8.6: Serie Power

Hasta el momento, nuestro estudio de series ha examinado la cuestión de “¿Es finita la suma de estos términos infinitos? ,” es decir, “¿La serie converge?” Ahora abordamos las series desde una perspectiva diferente: como una función. Dado un valor de$x$, evaluamos$f(x)$ encontrando la suma de una serie particular de la que depende$x$ (suponiendo que la serie converja). Iniciamos esta nueva aproximación a las series con una definición.

Definición 36: serie de potencia

Dejar$\{a_n\}$ ser una secuencia, dejar$x$ ser una variable, y dejar$c$ ser un número real.

1. La serie de potencia en$x$ es la serie $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$$
2. La serie de potencia$x$ centrada en$c$ es la serie $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n = a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\ldots$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Examples of power series

Escribe los primeros cinco términos de la siguiente serie de potencia:

$1. \sum\limits_{n=0}^\infty x^n \qquad\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x+1)^n}n\qquad\qquad 3. \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-\pi)^{2n}}{(2n)!}.$

Solución

1. Una de las convenciones que adoptamos es que$x^0=1$ independientemente del valor de$x$. Por lo tanto se $$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n = 1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots$$ trata de una serie geométrica en$x$.
2. Esta serie se centra en$c=-1$. Tenga en cuenta cómo comienza esta serie$n=1$. Podríamos reescribir esta serie empezando por el entendimiento$n=0$ de que$a_0=0$, y de ahí lo es el primer término$0$. $$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x+1)^n}n = (x+1) - \frac{(x+1)^2}{2} + \frac{(x+1)^3}{3} - \frac{(x+1)^4}{4}+\frac{(x+1)^5}{5}\ldots$$
3. Esta serie se centra en$c=\pi$. Recordemos eso$0!=1$. $$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-\pi)^{2n}}{(2n)!} = -1+\frac{(x-\pi)^2}{2} - \frac{(x-\pi)^4}{24}+ \frac{(x-\pi)^6}{6!}-\frac{(x-\pi)^8}{8!}\ldots$$

Introducimos series de potencia como un tipo de función, donde$x$ se da un valor de y se devuelve la suma de una serie. Por supuesto, no todas las series convergen. Por ejemplo, en la parte 1 del Ejemplo 8.6.1, reconocimos la serie$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ como una serie geométrica en$x$. Teorema 60 afirma que esta serie converge sólo cuando$|x|<1$.

Esto plantea la pregunta: “¿Para qué valores de$x$ convergerá una serie de potencias dada? ,” lo que nos lleva a un teorema y definición.

teorema 73: convergencia de series de potencia

Que se le dé una serie$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ de potencia. Entonces es cierto uno de los siguientes:

1. La serie converge sólo en$x=c$.
2. Hay$R>0$ tal que la serie converge para todos$x$ en$(c-R,c+R)$ y diverge para todos$x<c-R$ y$x>c+R$.
3. La serie converge para todos$x$.

El valor de$R$ es importante a la hora de entender una serie de potencias, de ahí que se le dé un nombre en la siguiente definición. También, tenga en cuenta que la parte 2 del Teorema 73 hace una declaración sobre el intervalo$(c-R,c+R)$, pero no los puntos finales de ese intervalo. Una serie puede/no converger en estos puntos finales.

Definición 37: Radio e Intervalo de Convergencia

1. El número$R$ dado en el Teorema 73 es el radio de convergencia de una serie dada. Cuando una serie converge por solo$x=c$, decimos que el radio de convergencia es 0, es decir,$R=0$. Cuando una serie converge para todos$x$, decimos que la serie tiene un radio infinito de convergencia, es decir,$R=\infty$.
2. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los valores$x$ para los que converge la serie.

