10: Vectores
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Este capítulo introduce un nuevo objeto matemático, el vector. Veremos que los vectores proporcionan un lenguaje poderoso para describir cantidades que tienen aspectos de magnitud y dirección. Un ejemplo sencillo de tal cantidad es la fuerza: al aplicar una fuerza, generalmente uno está interesado en cuánta fuerza se aplica (es decir, la magnitud de la fuerza) y la dirección en la que se aplicó la fuerza. Los vectores jugarán un papel importante en muchos de los capítulos posteriores de este texto. Este capítulo comienza con mover nuestras matemáticas fuera del plano y hacia el “espacio”. Es decir, comenzamos a pensar matemáticamente no sólo en dos dimensiones, sino en tres. Con esta base, podemos explorar vectores tanto en el plano como en el espacio.
- 10.1: Introducción a las coordenadas cartesianas en el espacio
- En esta sección introducimos las coordenadas cartesianas en el espacio y exploramos superficies básicas. Esto sentará las bases para gran parte de lo que hacemos en el resto del texto. Cada punto P en el espacio se puede representar con un triple ordenado, P= (a, b, c), donde a, b y c representan la posición relativa de PP a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Cada eje es perpendicular a los otros dos.
- 10.2: Una introducción a los vectores
- Muchas cantidades en las que pensamos diariamente pueden describirse por un solo número: temperatura, velocidad, costo, peso y altura. También hay muchos otros conceptos que encontramos a diario que no se pueden describir con un solo número. Por ejemplo, un pronosticador del tiempo a menudo describe el viento con su velocidad y su dirección. Al aplicar una fuerza, nos preocupa tanto la magnitud como la dirección de esa fuerza. En ambos ejemplos, la dirección es importante.
- 10.3: El Producto Dot
- En la sección anterior se introdujeron vectores y se describía cómo sumarlos y cómo multiplicarlos por escalares. Esta sección introduce una multiplicación en vectores llamada el producto punto.
- 10.4: El Producto Cruzado
- La “ortogonalidad” es inmensamente importante. Dados dos vectores u y v no paralelos distintos de cero en el espacio, es muy útil encontrar un vector w que sea perpendicular tanto a u como a v. Hay una operación, llamada producto cruzado, que crea tal vector. Esta sección define el producto cruzado, luego explora sus propiedades y aplicaciones.
- 10.5: Líneas
- Para encontrar la ecuación de una línea en el plano x-y, necesitamos dos piezas de información: un punto y la pendiente. La pendiente transmite información de dirección. Como las líneas verticales tienen una pendiente indefinida, la siguiente afirmación es más precisa: “Para definir una línea, se necesita un punto en la línea y la dirección de la línea”.
- 10.6: Aviones
- Cualquier superficie plana, como una pared, tablero de mesa o pieza rígida de cartón puede considerarse que representa parte de un plano.