12.4: Diferenciabilidad y Diferencial Total

Se estudiaron los diferenciales en la Sección 4.4, donde la Definición 18 establece que si$y=f(x)$ y$f$ es diferenciable, entonces$dy=f'(x)dx$. Un uso importante de este diferencial es en Integración por Sustitución. Otra aplicación importante es la aproximación. Vamos a$\Delta x = dx$ representar un cambio en$x$. Cuando$dx$ es pequeño,$dy\approx \Delta y$, el cambio en$y$ resultante del cambio en$x$. Fundamental en esta comprensión es esto: a medida que$dx$ se hace pequeña, la diferencia entre$\Delta y$ y$dy$ va a 0. Otra forma de afirmar esto: como$dx$ va a 0, el error al aproximar$\Delta y$ con$dy$ va a 0.

Extendemos esta idea a funciones de dos variables. Dejar$z=f(x,y)$, y dejar$\Delta x = dx$ y$\Delta y=dy$ representar los cambios en$x$ y$y$, respectivamente. $\Delta z = f(x+dx,y+dy) - f(x,y)$Sea el cambio en$z$ sobre el cambio en$x$ y$y$. Recordando que$f_x$ y$f_y$ dar las tasas instantáneas de$z$ -cambio en las direcciones$x$ - y$y$ -direcciones, respectivamente, podemos aproximarnos$\Delta z$ con$dz = f_xdx+f_ydy$; en palabras, el cambio total en$z$ es aproximadamente el cambio causado por el cambio$x$ más el cambio causado por el cambio$y$. En un momento damos una indicación de si esta aproximación es o no buena. Primero le damos un nombre a$dz$.

Definición 86: Diferencial Total

Dejar$z=f(x,y)$ ser continuo en un juego abierto$S$. Dejar$dx$ y$dy$ representar los cambios en$x$ y$y$, respectivamente. Donde las derivadas parciales$f_x$ y$f_y$ existen, el diferencial total de$z$ es

$$dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy.$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the total differential

Vamos$z = x^4e^{3y}$. Encuentra$dz$.
Solución

Calculamos las derivadas parciales:$f_x = 4x^3e^{3y}$ y$f_y = 3x^4e^{3y}$. Siguiendo la Definición 86, tenemos

$$dz = 4x^3e^{3y}dx+3x^4e^{3y}dy.$$

Podemos aproximarnos$\Delta z$ con$dz$, pero como con todas las aproximaciones, hay error involucrado. Una buena aproximación es aquella en la que el error es pequeño. En un punto dado$(x_0,y_0)$, dejar$E_x$ y$E_y$ ser funciones de$dx$ y$dy$ tal que$E_xdx+E_ydy$ describa este error. Entonces

\ [\ begin {align*}
\ Delta z &= dz + e_xdx+ e_ydy\\
&= f_x (x_0, y_0) dx+f_y (x_0, y_0) dy + e_xdx+e_ydy.
\ end {alinear*}\]

Si la aproximación de$\Delta z$ by$dz$ es buena, entonces como$dx$ y se$dy$ vuelve pequeña, también lo hace$E_xdx+E_ydy$. La aproximación de$\Delta z$ by$dz$ es aún mejor si, as$dx$ e$dy$ ir a 0, así lo hacen$E_x$ y$E_y$. Esto nos lleva a nuestra definición de diferenciabilidad.