Para encontrar los valores$x$ para los que converge una serie dada, utilizaremos las pruebas de convergencia que estudiamos anteriormente (especialmente la Prueba de Ratio). Sin embargo, todas las pruebas requirieron que los términos de una serie fueran positivos. El siguiente teorema nos da una solución a este problema.

teorema 74: El Radio de Convergencia de una Serie y Convergencia Absoluta

Las series$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ y$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|a_nx^n\big|$ tienen el mismo radio de convergencia$R$.

El teorema 74 nos permite encontrar el radio$R$ de convergencia de una serie aplicando la Prueba de Relación (o cualquier prueba aplicable) al valor absoluto de los términos de la serie. Esto lo practicamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Determining the radius and interval of convergence.

Encuentre el radio y el intervalo de convergencia para cada una de las siguientes series:

1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
2. $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
3. $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(x-3)^n$
4. $\sum\limits_{n=0}^\infty n!x^n$

Solución

1. Aplicamos la Prueba de Ratio a la serie$\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\frac{x^n}{n!}\right|$:\ [\ begin {align*}\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ frac {\ big|x^ {n+1}/(n+1)! \ big|} {\ big|x^n/n! \ big|} &=\ lim\ limits_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {x^ {n+1}} {x^n}\ cdot\ frac {n!} {(n+1)!} \ derecha|\\
   &=\ lim\ limits_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac x {n+1}\ derecha|\\
   &= 0\ texto {para todos} x.\ end {alinear*}\]
2. La Prueba de Ratio nos muestra que independientemente de la elección de$x$, la serie converge. Por lo tanto el radio de convergencia es$R=\infty$, y el intervalo de convergencia es$(-\infty,\infty)$.
3. Aplicamos la Prueba de Relación a la serie$\sum\limits_{n=1}^\infty \left|(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\right| = \sum\limits_{n=1}^\infty \left|\frac{x^n}{n}\right|$: $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big|x^{n+1}/(n+1)\big|}{\big|x^n/n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\cdot \frac{n}{n+1}\right| \\&= \lim\limits_{n\to\infty} |x|\frac{n}{n+1}\\&= |x|.\end{align*}$$
   
   La Prueba de Relación establece una serie converge si el límite de$|a_{n+1}/a_n| = L<1$. Encontramos que el límite anterior era$|x|$; por lo tanto, la serie de potencia converge cuando$|x| <1$, o cuando$x$ está en$(-1,1)$. Así es el radio de convergencia$R=1$.
   
   Para determinar el intervalo de convergencia, necesitamos verificar los puntos finales de$(-1,1)$. Cuando$x=-1$, tenemos lo contrario de la Serie Armónica: $$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(-1)^n}{n} &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-1}{n}\\&= -\infty.\end{align*}$$ La serie diverge cuando$x=-1$.
   
   Cuando$x=1$, tenemos la serie$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(1)^n}{n}$, que es la Serie Armónica Alternante, que converge. Por lo tanto el intervalo de convergencia es$(-1,1]$.
4. Aplicamos la Prueba de Relación a la serie$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|2^n(x-3)^n\big|$:
   $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big| 2^{n+1}(x-3)^{n+1}\big|}{\big|2^n(x-3)^n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{2^{n+1}}{2^n}\cdot\frac{(x-3)^{n+1}}{(x-3)^n}\right|\\&=\lim\limits_{n\to\infty} \big|2(x-3)\big|.\end{align*}$$
   
   Según la Prueba de Ratio, la serie converge cuando$\big|2(x-3)\big|<1 \implies \big|x-3\big| < 1/2$. La serie está centrada en 3, y$x$ debe estar dentro$1/2$ de 3 para que la serie converja. Por lo tanto el radio de convergencia es$R=1/2$, y sabemos que la serie converge absolutamente para todos$x$ en$(3-1/2,3+1/2) = (2.5, 3.5)$.
   
