8.1: Secuencias

Comúnmente nos referimos a un conjunto de eventos que ocurren uno tras otro como una secuencia de eventos. En matemáticas, usamos la secuencia de palabras para referirnos a un conjunto ordenado de números, es decir, un conjunto de números que “ocurren uno tras otro”.

Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8,..., forman una secuencia. El orden es importante; el primer número es 2, el segundo es 4, etc. Parece natural buscar una fórmula que describa una secuencia dada, y muchas veces esto se puede hacer. Por ejemplo, la secuencia anterior podría ser descrita por la función\(a(n) = 2n\), para los valores de\(n = 1, 2, \ldots\) Para encontrar el\(^\text{th}\) término 10 en la secuencia, calcularíamos\(a(10)\). Esto nos lleva a la siguiente definición formal de una secuencia.

Definición 27: secuencias, rango y términos

• Una secuencia es una función\(a(n)\) cuyo dominio es\(\mathbb{N}\).
• El rango de una secuencia es el conjunto de todos los valores distintos de\(a(n)\).
• Los términos de una secuencia son los valores\(a(1)\),\(a(2)\),..., que generalmente se denotan con subíndices como\(a_1\),\(a_2\),...

Una secuencia a menudo\(a(n)\) se denota como\(\{a_n\}\).

Notación: Utilizamos\(\mathbb{N}\) para describir el conjunto de números naturales, es decir, los enteros 1, 2, 3,...

Definición: factorial

La expresión\(3!\) se refiere al número\(3\cdot2\cdot1 = 6\). En general,

\[n! = n\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1\]

donde\(n\) es un número natural. Definimos\(0! = 1\). Si bien esto no tiene sentido de inmediato, hace que muchas fórmulas matemáticas funcionen correctamente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Listing terms of a sequence

Enumere los primeros cuatro términos de las siguientes secuencias.

1. \(\{a_n\} = \left\{\frac{3^n}{n!}\right\}\)
2. \(\{a_n\} = \{4+(-1)^n\}\)
3. \( \{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n^2}\right\}\)

Solución

1. \(a_1=\frac{3^1}{1!} = 3;\qquad a_2= \frac{3^2}{2!} = \frac92;\qquad a_3 = \frac{3^3}{3!} = \frac92; \qquad a_4 = \frac{3^4}{4!} = \frac{27}8\)
   Podemos trazar los términos de una secuencia con un diagrama de dispersión. El eje\(x\) "” se utiliza para los valores de\(n\), y los valores de los términos se trazan en el\(y\) eje -eje. Para visualizar esta secuencia, véase la Figura 8.1 (a).
2. \(a_1= 4+(-1)^1 = 3;\qquad a_2 = 4+(-1)^2 = 5;\quad a_3=4+(-1)^3 = 3; \qquad a_4 = 4+(-1)^4 = 5\). Obsérvese que el rango de esta secuencia es finito, consistente únicamente en los valores 3 y 5. Esta secuencia se representa gráficamente en la Figura 8.1 (b).
3. \(\begin{align} a_1&= \frac{(-1)^{1(2)/2}}{1^2} = -1; \qquad a_2 = \frac{(-1)^{2(3)/2}}{2^2} =-\frac14 \\ a_3 &= \frac{(-1)^{3(4)/2}}{3^2} = \frac19 \qquad a_4 = \frac{(-1)^{4(5)/2}}{4^2} = \frac1{16}; \\ a_5 &= \frac{(-1)^{5(6)/2}}{5^2}=-\frac1{25} \end{align}\).
   Dimos un término extra para comenzar a mostrar el patrón de signos es "\(-\),\(-\),\(+\),\(+\),\(-\),\(-\),\(\ldots\),, debido a que el exponente de\(-1\) es un cuadrático especial. Esta secuencia se grafica en la Figura 8.1 (c).

Figura 8.1: Trazando secuencias en el Ejemplo 8.1.1.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Determining a formula for a sequence

Encuentra el\(n^\text{th}\) término de las siguientes secuencias, es decir, encontrar una función que describa cada una de las secuencias dadas.

