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10.1: Introducción a las coordenadas cartesianas en el espacio

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Hasta este punto en este texto hemos considerado las matemáticas en un mundo bidimensional. Hemos trazado gráficas en elxy plano usando coordenadas rectangulares y polares y hemos encontrado el área de regiones en el plano. Hemos considerado las propiedades de los objetos sólidos, como el volumen y el área superficial, pero solo definiendo primero una curva en el plano y luego girándola fuera del plano.

Si bien hay matemáticas maravillosas para explorar en “2D”, vivimos en un mundo “3D” y eventualmente vamos a querer aplicar las matemáticas que involucren esta tercera dimensión. En esta sección introducimos las coordenadas cartesianas en el espacio y exploramos superficies básicas. Esto sentará las bases para gran parte de lo que hacemos en el resto del texto.

Cada puntoP en el espacio se puede representar con un triple ordenado,P=(a,b,c), dondea,b yc representar la posición relativa deP a lo largo de losz ejesxy -, - y -respectivamente. Cada eje es perpendicular a los otros dos.

Visualizar puntos en el espacio sobre papel puede ser problemático, ya que estamos tratando de representar un concepto tridimensional en un medio bidimensional. No podemos dibujar tres líneas que representen los tres ejes en los que cada línea es perpendicular a las otras dos. A pesar de este tema, existen convenciones estándar para trazar formas en el espacio que discutiremos que son más que adecuadas.

Una convención es que los ejes deben ajustarse a la regla de la mano derecha. Esta regla establece que cuando el dedo índice de la mano derecha se extiende en la dirección delx eje positivo, y el dedo medio (doblado “hacia adentro” para que sea perpendicular a la palma) apunta a lo largo dely eje positivo, entonces el pulgar extendido apuntará en la dirección del positivo z-eje. (Puede tomar algún pensamiento para verificar esto, pero este sistema es inherentemente diferente del creado al usar la “regla de la mano izquierda”). Hay dos métodos populares para dibujar ejes que discutimos brevemente.

En la Figura10.1.1 vemos el puntoP=(2,1,3) trazado sobre un conjunto de ejes. La convención básica aquí es que ely planox - se dibuja de manera estándar, con elz eje -abajo a la izquierda. La perspectiva es que el papel representa elxy plano y elz eje positivo está subiendo, fuera de la página. Este método es el preferido por muchos ingenieros. Debido a que puede ser difícil saber dónde se encuentra un solo punto en relación con todos los ejes, se han agregado líneas discontinuas para que uno vea qué tan lejos se encuentra a lo largo de cada eje el punto.

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Figura10.1.1: Trazando el puntoP=(2,1,3) en el espacio.

También se puede considerar ely planox - como un plano horizontal en, digamos, una habitación, donde elz eje positivo apunta hacia arriba. Cuando uno da un paso atrás y mira esta habitación, uno podría dibujar los ejes como se muestra en la Figura10.1.2. PSe dibuja el mismo punto, nuevamente con líneas discontinuas. Este punto de vista es el preferido por la mayoría de los matemáticos, y es la convención adoptada por este texto.

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Figura10.1.2: Trazar el puntoP=(2,1,3) en el espacio con una perspectiva utilizada en este texto.

Nota

Siempre y cuando los ejes de coordenadas estén posicionados de manera que sigan la regla de la mano derecha, no importa cómo se dibujen los ejes en papel.

Medir distancias

Es de vital importancia saber medir distancias entre puntos en el espacio. La fórmula para hacerlo se basa en medir la distancia en el plano, y se conoce (en ambos contextos) como la medida euclidiana de distancia.

Definición 48: distancia en el espacio

DejarP=(x1,y1,z1) yQ=(x2,y2,z2) ser puntos en el espacio. La distanciaD entreP yQ es

D=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2.