   Comprobamos la convergencia en los puntos finales para encontrar el intervalo de convergencia. Cuando$x=2.5$, tenemos: $$\begin{align*}\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(2.5-3)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(-1/2)^n \\&=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n,\end{align*}$$ que diverge. Un proceso similar muestra que la serie también diverge en$x=3.5$. Por lo tanto el intervalo de convergencia es$(2.5, 3.5)$.
5. Aplicamos la Prueba de Relación a$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|n!x^n\big|$:\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big| (n+1)!x^{n+1}\big|}{\big|n!x^n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \big|(n+1)x\big|\\&= \infty\ \text{ for all $x$, except $x=0$.}\end{align*}\] La Prueba de Relación muestra que la serie diverge para todos$x$ excepto$x=0$. Por lo tanto el radio de convergencia es$R=0$.

Podemos usar una serie de potencias para definir una función:

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$$

donde el dominio de$f$ es un subconjunto del intervalo de convergencia de la serie de potencias. Se pueden aplicar técnicas de cálculo a tales funciones; en particular, podemos encontrar derivados y antiderivados.

teorema 75: Derivadas e Integrales Indefinidas de Funciones de la Serie de Potencia

Let$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ Ser una función definida por una serie de potencias, con radio de convergencia$R$.

1. $f(x)$es continuo y diferenciable en$(c-R,c+R)$.
2. $f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot n\cdot (x-c)^{n-1}$, con radio de convergencia$R$.
3. $\int f(x)\ dx = C+\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\frac{(x-c)^{n+1}}{n+1}$, con radio de convergencia$R$.

Algunas notas sobre el Teorema 75:

1. El teorema afirma que la diferenciación y la integración no cambian el radio de convergencia. No establece nada sobre el intervalo de convergencia. No siempre son los mismos.
2. Observe cómo$f^\prime (x)$ empieza con la suma para$n=1$. Esto se debe a que el término constante$a_0$ de$f(x)$ va a 0.
3. La diferenciación y la integración se calculan simplemente término por término usando las Reglas de Poder.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Derivatives and indefinite integrals of power series

Vamos$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$. Encontrar$f^\prime (x)$ y$F(x) =\int f(x)\ dx$, junto con sus respectivos intervalos de convergencia.

Solución

Encontramos la integral derivada e indefinida de$f(x)$, siguiendo el Teorema 75.

1. $f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} = 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots.$
   En el Ejemplo 8.6.1, reconocimos que$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ es una serie geométrica en$x$. Sabemos que tal serie geométrica converge cuando$|x|<1$; es decir, el intervalo de convergencia lo es$(-1,1)$.
   
   Para determinar el intervalo de convergencia de$f^\prime (x)$, consideramos los puntos finales de$(-1,1)$:
   $$f^\prime (-1) = 1-2+3-4+\cdots,\quad \text{which diverges.}$$
   $$f^\prime (1) = 1+2+3+4+\cdots,\quad \text{which diverges.}$$
   
   Por lo tanto, el intervalo de convergencia de$f^\prime (x)$ es $(-1,1)$.
2. $F(x) = \int f(x)\ dx = C+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = C+ x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}3+\cdots$
   Para encontrar el intervalo de convergencia de$F(x)$, nuevamente consideramos los puntos finales de$(-1,1)$:
   $$F(-1) = C-1+1/2-1/3+1/4+\cdots$$
   
   El valor de$C$ es irrelevante; notar que el resto de la serie es una Serie Alternante que cuya los términos convergen a 0. Por la Prueba de Serie Alternante, esta serie converge. (De hecho, podemos reconocer que los términos de la serie posterior$C$ son los opuestos de la Serie Armónica Alternante. Así podemos decir eso$F(-1) = C-\ln 2$.)
   $$F(1) = C+1+1/2+1/3+1/4+\cdots$$
   
   Observe que esta suma es$C\ +$ la Serie Armónica, la cual diverge. Dado que$F$ converge para$x=-1$ y diverge para$x=1$, el intervalo de convergencia de$F(x)$ es$[-1,1)$.