1. 2, 5, 8, 11, 14,\(\ldots\)
2. 2,\(-5\), 10,\(-17\), 26,\(-37\),\(\ldots\)
3. 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720,\(\ldots\)
4. \(\frac52\),\(\frac52\),\( \frac{15}8\),\( \frac54\),\( \frac{25}{32}\),\(\ldots\)

Solución

Primero debemos señalar que nunca hay exactamente una función que describa un conjunto finito de números como una secuencia. Hay muchas secuencias que comienzan con 2, luego 5, como lo hace nuestro primer ejemplo. Estamos buscando una fórmula sencilla que describa los términos dados, sabiendo que posiblemente haya más de una respuesta.

1. Observe cómo cada término es 3 más que el anterior. Esto implica una función lineal sería apropiada:\(a(n) = a_n = 3n + b\) para algún valor apropiado de\(b\). Como queramos\(a_1=2\), nos fijamos\(b=-1\). Así\(a_n = 3n-1\).
2. Primero observe cómo cambia el signo de término a término. Esto se logra más comúnmente multiplicando los términos por cualquiera\((-1)^n\) o\((-1)^{n+1}\). El uso\((-1)^n\) multiplica los términos impares por\((-1)\); el uso\((-1)^{n+1}\) multiplica los términos pares por\((-1)\). Como esta secuencia tiene términos pares negativos, vamos a multiplicar por\((-1)^{n+1}\).
   
   Después de esto, podríamos sentirnos un poco atascados en cuanto a cómo proceder. En este punto, solo estamos buscando un patrón de algún tipo: ¿qué tienen en común los números 2, 5, 10, 17, etc.? Hay muchas respuestas correctas, pero la que usaremos aquí es que cada una es una más que un cuadrado perfecto. Es decir,\(2=1^1+1\),\(5=2^2+1\),\(10=3^2+1\), etc. Así es nuestra fórmula\(a_n= (-1)^{n+1}(n^2+1)\).
3. Aquel que esté familiarizado con la función factorial reconocerá fácilmente estos números. Son\(0!\),,\(1!\),\(2!\)\(3!\), etc. ya que nuestras secuencias empiezan con\(n=1\), no podemos escribir\(a_n = n!\), pues esto pierde el\(0!\) término. En cambio, cambiamos por 1, y escribimos\(a_n = (n-1)!\).
4. Este puede parecer difícil, sobre todo porque los dos primeros términos son los mismos, pero un poco de ``investigación” ayudará. Observe cómo los términos en el numerador son siempre múltiplos de 5, y los términos en el denominador son siempre potencias de 2. ¿Algo tan sencillo como\(a_n = \frac{5n}{2^n}\) funciona?
   
   Cuando\(n=1\), vemos que efectivamente obtenemos\(5/2\) como se desea. Cuando\(n=2\), conseguimos\(10/4 = 5/2\). Una comprobación adicional muestra que esta fórmula efectivamente coincide con los otros términos de la secuencia.

Un esfuerzo matemático común es crear un nuevo objeto matemático (por ejemplo, una secuencia) y luego aplicar las matemáticas previamente conocidas al nuevo objeto. Lo hacemos aquí. El concepto fundamental de cálculo es el límite, por lo que investigaremos qué significa encontrar el límite de una secuencia.

Definición 28 Límite de una secuencia, convergente, divergente

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia y dejar\(L\) ser un número real. Dado cualquiera\(\epsilon>0\), si se\(m\) puede encontrar una tal que\(|a_n-L|<\epsilon\) para todos\(n>m\), entonces decimos que el límite de\(\{a_n\}\), como se\(n\) acerca al infinito, es\(L\), denotado\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L.\]

Si\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\) existe, decimos que la secuencia converge; de lo contrario, la secuencia diverge.