Nos referimos al segmento de línea que conecta puntosP yQ en el espacio como¯PQ, y nos referimos a la longitud de este segmento como||¯PQ||. La fórmula de distancia anterior nos permite calcular la longitud de este segmento.

Ejemplo10.1.1: Length of a line segment

DejarP=(1,4,1) y dejarQ=(2,1,1). Dibuja el segmento de línea¯PQ y encuentra su longitud.

Solución

Los puntosP yQ se trazan en la Figura10.1.3; no es necesario hacer ninguna consideración especial para dibujar el segmento de línea que conecta estos dos puntos; simplemente conéctelos con una línea recta.

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Figura10.1.3: Puntos de trazadoP yQ en Ejemplo10.1.1.

En realidad no se puede medir esta línea en la página y deducir nada significativo; su verdadera longitud debe medirse analíticamente. Aplicando la Definición 48, tenemos

||¯PQ||=(21)2+(14)2+(1(1))2=143.74.

Esferas

Así como un círculo es el conjunto de todos los puntos en el plano equidistante de un punto dado (su centro), una esfera es el conjunto de todos los puntos en el espacio que son equidistantes de un punto dado. La definición 48 nos permite escribir una ecuación de la esfera. Comenzamos con un puntoC=(a,b,c) que es ser el centro de una esfera con radior. Si un puntoP=(x,y,z) se encuentra en la esfera, entoncesP esr unidades deC; es decir,

||¯PC||=(xa)2+(yb)2+(zc)2=r.

Al cuadrar ambos lados, obtenemos la ecuación estándar de una esfera en el espacio con centro enC=(a,b,c) con radior, como se da en la siguiente Idea Clave.

IDEA CLAVE 45: Ecuación estándar de una esfera en el espacio

La ecuación estándar de la esfera con radior, centrada enC=(a,b,c), es(xa)2+(yb)2+(zc)2=r2.

Ejemplo10.1.2: Equation of a sphere

Encuentra el centro y el radio de la esfera definidos porx2+2x+y24y+z26z=2.

Solución

Para determinar el centro y el radio, debemos poner la ecuación en forma estándar. Esto requiere que completemos la plaza (tres veces).

\ [\ begin {align*}
x^2+2x+y^2-4y+z^2-6z&=2\\
(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) + (z^2-6z+9) - 14 &= 2\\
(x+1) ^2 + (y-2) ^2 + (z-3) ^2 &= 16
\ end {align*}\]

La esfera está centrada en(1,2,3) y tiene un radio de 4.

La ecuación de una esfera es un ejemplo de una función implícita que define una superficie en el espacio. En el caso de una esfera, se utilizan las variablesx,y yz todas. Ahora consideramos situaciones donde se definen superficies donde una o dos de estas variables están ausentes.

Introducción a los Planos en el Espacio

Los ejes de coordenadas definen naturalmente tres planos (mostrados en la Figura10.1.4), los planos de coordenadas: ely planox -, elz planoy - y elz planox -. Ely planox - se caracteriza como el conjunto de todos los puntos en el espacio donde elz -valor es 0. Esto, de hecho, nos da una ecuación que describe este plano:z=0. Asimismo, elz planox - es todos los puntos donde ely -valor es 0, caracterizado pory=0.

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Figura10.1.4: Los planos de coordenadas.

La ecuaciónx=2 describe todos los puntos en el espacio donde elx -valor es 2. Se trata de un plano, paralelo al plano dez coordenadasy -, mostrado en la Figura10.1.5.

10.5.PNG
Figura10.1.5: El aviónx=2.

Ejemplo10.1.3: Regions defined by planes

Esbozar la región definida por las desigualdades1y2.

Solución

La región es todos los puntos entre los planosy=1 yy=2. Estos planos se esbozan en la Figura10.1.6, los cuales son paralelos alz planox -. Así, la región se extiende infinitamente en lasz direccionesx y, y está delimitada por planos en lay dirección.

