8.5: Serie alterna y convergencia absoluta
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Todas las pruebas de convergencia en serie que hemos utilizado requieren que la secuencia subyacente\(\{a_n\}\) sea una secuencia positiva. (Podemos relajar esto con el Teorema 64 y afirmar que debe haber un\(N>0\) tal que\(a_n>0\) para todos\(n>N\); es decir,\(\{a_n\}\) es positivo para todos menos un número finito de valores de\(n\).)
En esta sección exploramos series cuya suma incluye términos negativos. Comenzamos con una forma muy específica de serie, donde los términos de la suma se alternan entre ser positivo y negativo.
Definición 34: serie alterna
Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia positiva. Una serie alterna es una serie de cualquiera de la forma
\[\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n\qquad \text{or}\qquad \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n.\]
Recordemos los términos de Serie Armónica provienen de la Secuencia Armónica\(\{a_n\} = \{1/n\}\). Una serie alternante importante es la serie armónica alterna:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac1n = 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\dfrac16+\cdots\]
Las series geométricas también pueden ser series alternas cuando\(r<0\). Por ejemplo, si\(r=-1/2\), la serie geométrica es
\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n = 1-\dfrac12+\dfrac14-\dfrac18+\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\cdots\]
Teorema 60 afirma que las series geométricas convergen cuando\(|r|<1\) y da la suma:\( \sum\limits_{n=0}^\infty r^n = \dfrac1{1-r}\). Cuando\(r=-1/2\) como arriba, encontramos
\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n = \dfrac1{1-(-1/2)} = \dfrac 1{3/2} = \dfrac23.\]
Existe un poderoso teorema de convergencia para otras series alternas que cumplen algunas condiciones.
teorema 70: prueba en serie alterna
Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia positiva, decreciente donde\( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\). Entonces
\[\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}a_n \qquad \text{and}\qquad \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\]convergen.
La idea básica detrás del Teorema 70 se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Se muestra una secuencia\(\{a_n\}\) decreciente positiva junto con las sumas parciales
\[S_n = \sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_i =a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n+1}a_n.\]
Porque\(\{a_n\}\) es decreciente, disminuye la cantidad por la que\(S_n\) rebota arriba/abajo. Además, los términos impares\(S_n\) forman una secuencia acotada decreciente, mientras que los términos pares\(S_n\) forman una secuencia creciente, acotada. Desde acotado, las secuencias monótonas convergen (ver Teorema 59) y los términos de\(\{a_n\}\) aproximación 0, se pueden mostrar los términos pares e impares de\(S_n\) convergen al mismo límite común\(L\), la suma de la serie.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Applying the Alternating Series Test
Determine si la Prueba de Serie Alternada se aplica a cada una de las siguientes series.
- \( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}\)
- \( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{\ln n}{n}\)
- \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{|\sin n|}{n^2}\)
Solución
- Esta es la Serie Armónica Alternante como se ha visto anteriormente. La secuencia subyacente es\(\{a_n\} = \{1/n\}\), que es positiva, decreciente, y se acerca a 0 como\(n\to\infty\). Por lo tanto, podemos aplicar la Prueba de Serie Alternante y concluir que esta serie converge.
Si bien la prueba no establece a qué converge la serie, veremos más adelante que\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac1n=\ln2.\) - La secuencia subyacente es\(\{a_n\} = \{\ln n/n\}\). Esto es positivo y se acerca a 0 como\(n\to\infty\) (use la Regla de L'Hopital). Sin embargo, la secuencia no está disminuyendo para todos\(n\). Es sencillo calcular\(a_1=0\),,\(a_2\approx0.347\)\(a_3\approx 0.366\), y\(a_4\approx 0.347\): la secuencia está aumentando durante al menos los primeros 3 términos.
No concluimos inmediatamente que no podemos aplicar la Prueba de Serie Alternante. Más bien, considere el comportamiento a largo plazo de\(\{a_n\}\). Tratando\(a_n=a(n)\) como una función continua de\(n\) definido en\([1,\infty)\), podemos tomar su derivada:\[a^\prime (n) = \dfrac{1-\ln n}{n^2}.\] La derivada es negativa para todos\(n\geq 3\) (en realidad, para todos\(n>e\)), el significado\(a(n)=a_n\) es decreciente en\([3,\infty)\). Podemos aplicar la Prueba de Serie Alternante a la serie cuando empezamos\(n=3\) y concluimos que\( \sum\limits_{n=3}^\infty(-1)^n\dfrac{\ln n}{n}\) converge; sumando los términos con\(n=1\) y\(n=2\) no cambian la convergencia (es decir, aplicamos el Teorema 64).