Esta definición establece, informalmente, que si el límite de una secuencia es\(L\), entonces si vas lo suficientemente lejos a lo largo de la secuencia, todos los términos posteriores estarán realmente cerca de\(L\). Por supuesto, los términos “lo suficientemente lejos” y “muy cerca” son términos subjetivos, pero ojalá la intención sea clara.

Esta definición es una reminiscencia de las\(\epsilon\) —\(\delta\) pruebas del Capítulo 1. En ese capítulo desarrollamos otras herramientas para evaluar límites aparte de la definición formal; también lo hacemos aquí.

Teorema 55: LÍMITE DE UNA SECUENCIA

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia y dejar\(f(x)\) ser una función cuyo dominio contiene los números reales positivos donde\(f(n) = a_n\) para todos\(n\) en\(\mathbb{N}\).

El teorema 55 nos permite, en ciertos casos, aplicar las herramientas desarrolladas en el Capítulo 1 a límites de secuencias. Tenga en cuenta dos cosas no declaradas por el teorema:

1. Si\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\) no existe, no podemos concluir que eso\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\) no existe. Puede, o no, existir. Por ejemplo, podemos definir una secuencia\(\{a_n\} = \{\cos(2\pi n)\}\). Vamos\(f(x) = \cos (2\pi x)\). Dado que la función coseno oscila sobre los números reales, el límite\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\) no existe.
   
   Sin embargo, por cada entero positivo\(n\),\(\cos(2\pi n) = 1\), entonces\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 1\).
2. Si no podemos encontrar una función\(f(x)\) cuyo dominio contenga los números reales positivos donde\(f(n) = a_n\) para todos\(n\) en\(\mathbb{N}\), no podemos concluir\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\) que no existe. Puede, o no, existir.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Determining convergence/divergence of a sequence

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes secuencias.

1. \(\{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-2n+1}{n^2-1000}\right\}\)
2. \(\{a_n\} = \{\cos n \}\)
3. \(\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}\)

Solución

1. Usando el Teorema 11, podemos afirmar que\(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^2-2x+1}{x^2-1000} = 3\). (También podríamos haber aplicado directamente la Regla de l'H\ ^opital.) Así la secuencia\(\{a_n\}\) converge, y su límite es 3. En la Figura 8.2 (a)\(a_n\) se da un gráfico de dispersión de cada 5 valores de. Los valores de\(a_n\) varían ampliamente cerca\(n=30\), variando de aproximadamente\(-73\) a\(125\), pero a medida que\(n\) crece, los valores se acercan a 3.
   
2. El límite\(\lim\limits_{x\to\infty}\cos x\) no existe, ya que\(\cos x\) oscila (y adquiere cada valor en\([-1,1]\) infinitamente muchas veces). Así no podemos aplicar el Teorema 55.
   
   El hecho de que la función coseno oscile fuertemente insinúa que\(\cos n\), cuando\(n\) se restringe a\(\mathbb{N}\), también oscilará. La Figura 8.2 (b), donde se traza la secuencia, muestra que esto es cierto. Debido a que solo se trazan valores discretos del coseno, no tiene un gran parecido con la onda coseno familiar.
   
   Concluimos que\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) no existe.
3. En realidad no podemos aplicar aquí el Teorema 55, ya que la función no\(f(x) = (-1)^x/x\) está bien definida. (¿Qué\((-1)^{\sqrt{2}}\) significa? En la actualidad, hay una respuesta, pero implica un análisis complejo, más allá del alcance de este texto.) Entonces por ahora decimos que no podemos determinar el límite. (Pero vamos a poder hacerlo muy pronto.) Al observar la gráfica en la Figura 8.2 (c), nos gustaría concluir que la secuencia converge a 0. Eso es cierto, pero en este punto no podemos decirlo decisivamente.

Figura 8.2: Gráficas de dispersión de las secuencias en el Ejemplo 8.1.2.

Parece que\(\{(-1)^n/n\}\) converge a 0 pero nos falta la herramienta formal para demostrarlo. El siguiente teorema nos da esa herramienta.

