10.E: Aplicaciones de Vectores (Ejercicios)

10.1: Introducción a las coordenadas cartesianas en el espacio

Términos y Conceptos

1. Los ejes dibujados en el espacio deben ajustarse a la regla ________ _________.

2. En el plano, la ecuación\(x=2\) define un ________; en el espacio,\(x=2\) define un ________.

3. En el plano, la ecuación\(y=x^2\) define un ________; en el espacio,\(y=x^2\) define un ________.

4. ¿Qué superficie cuádrica se parece a un chip Pringles?

5. Considera la hipérbola\(x^2-y^2=1\) en el plano. Si esta hipérbola se gira alrededor del eje x, ¿qué superficie cuádrica se forma?

6. Considera la hipérbola\(x^2-y^2=1\) en el plano. Si esta hipérbola se gira alrededor del eje y, ¿qué superficie cuádrica se forma?

Problemas

7. Los puntos\(A=(1,4,2),\,B=(2,6,3)\text{ and }C=(4,3,1)\) forman un triángulo en el espacio. Encuentra las distancias entre cada par de puntos y determina si el triángulo es un triángulo rectángulo.

8. Los puntos\(A=(1,1,3),\,B=(3,2,7),\,C=(2,0,8)\text{ and }D=(0,-1,4)\) forman un ABCD cuadrilátero en el espacio. ¿Esto es un paralelogramo?

9. Encuentra el centro y el radio de la esfera definida por\(x^2-8x+y^2+2y+z^2+8=0\).

10. Encuentra el centro y el radio de la esfera definida por\(x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+4=0\).

En los Ejercicios 11-14, describa la región en el espacio definida por las desigualdades.

11. \(x^2+y^2+z^2 <1\)

12. \(0\le x \le 3\)

13. \(x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\)

14. \(y\ge 3\)

En los Ejercicios 15-18, esboza el cilindro en el espacio.

15. \(z=x^3\)

16. \(y=\cos z\)

17. \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)

18. \(y=\frac{1}{x}\)

En los Ejercicios 19-22, dé la ecuación de la superficie de revolución descrita.

19. Gira\(z=\frac{1}{1+y^2}\) alrededor del eje y.

20. Gira\(y=x^2\) alrededor del eje x.

21. Gira\(z=x^2\) alrededor del eje z.

22. Gira\(z=1/x\) alrededor del eje z.

En los Ejercicios 23-26, se esboza una superficie cuádrica. Determinar cuál de las ecuaciones dadas se ajusta mejor a la gráfica.

23.

24.

25.

26.

En los Ejercicios 27-32, bosquejar la superficie cuádrica.

27. \(z-y^2+x^2=0\)

28. \(z^2=x^2+\frac{y^2}{4}\)

29. \(x=-y^2-z^2\)

30. \(16x^2-16y^2-16z^2=1\)

31. \(\frac{x^2}{9}-y^2+\frac{z^2}{25}=1\)

32. \(4x^2+2y^2+z^2=4\)

10.2: Una introducción a los vectores

Términos y Conceptos

1. Nombra dos cosas diferentes que no se puedan describir con un solo número, sino que más bien necesitan 2 o más números para describirlas completamente.

2. ¿Cuál es la diferencia entre\((1,2)\text{ and }\langle 1,2\rangle\)?

3. ¿Qué es un vector unitario?

4. ¿Qué significa que dos vectores sean paralelos?

5. ¿Qué efecto tiene multiplicar por un vector por -2?

Problemas

En los Ejercicios 6-9, se dan los puntos P y Q. Escribe el vector\(\vec{PQ}\) en forma de componente y usando los vectores unitarios estándar.

6. \(P=(2,-1),\quad Q=(3,5)\)

7. \(P=(3,2),\quad Q=(7,-2)\)

8. \(P=(0,3,-1),\quad Q=(6,2,5)\)

9. \(P=(2,1,2),\quad Q=(4,3,2)\)

10. Vamos\(\vec{u}=\langle 1,-2 \rangle \text{ and }\vec{v} =\langle 1,1 \rangle\).
(a) Encontrar\(\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v},\,2\vec{u}-3\vec{v}\).
(b) Esbozar los vectores anteriores en los mismos ejes, junto con\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\).
(c) Averiguar\(\vec{x}\) dónde\(\vec{u}+\vec{x}=2\vec{v}-\vec{x}\).