La lección importante aquí es que como antes, si una serie no cumple con los criterios de la Prueba de Serie Alternante en solo un número finito de términos, aún podemos aplicar la prueba. - La secuencia subyacente es\(\{a_n\} = |\sin n|/n\). Esta secuencia es positiva y se acerca\(0\) como\(n\to\infty\). Sin embargo, no es una secuencia decreciente; el valor de\(|\sin n|\) oscila entre\(0\) y\(1\) como\(n\to\infty\). No podemos eliminar un número finito de términos para hacer\(\{a_n\}\) decreciente, por lo tanto no podemos aplicar la Prueba de Serie Alternante.
Tenga en cuenta que esto no significa que concluyamos que la serie diverge; de hecho, sí converge. Simplemente no podemos concluir esto con base en el Teorema 70.
Key Idea 31 da la suma de algunas series importantes. Dos de estos son
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1{n^2} =\dfrac{\pi^2}6 \approx 1.64493 \quad \text{and} \quad \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{12}\approx 0.82247.\]
Estas dos series convergen a sus sumas a diferentes ritmos. Para ser exactos a dos lugares después del decimal, necesitamos 202 términos de la primera serie aunque solo 13 de la segunda. Para obtener 3 lugares de precisión, necesitamos 1069 términos de la primera serie aunque solo 33 de la segunda. ¿Por qué es que la segunda serie converge mucho más rápido que la primera?
Si bien hay muchos factores involucrados al estudiar las tasas de convergencia, la estructura alterna de una serie alterna nos da una poderosa herramienta a la hora de aproximar la suma de una serie convergente.
teorema 71: el teorema de aproximación de series alternas
Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia que satisfaga las hipótesis de la Prueba de Serie Alternante, y dejar\(S_n\) y\(L\) ser las sumas\(n^\text{th}\) parciales y la suma, respectivamente, de cualquiera\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}a_n\) o\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\). Entonces
- \(|S_n-L| < a_{n+1}\), y
- \(L\)está entre\(S_n\) y\(S_{n+1}\).
La Parte 1 del Teorema 71 establece que la suma\(n^\text{th}\) parcial de una serie alternante convergente estará dentro\(a_{n+1}\) de su suma total. Consideremos las series alternas que miramos antes de la afirmación del teorema,\( \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}\). Ya que\(a_{14} = 1/14^2 \approx 0.0051\), sabemos que\(S_{13}\) está dentro\(0.0051\) de la suma total.
Además, la Parte 2 del teorema establece que desde\(S_{13} \approx 0.8252\) y\(S_{14}\approx 0.8201\), sabemos que la suma\(L\) se encuentra entre\(0.8201\) y\(0.8252\). Un uso de esto es el conocimiento que\(S_{14}\) es exacto a dos lugares después del decimal.
Algunas series alternas convergen lentamente. En Ejemplo\(\PageIndex{1}\) determinamos la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{\ln n}{n}\) convergente. Con\(n=1001\), encontramos\(\ln n/n \approx 0.0069\), lo que significa que\(S_{1000} \approx 0.1633\) es exacto a uno, tal vez dos, lugares después del decimal. Ya que\(S_{1001} \approx 0.1564\), sabemos que la suma\(L\) es\(0.1564\leq L\leq0.1633\).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Approximating the sum of convergent alternating series
Aproximar la suma de las siguientes series, con precisión de dentro\(0.001\).
1. \( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^3}\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{\ln n}{n}\).
Solución
- Usando el Teorema 71, queremos encontrar\(n\) dónde\(1/n^3 < 0.001\):\[\begin{align*}\dfrac1{n^3} &\leq 0.001=\dfrac{1}{1000} \\n^3 &\geq 1000\\n &\geq \sqrt[3]{1000}\\n &\geq 10.\end{align*}\] Let\(L\) be the sum of this series. Por la Parte 1 del teorema,\(|S_9-L|<a_{10} = 1/1000\). Podemos calcular\(S_9=0.902116\), que nuestro teorema afirma está dentro\(0.001\) de la suma total.
Podemos usar la Parte 2 del teorema para obtener un resultado aún más preciso. Como sabemos el\(10^\text{th}\) término de la serie es\(-1/1000\), podemos calcular fácilmente\(S_{10} = 0.901116\). La parte 2 del teorema establece que\(L\) es entre\(S_9\) y\(S_{10}\), entonces\(0.901116 <L<0.902116\). - Queremos encontrar\(n\) dónde\(\ln (n)/n < 0.001\). Empezamos resolviendo\(\ln (n)/n = 0.001\) para\(n\). Esto no se puede resolver algebraicamente, por lo que usaremos el Método de Newton para aproximar una solución.