TEORMA 56: TEORMA DEL VALOR ABSOLU

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia. Si\( \lim\limits_{n\to\infty} |a_n| = 0\), entonces\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Determining the convergence/divergence of a sequence

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes secuencias.

1. \(\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}\)
2. \( \{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n(n+1)}{n}\right\}\)

Solución

1. Esto apareció en el Ejemplo 8.1.1. Queremos aplicar el Teorema 56, así que considera el límite de\(\{|a_n|\}\):
   \[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| \\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \\ &= 0. \end{align*}\]
   Dado que este límite es 0, podemos aplicar el Teorema 56 y afirmar que\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\).
2. Debido a la naturaleza alterna de esta secuencia (es decir, cada otro término se multiplica por\(-1\)), no podemos simplemente mirar el límite\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{(-1)^x(x+1)}{x}\). Podemos intentar aplicar las técnicas del Teorema 56:
   \[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^n(n+1)}{n}\right| \\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\\ &= 1. \end{align*}\]
   
   Hemos concluido que cuando ignoramos el signo alterno, la secuencia se acerca a 1. Esto significa que no podemos aplicar el Teorema 56; establece que el límite debe ser 0 para poder concluir algo.
   
   Ya que sabemos que los signos de los términos se alternan y sabemos que el límite de\(|a_n|\) es 1, sabemos que a medida que se\(n\) acerca al infinito, los términos alternarán entre valores cercanos a 1 y\(-1\), es decir, la secuencia diverge. Una gráfica de esta secuencia se da en la Figura 8.3.

Figura 8.3: Gráfica de una secuencia en el Ejemplo 8.1.2, parte 2.

Continuamos nuestro estudio de los límites de las secuencias considerando algunas de las propiedades de estos límites.

TEORAMA 57: Propiedades de los Límites de Secuencias

Dejar\(\{a_n\}\) y\(\{b_n\}\) ser secuencias tales que\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = L\),\(s \lim\limits_{n\to\infty} b_n = K\), y dejar\(c\) ser un número real.

\(\begin{align} &1. \lim\limits_{n\to\infty} (a_n\pm b_n) = L\pm K \qquad \qquad \qquad &&3.\lim\limits_{n\to\infty} (a_n/b_n) = L/K, K\neq 0 \nonumber \\ &2.\lim\limits_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n) = L\cdot K \qquad \qquad \qquad &&4. \lim\limits_{n\to\infty} c\cdot a_n = c\cdot L \nonumber \end{align}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Applying properties of limits of sequences

Dejemos que se den las siguientes secuencias, y sus límites:

• \( \{a_n\} = \left\{\frac{n+1}{n^2}\right\}\), y\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\);
• \( \{b_n\} = \left\{\left(1+\frac1n\right)^{n}\right\}\),\( \lim\limits_{n\to\infty} b_n = e\) y
• \( \{c_n\} = \big\{n\cdot \sin (5/n)\big\}\), y\( \lim\limits_{n\to\infty} c_n = 5\).

Evaluar los siguientes límites.

1. \( \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) \qquad 2. \lim\limits_{n\to\infty} (b_n\cdot c_n) \qquad 3. \lim\limits_{n\to\infty} (1000\cdot a_n)\)

Solución

Utilizaremos el Teorema 57 para responder a cada uno de estos.

1. Desde\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\) y\( \lim\limits_{n\to\infty} b_n = e\), concluimos que\( \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) = 0+e = e.\) Así que a pesar de que estamos agregando algo a cada término de la secuencia\(b_n\), estamos agregando algo tan pequeño que el límite final es el mismo que antes.
2. Desde\( \lim\limits_{n\to\infty} b_n = e\) y\( \lim\limits_{n\to\infty} c_n = 5\), concluimos que\( \lim\limits_{n\to\infty} (b_n\cdot c_n) = e\cdot 5 = 5e.\)
3. Ya que\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\), tenemos\( \lim\limits_{n\to\infty} 1000a_n =1000\cdot 0 = 0\). No importa que multipliquemos cada término por 1000; la secuencia aún se acerca a 0. (Solo toma más tiempo acercarse a 0.)

