8.5: Propiedad Equidistante
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Supongamos que no\(\triangle ABC\) es degenerado. Entonces un punto\(X\) se encuentra en la bisectrización de la\(\angle ABC\) bisectrización externa de si y sólo si\(X\) es equidistante de las líneas\((AB)\) y\((BC)\).
- Prueba
-
Podemos suponer que\(X\) no se encuentra en la unión de\((AB)\) y\((BC)\). De lo contrario la distancia a una de las líneas se desvanece; en este caso\(X = B\) es el único punto equidistante de las dos líneas.
Dejar\(Y\) y\(Z\) ser los reflejos de\(X\) través\((AB)\) y\((BC)\) respectivamente. Tenga en cuenta que
\(Y \ne Z\).
De lo contrario ambas líneas\((AB)\) y\((BC)\) son bisectores perpendiculares de\([XY]\). es decir,\((AB) = (BC)\) lo cual es imposible ya que no\(\triangle ABC\) es degeneado. Por la Proposición 5.4.1,
\(XB = YB = ZB\).
Tenga en cuenta que\(X\) es equidistante de\((AB)\) y\((BC)\) si y solo si\(XY = XZ\). Aplicando SSS y luego SAS, lo conseguimos
\(\begin{array} {rcl} {XY} & = & {XZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\triangle BXY} & \cong & {\triangle BXZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\measuredangle XBY} & \equiv & {\pm \measuredangle BXZ.} \end{array}\)
Ya que\(Y \ne Z\), lo conseguimos\(\measuredangle XBY \ne \measuredangle BXZ\); por lo tanto
\[\measuredangle XBY = -\measuredangle BXZ.\]
Por la Proposición 5.4.1,\(A\) se encuentra en la bisectrización de\(\angle XBY\) y\(B\) se encuentra en la bisectrización de\(\angle XBZ\); es decir,
\(2 \cdot \measuredangle XBA \equiv \measuredangle XBY\),\(2 \cdot \measuredangle XBC \equiv \measuredangle XBZ.\)
Por 8.5.1,
\(2 \cdot \measuredangle XBA \equiv -2 \cdot \measuredangle XBC.\)
La última identidad significa
\(\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv 0\)o\(\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv \pi,\)
y de ahí el resultado.