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Figura10.1.6: Esbozar los límites de una región en Ejemplo10.1.3.

Cilindros

La ecuaciónx=1 obviamente carece dez las variablesy y, lo que significa que define puntos donde lasz coordenadasy y pueden tomar cualquier valor. Consideremos ahora la ecuaciónx2+y2=1 en el espacio. En el plano, esta ecuación describe un círculo de radio 1, centrado en el origen. En el espacio, no se especifica laz coordenada, lo que significa que puede tomar cualquier valor. En Figura10.1.7a, mostramos parte de la gráfica de la ecuaciónx2+y2=1 dibujando 3 círculos: el inferior tiene unz -valor constante de1.5, el del medio tiene unz -valor de 0 y el círculo superior tiene unz -valor de 1. Al trazar todos losz valores posibles, obtenemos la superficie que se muestra en la Figura10.1.7b.
Esta superficie parece un “tubo” o un “cilindro”; los matemáticos llaman a esta superficie un cilindro por una razón completamente diferente.

10.8.PNG
Figura10.1.7: Croquizadox2+y2=1.

Definición 49: CILINDRO, Directrix y Resoluciones

DejarC ser una curva en un plano y dejarL ser una línea no paralela aC. Un cilindro es el conjunto de todas las líneas paralelas a lasL que pasanC. La curvaC es la directriz del cilindro, y las líneas son las resoluciones.

En este texto, consideramos las curvasC que se encuentran en planos paralelos a uno de los planos de coordenadas, y las líneasL que son perpendiculares a estos planos, formando cilindros rectos. Así, la directriz se puede definir usando ecuaciones que involucran 2 variables, y las reglas serán paralelas al eje de lard variable 3.

En el ejemplo anterior a la definición, la curvax2+y2=1 en ely planox - es la directriz y las reglas son líneas paralelas alz eje -eje. (Cualquier círculo mostrado en la Figura 10.8 puede considerarse una directriz; simplemente elegimos el que se muestra en la Figura 10.8)z=0. Las resoluciones de muestra también se pueden ver en la parte (b) de la figura. Más ejemplos nos ayudarán a entender esta definición.

Ejemplo10.1.4: Graphing cylinders

Grafica el cilindro siguiendo a los cilindros.

  1. z=y2
  2. x=sinz

Solución

  1. Podemos ver la ecuaciónz=y2 como una parábola en elz planoy -, como se ilustra en la Figura10.1.8a. Comox no aparece en la ecuación, las resoluciones son líneas a través de esta parábola paralelas alx eje -eje, que se muestra en la Figura10.1.8b. Estas sentencias dan una idea general de cómo se ve la superficie, dibujada en (c).
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Figura10.1.8: Croquizar el cilindro definido porz=y2.
  1. Podemos ver la ecuaciónx=sinz como una curva sinusoidal que existe en elz planox -, como se muestra en la Figura10.1.9a. Las reglas son paralelas aly eje ya que la variabley no aparece en la ecuaciónx=sinz; algunas de ellas se muestran en la Figura10.1.9b. La superficie se muestra en la parte (c) de la figura.
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Figura10.1.9: Croquizar el cilindro definido porx=sinz.

Superficies de Revolución

Una de las aplicaciones de integración que aprendimos anteriormente fue encontrar el volumen de sólidos de revolución, sólidos formados al girar una curva alrededor de un eje horizontal o vertical. Consideramos ahora cómo encontrar la ecuación de la superficie de tal sólido.

Considera la superficie formada al girary=x alrededor delx eje. Las secciones transversales de esta superficie paralelas alz planoy - son círculos, como se muestra en la Figura10.1.1a. Cada círculo tiene ecuación de la formay2+z2=r2 para algún radior. El radio es una función dex; de hecho, lo esr(x)=x. Así, la ecuación de la superficie mostrada en la Figura10.1.10b esy2+z2=(x)2.