11. Vamos\(\vec{u}=\langle 1,1,-1 \rangle \text{ and }\vec{v}=\langle 2,1,2 \rangle\).
(a) Encontrar\(\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v},\,\pi \vec{u}-\sqrt{2}\vec{v}\).
(b) Esbozar los vectores anteriores en los mismos ejes, junto con\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\).
(c) Averiguar\(\vec{x}\) dónde\(\vec{u}+\vec{x}=\vec{v}+2\vec{x}\).

En Ejercicios 12-15, bosquejo\(\vec{u},\vec{v},\vec{u}+\vec{v} \text{ and }\vec{u}-\vec{v}\) sobre los mismos ejes.

12.

13.

14.

15.

En Ejercicios 16-19, encuentra\(\lVert \vec{u}\rVert,\lVert \vec{v}\rVert,\lVert \vec{u}+\vec{v}\rVert \text{ and }\lVert \vec{u}-\vec{v}\rVert\).

16. \(\vec{u}=\langle 2,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 3,-2\rangle\)

17. \(\vec{u}=\langle -3,2,2 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 1,-1,1\rangle\)

18. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle,\quad \vec{v}=\langle -3,-6\rangle\)

19. \(\vec{u}=\langle 2,-3,6 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 10,-15,30\rangle\)

20. ¿En qué condiciones se encuentra\(\lVert \vec{u}\rVert+\lVert \vec{v}\rVert=\lVert \vec{u}+\vec{v} \rVert\)?

En Ejercicios 21-24, encuentra el vector unitario\(\vec{u}\) en la dirección de\(\vec{v}\).

21. \(\vec{v} = \langle 3,7 \rangle\)

22. \(\vec{v} = \langle 6,8 \rangle\)

23. \(\vec{v} = \langle 1,-2,2 \rangle\)

24. \(\vec{v} = \langle 2,-2,2 \rangle\)

25. Encuentra el vector unitario en el primer cuadrante del\(\mathbb{R}^2\) que forma un\(50^\circ\) ángulo con el eje x.

26. Encuentra el vector unitario en el segundo cuadrante de\(\mathbb{R}^2\) que forma un\(30^\circ\) ángulo con el eje y.

27. Verifique, a partir de Key Idea 48, que\(\vec{u}=\langle \sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi, \cos \theta \rangle \) sea un vector unitario para todos los ángulos\(\theta \text{ and }\phi\).

Un peso de 100lb se suspende de dos cadenas, haciendo ángulos con la vertical de\(\theta\text{ and }\phi\) como se muestra en la figura a continuación.

En los Ejercicios 28-31,\(\theta \text{ and }\phi\) se dan los ángulos. Encuentra la fuerza aplicada a cada cadena.

28. \(\theta =30^\circ,\quad \phi=30^\circ\)

29. \(\theta =60^\circ,\quad \phi=60^\circ\)

30. \(\theta =20^\circ,\quad \phi=15^\circ\)

31. \(\theta =0^\circ,\quad \phi=0^\circ\)

Un peso de\(p\) lb se suspende de una cadena de longitud\(l\) mientras que una fuerza constante de\(\vec{F}_w\) empuja el peso hacia la derecha, haciendo un ángulo de\(\theta\) con la vertical, como se muestra en la figura de abajo.

En los Ejercicios 32-35,\(l\) se da una fuerza\(\vec{F}_w\) y una longitud. Encuentra el ángulo\(\theta\) y la altura al que se levanta el peso a medida que se mueve hacia la derecha.

32. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=1\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

33. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=1\text{ft},\quad p=10\text{lb}\)

34. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=10\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

35. \(\vec{F}_w=10\text{lb},\quad l=10\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

10.3: El Producto Dot

Términos y Conceptos

1. El producto punto de dos vectores es un __________, no un vector.

2. ¿Cómo se relacionan los conceptos del producto punto y la magnitud del vector?

3. ¿Cómo se puede saber rápidamente si el ángulo entre dos vectores es agudo u obtuso?

4. Dar un sinónimo de “ortogonal”.

Problemas

En Ejercicios 5-10, encuentra el producto punto de los vectores dados.