Definición 87: Diferenciabilidad multivariable

Dejar$z=f(x,y)$ ser definido en un conjunto abierto$S$ que contiene$(x_0,y_0)$ donde$f_x(x_0,y_0)$ y$f_y(x_0,y_0)$ existir. Dejar$dz$ ser el diferencial total de$z$ at$(x_0,y_0)$, let$\Delta z = f(x_0+dx,y_0+dy) - f(x_0,y_0)$, y let$E_x$ y$E_y$ ser funciones de$dx$ y$dy$ tal que
$$\Delta z = dz + E_xdx + E_ydy.$$

1. $f$es diferenciable en$(x_0,y_0)$ si, dado$\epsilon >0$, hay$\delta >0$ tal que si$||\langle dx,dy\rangle|| < \delta$, entonces$||\langle E_x,E_y\rangle|| < \epsilon$. Es decir, como$dx$ e$dy$ ir a 0, así lo hacen$E_x$ y$E_y$.
2. $f$es diferenciable en$S$ si$f$ es diferenciable en cada punto de$S$. Si$f$ es diferenciable en$\mathbb{R}^2$, decimos que$f$ es diferenciable en todas partes.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Showing a function is differentiable

$f(x,y) = xy+3y^2$El espectáculo es diferenciable usando la Definición 87.

Solución

Comenzamos por encontrar$f(x+dx,y+dy)$,$\Delta z$,$f_x$ y$f_y$.

\ [\ begin {align*}
f (x+dx, y+dy) &= (x+dx) (y+dy) + 3 (y+dy) ^2\\
&= xy + xdy+ydx+dxdy + 3y^2+6ydy+3dy^2.
\ end {alinear*}\]

$\Delta z = f(x+dx,y+dy) - f(x,y)$, entonces

$$\Delta z = xdy + ydx + dxdy + 6ydy+3dy^2.$$

Es sencillo de calcular$f_x = y$ y$f_y = x+6y$. Considere una vez más$\Delta z$:

\ [\ begin {alinear*}
\ Delta z &= xdy + ydx + dxdy + 6ydy+3dy^2\ qquad\ text {(ahora reordenar)}\\
&= ydx + xdy+6ydy+ dxdy + 3dy^2\\
&=\ underbrackets {(y)} _ {f_x} dx +\ underbrackets {(x+6y)} _ {f_y} dy +\ underbrackets {(dy)} _ {e_x} dx+\ underbrackets {(3dy)} _ {e_y} dy\\
& amp; = f_xdx + f_ydy + e_xdx+e_ydy.
\ end {alinear*}\]

Con$E_x = dy$ y$E_y = 3dy$, es claro que como$dx$ y$dy$ van a 0,$E_x$ y$E_y$ también van a 0. Ya que esto no dependía de un punto específico$(x_0,y_0)$, podemos decir que$f(x,y)$ es diferenciable para todos los pares$(x,y)$ en$\mathbb{R}^2$, o, equivalentemente, eso$f$ es diferenciable en todas partes.

Nuestra comprensión intuitiva de la diferenciabilidad de funciones$y=f(x)$ de una variable fue que la gráfica de$f$ era “suave”. Una comprensión intuitiva similar de las funciones$z=f(x,y)$ de dos variables es que la superficie definida por$f$ es también “lisa”, no contiene cúspides, aristas, roturas, etc. El siguiente teorema establece que las funciones diferenciables son continuas, seguidas de otro teorema que proporciona una más tangible manera de determinar si un gran número de funciones son diferenciables o no.

TEOROMA 104: Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones Multivariables

Dejar$z=f(x,y)$ ser definido en un conjunto abierto$S$ que contiene$(x_0,y_0)$.

Si$f$ es diferenciable en$(x_0,y_0)$, entonces$f$ es continuo en$(x_0,y_0)$.

TEOROMA 105: Diferenciabilidad de Funciones Multivariables

Dejar$z=f(x,y)$ ser definido en un conjunto abierto$S$ que contiene$(x_0,y_0)$.

Si$f_x$ y$f_y$ son ambos continuos en$S$, entonces$f$ es diferenciable en$S$.

Los teoremas nos aseguran que esencialmente todas las funciones que vemos en el transcurso de nuestros estudios aquí son diferenciables (y por lo tanto continuas) en sus dominios naturales. Sin embargo, existe una diferencia entre la Definición 87 y el Teorema 105: es posible que una función$f$ sea aún diferenciable$f_x$ y/o no$f_y$ sea continua. Ese extraño comportamiento de las funciones es una fuente de deleite para muchos matemáticos.

