4.1: Proporciones
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Una proporción es una ecuación que establece que dos fracciones son iguales. Por ejemplo,\(\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}\) es una proporción. A veces decimos “2 es a 6 como 4 es a”\(12\). Esto también está escrito\(2: 6 = 4:12\). Los extremos de esta proporción son los números 2 y 12 y las medias son los números 6 y 4. Observe que el producto de los medios\(6 \times 4=24\) es el mismo que el producto de los extremos\(2 \times 12=24\).
Si\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) entonces\(a d= be\). Por el contrario, si\(ad = bc\) entonces\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.\) (El producto de las medias es igual al producto de los extremos).
EJEMPLOS:
- \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\)y ambos\(2 \times 12=6 \times 4\) son ciertos.
- \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\)y ambos\(2 \times 9=3 \times 6\) son ciertos.
- \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12}\)y ambos\(1 \times 12=4 \times 4\) son falsos.
Prueba del teorema 1: Si\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), multiplique ambos lados de la ecuación por\(bd\):
\[\dfrac{a}{\cancel{b}} (\cancel{b} d) = \dfrac{c}{\cancel{d}} (b \cancel{d})\]
Obtenemos\(ad = bc\).
Por el contrario\(ad = bc\), si, divide ambos lados de la ecuación por\(bd\):
\[\dfrac{d\cancel{d}}{b\cancel{d}} = \dfrac{\cancel{b}c}{\cancel{b}d}\]
El resultado es\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).
El siguiente teorema muestra que podemos intercambiar las medias o los extremos o ambos simultáneamente y aún así tener una proporción válida:
Si uno de los siguientes es cierto entonces todos son verdaderos:
- \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
- \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
- \(\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}\)
- \(\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\)
- Prueba
-
Si alguna de estas proporciones es cierta cuando\(ad = bc\) por Teorema\(\PageIndex{1}\). Las proporciones restantes se pueden obtener entonces de\(ad = bc\) por división, como en el Teorema\(\PageIndex{1}\).
\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}, \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{12}, \dfrac{12}{6} = \dfrac{4}{2}, \dfrac{12}{4} = \dfrac{6}{2}\)EJEMPLO: son todos verdad porque\(2 \times 12=6 \times 4\).
El proceso de convertir una proporción\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\) a la ecuación equivalente a veces\(2 \times 12 = 6 \times 4\) se denomina multiplicación cruzada. La idea es transportada por la siguiente notación:
Encuentra\(x: \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{20}\)
Solución
Por “multiplicación cruzada”,
\[\begin{array} {rcl} {3(20)} & = & {x(4)} \\ {60} & = & {4x} \\ {15} & = & {x} \end{array}\]
Comprobar:
\(\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\). \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\).
Respuesta:\(x = 15\).
Encuentra\(x\):\(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{2x + 2}{x + 1}\)
Solución
\[\begin{array} {rcl} {(x - 1)(x + 1)} & = & {(x - 3)(2x + 2)} \\ {x^2 - 1} & = & {2x^2 - 4x - 6} \\ {0} & = & {x^2 - 4x - 5} \\ {0} & = & {(x - 5)(x + 1)} \\ {0} & = & {x - 5\ \ \ \ \ \ 0 = x + 1} \\ {5} & = & {x \ \ \ \ \ \ \ \ -1 = x} \end{array}\]
Comprobar,\(x = 5\):
\(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{5 - 1}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2\). \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(5) + 2}{5 + 1} = \dfrac{12}{6} = 2\).
Comprobar,\(x = -1\):
\(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{-1 -1}{-1 - 3} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}\). \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(-1) + 2}{-1 + 1} = \dfrac{-2 + 2}{0} = \dfrac{0}{0}\).
Ya que\(\dfrac{0}{0}\) es indefinido, rechazamos esta respuesta.
Respuesta:\(x = 5\).
Problemas
1 - 12. Encuentra\(x\):
1. \(\dfrac{6}{x} = \dfrac{18}{3}\)
2. \(\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{6}\)
3. \(\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}\)
4. \(\dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{6}\)
5. \(\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}\)
6. \(\dfrac{10}{2} = \dfrac{25}{x}\)
7. \(\dfrac{x + 5}{x} = \dfrac{5}{4}\)
8. \(\dfrac{x - 6}{4} = \dfrac{5}{10}\)
9. \(\dfrac{3 + x}{x} = \dfrac{3}{2}\)
10. \(\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{4}{x}\)
11. \(\dfrac{3x - 3}{2x + 6} = \dfrac{x - 1}{x}\)
12. \(\dfrac{3x - 6}{x - 2} = \dfrac{2x + 2}{x - 1}\)