5. \(\vec{u}=\langle 2,-4 \rangle, \vec{v}=\langle 3,7 \rangle \)

6. \(\vec{u}=\langle 5,3 \rangle, \vec{v}=\langle 6,1 \rangle \)

7. \(\vec{u}=\langle 1,-1,2 \rangle, \vec{v}=\langle 2,5,3 \rangle \)

8. \(\vec{u}=\langle 3,5,-1 \rangle, \vec{v}=\langle 4,-1,7 \rangle \)

9. \(\vec{u}=\langle 1,1 \rangle, \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle \)

10. \(\vec{u}=\langle 1,2,3 \rangle, \vec{v}=\langle 0,0,0 \rangle \)

11. Crea tus propios vectores\(\vec{u},\vec{v},\text{ and }\vec{w}\text{ in }\mathbb{R}^2\) y muéstralo\(\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}\).

12. Crea tus propios vectores\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\text{ in }\mathbb{R}^3\) y escalar c y muéstralo\(c(\vec{u}\cdot \vec{v})=\vec{u}\cdot (c\vec{v})\).

En los Ejercicios 13-16, encuentra la medida del ángulo entre los dos vectores tanto en radianes como en grados.

13. \(\vec{u}=\langle 1,1 \rangle,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle\)

14. \(\vec{u}=\langle -2,1 \rangle,\,\vec{v}=\langle 3,5 \rangle\)

15. \(\vec{u}=\langle 8,1,-4 \rangle,\,\vec{v}=\langle 2,2,0 \rangle\)

16. \(\vec{u}=\langle 1,7,2 \rangle,\,\vec{v}=\langle 4,-2,5 \rangle\)

En Ejercicios 17-20,\(\vec{v}\) se da un vector. Dar dos vectores que son ortogonales a\(\vec{v}\).

17. \(\vec{v}=\langle 4,7 \rangle\)

18. \(\vec{v}=\langle -3,5 \rangle\)

19. \(\vec{v}=\langle 1,1,1 \rangle\)

20. \(\vec{v}=\langle 1,-2,3 \rangle\)

En los Ejercicios 21-26,\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\) se dan vectores. Encontrar\(\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\), la proyección ortogonal de\(\vec{u}\) sobre\(\vec{v}\), y bosquejar los tres vectores en los mismos ejes.

21. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle , \vec{v}=\langle -1,3 \rangle\)

22. \(\vec{u}=\langle 5,5 \rangle , \vec{v}=\langle 1,3 \rangle\)

23. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 1,1 \rangle\)

24. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,3 \rangle\)

25. \(\vec{u}=\langle 1,5,1 \rangle , \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle\)

26. \(\vec{u}=\langle 3,-1,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle\)

En Ejercicios 27-32,\(vec{v}\) se dan vectores\(\vec{u}\) y. Escribe\(\vec{u}\) como la suma de dos vectores, uno de los cuales es paralelo\(\vec{v}\) y uno de los cuales es perpendicular a\(\vec{v}\). Nota: estos son los mismos pares de vectores que se encuentran en los Ejercicios 21-26.

27. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle , \vec{v}=\langle -1,3 \rangle\)

28. \(\vec{u}=\langle 5,5 \rangle , \vec{v}=\langle 1,3 \rangle\)

29. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 1,1 \rangle\)

30. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,3 \rangle\)

31. \(\vec{u}=\langle 1,5,1 \rangle , \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle\)

32. \(\vec{u}=\langle 3,-1,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle\)

33. Una caja de 10 lb se asienta en una rampa que se eleva 4 pies sobre una distancia de 20 pies. ¿Cuánta fuerza se requiere para evitar que la caja se deslice por la rampa?

34. Una caja de 10 lb se asienta en una rampa de 15 pies que forma un\(^\circ\) ángulo de 30 con la horizontal. ¿Cuánta fuerza se requiere para evitar que la caja se deslice por la rampa?

35. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una caja horizontalmente de 10ft con una fuerza de 20lb aplicada en un ángulo de 45\(^\circ\) a la horizontal?

36. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una caja horizontalmente de 10ft con una fuerza de 20lb aplicada en un ángulo de 10\(^\circ\) a la horizontal?

37. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una caja por la longitud de una rampa que se eleva 2 pies sobre una distancia de 10 pies, con una fuerza de 50 lb aplicada horizontalmente?

38. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una caja por la longitud de una rampa que se eleva 2 pies sobre una distancia de 10 pies, con una fuerza de 50 lb aplicada en un ángulo de 45 con respecto\(^\circ\) a la horizontal?

39. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una caja hacia arriba de la longitud de una rampa de 10 pies que hace un\(^\circ\) ángulo de 5 con la horizontal, con 50 lb de fuerza aplicada en la dirección de la rampa?

10.4: El Producto Cruzado

Términos y Conceptos

1. El producto cruzado de dos vectores es un ________, no un escalar.

2. Se puede visualizar la dirección de\(\vec{u}\times \vec{v}\) usar el _______ ________ ________.

3. Give sinónimo de “ortogonal”.

4. T/F: Un principio fundamental del producto cruzado es que\(\vec{u}\times\vec{v}\) es ortogonal a\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\).

5. _______ es una medida de la fuerza de giro aplicada a un objeto.

Problemas

En Ejercicios 6-14,\(\vec{v}\) se dan vectores\(\vec{u}\) y. Calcular\(\vec{u}\times \vec{v}\) y mostrar que esto es ortogonal a ambos\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\).

6. \(\vec{u}=\langle 3,2,-2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 0,1,5 \rangle \)

7. \(\vec{u}=\langle 5,-4,3 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,-5,1 \rangle \)

8. \(\vec{u}=\langle 4,-5,-5 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 3,3,4 \rangle \)

9. \(\vec{u}=\langle -4,7,-10 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 4,4,1 \rangle \)

10. \(\vec{u}=\langle 1,0,1 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 5,0,7 \rangle \)

11. \(\vec{u}=\langle 1,5,-4 \rangle ,\, \vec{v}=\langle -2,-10,8 \rangle \)

12. \(\vec{u}=\vec{i} ,\, \vec{v}=\vec{j} \)

13. \(\vec{u}=\vec{i} ,\, \vec{v}=\vec{k} \)

14. \(\vec{u}=\vec{j} ,\, \vec{v}=\vec{j} \)

15. Escoge cualquier vector\(\vec{u},\vec{v}\) y\(\vec{w}\) entra\(\mathbb{R}^3\) y muéstralo\(\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v} +\vec{u}\times \vec{w}\).

16. Escoge cualquier vector\(\vec{u},\vec{v}\) y\(\vec{w}\) entra\(\mathbb{R}^3\) y muéstralo\(\vec{u}\cdot (\vec{v}\times\vec{w}=(\vec{u}\times \vec{v}) \cdot \vec{w}\).

En los Ejercicios 17-20,\(\mathbb{R}^3\) se da la magnitud de los vectores\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\) en, junto con el ángulo\(\theta\) entre ellos. Utilice esta información para encontrar la magnitud de\(\vec{u}\times \vec{v}\).

17. \(\lVert \vec{u} \rVert=2 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 5,\quad \theta =30^\circ\)

18. \(\lVert \vec{u} \rVert=3 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 7,\quad \theta =\pi/2\)

19. \(\lVert \vec{u} \rVert=3 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 4,\quad \theta =\pi\)

20. \(\lVert \vec{u} \rVert=2 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 5,\quad \theta =5\pi /6\)

En los Ejercicios 21-24, encuentra el área del paralelogramo definido por los vectores dados.

21. \(\vec{u}=\langle 1,1,2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,0,3 \rangle\)

22. \(\vec{u}=\langle -2,1,5 \rangle ,\, \vec{v}=\langle -1,3,1 \rangle\)

23. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,1 \rangle\)

24. \(\vec{u}=\langle 2,0 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 0,3 \rangle\)

En Ejercicios 25-28, encuentra el área del triángulo con los vértices dados.

25. Vértices:\((0,0,0), (1,3,-1)\text{ and }(2,1,1)\).

26. Vértices:\((5,2,-1), (3,6,2)\text{ and }(1,0,4)\).

27. Vértices:\((1,1), (1,3)\text{ and }(2,2)\).

28. Vértices:\((3,1), (1,2)\text{ and }(4,3)\).

En los Ejercicios 29-30, encuentra el área del cuadrilátero con los vértices dados. (Pista: rompe el cuadrilátero en los 2 triángulos.)

29. Vértices:\((0,0),(1,2),(3,0)\text{ and }(4,3)\).

30. Vértices:\((0,0,0),(2,1,1),(-1,2,-8)\text{ and }(1,-1,5)\).

En los Ejercicios 31-32, encuentra el volumen del paralelepípedo definido por los vectores dados.