10.10.PNG
Figura10.1.10: Introduciendo superficies de revolución.

Generalizamos los principios anteriores para dar las ecuaciones de superficies formadas por curvas giratorias alrededor de los ejes de coordenadas.

IDEA CLAVE 46: SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Letr Ser una función de radio.

  1. La ecuación de la superficie formada por rotacióny=r(x) oz=r(x) alrededor delx eje esy2+z2=r(x)2.
  2. La ecuación de la superficie formada por rotaciónx=r(y) oz=r(y) alrededor dely eje esx2+z2=r(y)2.
  3. La ecuación de la superficie formada por rotaciónx=r(z) oy=r(z) alrededor delz eje esx2+y2=r(z)2.

Ejemplo10.1.5: Finding equation of a surface of revolution

y=sinzVamos[0,π]. Encuentra la ecuación de la superficie de revolución formada al girary=sinz alrededor delz eje.

Solución

Usando la Idea Clave 46, encontramos que la superficie tiene ecuaciónx2+y2=sin2z. La curva se esboza en la Figura10.1.11a y la superficie se dibuja en la Figura10.1.11b.

Observe cómo la superficie (y de ahí la ecuación resultante) es la misma si comenzamos con la curvax=sinz, que también se dibuja en la Figura10.1.11a.

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Figura10.1.11: Girandoy=sinz alrededor del eje z en Ejemplo10.1.5.

Este método particular de creación de superficies de revolución es limitado. Por ejemplo, en la Sección 7.3 encontramos el volumen del sólido formado al girary=sinx alrededor dely eje. Nuestro método actual de formar superficies solo puede rotary=sinx alrededor delx eje. Tratar de reescribiry=sinx en función de noy es trivial, ya que simplemente escribirx=sin1y solo da parte de la región que deseamos.

Lo que deseamos es una forma de escribir la superficie de revolución formada por la rotacióny=f(x) alrededor dely eje. Comenzamos reconociendo primero que esta superficie es lo mismo que girarz=f(x) alrededor delz eje. Esto nos dará una forma más natural de ver la superficie.

Un valor dex es una medición de la distancia desde elz eje. A la distanciar, trazamos unaz -altura def(r). Al rotarf(x) alrededor delz eje, queremos que todos los puntos a unar distancia delz eje -en ely planox - tengan unaz -altura def(r). Todos esos puntos satisfacen la ecuaciónr2=x2+y2; de ahír=x2+y2. Sustituciónr conx2+y2 enf(r) daz=f(x2+y2). Esta es la ecuación de la superficie.

IDEA CLAVE 47: SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Dejemosz=f(x)x0,, ser una curva en elx -z plano. La superficie formada al girar esta curva alrededor delz eje -tiene ecuaciónz=f(x2+y2).

Ejemplo10.1.6: Finding equation of surface of revolution

Encuentra la ecuación de la superficie que se encuentra girandoz=sinx alrededor delz eje.

Solución

Usando la Idea Clave 47, la superficie tiene ecuaciónz=sin(x2+y2). La curva y la superficie están graficadas en la Figura10.1.12.

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Figura10.1.12: Girandoz=sinx alrededor del eje z en Ejemplo10.1.6.

Superficies cuadricas

Esferas, planos y cilindros son superficies importantes para entender. Consideramos ahora un último tipo de superficie, una superficie cuádrica. La definición puede parecer intimidante, pero mostraremos cómo analizar estas superficies de una manera iluminadora.

Definición 50: SUPERFICIE CUADRICA

Una superficie cuádrica es la gráfica de la ecuación general de segundo grado en tres variables:

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0.

Cuando los coeficientesD,E o noF son cero, las formas básicas de las superficies cuádricas se rotan en el espacio. Nos enfocaremos en superficies cuádricas donde estos coeffiecientes son 0; no consideraremos rotaciones. Existen seis superficies cuádricas básicas: el paraboloide elíptico, el cono elíptico, el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide hiperbólico.

