4.1: Proporciones

En nuestra discusión de triángulos similares la idea de una proporción jugará un papel importante. En esta sección revisaremos las importantes propiedades de proporciones.

Una proporción es una ecuación que establece que dos fracciones son iguales. Por ejemplo,$\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}$ es una proporción. A veces decimos “2 es a 6 como 4 es a”$12$. Esto también está escrito$2: 6 = 4:12$. Los extremos de esta proporción son los números 2 y 12 y las medias son los números 6 y 4. Observe que el producto de los medios$6 \times 4=24$ es el mismo que el producto de los extremos$2 \times 12=24$.

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ entonces$a d= be$. Por el contrario, si$ad = bc$ entonces$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.$ (El producto de las medias es igual al producto de los extremos).

EJEMPLOS:

• $\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}$y ambos$2 \times 12=6 \times 4$ son ciertos.
• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$y ambos$2 \times 9=3 \times 6$ son ciertos.
• $\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12}$y ambos$1 \times 12=4 \times 4$ son falsos.

Prueba del teorema 1: Si$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, multiplique ambos lados de la ecuación por$bd$:

$$\dfrac{a}{\cancel{b}} (\cancel{b} d) = \dfrac{c}{\cancel{d}} (b \cancel{d})$$

Obtenemos$ad = bc$.

Por el contrario$ad = bc$, si, divide ambos lados de la ecuación por$bd$:

$$\dfrac{d\cancel{d}}{b\cancel{d}} = \dfrac{\cancel{b}c}{\cancel{b}d}$$

El resultado es$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

El siguiente teorema muestra que podemos intercambiar las medias o los extremos o ambos simultáneamente y aún así tener una proporción válida:

Teorema$\PageIndex{2}$

Si uno de los siguientes es cierto entonces todos son verdaderos:

1. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
2. $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
3. $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$
4. $\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}$

Prueba

Si alguna de estas proporciones es cierta cuando$ad = bc$ por Teorema$\PageIndex{1}$. Las proporciones restantes se pueden obtener entonces de$ad = bc$ por división, como en el Teorema$\PageIndex{1}$.

$\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}, \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{12}, \dfrac{12}{6} = \dfrac{4}{2}, \dfrac{12}{4} = \dfrac{6}{2}$EJEMPLO: son todos verdad porque$2 \times 12=6 \times 4$.

El proceso de convertir una proporción$\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}$ a la ecuación equivalente a veces$2 \times 12 = 6 \times 4$ se denomina multiplicación cruzada. La idea es transportada por la siguiente notación:

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra$x: \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{20}$

Solución

Por “multiplicación cruzada”,

$$\begin{array} {rcl} {3(20)} & = & {x(4)} \\ {60} & = & {4x} \\ {15} & = & {x} \end{array}$$

Comprobar:

$\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$. $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$.

Respuesta:$x = 15$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra$x$:$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{2x + 2}{x + 1}$

Solución

$$\begin{array} {rcl} {(x - 1)(x + 1)} & = & {(x - 3)(2x + 2)} \\ {x^2 - 1} & = & {2x^2 - 4x - 6} \\ {0} & = & {x^2 - 4x - 5} \\ {0} & = & {(x - 5)(x + 1)} \\ {0} & = & {x - 5\ \ \ \ \ \ 0 = x + 1} \\ {5} & = & {x \ \ \ \ \ \ \ \ -1 = x} \end{array}$$

Comprobar,$x = 5$:

$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{5 - 1}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2$. $\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(5) + 2}{5 + 1} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Comprobar,$x = -1$:

$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{-1 -1}{-1 - 3} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$. $\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(-1) + 2}{-1 + 1} = \dfrac{-2 + 2}{0} = \dfrac{0}{0}$.

Ya que$\dfrac{0}{0}$ es indefinido, rechazamos esta respuesta.

Respuesta:$x = 5$.

Problemas

1 - 12. Encuentra$x$:

1. $\dfrac{6}{x} = \dfrac{18}{3}$

2. $\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{6}$

3. $\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}$

4. $\dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{6}$

5. $\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}$

6. $\dfrac{10}{2} = \dfrac{25}{x}$

7. $\dfrac{x + 5}{x} = \dfrac{5}{4}$

8. $\dfrac{x - 6}{4} = \dfrac{5}{10}$

9. $\dfrac{3 + x}{x} = \dfrac{3}{2}$

10. $\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{4}{x}$

11. $\dfrac{3x - 3}{2x + 6} = \dfrac{x - 1}{x}$

12. $\dfrac{3x - 6}{x - 2} = \dfrac{2x + 2}{x - 1}$