1.10: Ratios, Tasas, Proporciones

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Ratios y tarifas

Una relación es el cociente de dos números o el cociente de dos cantidades con las mismas unidades.

Al escribir una relación como fracción, la primera cantidad es el numerador y la segunda cantidad es el denominador.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

1. Encuentra la proporción de$45$ minutos a$2$ horas. Simplifique la fracción, si es posible.

Contestar: 1. $\dfrac{3}{8}$

Una tasa es el cociente de dos cantidades con diferentes unidades. Debes incluir las unidades.

Al escribir una tasa como fracción, la primera cantidad es el numerador y la segunda cantidad es el denominador. Simplifique la fracción, si es posible. Incluir las unidades en la fracción.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

2. Un automóvil recorre$105$ millas en$2$ horas. Escribe la tasa como una fracción.

Contestar: 2. $\dfrac{105\text{ mi}}{2\text{ hr}}$

Una tasa unitaria tiene un denominador de$1$. Si es necesario, divida el numerador por el denominador y exprese la tasa como un número mixto o decimal.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

3. Un automóvil recorre$105$ millas en$2$ horas. Escribir como tarifa unitaria.

Contestar: 3. $\dfrac{52.5\text{ mi}}{1\text{ hr}}$o$52.5$ millas por hora

Un precio unitario es una tasa con el precio en el numerador y un denominador igual a$1$. El precio unitario indica el costo de una unidad o un artículo. También puede simplemente dividir el costo por el tamaño o número de artículos.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

4. Una caja de$18$ -onza de cereal cuesta $$3.59$. Encuentra el precio unitario.

5. Una caja de cereal de$12$ -onza cuesta $$2.99$. Encuentra el precio unitario.

6. ¿Qué caja tiene un precio unitario menor?

Contestar

4. $$0.199$ /oz, o alrededor de$20$ centavos por onza

5. $$0.249$ /oz, o alrededor de$25$ centavos por onza

6. la caja$18$ -onza tiene el precio unitario más bajo

Proporciones

Una proporción dice que dos ratios (o tasas) son iguales.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Determine si cada proporción es verdadera o falsa simplificando cada fracción.

7. $\dfrac{6}{8}=\dfrac{21}{28}$

8. $\dfrac{10}{15}=\dfrac{16}{20}$

Contestar

7. $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}$; verdadero

8. $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{4}{5}$; falso

Un método común para determinar si una proporción es verdadera o falsa se denomina multiplicación cruzada o búsqueda de los productos cruzados. Nos multiplicamos diagonalmente a través del signo igual. En una verdadera proporción, los productos cruzados son iguales.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$→${a}\cdot{d}={b}\cdot{c}$

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Determine si cada proporción es verdadera o falsa multiplicando de manera cruzada.

9. $\dfrac{6}{8}=\dfrac{21}{28}$

10. $\dfrac{10}{15}=\dfrac{16}{20}$

11. $\dfrac{14}{4}=\dfrac{15}{5}$

12. $\dfrac{0.8}{4}=\dfrac{5}{25}$

Contestar

9. $168 = 168$; verdadero

10. $200 \neq 240$; falso

11. $70 \neq 60$; falso

12. $20 = 20$; verdadero

Como vimos en un módulo anterior, podemos usar una variable para significar un número faltante. Si una proporción tiene un número faltante, podemos usar la multiplicación cruzada para resolver el número faltante. Esto es lo más cercano al álgebra como lo conseguimos en este libro de texto.

Para resolver una proporción para una variable:

Establecer los productos cruzados iguales para formar una ecuación de la forma${a}\cdot{d}={b}\cdot{c}$.
Aísle la variable reescribiendo la ecuación de multiplicación como una ecuación de división.
Verifique la solución sustituyendo la respuesta en la proporción original y encontrando los productos cruzados.

Es posible que descubras métodos ligeramente diferentes que prefieras. ^[1] Si piensas “Oye, ¿no puedo hacer esto de otra manera?” , puede estar en lo cierto.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Resolver para la variable.

13. $\dfrac{8}{10}=\dfrac{x}{15}$

14. $\dfrac{3}{2}=\dfrac{7.5}{n}$

15. $\dfrac{3}{k}=\dfrac{18}{24}$

16. $\dfrac{w}{6}=\dfrac{15}{9}$

17. $\dfrac{5}{4}=\dfrac{13}{x}$

18. $\dfrac{3.2}{7.2}=\dfrac{m}{4.5}$(calculadora recomendada)

Contestar

13. $x = 12$

14. $n = 5$

15. $k = 4$

16. $w = 10$

17. $x = 10.4$

18. $m = 2.0$

Los problemas que involucran tasas, ratios, modelos a escala, etc. pueden resolverse con proporciones. Al resolver un problema del mundo real usando una proporción, sea consistente con las unidades.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

19. Tonisha condujo su auto$320$ millas y usó$12.5$ galones de gasolina. A este ritmo, ¿hasta dónde podría conducir usando$10$ galones de gasolina?

20. Marcus trabajó$14$ horas y ganó $$210$. A la misma tasa de pago, ¿cuánto tiempo tendría que trabajar para ganar $$300$?

21. Una foto de tu autor que aparece en Jeopardy! es decir$375$ píxeles altos y$475$ píxeles de ancho necesita ser reducido de tamaño para que sea$150$ píxeles de alto. Si la altura y el ancho se mantienen proporcionales, ¿cuál es el ancho de la imagen después de que se haya reducido?

$foto grande de Alex Trebek y tu autor en Jeopardy!$

Contestar

19. $256$millas

20. $20$horas

21. $190$píxeles de ancho

Los pasos en la caja están diseñados para evitar mencionar el paso algebraico de dividir ambos lados de la ecuación por un número. Si te encuentras cómodo con el álgebra básica, entonces expresarías el paso 2 de manera diferente.

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

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