Estudiamos cada forma considerando trazas, es decir, intersecciones de cada superficie con un plano paralelo a un plano de coordenadas. Por ejemplo, considere el paraboloide elípticoz=x2/4+y2, que se muestra en la Figura 10.13. Si intersectamos esta forma con el planoz=d (es decir, reemplazarz cond), tenemos la ecuación:

d=x24+y2.

Divide ambos lados pord:

1=x24d+y2d.

Esto describe una elipse, por lo que las secciones transversales paralelas alx plano dey coordenadas son elipses. Esta elipse se dibuja en la Figura10.1.13.

10.13.PNG
Figura10.1.13: El paraboloide elípticoz=x2/4+y2.

Ahora considere las secciones transversales paralelas alz planox -. Por ejemplo, dejary=0 da la ecuaciónz=x2/4, claramente una parábola. La intersección con el planox=0 da una sección transversal definida porz=y2, otra parábola. Estas parábolas también están bosquejadas en la figura.

Así vemos de dónde recibe su nombre el paraboloide elíptico: algunas secciones transversales son elipses, y otras son parábolas.

Dicho análisis se puede hacer con cada una de las superficies cuádricas. Damos una ecuación de muestra de cada una, proporcionamos un boceto con trazas representativas y las describimos.

Paraboloide elíptico,z=x2a2+y2b2

elíptica par.PNG

Una variable en la ecuación del paraboloide elíptico se elevará a la primera potencia; arriba, esta es laz variable. El paraboloide se “abrirá” en la dirección del eje de esta variable. Asíx=y2/a2+z2/b2 es un paraboloide elíptico que se abre a lo largo delx eje.

Multiplicar el lado derecho por(1) define un paraboloide elíptico que “se abre” en la dirección opuesta.

Cono elíptico,z2=x2a2+y2b2

elíptica cone.PNG

Uno puede reescribir la ecuación comoz2x2/a2y2/b2=0. La variable con coeficiente positivo corresponde al eje por el que se “abren” los conos.

Elipsoide,x2a2+y2b2+z2c2=1

ellipsoid.PNG
Sia=b=c0, el elipsoide es una esfera con radioa; compare con Idea Clave 45.

Hiperboloide de una hoja,x2a2+y2b2z2c2=1

hiperboloide de un sheet.PNG

La variable con coeficiente negativo corresponde al eje por el que se “abre” el hiperboloide.

Hiperboloide de Dos Hojas,z2c2x2a2y2b2=1

hiperboloide de 2 shhet.PNG

La variable con coeficiente positivo corresponde al eje por el que se “abre” el hiperboloide. En el caso ilustrado, cuando|d|<|c|, no hay rastro.

Paraboloide hiperbólicoz=x2a2y2b2


hiperbólico parab.PNG

Las trazas parabólicas se abrirán a lo largo del eje de la variable que se eleva a la primera potencia.

Ejemplo10.1.7: Sketching quadric surfaces

Dibuje la superficie cuádrica definida por la ecuación dada.

  1. y=x24+z216
  2. x2+y29+z24=1.
  3. z=y2x2.

Solución

  1. y=x24+z216: Primero

    identificamos el cuádrico por patrón, coincidiendo con las ecuaciones dadas anteriormente. Solo dos superficies tienen ecuaciones donde una variable se eleva a la primera potencia, la paraboloide elíptica y la paraboloide hiperbólica. En este último caso, las otras variables tienen signos diferentes, por lo que concluimos que esto describe un paraboloide hiperbólico. Como es la variable con la primera potenciay, observamos que el paraboloide se abre a lo largo dely eje.

    Para hacer un boceto decente a mano, solo necesitamos dibujar algunas huellas. En este caso, las trazasx=0 yz=0 forman parábolas que perfilan la forma.

    x=0: El rastro es la parábolay=z2/16

    z=0: El rastro es la parábolay=x2/4.

