12.1: Introducción a las Funciones Multivariables

Definición 77 Función de dos variables

Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}^2\). Una función\(f\) de dos variables es una regla que asigna cada par\((x,y)\) en\(D\) un valor\(z=f(x,y)\) en\(\mathbb{R}\). \(D\)es el dominio de\(f\); el conjunto de todas las salidas de\(f\) es el rango.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Understanding a function of two variables

Vamos\(z=f(x,y) = x^2-y\). Evaluar\(f(1,2)\)\(f(2,1)\),, y\(f(-2,4)\); encontrar el dominio y rango de\(f\).

Solución

Usando la definición\(f(x,y) = x^2-y\), tenemos:

\ [\ begin {alinear*}
f (1,2) &= 1^2-2 = -1\\
f (2,1) &= 2^2-1 = 3\\
f (-2,4) &= (-2) ^2-4 = 0
\ end {align*}\]

No se especifica el dominio, por lo que lo tomamos como todos los pares posibles en\(\mathbb{R}^2\) para los que\(f\) se define. En este ejemplo,\(f\) se define para todos los pares\((x,y)\), por lo que el dominio\(D\) de\(f\) es\(\mathbb{R}^2\).

La salida de se\(f\) puede hacer lo más grande o pequeña posible; cualquier número real\(r\) puede ser la salida. (De hecho, dado cualquier número real\(r\),\(f(0,-r)=r\).) Entonces el rango\(R\) de\(f\) es\(\mathbb{R}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Understanding a function of two variables

Vamos

\[f(x,y) = \sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}. \nonumber\]

Encuentra el dominio y la gama de\(f\).

Solución

El dominio es todos los pares\((x,y)\) permisibles como entrada en\(f\). Debido a la raíz cuadrada, necesitamos\((x,y)\) tal que\(0\leq1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4\):

\ [\ begin {alinear*}
0&\ leq1-\ frac {x^2} 9-\ frac {y^2} 4\\
\ frac {x^2} 9+\ frac {y^2} 4 &\ leq 1
\ end {align*}\]

La ecuación anterior describe el interior de una elipse como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Podemos representar el dominio\(D\) gráficamente con la figura; en notación de conjuntos, podemos escribir\(D = \{(x,y)|\,\frac{x^2}9+\frac{y^2}4 \leq 1\}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustrando el dominio de\(f(x,y)\) en el Ejemplo 12.1.2

El rango es el conjunto de todos los valores de salida posibles. La raíz cuadrada asegura que toda la salida sea\(\geq 0\). Dado que los\(y\) términos\(x\) y son cuadrados, luego se restan, dentro de la raíz cuadrada, el mayor valor de salida viene en\(x=0\),\(y=0\):\(f(0,0) = 1\). Así el rango\(R\) es el intervalo\([0,1]\).

Graficar funciones de dos variables

La gráfica de una función\(f\) de dos variables es el conjunto de todos los puntos\(\big(x,y,f(x,y)\big)\) donde\((x,y)\) se encuentra en el dominio de\(f\). Esto crea una superficie en el espacio.

Figura\(\PageIndex{2}\): Graficando una función de dos variables.

Se puede comenzar a esbozar una gráfica trazando puntos, pero esto tiene limitaciones. Considera Figura\(\PageIndex{2a}\) donde se han trazado 25 puntos de\(f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}\). Se han trazado más puntos de los que uno razonablemente querría hacer a mano, sin embargo, no está claro en absoluto cómo se ve la gráfica de la función. La tecnología nos permite trazar muchos puntos, conectar puntos adyacentes con líneas y agregar sombreado para crear una gráfica como Figura\(\PageIndex{2b}\) que hace un trabajo mucho mejor al ilustrar el comportamiento de\(f\).

Si bien la tecnología está fácilmente disponible para ayudarnos a graficar funciones de dos variables, todavía hay un enfoque de papel y lápiz que es útil para entender y dominar, ya que, combinado con gráficos de alta calidad, brinda una gran idea del comportamiento de una función. Esta técnica se conoce como bosquejar curvas de nivel.

Curvas de Nivel

Puede ser sorprendente encontrar que el problema de representar una superficie tridimensional sobre papel es familiar para la mayoría de las personas (simplemente no se dan cuenta). Los mapas topográficos, como el que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\), representan la superficie de la Tierra indicando puntos con la misma elevación con curvas de nivel. Las elevaciones marcadas están igualmente espaciadas; en este ejemplo, cada línea delgada indica un cambio de elevación en incrementos de 50 pies y cada línea gruesa indica un cambio de 200 pies. Cuando las líneas se dibujan juntas, la elevación cambia rápidamente (ya que uno no tiene que viajar lejos para elevarse 50 pies). Cuando las líneas están muy separadas, como cerca de “Aspen Campground”, la elevación cambia más gradualmente a medida que uno tiene que caminar más lejos para elevarse 50 pies.

Figura\(\PageIndex{3}\): Un mapa topográfico muestra la elevación dibujando líneas de contorno, junto con la elevación es constante.