Cuando$f_x$ y$f_y$ existir en un punto pero no son continuos en ese punto, necesitamos usar otros métodos para determinar si$f$ es o no diferenciable en ese punto.

Por ejemplo, considere la función

\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {array} {cl}\ frac {xy} {x^2+y^2} & (x, y)\ neq (0,0)\\
0 & (x, y) = (0,0)\ end {array}\ right.\]
Podemos encontrar$f_x(0,0)$ y$f_y(0,0)$ usar Definición 83:
\ [\ begin {align*}
f_x (0,0) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (0+h,0) - f (0,0)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {0} {h^2} = 0;\\
f_y (0,0) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (0,0+h) - f (0,0)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {0} {h^2} = 0.
\ end {alinear*}\]

Ambos$f_x$ y$f_y$ existen en$(0,0)$, pero no son continuos en$(0,0)$, como

$$f_x(x,y) = \frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \qquad \text{and}\qquad f_y(x,y) = \frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$$

no son continuas en$(0,0)$. (Tomar el límite de$f_x$ como$(x,y)\to(0,0)$ a lo largo de$y$ los ejes$x$ - y -; dan resultados diferentes.) Entonces, aunque$f_x$ y$f_y$ existan en cada punto del$x$$y$ plano, no son continuos. Por lo tanto es posible, por el Teorema 105,$f$ que no sea diferenciable.

En efecto, no lo es. Se puede demostrar que no$f$ es continuo en$(0,0)$ (ver Ejemplo 12.2.4), y por el Teorema 104, este medio no$f$ es diferenciable en$(0,0)$.

Aproximación con el Diferencial Total

Por definición, cuando$f$ es diferenciable$dz$ es una buena aproximación para$\Delta z$ cuando$dx$ y$dy$ son pequeños. Damos algunos ejemplos simples de cómo se usa esto aquí.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Approximating with the total differential

Vamos$z = \sqrt{x}\sin y$. Aproximado$f(4.1,0.8)$.

Solución

Reconociendo eso$\pi/4 \approx 0.785\approx 0.8$, podemos aproximarnos$f(4.1,0.8)$ usando$f(4,\pi/4)$. Podemos calcular fácilmente$f(4,\pi/4) = \sqrt{4}\sin(\pi/4) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}2\right) = \sqrt{2}\approx 1.414.$ Sin cálculo, esta es la mejor aproximación que razonablemente podríamos idear. El diferencial total nos da una forma de ajustar esta aproximación inicial para, ojalá, obtener una respuesta más precisa.

Dejamos$\Delta z = f(4.1,0.8) - f(4,\pi/4)$. El diferencial total$dz$ es aproximadamente igual a$\Delta z$, entonces

$$f(4.1,0.8) - f(4,\pi/4) \approx dz \quad \Rightarrow \quad f(4.1,0.8) \approx dz + f(4,\pi/4).\label{eq:totaldiff2}$$

Para encontrar$dz$, necesitamos$f_x$ y$f_y$.

\ [\ begin {align*}
f_x (x, y) &=\ frac {\ sin y} {2\ sqrt {x}}\ quad\ Rightarrow&
f_x (4,\ pi/4) &=\ frac {\ sin\ pi/4} {2\ sqrt {4}}\\
& &&=\ frac {\ sqrt {2} /2} 4} =\ sqrt {2} /8. \\
f_y (x, y) &=\ sqrt {x}\ cos y\ quad\ Rightarrow&
f_y (4,\ pi/4) &=\ sqrt {4}\ frac {\ sqrt {2}} 2\\
& & &=\ sqrt {2}.
\ end {alinear*}\]

Aproximando$4.1$ con 4 da$dx = 0.1$; aproximando$0.8$ con$\pi/4$ da$dy \approx 0.015$. Así