    Graficando cada traza en el plano respectivo crea un boceto como se muestra en la Figura10.1.14a. Esto es suficiente para dar una idea de cómo se ve el paraboloide. La superficie se rellena en la Figura10.1.14b.


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Figura10.1.14: Esbozo de un paraboloide elíptico.

  1. x2+y29+z24=1:

    Se trata de un elipsoide. Podemos hacernos una buena idea de su forma dibujando las trazas en los planos de coordenadas.

    x=0: La traza es la elipsey29+z24=1. El eje mayor está a lo largo dely eje —con longitud 6 (asb=3, la longitud del eje es 6); el eje menor está a lo largo delz eje -con longitud 4.

    y=0: La traza es la elipsex2+z24=1. El eje mayor está a lo largo delz eje -y el eje menor tiene una longitud 2 a lo largo delx eje -eje.

    z=0: La traza es la elipsex2+y29=1, con eje mayor a lo largo dely eje -eje.

    Graficando cada traza en el plano respectivo crea un boceto como se muestra en la Figura Figura10.1.15a. Rellenar la superficie da Figura Figura10.1.15b.

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    Figura10.1.15: Croquizar un elipsoide.
  2. z=y2x2:

    Esto define un paraboloide hiperbólico, muy similar al que se muestra en la galería de secciones cuádricas. Considera las huellas en losxz planosyz y:

    x=0: El rastro esz=y2, una parábola que se abre en elyz avión.

    y=0: El rastro esz=x2, una parábola que se abre hacia abajo en elxz avión.

    Al esbozar estas dos parábolas se obtiene un boceto como el de la Figura Figura10.1.16a, y al rellenar la superficie se obtiene un boceto como Figura10.1.16b.
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Figura10.1.16: Esbozo de un paraboloide hiperbólico.

Ejemplo10.1.8: Identifying quadric surfaces

Considere la superficie cuádrica que se muestra en la Figura Figura10.1.17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se ajusta mejor a esta superficie?

imageedit_40_8070078473.png
Figura10.1.8.

\ [\ nonumber\ begin {align}
(a)\, & x^2-y^2-\ frac {z^2} {9} =0\ qquad\ qquad && (c)\, z^2-x^2-y^2=1\\ nonumber
(b)\, & x^2-y^2-z^2=1\ qquad && (d)\, 4x^2-y^2-\ frac {z^2} 9=1
\ end {align}\]

Solución

La imagen muestra claramente un hiperboloide de dos hojas. La galería nos informa que la ecuación tendrá una forma similar az2c2x2a2y2b2=1.

Podemos eliminar inmediatamente la opción (a), ya que la constante en esa ecuación no es 1.

El hiperboloide “se abre” a lo largo delx eje -eje, es decir,x debe ser la única variable con un coeficiente positivo, eliminando (c).

El hiperboloide es más ancho en laz dirección -que en lay dirección -dirección, por lo que necesitamos una ecuación dondec>b. Esto elimina (b), dejándonos con (d). Debemos verificar que la ecuación dada en (d),4x2y2z29=1, encaje.

Ya establecimos que esta ecuación describe un hiperboloide de dos hojas que se abre en lax dirección -y es más ancho en laz dirección- que en lay. Ahora anote el coeficiente delx -término. Reescribiendo4x2 en forma estándar, tenemos:4x2=x2(1/2)2. Así cuándoy=0 yz=0,x debe ser1/2; es decir, cada hiperboloide “comienza” enx=1/2. Esto coincide con nuestra figura.

Concluimos que4x2y2z29=1 mejor se ajusta a la gráfica.

En esta sección se han introducido puntos en el espacio y se ha mostrado cómo las ecuaciones pueden describir las superficies. Las siguientes secciones exploran vectores, un importante objeto matemático que utilizaremos para explorar curvas en el espacio.

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