Dada una función\(z=f(x,y)\), podemos dibujar un “mapa topográfico” de\(f\) dibujando curvas de nivel (o, curvas de nivel). Una curva de nivel en\(z=c\) es una curva en el\(x\) -\(y\) plano tal que para todos los puntos\((x,y)\) de la curva,\(f(x,y) = c\).

Al dibujar curvas de nivel, es importante que los\(c\) valores estén separados por igual, ya que eso da la mejor idea de la rapidez con la que cambia la “elevación”. Los ejemplos ayudarán a entender este concepto.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Drawing Level Curves

Vamos\(f(x,y) = \sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}\). Encuentra las curvas de nivel de\(f\) for\(c=0\),\(0.2\),\(0.4\),\(0.6\),\(0.8\) y\(1\).

Solución

Considera primero\(c=0\). La curva de nivel para\(c=0\) es el conjunto de todos los puntos\((x,y)\) tales que\(0=\sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}\). Al cuadrar ambos lados nos da

\[\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1,\]

una elipse centrada en\((0,0)\) con eje mayor horizontal de longitud 6 y eje menor de longitud 4. Así para cualquier punto\((x,y)\) de esta curva,\(f(x,y) = 0\).

Ahora considere la curva de nivel para\(c=0.2\)

\ [\ begin {alinear*}
0.2 &=\ sqrt {1-\ frac {x^2} 9-\ frac {y^2} 4}\\
0.04 &= 1-\ frac {x^2} 9-\ frac {y^2} 4\
\\ frac {x^2} 9+\ frac {y^2} 4 &=0.96\
\ frac {x^2} {8.64} +\ frac {y^2} {3.84} &=1.
\ end {alinear*}\]

Esto también es una elipse, donde\(a = \sqrt{8.64}\approx 2.94\) y\(b=\sqrt{3.84}\approx 1.96\).

En general, para\(z=c\), la curva de nivel es:

\ [\ begin {alinear*}
c &=\ sqrt {1-\ frac {x^2} 9-\ frac {y^2} 4}\\
c^2 &= 1-\ frac {x^2} 9-\ frac {y^2} 4\
\\ frac {x^2} 9+\ frac {y^2} 4 &=1-c^2\
\ frac {x^2} {9 (1-c^2)} +\ frac {y^2} {4 (1-c^2)} &=1,
\ end {alinear*}\]

elipses que van disminuyendo de tamaño a medida que\(c\) aumenta. Un caso especial es cuando\(c=1\); ahí la elipse es solo el punto\((0,0)\).

Las curvas de nivel se muestran en la Figura 12.4 (a). Observe cómo las curvas de nivel para\(c=0\) y\(c=0.2\) están muy, muy juntas: esto indica que\(f\) está creciendo rápidamente a lo largo de esas curvas.

Figura\(\PageIndex{4}\): Graficando las curvas de nivel en el Ejemplo 12.1.4

En la Figura\(\PageIndex{4b}\), las curvas se dibujan en una gráfica de\(f\) en el espacio. Observe cómo las elevaciones están espaciadas uniformemente. Cerca de las curvas de nivel de\(c=0\) y\(c=0.2\) podemos ver que de\(f\) hecho está creciendo rápidamente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Analyzing Level Curves

Vamos\(f(x,y) = \frac{x+y}{x^2+y^2+1}\). Encuentra las curvas de nivel para\(z=c\).

Solución

Comenzamos fijándonos\(f(x,y)=c\) para una arbitraria\(c\) y viendo si la manipulación algebraica de la ecuación revela algo significativo.

\[\begin{align*} \frac{x+y}{x^2+y^2+1} &= c \\ x+y &= c(x^2+y^2+1). \end{align*}\]

Reconocemos esto como un círculo, aunque el centro y el radio aún no están claros. Al completar la plaza, podemos obtener:

\[\left(x-\frac{1}{2c}\right)^2+\left(y-\frac1{2c}\right)^2=\frac{1}{2c^2}-1,\]

un círculo centrado en\(\big(1/(2c),1/(2c)\big)\) con radio\(\sqrt{1/(2c^2)-1}\), donde\(|c|<1/\sqrt{2}\). Las curvas de nivel para\(c=\pm 0.2,\ \pm 0.4\) y\(\pm0.6\) se esbozan en la Figura\(\PageIndex{5a}\). Para ayudar a ilustrar la “elevación”, utilizamos líneas más gruesas para\(c\) valores cercanos a 0, y las líneas discontinuas indican dónde\(c<0\).

Hay una curva de nivel especial, cuando\(c=0\). La curva de nivel en esta situación es\(x+y=0\), la línea\(y=-x\).

En la Figura\(\PageIndex{5b}\) vemos una gráfica de la superficie. Observe cómo el\(y\) eje -está apuntando lejos del espectador para parecerse más estrechamente a la orientación de las curvas de nivel en (a).