\ [\ begin {alinear*}
dz (4,\ pi/4) &= f_x (4,\ pi/4) (0.1) + f_y (4,\ pi/4) (0.015)\\
&=\ frac {\ sqrt {2}} 8 (0.1) +\ sqrt {2} (0.015)\\
&\ approx 0.039.
\ end {alinear*}\]

Volviendo a la ecuación\ ref {eq:totaldiff2}, tenemos

$$f(4.1,0.8) \approx 0.039 + 1.414 = 1.4531.$$

Nosotros, por supuesto, podemos calcular el valor real de$f(4.1,0.8)$ con una calculadora; el valor real, exacto a 5 lugares después del decimal, es$1.45254$. Obviamente nuestra aproximación es bastante buena.

El punto del ejemplo anterior no era desarrollar un método de aproximación para funciones conocidas. Después de todo, podemos calcular muy fácilmente$f(4.1,0.8)$ usando tecnología fácilmente disponible. Más bien, sirve para ilustrar qué tan bien funciona este método de aproximación, y para reforzar el siguiente concepto:

\[\text{"New position = old position $+$ amount of change,'' so}\]

\[\text{ "New position $\approx$ old position + approximate amount of change.''}\]

En el ejemplo anterior, podríamos calcular fácilmente$f(4,\pi/4)$ y podríamos aproximar la cantidad de$z$ -cambio al calcular$f(4.1,0.8)$, permitiéndonos aproximar el nuevo$z$ -valor.

Puede ser sorprendente saber que no es raro conocer los valores de$f$,$f_x$ y$f_y$ en un punto determinado sin conocer realmente la función$f$. El diferencial total da un buen método de aproximación$f$ en puntos cercanos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Approximating an unknown function

Dado que$f(2,-3) = 6$,$f_x(2,-3) = 1.3$ y$f_y(2,-3) = -0.6$, aproximado$f(2.1,-3.03)$.

Solución

El diferencial total se aproxima a la cantidad de$f$ cambios de punto$(2,-3)$ a punto$(2.1,-3.03)$. Con$dx = 0.1$ y$dy = -0.03$, tenemos

\ [\ begin {align*}
dz &= f_x (2, -3) dx + f_y (2, -3) dy\\
&= 1.3 (0.1) + (-0.6) (-0.03)\\
&= 0.148.
\ end {alinear*}\]

El cambio en$z$ es aproximadamente$0.148$, por lo que aproximamos$f(2.1,-3.03)\approx 6.148.$

Análisis de error/sensibilidad

El diferencial total da una aproximación del cambio en pequeños cambios$z$ dados en$x$ y$y$. Podemos usar esto para aproximar la propagación de errores; es decir, si la entrada está un poco alejada de lo que debería ser, ¿qué tan lejos de ser correcta estará la salida? Esto lo demostramos en un ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Sensitivity analysis

Se va a construir un tanque de almacenamiento de acero cilíndrico de 10 pies de alto y 4 pies de diámetro. Se sabe que el acero se expandirá/contraerá con los cambios de temperatura; ¿el volumen total del tanque es más sensible a los cambios en el diámetro o en la altura del tanque?

Solución

Un sólido cilíndrico con altura$h$ y radio$r$ tiene volumen$V = \pi r^2h$. Podemos ver$V$ como una función de dos variables,$r$ y$h$. Podemos calcular derivadas parciales de$V$:

$$\frac{\partial V}{\partial r} = V_r(r,h) = 2\pi rh \qquad \text{and}\qquad \frac{\partial V}{\partial h} = V_h(r,h) = \pi r^2.$$

El diferencial total es$dV = (2\pi rh)dr + (\pi r^2)dh.$ Cuándo$h = 10$ y$r = 2$, tenemos$dV = 40\pi dr + 4\pi dh$.

Obsérvese que el coeficiente de$dr$ es$40\pi\approx 125.7$; el coeficiente de$dh$ es una décima parte de eso, aproximadamente$12.57$. Un pequeño cambio en el radio se multiplicará por 125.7, mientras que un pequeño cambio en la altura se multiplicará por 12.57. Por lo tanto, el volumen del tanque es más sensible a los cambios de radio que en altura.