Hay más que aprender sobre las secuencias que solo sus límites. También estudiaremos su rango y las relaciones que los términos tienen con los términos que siguen. Comenzamos con algunas definiciones que describen las propiedades del rango.

Definición 29 Secuencias delimitadas y no delimitadas

Se dice que una secuencia\(\{a_n\}\) está acotada si existe números reales\(m\) y\(M\) tal que\(m < a_n < M\) para todos\(n\) en\(\mathbb{N}\).

\(\{a_n\}\)Se dice que una secuencia no está delimitada si no está delimitada.

\(\{a_n\}\)Se dice que una secuencia está delimitada arriba si existe\(M\) tal que\(a_n < M\) para todos\(n\) en\(\mathbb{N}\); se limita a continuación si existe\(m\) tal que\(m<a_n\) para todos\(n\) adentro\(\mathbb{N}\).

De esta definición se deduce que una secuencia no delimitada puede estar delimitada por encima o por debajo; una secuencia que está delimitada por encima y por debajo es simplemente una secuencia acotada.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Determining boundedness of sequences

Determinar la amplitud de las siguientes secuencias.

1. \ (\ {a_n\} =\ izquierda\ {\ frac1n\ derecha\}\
2. \( \{a_n\} = \{2^n\}\)

Solución

1. Los términos de esta secuencia son siempre positivos pero van disminuyendo, así que tenemos\(0<a_n<2\) para todos\(n\). Así esta secuencia está acotada. La figura 8.4 (a) ilustra esto.
   
2. Los términos de esta secuencia obviamente crecen sin ataduras. No obstante, también es cierto que todos estos términos son positivos, es decir\(0<a_n\). Así podemos decir que la secuencia está sin límites, pero también delimitada a continuación. La Figura 8.4 (b) ilustra esto.

Figura 8.4: Una gráfica\({a_n} = {1/n} \text{ and }{a_n}={2^n}\) del Ejemplo 8.1.6.

El ejemplo anterior produce algunos conceptos interesantes. Primero, podemos reconocer que la secuencia\(\left\{1/n\right\}\) converge a 0. Esto dice, informalmente, que “la mayoría” de los términos de la secuencia son “realmente cercanos” a 0. Esto implica que la secuencia está acotada, utilizando la siguiente lógica. Primero, “la mayoría” de los términos están cerca de 0, así que podríamos encontrar algún tipo de límite en estos términos (usando la Definición 28, el límite es\(\epsilon\)). Eso deja unos “pocos” términos que no están cerca de 0 (es decir, un número finito de términos). Una lista finita de números siempre está delimitada.

Esta lógica implica que si una secuencia converge, debe ser acotada. Esto es cierto, como lo afirma el siguiente teorema.

TEORMA 58 SECUENCIAS CONVERGENENTES ESTÁN

\( \left\{a_n\right\}\)Sea una secuencia convergente. Entonces\(\{a_n\}\) se acota.

En el Ejemplo 8.1.5 vimos la secuencia\( \{b_n\} = \left\{\left(1+1/n\right)^{n}\right\}\), donde se afirmó que\( \lim\limits_{n\to\infty} b_n = e\). (Tenga en cuenta que esto es simplemente replantear parte del Teorema 5.) A pesar de que puede ser difícil comprender intuitivamente el comportamiento de esta secuencia, sabemos de inmediato que está acotada.

Otro concepto interesante para salir del Ejemplo 8.1.6 nuevamente involucra la secuencia\(\{1/n\}\). Declaramos, sin pruebas, que los términos de la secuencia fueron decrecientes. Es decir, eso\(a_{n+1} < a_n\) para todos\(n\). (Esto es fácil de mostrar. Claramente\(n < n+1\). Tomar reciprocas voltea la desigualdad:\(1/n > 1/(n+1)\). Esto es lo mismo que\ (a_n > a_ {n+1} $.) Las secuencias que o bien aumentan o disminuyen de manera constante son importantes, por lo que le damos un nombre a esta propiedad.