Figura\(\PageIndex{5}\): Graficando las curvas de nivel en el Ejemplo 12.1.4

Ver las curvas de nivel nos ayuda a entender la gráfica. Por ejemplo, la gráfica no deja claro que se puede “caminar” a lo largo de la línea\(y=-x\) sin cambio de elevación, aunque la curva de nivel sí.

Funciones de tres variables

Ampliamos nuestro estudio de funciones multivariables a funciones de tres variables. (Se puede hacer una función de tantas variables como le guste; limitamos nuestro estudio a tres variables).

Definición 78 Función de tres variables

Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}^3\). Una función\(f\) de tres variables es una regla que asigna cada triple\((x,y,z)\) en\(D\) un valor\(w=f(x,y,z)\) en\(\mathbb{R}\). \(D\)es el dominio de\(f\); el conjunto de todas las salidas de\(f\) es el rango.

Observe cómo esta definición se parece mucho a la de la Definición 77.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Understanding a function of three variables

Vamos

\[f(x,y,z) = \dfrac{x^2+z+3\sin y}{x+2y-z}. \nonumber\]

Evaluar\(f\) en el punto\((3,0,2)\) y encontrar el dominio y rango de\(f\).

Solución

\[f(3,0,2) = \frac{3^2+2+3\sin 0}{3+2(0)-2} = 11. \nonumber\]

Como no\(f\) se especifica el dominio de, lo tomamos como el conjunto de todos los triples\((x,y,z)\) para los que\(f(x,y,z)\) se define. Como no podemos dividirnos por\(0\), encontramos que el dominio\(D\) es

\[D = \{(x,y,z)\ |\ x+2y-z\neq 0\}. \nonumber\]

Reconocemos que el conjunto de todos los puntos en\(\mathbb{R}^3\) que no están en\(D\) forma un plano en el espacio que pasa por el origen (con vector normal\(\langle 1,2,-1\rangle\)).

Determinamos que el rango\(R\) es\(\mathbb{R}\); es decir, todos los números reales son posibles salidas de\(f\). No hay una forma establecida de establecer esto. Más bien, para conseguir números cerca de 0 podemos dejar\(y=0\) y elegir\(z \approx -x^2\). Para obtener números de gran magnitud arbitrariamente, podemos dejar\(z\approx x+2y\).

Superficies niveladas

Es muy difícil producir una gráfica significativa de una función de tres variables. Una función de una variable es una curva dibujada en 2 dimensiones; una función de dos variables es una superficie dibujada en 3 dimensiones; una función de tres variables es una hipersuperficie dibujada en 4 dimensiones.

Existen algunas técnicas que se pueden emplear para tratar de “imaginar” una gráfica de tres variables. Uno es un análogo de las curvas de nivel: superficies niveladas. Dado\(w=f(x,y,z)\), la superficie nivelada en\(w=c\) es la superficie en el espacio formada por todos los puntos\((x,y,z)\) donde\(f(x,y,z)=c\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding level surfaces

Si una fuente puntual\(S\) está irradiando energía, la intensidad\(I\) en un punto dado\(P\) en el espacio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre\(S\) y\(P\). Es decir, cuando\(S=(0,0,0)\),\(I(x,y,z) = \frac{k}{x^2+y^2+z^2}\) para alguna constante\(k\).

Dejar\(k=1\); encontrar las superficies niveladas de\(I\).

Solución
Podemos (principalmente) responder a esta pregunta usando el “sentido común”. Si la energía (digamos, en forma de luz) emana del origen, su intensidad será la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Es decir, en cualquier punto de la superficie de una esfera centrada en el origen, la intensidad debe ser la misma. Por lo tanto, las superficies niveladas son esferas.

Ahora encontramos esto matemáticamente. La superficie nivelada en\(I=c\) está definida por

\[c = \frac{1}{x^2+y^2+z^2}.\]

Una pequeña cantidad de álgebra revela

\[x^2+y^2+z^2 = \frac1c.\]

Dada una intensidad\(c\), la superficie nivelada\(I=c\) es una esfera de radio\(1/\sqrt{c}\), centrada en el origen.

Figura\(\PageIndex{6}\): Una tabla de c valores y el radio correspondiente r de las esferas de valor constante en el Ejemplo 12.1.6

La figura\(\PageIndex{6}\) da una tabla de los radios de las esferas para\(c\) valores dados. Normalmente se usarían\(c\) valores igualmente espaciados, pero estos valores se han elegido a propósito. A una distancia de 0.25 de la fuente puntual, la intensidad es de 16; para pasar a un punto de la mitad de esa intensidad, uno solo se mueve de 0.1 a 0.35, no mucho en absoluto. Para volver a reducir a la mitad la intensidad, uno mueve 0.15, un poco más que antes.

Observe cómo cada vez que la intensidad si se reduce a la mitad, crece la distancia requerida para alejarse. Concluimos que cuanto más cerca está de la fuente, más rápidamente cambia la intensidad.

En la siguiente sección aplicamos los conceptos de límites a funciones de dos o más variables.