El ejemplo anterior mostró que el volumen de un tanque en particular era más sensible a los cambios de radio que en altura. Tenga en cuenta que este análisis sólo se aplica a un tanque de esas dimensiones. Un tanque con una altura de 1 pie y radio de 5 pies sería más sensible a los cambios de altura que en radio. Se podría hacer una tabla de pequeños cambios en el radio y la altura y encontrar cambios exactos en el volumen dados los cambios específicos. Si bien esto proporciona números exactos, no da tanto conocimiento como el análisis de errores usando el diferencial total.

Diferenciabilidad de Funciones de Tres Variables

La definición de diferenciabilidad para funciones de tres variables es muy similar a la de funciones de dos variables. Volvemos a empezar con el diferencial total.

Definición 88: Diferencial Total

Dejar$w=f(x,y,z)$ ser continuo en un juego abierto$S$. Dejar$dx$,$dy$ y$dz$ representar los cambios en$x$,$y$ y$z$, respectivamente. Donde las derivadas parciales$f_x$,$f_y$ y$f_z$ existen, el diferencial total de$w$ es

$$dz = f_x(x,y,z)dx + f_y(x,y,z)dy+f_z(x,y,z)dz.$$

Este diferencial puede ser una buena aproximación del cambio en$w$ cuando$w = f(x,y,z)$ es diferenciable.

Definición 89: Diferenciabilidad multivariable

Dejar$w=f(x,y,z)$ definirse sobre una bola abierta$B$ que contenga$(x_0,y_0,z_0)$ dónde$f_x(x_0,y_0,z_0)$,$f_y(x_0,y_0,z_0)$ y$f_z(x_0,y_0,z_0)$ existir. $dw$Sea el diferencial total de$w$ al$(x_0,y_0,z_0)$, dejar$\Delta w = f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) - f(x_0,y_0,z_0)$, y dejar$E_x$,$E_y$ y$E_z$ ser funciones de$dx$,$dy$ y$dz$ tal que

$$\Delta w = dw + E_xdx + E_ydy + E_zdz$$

1. $f$es diferenciable en$(x_0,y_0,z_0)$ si, dado$\epsilon >0$, hay$\delta >0$ tal que si$||\langle dx,dy,dz\rangle|| < \delta$, entonces$||\langle E_x,E_y,E_z\rangle|| < \epsilon$.
2. $f$es diferenciable en$B$ si$f$ es diferenciable en cada punto de$B$. Si$f$ es diferenciable en$\mathbb{R}^3$, decimos que$f$ es diferenciable en todas partes.

Al igual que antes, esta definición da una declaración rigurosa sobre lo que significa ser diferenciable que no es muy intuitiva. Lo seguimos con un teorema similar al Teorema 105.

TEOROMA 106: Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Tres Variables

Dejar$w=f(x,y,z)$ definirse sobre una bola abierta$B$ que contenga$(x_0,y_0,z_0)$.

1. Si$f$ es diferenciable en$(x_0,y_0,z_0)$, entonces$f$ es continuo en$(x_0,y_0,z_0)$.
2. Si$f_x$,$f_y$ y$f_z$ son continuos en$B$, entonces$f$ es diferenciable en$B$.

Este conjunto de definición y teorema se extiende a funciones de cualquier número de variables. El teorema nuevamente nos da una forma sencilla de verificar que la mayoría de las funciones que encontramos son diferenciables en sus dominios naturales.

Esta sección nos ha dado una definición formal de lo que significa para una función ser “diferenciable”, junto con un teorema que da una comprensión más accesible. Las siguientes secciones vuelven a las nociones impulsadas por nuestro estudio de derivadas parciales que hacen uso del hecho de que la mayoría de las funciones que encontramos son diferenciables.