Vamos\(f(x) = \ln(x)/x-0.001\); queremos saber dónde\(f(x) = 0\). Hacemos una conjetura que\(x\) debe ser “grande”, así que nuestra suposición inicial será\(x_1=1000\). Recordemos cómo funciona el Método de Newton: dada una solución aproximada\(x_n\), nuestra siguiente aproximación la\(x_{n+1}\) da\[x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f^\prime (x_n)}.\]
We find\(f^\prime (x) = \big(1-\ln(x)\big)/x^2\). Esto da\[\begin{align*}x_2 &= 1000 - \dfrac{\ln(1000)/1000-0.001}{\big(1-\ln(1000)\big)/1000^2} \\&= 2000.\end{align*}\]
Usando una computadora, encontramos que el Método de Newton parece converger a una solución\(x=9118.01\) después de 8 iteraciones. Tomando el siguiente entero más alto, tenemos\(n=9119\), donde\(\ln(9119)/9119 =0.000999903<0.001\).
Nuevamente usando una computadora, nos encontramos\(S_{9118} = -0.160369\). La parte 1 del teorema establece que esto está dentro\(0.001\) de la suma real\(L\). Conociendo ya el\(^\text{th}\) término 9,119, podemos computar\(S_{9119} = -0.159369\), es decir\(-0.159369 < L < -0.160369\).
Observe cómo la primera serie convergió bastante rápido, donde solo necesitábamos 10 términos para alcanzar la precisión deseada, mientras que la segunda serie tomó más de 9,000 términos.
Uno de los famosos resultados de las matemáticas es que la Serie Armónica,\( \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1n\) diverge, pero la Serie Armónica Alternante\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac1n\),, converge. La noción de que alternar los signos de los términos en una serie puede hacer converger una serie nos lleva a las siguientes definiciones.
Definición 35: convergencia absoluta y condicional
- Una serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge absolutamente si\( \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) converge.
- Una serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge condicionalmente si\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge pero\( \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) diverge.
Así decimos que la Serie Armónica Alternante converge condicionalmente.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Determining absolute and conditional convergence.
Determine si las siguientes series convergen absoluta, condicionalmente o divergen.
1. \( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{n+3}{n^2+2n+5}\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{n^2+2n+5}{2^n}\qquad 3.\sum\limits_{n=3}^\infty (-1)^n\dfrac{3n-3}{5n-10}\)
Solución
- Podemos mostrar las\[ \sum\limits_{n=1}^\infty \left|(-1)^n\dfrac{n+3}{n^2+2n+5}\right|= \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n+3}{n^2+2n+5}\] divergencias de la serie usando la Prueba de Comparación de Límite, comparando con\(1/n\).
La serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{n+3}{n^2+2n+5}\) converge mediante la Prueba de Serie Alternante; concluimos que converge condicionalmente. - Podemos mostrar la serie\[ \sum\limits_{n=1}^\infty \left|(-1)^n\dfrac{n^2+2n+5}{2^n}\right|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n^2+2n+5}{2^n}\] converge usando la Prueba de Ratio.
Por lo tanto concluimos\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{n^2+2n+5}{2^n}\) converge absolutamente. - La serie\[ \sum\limits_{n=3}^\infty \left|(-1)^n\dfrac{3n-3}{5n-10}\right| = \sum\limits_{n=3}^\infty \dfrac{3n-3}{5n-10}\] diverge usando la Prueba de\(n^\text{th}\) Término, por lo que no converge absolutamente.
La serie\( \sum\limits_{n=3}^\infty (-1)^n\dfrac{3n-3}{5n-10}\) falla las condiciones de la Prueba de Serie Alternante ya\((3n-3)/(5n-10)\) que no se acerca\(0\) como\(n\to\infty\). Podemos afirmar además que esta serie diverge; ya que\(n\to\infty\), la serie efectivamente suma y resta una y\(3/5\) otra vez. Esto hace que la secuencia de sumas parciales oscile y no converja.
Por lo tanto, la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{3n-3}{5n-10}\) diverge.
Saber que una serie converge absolutamente nos permite hacer dos declaraciones importantes, dadas en el siguiente teorema. La primera es que la convergencia absoluta es “más fuerte” que la convergencia regular. Es decir, solo porque\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge, no podemos concluir\( \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) que converja, pero saber que una serie converge absolutamente nos dice que\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) convergerá.
