Saltar al contenido principal

# 1.6: Capítulo 1 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Una función es siempre uno a uno.

2)$$f∘g=g∘f$$, asumiendo$$f$$ y$$g$$ son funciones.

Responder
Falso

3) Una relación que pasa las pruebas de línea horizontal y vertical es una función uno a uno.

4) Una relación que pasa la prueba de línea horizontal es una función.

Responder
Falso

Declarar el dominio y el rango de las funciones dadas:

$$f=x^2+2x−3$$,$$g=\ln(x−5)$$,$$h=\dfrac{1}{x+4}$$

5) h

6) g

Responder
Dominio:$$x>5$$, Rango: todos los números reales

7)$$h∘f$$

8)$$g∘f$$

Responder
Dominio:$$x>2$$ y$$x<−4$$, Rango: todos los números reales

Encuentra el grado,$$y$$ -intercepción y ceros para las siguientes funciones polinómicas.

9)$$f(x)=2x^2+9x−5$$

10)$$f(x)=x^3+2x^2−2x$$

Responder
Grado de 3,$$y$$ -intercepción:$$(0,0),$$ Ceros:$$0, \,\sqrt{3}−1,\, −1−\sqrt{3}$$

Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas.

11)$$\dfrac{\tan^2x}{\sec^2x}+{\cos^2x}$$

12)$$\cos^2x-\sin^2x$$

Responder
$$\cos(2x)$$

Resuelve$$θ=[−2π,2π]$$ exactamente las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo.

13)$$6\cos 2x−3=0$$

14)$$\sec^2x−2\sec x+1=0$$

Responder
$$0,±2π$$

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

15)$$5^x=16$$

16)$$\log_2(x+4)=3$$

Responder
$$4$$

¿Las siguientes funciones son una a una sobre su dominio de existencia? ¿La función tiene una inversa? Si es así, encuentra la inversa$$f^{−1}(x)$$ de la función. Justifica tu respuesta.

17)$$f(x)=x^2+2x+1$$

18)$$f(x)=\dfrac{1}{x}$$

Responder
Uno a uno; sí, la función tiene un inverso; inverso:$$f^{−1}(x)=\dfrac{1}{x}$$

Para los siguientes problemas, determinar el dominio más grande en el que la función es uno a uno y encontrar la inversa en ese dominio.

19)$$f(x)=\sqrt{9−x}$$

20)$$f(x)=x^2+3x+4$$

Responder
$$x≥−\frac{3}{2},\quad f^{−1}(x)=−\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x−7}$$

21) Un automóvil corre a lo largo de una pista circular con un diámetro de 1 mi. Un entrenador parado en el centro del círculo marca su progreso cada 5 seg. Después de 5 seg, el entrenador tiene que girar 55° para mantenerse al día con el auto. ¿Qué tan rápido viaja el auto?

Para los siguientes problemas, considere el dueño de un restaurante que quiera vender playeras anunciando su marca. Recuerda que hay un costo fijo y un costo variable, aunque no recuerda los valores. Él sabe que la empresa de impresión de camisetas cobra $440 por 20 camisas y$1000 por 100 playeras.

22) a. encontrar la ecuación$$C=f(x)$$ que describe el costo total en función del número de camisas y

b. determinar cuántas camisas debe vender para romper aunque venda las playeras por $10 cada una. Responder a.$$C(x)=300+7x$$ b.$$100$$ camisas 23) a. encontrar la función inversa$$x=f^{−1}(C)$$ y describir el significado de esta función. b. Determinar cuántas playeras puede comprar el dueño si tiene$8000 para gastar.

Para los siguientes problemas, considere la población de Ocean City, Nueva Jersey, que es cíclica por temporada.

24) La población puede ser modelada por$$P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]$$, donde$$t$$ es tiempo en meses ($$t=0$$representa el 1 de enero) y$$P$$ es población (en miles). Durante un año, ¿en qué intervalos la población es menor de 20 mil? ¿Durante qué intervalos la población supera los 140.000?

Responder
La población es menor de 20,000 del 8 de diciembre al 23 de enero y más de 140 mil del 29 de mayo al 2 de agosto

25) En realidad, lo más probable es que la población general aumente o disminuya a lo largo de cada año. Reformulemos el modelo como$$P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]+t$$, donde t es tiempo en meses ($$t=0$$representa el 1 de enero) y$$P$$ es población (en miles). ¿Cuándo es la primera vez que la población alcanza los 200 mil?

Para los siguientes problemas, considere la datación radiactiva. Un esqueleto humano se encuentra en una excavación arqueológica. La datación por carbono se implementa para determinar la antigüedad del esqueleto mediante el uso de la ecuación$$y=e^{rt}$$, dónde$$y$$ está el porcentaje de radiocarbono aún presente en el material,$$t$$ es el número de años transcurridos, y$$r=−0.0001210$$ es la tasa de desintegración del radiocarbono.

26) Si se espera que el esqueleto tenga 2000 años, ¿qué porcentaje de radiocarbono debería estar presente?

Responder
78.51%

27) Encontrar la inversa de la ecuación de datación por carbono. ¿Qué significa? Si hay 25% de radiocarbono, ¿cuántos años tiene el esqueleto?