8.5: Propiedad Equidistante

Recordemos que la distancia de una línea$\ell$ a un punto$P$ se define como la distancia desde$P$ su punto de pie en$\ell$.

Proposición$\PageIndex{1}$

Supongamos que no$\triangle ABC$ es degenerado. Entonces un punto$X$ se encuentra en la bisectrización de la$\angle ABC$ bisectrización externa de si y sólo si$X$ es equidistante de las líneas$(AB)$ y$(BC)$.

Prueba

Podemos suponer que$X$ no se encuentra en la unión de$(AB)$ y$(BC)$. De lo contrario la distancia a una de las líneas se desvanece; en este caso$X = B$ es el único punto equidistante de las dos líneas.

Dejar$Y$ y$Z$ ser los reflejos de$X$ través$(AB)$ y$(BC)$ respectivamente. Tenga en cuenta que

$Y \ne Z$.

De lo contrario ambas líneas$(AB)$ y$(BC)$ son bisectores perpendiculares de$[XY]$. es decir,$(AB) = (BC)$ lo cual es imposible ya que no$\triangle ABC$ es degeneado. Por la Proposición 5.4.1,

$XB = YB = ZB$.

Tenga en cuenta que$X$ es equidistante de$(AB)$ y$(BC)$ si y solo si$XY = XZ$. Aplicando SSS y luego SAS, lo conseguimos

$\begin{array} {rcl} {XY} & = & {XZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\triangle BXY} & \cong & {\triangle BXZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\measuredangle XBY} & \equiv & {\pm \measuredangle BXZ.} \end{array}$

Ya que$Y \ne Z$, lo conseguimos$\measuredangle XBY \ne \measuredangle BXZ$; por lo tanto

$$\measuredangle XBY = -\measuredangle BXZ.$$

Por la Proposición 5.4.1,$A$ se encuentra en la bisectrización de$\angle XBY$ y$B$ se encuentra en la bisectrización de$\angle XBZ$; es decir,

$2 \cdot \measuredangle XBA \equiv \measuredangle XBY$,$2 \cdot \measuredangle XBC \equiv \measuredangle XBZ.$

Por 8.5.1,

$2 \cdot \measuredangle XBA \equiv -2 \cdot \measuredangle XBC.$

La última identidad significa

$\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv 0$o$\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv \pi,$

y de ahí el resultado.