Definición 30 SECUENCIAS MONOTÓN

1. Una secuencia\(\{a_n\}\) es monótonamente creciente si\(a_n \leq a_{n+1}\) para todos\(n\), es decir,
   \[a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots a_n \leq a_{n+1} \cdots\]
2. Una secuencia\(\{a_n\}\) es monótonamente decreciente si\(a_n \geq a_{n+1}\) para todos\(n\), es decir,
   \[a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots a_n \geq a_{n+1} \cdots\]
3. Una secuencia es monótona si es monótonamente creciente o monótonamente decreciente.

NOTA: A veces es útil llamar a una secuencia monótonamente creciente estrictamente si\(a_n < a_{n+1}\) para todos\(n\); es decir, eliminamos la posibilidad de que los términos subsiguientes sean iguales. Una declaración similar se mantiene por estrictamente decreciente.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Determining monotonicity

Determinar la monotonicidad de las siguientes secuencias.

\(\begin{align} &1.\{a_n\} = \left\{\frac{n+1}n\right\} \qquad \qquad \qquad &&3.\{a_n\} = \left\{\frac{n^2-9}{n^2-10n+26}\right\} \nonumber \\ &2.\{a_n\} = \left\{\frac{n^2+1}{n+1}\right\}\qquad \qquad \qquad &&4. \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{n!}\right\}\nonumber \end{align}\)


Solución
En cada una de las siguientes, examinaremos\(a_{n+1}-a_n\). Si\(a_{n+1}-a_n >0\), concluimos que\(a_n<a_{n+1}\) y de ahí la secuencia va en aumento. Si\(a_{n+1}-a_n<0\), concluimos que\(a_n>a_{n+1}\) y la secuencia es decreciente. Por supuesto, una secuencia no necesita ser monótona y quizás ninguna de las anteriores se aplique.

También damos un diagrama de dispersión de cada secuencia. Estos son útiles ya que sugieren un patrón de monotonicidad, pero se debe realizar un trabajo analítico para confirmar una tendencia gráfica.

Figura 8.5: Gráficas de secuencias en el Ejemplo 8.1.7.

1. \[\begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)(n)-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{n(n+1)} \\ &<0 \quad\text{ for all \(n\).}\end{align}\]
   Ya que\(a_{n+1}-a_n<0\) para todos\(n\), concluimos que la secuencia es decreciente.
   
2. \[ \begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2+1}{n+2} - \frac{n^2+1}{n+1} \\ &= \frac{\big((n+1)^2+1\big)(n+1)- (n^2+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{n^2+4n+1}{(n+1)(n+2)} \\ &> 0 \quad \text{ for all \(n\).}\end{align}\]
   Ya que\(a_{n+1}-a_n>0\) para todos\(n\), concluimos que la secuencia va en aumento.
   
3. Podemos ver claramente en la Figura 8.5 (c), donde se traza la secuencia, que no es monótona. No obstante, sí parece que después de los primeros 4 términos está disminuyendo. Para entender por qué, realizar el mismo análisis que se hizo antes:
   \[\begin{align}a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2-9}{(n+1)^2-10(n+1)+26} - \frac{n^2-9}{n^2-10n+26} \\ &= \frac{n^2+2n-8}{n^2-8n+17}-\frac{n^2-9}{n^2-10n+26}\\ &= \frac{(n^2+2n-8)(n^2-10n+26)-(n^2-9)(n^2-8n+17)}{(n^2-8n+17)(n^2-10n+26)}\\ &= \frac{-10n^2+60n-55}{(n^2-8n+17)(n^2-10n+26)}.\end{align}\]
   
   Queremos saber cuándo esto es mayor que, o menor que, 0. El denominador siempre es positivo, por lo tanto sólo nos preocupa el numerador. Usando la fórmula cuadrática, podemos determinar que\(-10n^2+60n-55=0\) cuando\(n\approx 1.13, 4.87\). Entonces para\(n<1.13\), la secuencia es decreciente. Ya que sólo estamos tratando con los números naturales, esto significa que\(a_1 > a_2\).
   
