciones de contorno

\[\begin{aligned} a_1 y(a)+ a_2 y'(a)&=0,\nonumber\\ b_1 y(b)+ b_2 y'(b)&=0,\end{aligned} \nonumber \]

con\(a_1\) y\(a_2\) no ambos cero,\(b_1\) y\(b_2\) similares.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si hay una solución a (\ ref {eq:selfadj}) entonces\(\lambda\) es real.

Prueba

Supongamos que\(\lambda\) es un número complejo (\(\lambda = \alpha + i \beta\)) con solución\(\Phi\). Por conjugación compleja encontramos que

\[\begin{aligned} [r(x) \Phi'(x)]' + [p(x)+\lambda s(x)] \Phi(x) &= 0\nonumber\\ {}[r(x) (\Phi^*)'(x)]' + [p(x)+\lambda^* s(x)] (\Phi^*)(x) &= 0\end{aligned} \nonumber \]

donde\(*\) nota conjugación compleja. Multiplica la primera ecuación por\(\Phi^*(x)\) y la segunda por\(\Phi(x)\), y resta las dos ecuaciones:\[(\lambda^*-\lambda)s(x) \Phi^*(x)\Phi(x)=\Phi(x)[r(x) (\Phi^*)'(x)]'-\Phi^*(x)[r(x) \Phi'(x)]'. \nonumber \] Ahora integra sobre\(x\) de\(a\) a\(b\) y encuentra

\[(\lambda^*-\lambda)\int_a^bs(x) \Phi^*(x)\Phi(x)\,dx = \int_a^b\Phi(x)[r(x) (\Phi^*)'(x)]'-\Phi^*(x)[r(x) \Phi'(x)]'\,dx \nonumber \]

La segunda parte se puede integrar por partes, y encontramos

\[\begin{aligned} (\lambda^*-\lambda)\int_a^b s(x) \Phi^*(x)\Phi(x)\,dx &= \left[\Phi'(x) r(x) (\Phi^*)'(x)-\Phi^*(x)r(x) \Phi'(x)\right|^b_a \nonumber\\ &= r(b)\left[\Phi'(b) (\Phi^*)'(b)-\Phi^*(b)\Phi'(b)\right] \nonumber\\&& -r(a)\left[\Phi'(a) (\Phi^*)'(a)-\Phi^*(a)\Phi'(a)\right] \nonumber\\ &=0,\end{aligned} \nonumber \]

donde el último paso se puede hacer usando las condiciones de contorno. Dado que ambos\(\Phi^*(x)\Phi(x)\) y\(s(x)\) son mayores que cero concluimos eso\(\int_a^bs(x) \Phi^*(x)\Phi(x)\,dx > 0\), que ahora se pueden dividir fuera de la ecuación para conducir a\(\lambda=\lambda^*\).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\Phi_n\) y\(\Phi_m\) ser dos soluciones para diferentes valores de\(\lambda\),\(\lambda_n\neq \lambda_m\), entonces\[\int_a^b s(x) \Phi_n(x) \Phi_m(x)\,dx = 0. \nonumber \]

Prueba

La prueba es en gran medida idéntica a la anterior: multiplicar la ecuación\(\Phi_n(x)\) por\(\Phi_m(x)\) y viceversa. Restar y encontrar\[(\lambda_n-\lambda_m)\int_a^b s(x) \Phi_m(x)\Phi_n(x)\,dx = 0 \nonumber \] lo que nos lleva a concluir que\[\int_a^b s(x) \Phi_n(x) \Phi_m(x)\,dx = 0. \nonumber \]

Teorema\(\PageIndex{3}\)

En las condiciones expuestas anteriormente

1. Existe un verdadero conjunto infinito de valores propios\(\lambda_0,\ldots,\lambda_n, \ldots\) con\(\lim_{n\rightarrow \infty} = \infty\).
2. Si\(\Phi_n\) es la función propia correspondiente a\(\lambda_n\), tiene exactamente\(n\) ceros en\([a,b]\).

Prueba

No se dará prueba alguna.

Claramente la ecuación de Bessel es de forma autoadconjunta: reescribir\[x^2 y'' + xy' + (x^2-\nu^2) y = 0 \nonumber \] como (dividir por\(x\)) No\[[x y']' + (x-\frac{\nu^2}{x}) y = 0 \nonumber \] podemos identificarnos\(\nu\) con\(\lambda\), y no tenemos funciones de peso positivas. Se puede demostrar a partir de las propiedades de la ecuación que las funciones de Bessel tienen un número infinito de ceros en el intervalo\([0,\infty)\). Una pequeña lista de estos:

\[\begin{array}{lclllll} J_0 &:& 2.42&5.52 &8.65&11.79&\ldots\\ J_{1/2} &:& \pi & 2 \pi & 3\pi & 4\pi & \ldots\\ J_{8} &:& 11.20 & 16.04 & 19.60 & 22.90 & \ldots \end{array} \nonumber \]