31. \(\vec{u}=\langle 1,1,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle,\quad \vec{w}=\langle 1,0,1 \rangle\)

32. \(\vec{u}=\langle -1,2,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle,\quad \vec{w}=\langle 3,1,3 \rangle\)

En los Ejercicios 33-36, encuentra un vector unitario ortogonal a ambos\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\).

33. \(\vec{u}=\langle 1,1,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle 2,0,1 \rangle \)

34. \(\vec{u}=\langle 1,-2,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle 3,2,1 \rangle \)

35. \(\vec{u}=\langle 5,0,2 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle -3,0,7 \rangle \)

36. \(\vec{u}=\langle 1,-2,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle -2,4,-2 \rangle \)

37. Un ciclista aplica 150 lb de fuerza, recto hacia abajo, sobre un pedal que se extiende in horizontalmente desde el cigüeñal. Encuentra la magnitud del par aplicado al cigüeñal.

38. Un ciclista aplica 150 lb de fuerza, recto hacia abajo, sobre un pedal que se extiende 7in desde el cigüeñal, formando un\(^\circ\) ángulo de 30 con la horizontal. Encuentra la magnitud del par aplicado al cigüeñal.

39. Para girar un perno obstinado, se aplican 80 lb de fuerza a una llave de 10 pulgadas. ¿Cuál es la cantidad máxima de torque que se puede aplicar al perno?

40. Para girar un perno obstinado, se aplican 80 lb de fuerza a una llave de 10 pulgadas en un espacio confinado, donde la dirección de la fuerza aplicada forma un\(^\circ\) ángulo de 10 con la llave. ¿Cuánto torque se aplica posteriormente a la llave?

41. Mostrar, usando la definición del Producto Cruzado, eso\(\vec{u}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0\); es decir, que\(\vec{u}\) es ortogonal al producto cruzado de\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\).

42. Mostrar, usando la definición del Producto Cruzado, eso\(vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}\).

10.5: Líneas

Términos y Conceptos

1. Para encontrar una ecuación de una línea, ¿qué dos piezas de información se necesitan?

2. Dos líneas distintas en el plano pueden cruzarse o ser _______.

3. Dos líneas distintas en el espacio pueden cruzarse, ser _________ o __________.

4. Usa tus propias palabras para describir lo que significa que dos líneas en el espacio estén sesgadas.

Problemas

En los Ejercicios 5-14, escriba las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de las líneas descritas.

5. Pasa a través\(P=(2,-4,1)\), paralelo a\(\vec{d}=\langle 9,2,5\rangle\).

6. Pasa a través\(P=(6,1,7)\), paralelo a\(\vec{d}=\langle -3,2,5 \rangle\).

7. Pasa a través\(P=(2,1,5)\) y\(Q=(7,-2,4)\).

8. Pasa a través\(P=(1,-2,3)\) y\(Q=(5,5,5)\).

9. Pasa a través\(P=(0,1,2)\) y ortogonal a ambos\(\vec{d}_1 = \langle 2,-1,7 \rangle\) y\(\vec{d}_2 = \langle 7,1,3 \rangle\).

10. Pasa a través\(P=(5,1,9)\) y ortogonal a ambos\(\vec{d}_1 = \langle 1,0,1 \rangle\) y\(\vec{d}_2 = \langle 2,0,3\rangle\).

11. Pasa por el punto de intersección de\(\vec{l}_1 (t)\) y\(\vec{l}_2 (t)\) y ortogonal a ambas líneas, donde
\(\vec{l}_1 (t) = \langle 2,1,1 \rangle + t\langle 5,1,-2 \rangle\) y
\(\vec{l}_2 (t) = \langle -2,-1,2 \rangle + t\langle 3,1,-1 \rangle \).

12. Pasa por el punto de intersección de\(\vec{l}_1 (t)\text{ and }\vec{l}_2 (t)\) y ortogonal a ambas líneas, donde
\(l_1 = \begin{cases} x=t \\ y=-2+2t \\ z=1+t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=2+t \\ y=2-t \\ z=1+t \end{cases}\)

13. Pasa a través\(P=(1,1)\), paralelo a\(\vec{d}=\langle 2,3 \rangle\).

14. Pasa a través\(P=(-2,5)\), paralelo a\(\vec{d}=\langle 0,1 \rangle\).

En los Ejercicios 15-22, determinar si las líneas descritas son la misma línea, líneas paralelas, líneas de intersección o sesgo. Si se interseca, dé el punto de intersección.