   Entre\(1.13\) y\(4.87\), es decir, para\(n=2\), 3 y 4, tenemos eso\(a_{n+1}>a_n\) y la secuencia va en aumento. (Es decir, cuando\(n=2\), 3 y 4, el numerador\(-10n^2+60n+55\) de la fracción anterior es\(>0\).)
   
   Cuando\(n> 4.87\), es decir, para\(n\geq 5\), tenemos eso\(-10n^2+60n+55<0\), de ahí\(a_{n+1}-a_n<0\), entonces la secuencia está disminuyendo.
   
   En definitiva, la secuencia simplemente no es monótona. Sin embargo, es útil señalar que para\(n\geq 5\), la secuencia es monótonamente decreciente.
4. Nuevamente, la gráfica de la Figura 8.6 muestra que la secuencia no es monótona, pero sugiere que está disminuyendo monótonamente después del primer término. Realizamos el análisis habitual para confirmarlo.
   \[\begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2}{(n+1)!} - \frac{n^2}{n!} \\ &= \frac{(n+1)^2-n^2(n+1)}{(n+1)!} \\ &= \frac{-n^3+2n+1}{(n+1)!}\end{align}\]
   
   Cuando\(n=1\), la expresión anterior es\(>0\); para\(n\geq 2\), la expresión anterior es\(<0\). Así, esta secuencia no es monótona, sino que está disminuyendo monótonamente después del primer término.

Figura 8.6: Una gráfica de\({a_n}={n^2/n!}\) en el Ejemplo 8.1.7.

Saber que una secuencia es monótona puede ser útil. En particular, si sabemos que una secuencia es acotada y monótona, ¡podemos concluir que converge! Consideremos, por ejemplo, una secuencia que es monótonamente decreciente y está delimitada a continuación. Sabemos que la secuencia siempre es cada vez más pequeña, pero que hay un límite a lo pequeña que puede llegar a ser. Esto es suficiente para demostrar que la secuencia convergerá, como se afirma en el siguiente teorema.

TEORMA 59 SECUENAS MONOTÓNICAS CONVERGENENTES

1. \(\{a_n\}\)Sea una secuencia acotada, monótona. Entonces\(\{a_n\}\) converge; es decir,\( \lim\limits_{n \to\infty}a_n\) existe.
2. Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia monótonamente creciente que está delimitada arriba. Entonces\(\{a_n\}\) converge.
3. Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia monótonamente decreciente que se encuentra delimitada a continuación. Entonces\(\{a_n\}\) converge.

Consideremos una vez más la secuencia\(\{a_n\} = \{1/n\}\). Es fácil demostrar que es monótonamente decreciente y que siempre es positivo (es decir, acotado por debajo por 0). Por lo tanto podemos concluir por el Teorema 59 que la secuencia converge. Esto ya lo sabíamos por otros medios, pero en la siguiente sección este teorema va a ser muy útil.

Las secuencias son una gran fuente de indagación matemática. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequence http://oeis.org contiene miles de secuencias y sus fórmulas. (Al momento de escribir esto, hay 257.537 secuencias en la base de datos.) Examinar esta base de datos demuestra rápidamente que una sola secuencia puede representar varios fenómenos diferentes de la “vida real”.

Por interesante que sea esto, nuestro interés en realidad se encuentra en otra parte. Nos interesa más la suma de una secuencia. Es decir, dada una secuencia\(\{a_n\}\), nos interesa mucho\(a_1+a_2+a_3+\cdots\). Por supuesto, uno podría contrarrestar inmediatamente con “¿No se suma esto a `infinito'?” Muchas veces, sí, pero hay muchos casos importantes donde la respuesta es no. Este es el tema de series, que comenzamos a investigar en la siguiente sección.

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