El ejemplo anterior mostró cómo tomar la integral derivada e indefinida de una serie de potencias sin motivación de por qué nos importan este tipo de operaciones. Podemos cuidar el puro disfrute matemático “que podamos”, que es suficiente motivación para muchos. No obstante, seríamos negligentes al no reconocer que podemos aprender mucho de tomar derivados e integrales indefinidas.

Recordemos que$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ en el Ejemplo 8.6.3 se encuentra una serie geométrica. Según el Teorema 60, esta serie converge a$1/(1-x)$ cuándo$|x|<1$. Así podemos decir

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n = \frac 1{1-x},\quad \text{ on }\quad (-1,1).$$

Integrando la serie power, (como se hace en el Ejemplo 8.6.3,) encontramos

$$F(x) = C_1+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1},\label{eq:ps3a}$$

mientras que la integración de la función$f(x) = 1/(1-x)$ da

$$F(x) = -\ln|1-x| + C_2.\label{eq:ps3b}$$

Ecuación de Ecuaciones\ ref {eq:ps3a} y\ ref {eq:ps3b}, tenemos

$$F(x) = C_1+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln|1-x| + C_2.$$

Dejando$x=0$, tenemos$F(0) = C_1 = C_2$. Esto implica que podemos bajar las constantes y concluir

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln|1-x|.$$

Se estableció en el Ejemplo 8.6.3 que la serie de la izquierda converge en$x=-1$; sustituyendo$x=-1$ en ambos lados de la igualdad anterior da

$$-1+\frac12-\frac13+\frac14-\frac15+\cdots = -\ln 2.$$

A la izquierda tenemos lo contrario de la Serie Armónica Alternante; a la derecha, tenemos$-\ln 2$. Concluimos que

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots = \ln 2.$$

Importante: Declaramos en la Idea Clave 31 (en la Sección 8.2) que la Serie Armónica Alterna converge$\ln 2$, y nos referimos nuevamente a este hecho en la Sección 8.5. Sin embargo, nunca dimos un argumento de por qué era así. El trabajo anterior finalmente muestra cómo concluimos que la Serie Armónica Alternante converge a$\ln 2$.

Utilizamos este tipo de análisis en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Analyzing power series functions

Vamos$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Encontrar$f^\prime (x)$ y$\int f(x)\ dx$, y utilizarlos para analizar el comportamiento de$f(x)$.

Solución

Comenzamos haciendo dos apuntes: primero, en el Ejemplo 8.6.2, encontramos que el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es$(-\infty,\infty)$. Segundo, más adelante nos resultará útil tener algunos términos de la serie escritos:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}2+\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} +\cdots\label{eq:ps4}$$

Ahora encontramos el derivado:

\ [\ begin {align*}
f^\ prime (x) &=\ suma\ límites_ {n=1} ^\ infty n\ frac {x^ {n-1}} {n!} \\
&=\ suma\ límites_ {n=1} ^\ infty\ frac {x^ {n-1}} {(n-1)!} = 1+x+\ frac {x^2} {2!} +\ cdots. \\
\ text {Ya que la serie comienza en$n=1$ y cada término se refiere a$(n-1)$,} &\ text {podemos re-indexar la serie comenzando con$n=0$:}\\
&=\ sum\ limits_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^ {n}} {n!} \\
&= f (x).
\ end {alinear*}\]

Encontramos el derivado de$f(x)$ is$f(x)$. Las únicas funciones para las que esto es cierto son de la forma$y=ce^x$ para alguna constante$c$. Como$f(0) = 1$ (ver Ecuación\ ref {eq:ps4}),$c$ debe ser 1. Por lo tanto concluimos que

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x$$

para todos$x$.

También podemos encontrar$\int f(x)\ dx$:

\ [\ comenzar {alinear*}
\ int f (x) dx &= C+\ suma\ límites_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^ {n+1}} {n! (n+1)}\\
&= C+\ suma\ límites_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^ {n+1}} {(n+1)!}
\ end {alinear*}\]

Escribimos algunos términos de esta última serie:

$$C+ \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = C+ x+ \frac{x^2}2+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

La integral de$f(x)$ difiere de$f(x)$ sólo por una constante, nuevamente indicando que$f(x) = e^x$.