15.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 1,2,1\ rangle +t\ langle 2, -1,1\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle 3,3,3\ rangle +t\ langle -4,2, -2\ rangle\).

16.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 2,1,1\ rangle +t\ langle 5,1,3\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle 14,5,9\ rangle +t\ langle 1,1,1\ rangle\).

17.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 3,4,1\ rangle +t\ langle 2, -3,4\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle -3,3, -3\ rangle +t\ langle 3, -2,4\ rangle\).

18.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 1,1,1\ rangle +t\ langle 3,1,3\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle 7,3,7\ rangle +t\ langle 6,2,6\ rangle\ rangle\).

19.
\(l_1 = \begin{cases}x=1+2t \\ y=3-2t \\ z=t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=3-t \\ y=2+5t \\ z=2+7t \end{cases}\)

20.
\(l_1 = \begin{cases}x=1.1+0.6t \\ y=3.77+0.9t \\ z=-2.3+1.5t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=3.11+3.4t \\ y=2+5.1t \\ z=2.5+8.5t \end{cases}\)

21.
\(l_1 = \begin{cases}x=-0.2+0.6t \\ y=1.33-0.45t \\ z=-4.2+1.05t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=0.86+9.2t \\ y=0.835+9.2t \\ z=-3.045+16.1t\end{cases}\)

22.
\(l_1 = \begin{cases}x=0.1+1.1t \\ y=2.9-1.5t \\ z=3.2+1.6t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=4-2.1t \\ y=1.8+7.2t \\ z=3.1+1.1t \end{cases}\)

En Ejercicios 23-26, encuentra la distancia desde el punto hasta la línea.

23. \(P=(1,1,1),\quad \vec{l}(t) = \langle 2,1,3 \rangle +t\langle 2,1,-2 \rangle\)

24. \(P=(2,5,6),\quad \vec{l}(t) = \langle -1,1,1 \rangle +t\langle 1,0,1 \rangle\)

25. \(P=(0,3),\quad \vec{l}(t) = \langle 2,0 \rangle +t\langle 1,1 \rangle\)

26. \(P=(1,1),\quad \vec{l}(t) = \langle 4,5 \rangle +t\langle -4,3 \rangle\)

En Ejercicios 27-28, encuentra la distancia entre las dos líneas.

27.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 1,2,1\ rangle +t\ langle 2, -1,1\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle 3,3,3\ rangle +t\ langle 4,2, -2\ rangle\).

28.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ langle 0,0,1\ rangle +t\ langle 1,0,0\ rangle,
\ vec {l} _2 (t) =\ langle 0,0,3\ rangle +t\ langle 0,1,0\ rangle\).

Los ejercicios 29-31 exploran casos especiales de las fórmulas de distancia que se encuentran en Key Idea 50.

29. Dejar\(Q\) ser un punto en la línea\(l(t)\). Mostrar por qué la fórmula de distancia da correctamente la distancia desde el punto hasta la línea como 0.

30. Deja que las líneas\(l_1(t)\text{ and } l_2(t)\) sean líneas que se cruzan. Mostrar por qué la fórmula de distancia da correctamente la distancia entre estas líneas como 0.

31. Que las líneas\(l_1(t)\text{ and }l_2(t)\) sean paralelas.
(a) Mostrar por qué la fórmula de distancia para la distancia entre líneas no se puede utilizar como se indica para encontrar la distancia entre las líneas.
(b) Mostrar por qué dejar\(c=(\vec{P_1P_2}\times \vec{d_2})\times \vec{d_2}\) permite a uno el uso de la fórmula.
(c) Mostrar cómo se puede usar la fórmula para la distancia entre un punto y una línea y una línea para encontrar la distancia entre líneas paralelas.

10.6: Aviones

Términos y Conceptos

1. Para encontrar la ecuación de un plano, ¿qué dos piezas de información debe tener una?

2. ¿Cuál es la relación entre un plano y uno de sus vectores normales?

Problemas

En los Ejercicios 3-6, da dos puntos cualesquiera en el plano dado.