Una razón por la que esto es importante es que todas nuestras pruebas de convergencia requieren que la secuencia subyacente de términos sea positiva. Al tomar el valor absoluto de los términos de una serie donde no todos los términos son positivos, muchas veces podemos aplicar una prueba apropiada y determinar la convergencia absoluta. Esto, a su vez, determina que la serie que nos dan también converja.
El segundo enunciado se refiere a reordenamientos de series. Cuando se trata de un conjunto finito de números, la suma de los números no depende del orden en que se sumen. (Entonces\(1+2+3 = 3+1+2\).) Uno puede sorprenderse al descubrir que al tratar con un conjunto infinito de números, la misma afirmación no siempre es cierta: algunas listas infinitas de números pueden reorganizarse en diferentes órdenes para lograr diferentes sumas. El teorema afirma que los términos de una serie absolutamente convergente pueden reordenarse de ninguna manera sin afectar a la suma.
teorema 72: teorema de convergencia absoluta
Déjese\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) ser una serie que converja absolutamente.
- \( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)converge.
- \(\{b_n\}\)Sea cualquier reordenamiento de la secuencia\(\{a_n\}\). Entonces
\[\sum\limits_{n=1}^\infty b_n = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n.\]
En el Ejemplo 8.5.3, determinamos que la serie en la parte 2 converge absolutamente. El teorema 72 nos dice que la serie converge (que también podríamos determinar usando la Prueba de Serie Alternante).
El teorema afirma que reorganizar los términos de una serie absolutamente convergente no afecta su suma. Esto implica que quizás la suma de una serie condicionalmente convergente pueda cambiar con base en la disposición de los términos. En efecto, puede. El Teorema de Reordenamiento de Riemann (llamado así por Bernhard Riemann) establece que cualquier serie condicionalmente convergente puede tener sus términos reordenados para que la suma sea cualquier valor deseado,\(\infty\) ¡incluso!
Como ejemplo, considere una vez más la Serie Armónica Alternante. Nosotros hemos afirmado que
\[\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac1n = 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\dfrac16+\dfrac17\cdots = \ln 2,\]
(ver Idea Clave 31 o Ejemplo 8.5.1).
Considera el reordenamiento donde cada término positivo va seguido de dos términos negativos:
\[1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac13-\dfrac16-\dfrac18+\dfrac15-\dfrac1{10}-\dfrac1{12}\cdots\]
(Convénzase de que estos son exactamente los mismos números que aparecen en la Serie Armónica Alternante, solo en un orden diferente). Ahora agrupa algunos términos y simplifica:
\ [\ comenzar {alinear*}
\ izquierda (1-\ dfrac12\ derecha) -\ dfrac14+\ izquierda (\ dfrac13-\ dfrac16\ derecha) -\ dfrac18+\ izquierda (\ dfrac15-\ dfrac1 {10}\ derecha) -\ dfrac1 {12} +\ cdots &=\
\ dfrac12-\ dfrac12-\ dfrac14+\ dfrac16-\ dfrac18+\ dfrac1 {10} -\ dfrac {1} {12} +\ cdots &=
\\ dfrac12\ izquierda (1-\ dfrac12+\ dfrac13-\ dfrac14+\ dfrac15-\ dfrac16+\ cdots\ derecha) & =\ dfrac12\ ln 2.
\ end {alinear*}\]
Al reorganizar los términos de la serie, ¡hemos llegado a una suma diferente! (Se podría intentar argumentar que la Serie Armónica Alternante en realidad no converge a\(\ln 2\), porque reorganizar los términos de la serie no debería cambiar la suma. No obstante, la Prueba de Serie Alternante demuestra que esta serie converge a\(L\)\(L\), para algún número, y si el reordenamiento no cambia la suma, entonces\(L = L/2\), implicando\(L=0\). Pero el Teorema de Aproximación de Serie Alternante lo demuestra rápidamente\(L>0\). La única conclusión es que el reordenamiento\ emph {did} cambió la suma.) Este es un resultado increíble.
Terminamos aquí nuestro estudio de pruebas para determinar la convergencia. La contraportada de este texto contiene una tabla que resume las pruebas que uno puede encontrar útiles.
Si bien las series son dignas de estudio en sí mismas, nuestro objetivo final dentro del cálculo es el estudio de Power Series, que consideraremos en la siguiente sección. Utilizaremos series de potencia para crear funciones donde la salida sea el resultado de una suma infinita.