Ejemplo 8.6.4 y el trabajo siguiente Ejemplo 8.6.3 establecieron relaciones entre una función de serie de potencia y funciones “regulares” que hemos tratado en el pasado. En general, dada una función de serie de potencias, es difícil (si no imposible) expresar la función en términos de funciones elementales. Elegimos ejemplos donde las cosas salieron bien.

En el último ejemplo de esta sección, mostramos cómo resolver una ecuación diferencial simple con una serie de potencias. \\

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Solving a differential equation with a power series.

Dar los primeros 4 términos de la solución de la serie de potencia a$y^\prime = 2y$, dónde$y(0) = 1$.

Solución

La ecuación diferencial$y^\prime = 2y$ describe una función$y=f(x)$ donde la derivada de$y$ es dos veces$y$ y$y(0)=1$. Esta es una ecuación diferencial bastante simple; con un poco de pensamiento uno debería darse cuenta de que si$y=Ce^{2x}$, entonces$y^\prime = 2Ce^{2x}$, y por lo tanto$y^\prime = 2y$. Al dejar que$C=1$ satisfacemos la condición inicial de$y(0)=1$.

Ignoremos el hecho de que ya conocemos la solución y encontremos una función de serie de potencia que satisfaga la ecuación. La solución que busquemos tendrá la forma

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

para coeficientes desconocidos$a_n$. Podemos encontrar$f^\prime (x)$ usando el Teorema 75:

$$f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot n\cdot x^{n-1} = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\cdots.$$

Desde entonces$f^\prime (x) = 2f(x)$, tenemos

\ [\ begin {align*}
a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\ cdots &= 2\ grandes (a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ cdots\ grandes)\\
&=2a_0+2a_1x+2a_2x^2+2a_3x^3+\ cdots
\ end {align*}\]

Los coeficientes de poderes similares de$x$ deben ser iguales, por lo que encontramos que

$$a_1 = 2a_0,\quad 2a_2 = 2a_1,\quad 3a_3 = 2a_2,\quad 4a_4 = 2a_3,\quad \text{etc.}$$

La condición inicial$y(0) = f(0) = 1$ indica que$a_0 = 1$; con esto, podemos encontrar los valores de los otros coeficientes:

\ [\ begin {align*}
a_0 = 1\ text {y} a_1=2a_0 &\ Rightarrow a_1 = 2;\\
a_1 = 2\ text {y} 2a_2 = 2a_1 &\ Rightarrow a_2=4/2 =2;\\
a_2=2\ text {y} 3a_3 = 2a_2 &\ Rightarrow a_3=8/ (2\ cdot3) =4/3;\\
a_3=4/3\ texto {y} 4a_4 = 2a_3 &\ Fila derecha a_4 =16/ (2\ cdot3\ cdot4) = 2/3.
\ end {alinear*}\]

Así, los primeros 5 términos de la solución de series de potencia a la ecuación diferencial$y^\prime =2y$ es

$$f(x) = 1+ 2x+2x^2 + \frac43x^3+\frac23x^4+\cdots$$

En la Sección 8.8, a medida que estudiemos Taylor Series, aprenderemos a reconocer esta serie como descriptora$y=e^{2x}$.

Nuestro último ejemplo ilustra que puede ser difícil reconocer una función elemental por su expansión de la serie de potencia. Es mucho más fácil comenzar con una función conocida, expresada en términos de funciones elementales, y representarla como una función de serie de potencia. Uno puede preguntarse por qué nos molestaríamos en hacerlo, ya que esta última función probablemente parece más complicada. En las dos secciones siguientes, mostramos tanto cómo hacer esto como por qué tal proceso puede ser beneficioso.

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