3. \(2x-4y+7z=2\)

4. \(3(x+2)+5(y-9)-4z=0\)

5. \(x=2\)

6. \(4(y+2)-(z-6)=0\)

En los Ejercicios 7-20, dé la ecuación del plano descrito en formas estándar y generales.

7. Pasa a través\((2,3,4)\) y tiene vector normal\(\vec{n}=\langle 3,-1,7\rangle\).

8. Pasa a través\((1,3,5)\) y tiene vector normal\(\vec{n}=\langle 0,2,4\rangle\).

9. Pasa por los puntos\((1,2,3),(3,-1,4)\text{ and }(1,0,1)\).

10. Pasa por los puntos\((5,3,8),(6,4,9)\text{ and }(3,3,3)\).

11. Contiene las líneas de intersección
\(l_1(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) y
\(l_2(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 2,5,4 \rangle \).

12. Contiene las líneas de intersección
\(l_1(t) = \langle 5,0,3 \rangle +t\langle -1,1,1 \rangle\) y
\(l_2(t) = \langle 1,4,7 \rangle +t\langle 3,0,-3 \rangle \).

13. Contiene las líneas paralelas
\(l_1(t) = \langle 1,1,1 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) y
\(l_2(t) = \langle 1,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle \).

14. Contiene las líneas paralelas
\(l_1(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) y
\(l_2(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 2,5,4 \rangle \).

15. Contiene el punto\((2,-6,1)\) y la línea
\(l(t) = \begin{cases}x=2+5t \\ y=2+2t \\ z=-1+2t \end{cases}\)

16. Contiene el punto\((5,7,3)\) y la línea
\(l(t) = \begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}\)

17. Contiene el punto\((5,7,3)\) y es ortogonal a la línea\(l(t) = \langle 4,5,6 \rangle +t\langle 1,1,1 \rangle\).

18. Contiene el punto\((4,1,1)\) y es ortogonal a la línea
\(l(t) = \begin{cases}x=4+4t \\ y=1+1t \\ z=1+1t \end{cases}\)

19. Contiene el punto\((-4,7,2)\) y es paralelo al plano\(3(x-2)+8(y+1)-10z=0\).

20. Contiene el punto\((1,2,3)\) y es paralelo al plano\(x=5\).

En los Ejercicios 21-22, dé la ecuación de la línea que es la intersección del plano dado.

21.
\(p1: \, 3(x-2)+(y-1)+4z=0,\text{ and }\)
\(p2:\,2(x-1)-2(y+3)+6(z-1)=0\).

22.
\(p1: \, 5(x-5)+2(y+2)+4(z-1)=0,\text{ and }\)
\(p2:\,3x-4(y-1)+2(z-1)=0\).

En Ejercicios 23-26, encuentra el punto de intersección entre la línea y el plano.

23.
línea:\(\langle 5,1,-1 \rangle +t\langle 2,2,1 \rangle ,\)
plano:\(5x-y-z=-3\)

24.
línea:\(\langle 4,1,0 \rangle +t\langle 1,0,-1 \rangle ,\)
plano:\(3x+y-2x=8\)

25.
línea:\(\langle 1,2,3 \rangle +t\langle 3,5,-1 \rangle ,\)
plano:\(3x-2y-z=4\)

26.
línea:\(\langle 1,2,3 \rangle +t\langle 3,5,-1 \rangle ,\)
plano:\(3x-2y-z=-4\)

En Ejercicios 27-30, encuentra las distancias dadas.

27. La distancia desde el punto\((1,2,3)\) hasta el plano
\(3(x-1)+(y-2)+5(z-2)=0\).

28. La distancia desde el punto\((2,6,2)\) hasta el plano
\(2(x-1)-y+4(z+1)=0\).

29. La distancia entre los planos paralelos
\(x+y+z=0\text{ and }\)
\((x-2)+(y-3)+(z+4)=0\).

30. La distancia entre planos paralelos
\(2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0\text{ and}\)
\(2(x-3)+2(y-1)+(z-3)=0\)

31. Mostrar por qué si el punto Q se encuentra en un plano, entonces la fórmula de distancia da correctamente la distancia del punto al plano como 0.

32. ¿Cómo es más fácil responder el Ejercicio 30 en la Sección 10.5 una vez que tenemos una comprensión de los planos?